高一数学3月月考试题无答案1

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重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。

山东省枣庄高一下学期3月月考数学试题(解析版)

高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．如图所示，是的边上的中点，记，，则向量D ABC ∆AB BC a =BA c = CD =A ．B ．12a c -- 12a c - C ．D ．12a c -+ 12a c + 【答案】C【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得选项C ．1122CD BD BC BA BC a c =-=-=-+【解析】向量减法的几何意义． 2．计算（）1tan151tan15-︒=+︒A ．BC ．D【答案】D【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案. tan 451︒=【详解】. ()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒故选：D3．已知是边长为2的等边三角形，则（）ABC CA AB ⋅=A ．B ．C ．D ．2--2【答案】A【分析】由向量数量积计算公式及图形可得答案.【详解】由图做，则夹角为，又由题可知，CD AB = ,CA AB 2π32CA AB == 则. 2π1cos 22232CA AB CA AB ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A4．已知，求与的夹角（）4,3,(23)(2)13a b a b a b ==-⋅+= a bθ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由可得，后由向量夹角公式可得答案.(23)(2)13a b a b -⋅+=6a b ⋅= 【详解】，22(23)(2)134341364271346a b a b a b a b a b a b -⋅+=⇒--⋅=⇒--=⋅⇒⋅= 则，又，则. 61432cos a b θa b ⋅===⨯⋅[]0,πθ∈θπ3=故选：C5．已知，则（）π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB ．C ．D ．297929-【答案】C 【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；π6t x =-π6x t =+1sin 3t =【详解】令，则，，所以π6t x =-π6x t =+1sin 3t =πππsin 2=sin 2666x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2π27sin 2cos 212sin 1299t t t ⎛⎫=+==-=-= ⎪⎝⎭故选：C.6．若平面向量两两的夹角相等，且，则（） ,,a b c 2,2,3a b c === 2a b c ++=A ．B ．C ．5或2D ．10或4210【答案】D【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律即,,a b c0︒120︒可得解.【详解】2a b c ==+=+因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，a b c即，，两两的夹角为或,a b c0︒120︒当夹角为时，， 0︒222610a b c ++=++= 当夹角为时，， 120︒4a b =++ 所以或. 210a b c ++=4故选：D ．7．已知的外接圆圆心为O ，且，则向量在向量上的投影向ABC 2,AO AB AC OA AB =+= CA BC 量为（）A ．B ．C ．D ．14BC34BC u uu r 14BC -34BC -【答案】D【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可ABO 【详解】2AO AB AC =+所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， ABC O BC BC 如图：又，所以为等边三角形，||||AB AO =ABO，， 30ACB ∴∠=︒||||cos30|CA BC BC ∴=︒=向量在向量上的投影为：．CABC 3||cos30|||4CA BC BC -︒=-故投影向量为.34BC -故选：D ．8．如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩AOB 2π4PQRS 形面积的最大值为()AB ．1-2CD【答案】B【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题. POA α∠=α【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是PO POA α∠=2sin 2cos PS QR,OS αα===OQR 等腰直角三角形，即， 2sin QR OR α==所以，()2cos sin RS OS OR αα=-=-故矩形的面积为：QRSP ()()π4sin cos sin 2sin2cos22224PS RS αααααα⎛⎫⋅=⋅-=+-=+-⎪⎝⎭显然当时，取得最大值，π8=α2-故选:B二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（）A ．对任一非零向量，是一个单位向量 a ||a aB ．对任意向量，恒成立,a b||||||||a b a b -≤- C ．若且，则a b = c b =a c = D ．在中，C 为边AB 上一点，且，则 OAB :3:2AC CB =3255OC OA OB =+【分析】A 选项，计算的模可判断选项正误； ||a a B 选项，通过比较，大小可判断选项正误；2||a b - 2||||||a b - C 选项，由等式的传递性可判断选项正误； D 选项，结合图形及向量相减法则可判断选项正误.【详解】A，则是一个单位向量，故A 正确； 1||a a B 选项，，222222||||||||||||2||||222||||a b a b a b a b a b a b a b a b ---=+---+⋅=⋅-设向量夹角为，则，当且仅当反向时取等号，则,a b θ()22||||2||||cos 10a b a b a b ⋅-=-≤θ,a b ，故B 错误；22||||||||||||||||a b a b a b a b -≥-⇒-≥-C 选项，由等式性质可知C 正确；D 选项，如图，因，则 :3:2AC CB =()3322AC CB OC OA OB OC =⇒-=-，故D 错误.53322255OC OB OA OC OB OA ⇒=+⇒=+故选：AC10．已知，，点P 在直线AB 上，且，求点P 的坐标（）()2,3A ()4,3B -2AP PB =A ．B ．()6,9-10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()8,15-()5,6-【答案】AB【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P 在直线AB 上，故由可得以下两(),P x y ()2,3A ()4,3B -2AP PB =种情况：，此时有，解得；2AP PB = ()()23243x ,y x,y --=---1013x ,y ==-或，此时有，解得；2AP PB =-()()23243x ,y x,y --=----6,9x y ==-11．已知函数，则（） 2()2sin 21f x x x =-++A ．在内有2个零点()f x [0,]πB ．在上单调递增()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ()f x 2sin 2y x =π6D ．在上的最大值为()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1【答案】ABD【分析】对于A ，把三角函数化简，求函数的零点进行验证；对于B ，求函数的单调递增()f x ()f x 区间进行验证；对于C ，通过图像平移公式进行验证；对于D ，由得出整体角的取值范π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围，再得到的最大值.()f x【详解】.2π()2sin 21cos 222sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭对于A ，令，则.π2π,6x k k Z +=∈ππ122k x =-+当时，；当时，满足题意，故A 正确；1k =5π12x =2k =11π12x =对于B ，令，则 .πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ36k x k -+≤≤+当时，在上单调递增，所以在上单调递增正确，故B 正确；0k =()f x ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，由的图象向左平移个单位长度得到，故C 错2sin 2y x =π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；对于D ，若，则，，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦[]π2sin 2162,x ⎛⎫+∈ ⎪⎝-⎭所以在上的最大值为，故D 正确.()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1故选：ABD.12．已知函数为函数的一条对称轴，且若()2sin()(0,0||)π,22πf x x x ωϕωϕ=+><<=3()8πf =在上单调，则的取值可以是（） ()f x 3(,π)84π--ωA ．B ．C ．D ．4383163203【答案】AD【分析】由为对称轴，及求出的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出π2x =3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ωω【详解】为对称轴，； π2x =πππ22k ωϕ⇒+=+Z k∈或，；3π3ππ2π883f m ωϕ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭2ππ32m +m Z ∈联立解之得:或，，；()4823k m ω=-+()4823k m ω=--Z k ∈m Z ∈又在上单调，3ππ,84⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以 π3πππ4880ωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩08ω<≤或 43ω∴=203故选：AD.三、填空题13．若与共线，则_______ ()2,3a =()2,6b x =- x =【答案】2-【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.【详解】已知与共线， ()2,3a =()2,6b x =- 则，解得. 2(6)320x ⨯--⨯=2x =-故答案为：.2-14．已知函数的部分图象如图所示，点，，π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><3(0,)2-π(,0)3在图象上，求_______ 7π(,0)3(π)f =【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点12ω=π(,0)3π6ϕ=-3(0,)2-求出，得到函数解析式进而求解即可. A 【详解】由函数图像可知.2A =设函数的最小正周期为，则， ()f x T 7ππ24π33T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭又因为，由，解得， 0ω>2π4πT ω==12ω=又由图可知函数经过点，则，()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭1πsin 023ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以，解得，1π2π,Z 23k k ϕ⨯+=∈π2π,Z 6k k ϕ=-∈又因为，所以当时，， π2ϕ<0k =π6ϕ=-所以，1()sin()26f x A x π=-又函数图象过点，所以，解得，3(0,)2-π3sin(62A -=-3A =所以，故，1()3sin(26f x x π=-1ππ(π)3sin π3sin 263f ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭15．求_______()sin160350=【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果.【详解】 ())sin50tan5020sin16035os500c ⎫=+⎭=⎪()202cos 503020cos50-=⋅====16．已知的外接圆圆心为O ，为的重心且则ABC H ABC 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+= _________ 【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴，H ABC ()212HB HC HD AD AB AC +===+,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知，且向量与不共线.||1,||1a b ==a b (1)若与的夹角为，求； a b120︒()()3a b a b -⋅+ (2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k 的取值范围. a b 60︒-a kb 2ka b - 【答案】(1)1(2)(3.⋃+【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；a b ⋅ (2)()a b a b -⋅+a b ⋅（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k 即可.ka b + ka b -()()0ka b ka b ⋅>+-r r r r 【详解】（1）与的夹角为，a b120︒，11cos1201122a b a b ⎛⎫∴⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪.()()22332132112a b a b a a b b ∴⎛⎫=+⨯⎭-⋅+=+⋅---= ⎪⎝ （2）与的夹角为，a b60︒，11cos601122a b a b ∴⋅=︒=⨯⨯=向量与的夹角为锐角，- a kb 2ka b - ，且不能同向共线，()()20a kb ka b ∴-⋅->，，()()()22222222302k a kb ka b ka k a b kb k +∴-⋅-=-+⋅+=-> ()2(0)a kb ka b λλ-≠-> 解得且33k<<k ≠即3k<<3k <<实数k 的取值范围是∴(3.⋃+18．已知函数的最小正周期为；()3π112πsin sin +226f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω2π(1)求函数的解析式； ()f x (2)求函数的单调递增区间.()f x 【答案】(1)()5π412f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π11πππ,,Z 248248k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将，后由周期计算公式可得()f x 15π212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ω解析式；（2）由（1）结合函数的单调增区间可得答案.sin y x =【详解】（1）π11ππ()sin +s 266in 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ωω1π1πsin cos 2266x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω，因为最小正周期为，1ππ15π242126x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωωπ2所以.所以； 2ππ822=⇒=ωω()5π412f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由，得，则单调递增区间π5ππ2π42π,Z 2122k x k k -+≤+≤+∈π11πππ,Z 248248k k x k -≤≤+∈()f x 为. π11πππ,,Z k k k ⎡⎤-+∈19．已知函数在区间上的最大值为5， ()2cos ,cos ,,2cos )a x x b x x == ()1f x a b m =+- π0,2⎡⎤⎢⎣⎦(1)求常数的值；m (2)当时，求使成立的x 的取值集合.x ∈R ()4f x ≥【答案】(1)3m =(2) π|ππ,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求()f x ；m （2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.()f x 【详解】（1）()1f x a b m =+-2()cos 2cos 12cos 2f x x x x m x x m =++-=++， π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ππ7π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴函数的最大值为，，，()f x 2m +25m ∴+=3m =（2）由（1）得， π()2sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由得，∴ ()4f x ≥π1sin(262x +≥()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈解得：. πππ3k x k ≤≤+()k ∈Z 成立的x 的取值集合是． ()4f x ≥π|ππ,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭20．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.(1)求d 与时间t （单位：s ）之间函数关系 ππsin()0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来()()sin f x A x ωϕ=-()f x π30的得到函数，画出在上的图象 14()g x ()g x []0,π【答案】(1)； ππ4sin(t )2156d =-+(2)图象见解析【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系,,A K ωϕ式；（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.【详解】（1）由题意， max min 42,242d d =+=-=-所以，， max min 6(2)422d d A ---===max min 62222d d K +-===因为逆时针方向每分转2圈，所以, 22ππ6015ω⨯==因为时，，所以，即， 0=t 0d =04sin 2ϕ=+1sin 2ϕ=-又，所以 ππ22ϕ-<<，所以； π=6ϕ-ππ4sin(t )2156d =-+（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来ππ()4sin 156f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π30的得到函数， 14π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭列表如下 π26x +π6 π2 π 3π2 2π 13π6x 0 π6 5π122π3 11π12 π ()f x 12 1 0 1-012描点连线，图象如图.21．在中，，，QA 与PB 相交于点C ，设， OPQ △12OA OP = 14OB OQ = OP a = .OQ b =(1)用，表示；a b OC (2)过C 点作直线分别与线段OQ ，OP 交于点M ，N ，设，，求的最l OM OQ λ= ON OP μ= 3μλ+小值.【答案】(1) .371=+7OC a b →→ (2). 127【分析】（1）由三点共线可得，存在使，则；同理由P ，C ，B ,,A C Q k AC k AQ = (1)+2k OC kb a -= 三点共线，存在使，根据平面向量基本定理即可求出，，得出结果； t 1+4()t OC ta b -= k t （2）由三点共线可得，存在使，又由（1）知，根据平,,N C M x (1)OC xOM x ON =+- 771=+3OC a b →→面向量基本定理即可求出，再求得结果． 1+=7317μλ【详解】（1），C ，Q 三点共线，设， A =AC k AQ 即，， ()OC OA k OQ OA -=- 11=22OA OP a = .OQ b = (1)=+(1)=+.2k OC k OQ k OA kb a ∴⋅⋅-- 同理由P ，C ，B 三点共线可得：，其中， (1)=+(1)=+4t OC t OP t OB ta b ⋅⋅-- ,k t R ∈根据平面向量基本定理知：，解得，. 1214k t t k -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩71=k 7=3t .371=+7OC a b →→∴ （2）由三点共线，,,N C M(1)OC xOM x ON =+-(1).x b x a λμ=+- 又由知， (1)771=+3OC a b →→ 所以 ()17317x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1+=1.773μλ，当且仅当 ()166123+=+777777379μλλμμλλμ⎛⎫++≥+=⎪⎝⎭26,77λμ==故的最小值为. 3μλ+12722．已知函数； π()sin 2sin 24f x x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)当时，求函数的值域；1m =()f x(2)当时恒成立，求的取值范围； ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x ≥m 【答案】(1) 1314⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(2)4m ≤【分析】（1）把三角函数化简，设，表示，利用二次函数求值域； ()f x sin cos t x x =+sin cos x x （2）由恒成立进行参变分离，通过求函数的最值得出结果.()0f x ≥【详解】（1）当时，， 1m =π()sin 222sin cos sin cos 24f x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭设， πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则， 21sin cos 2t x x -=，22123y t t t t ∴=-+-=+-当时，，时，. 12t =-min 134y =-t =max 1y =的值域为. ∴()f x 1314⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2），()π()sin 2sin 22sin cos sin cos 204f x x x m x x m x x m ⎛⎫=+-=++-≥ ⎪⎝⎭，， ()2sin cos 2sin cos x x m x x ≥-+ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令， πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， ()()()()2224231324222t t t m t t t t ---+-≤==-+----，当且仅当， ()()32442t t -+-≥-322t t-=-2t ⎡=⎣故.4m ≤-。

2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期3月月考数学试卷(含详解)

七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C .3144+AB ACD.1344+AB AC15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15m αβ-=-．七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________【答案】35-##0.6-【解析】【分析】根据已知直线得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出2cos θ的值，然后根据二倍角余弦公式即可求解．【详解】根据题意可知：tan 2θ=，所以22222cos 11cos sin cos tan 15θθθθθ===++，所以213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=-.故答案为：35-.2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】 2π.【解析】【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.【答案】23π【解析】【分析】根据正弦定理到35a b =，75c a =，再利用余弦定理得到1cos 2C =-，得到答案.【详解】3sin 5sin A B =，则35a b =，2b c a +=，故75c a =.根据余弦定理：22222294912525cos 32225a a a abc C ab a a +-+-===-⋅，故23C π=.故答案为：23π.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.【答案】4π【解析】【详解】因为直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，所以5244T πππ=-=，所以22T ππω==，1ω=，所以()sin()f x x φ=+，又因为4x π=是()f x 的一条对称轴，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，而0φπ<<，所以4πφ=．5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【解析】【详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．【答案】0或2【解析】【分析】由题可知a 与b相等或互为相反向量，据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线，且a b = ，∴a 与b相等或互为相反向量，当a 与b相等时，22a a b ==+ ，当a 与b互为相反向量时，0=0a b =+ ．故答案为：0或2．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】【详解】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．【答案】56【解析】【分析】作出y ＝πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在[－1，1]上的图像，作出符合题意的y ＝x a b --的图像即可求出a 、b ，从而得到答案．【详解】设函数y=πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，下面分析它们的性质，以作出它们的图像.①对函数y=πsin π6x ⎛⎫+⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-时，π5π7ππ[,666x +∈-，∴当5πππ066x -+ 或π7πππ66x + ，即116x -- 或516x时，πsin π06x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当π0ππ6x <+<，即1566x -<<时，πsin π06x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭．②对(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且()f x 的图像关于直线x a =对称.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则当116x --或516x时，0x a b -- ；当1566x -<<时，0x a b -- ．为使f (x )满足上述条件，其图像仅能如图所示：15066f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1516623a -+∴==，又5510663f b ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则12b =，115326a b ∴+=+=﹒故答案为：56﹒9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．【答案】π2【解析】【详解】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ422ωω+=⇒=考点:本题主要考查三角函数的性质.10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.【解析】【分析】先求出周期，从而可得ω，代入38x π=函数值为0，结合已知ϕ的范围，可求得ϕ，最后由(0)1f =可得A ．【详解】由题意3()2882T πππ=-⨯=，∴22T ππωπ===，又3tan(2)08πϕ⨯+=，3()4k k Z πϕπ+=∈，而2πϕ<，∴4πϕ=，(0)tan(20)14f A π=⨯+=，1A =，∴()tan(2)4f x x π=+，∴(tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==．【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．【答案】2【解析】【详解】因为2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点．考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数3sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）【答案】①③【解析】【分析】根据三角形为锐角三角形，结合三角函数的单调性，可判断①；化简3sin y x x =-，结合其图象，可判断②；谈论b 是否为0，分析函数的周期情况，判断③.【详解】对于①，在ABC 中，若π2C >，则π2A B +<,故π022A B π<<-<，故sin sin()cos 2A B B π<-=,故①正确；对于②，3sin 2cos()6y x x x π=-=+，作出其靠近y 轴部分图象如图示：由图象可知，函数3sin y x x =-的图象上不存在点P ，使得1PA =，故②错；对于③，当0b =时，211cos cos 222y x c x c =+=++，该函数的周期为π，与c 无关，当0b ≠时，211cos 2cos cos 22cos 22y x b x c x b x c =++=+++，该函数的周期为2π，与c 无关，故函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关，③正确，故答案为：①③二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB ACD.1344+AB AC【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米【答案】C 【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．【详解】如图所示，△ABC 中，AB ＝1000，∠ACB ＝21°+39°＝60°，∠ABC ＝90°﹣39°＝51°；由正弦定理得，10005160AC sin sin =︒︒，所以AC 10005160sin sin ⋅︒=︒；Rt △ACD 中，∠CAD ＝18°，所以CD ＝AC •tan 18°10005160sin sin ⋅︒=⨯︒tan 18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．【答案】（Ⅰ）π()5sin(26f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+0505-0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(26f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．【答案】（1）3；（2）．【解析】【详解】(1)因为a ＝3，b ＝，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得sin a A ＝sin 2A.所以2sin cos sin A A A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝9.所以c ＝sin sin a CA＝5.19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）23.3m（2）AE =2255.14m .【解析】【分析】（1）作DH EF ⊥，结合三角函数的顶柜表示出EF ，即可求出结果；（2）设ADE θ∠=，结合三角函数的顶柜表示出,AE FH ，然后表示出面积，结合诱导公式以及正切的二倍角公式进行化简，进而结合不等式即可求出结果.【小问1详解】作DH EF ⊥，垂足为H ，连接DE ，则EF EH HF =+15tan 2015tan 50=+ 23.3m ≈，【小问2详解】设ADE θ∠=，则()15tan ,15tan 902AE FH ==-θθ，2ADEF ADE DFHS S S =+ ()1121515tan 1515tan 90222=⨯⨯⨯+⨯⨯- θθ15130tan 152tan 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ2151tan 30tan 1522tan ⎛⎫-=+⨯ ⎝⎭θθθ22513tan 4tan ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ，因为tan 0θ>，所以13tan tan +≥θθ，当且仅当13tan tan θθ=，即3tan 3θ=时，等号成立，此时2ADEF S =，且15tan AE ==θ，所以最大面积为222531530255.14m 2⨯-≈.20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15mαβ-=-．【答案】（1）()2sin f x x =；对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈（2）(（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，从而可求|1<，即可得解．（3）由题意可得sin()αϕ+=sin()βϕ+=．当0m ≤<可得2()αβπβϕ-=-+，当0m <<时，可得32()αβπβϕ-=-+，利用三角函数诱导公式以及倍角公式即可证明结论.【小问1详解】将()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到2cos()2y x π=-的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈．【小问2详解】()()2sin cos ))f xg x x x x x x ϕ+=+=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，sin()x ϕ+=[0，2)π内有两个不同的解α，β，当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．【小问3详解】因为α，β)x m ϕ+=在区间[0，2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当0m ≤<2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当0m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+；所以2222cos()cos 2()2sin ()1115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．。

精品解析：福建师范大学第二附属中学2022-2023学年高一3月月考数学试题(解析版)

福建师大二附中2021-2022学年第二学期高一年段月考数学试题一､选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3,5}M =,{3,4}U N =ð,则M N = （）A. {1} B. {1,2}C. {1,5}D. {1,2,5}【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集地概念即可求出结果.【详解】由题意可得{1,2,5}N =,则{1,5}M N ⋂=.故选：C.2. 已知向量()7,6AB = ,()3,BC m =- ,()1,2AD m =-,若A ,C ,D 三点共线,则m =（）A.32B.23C. 32-D. 23-【结果】D 【思路】【思路】依据三点共线地向量表示即可求解.【详解】(4,6)AC AB BC m =+=+,因为A ,C ,D 三点共线,所以AC 与AD共线,所以42(6)m m ⨯=-+,解得m =23-．故选：D.3. 下面表达正确地个数为（）①面积，压强，速度，位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量地模一定是正数 ④非零向量地单位向量是唯一地A. 0B. 1C. 2D. 3【结果】A 【思路】【思路】依据向量地定义和性质,逐项判断正误即可.【详解】①错误,只有速度,位移是向量．②错误,零向量有方向,它地方向是任意地．③错误,|0|0.=④错误,非零向量a 地单位向量有两个,一个与a 同向,一个与a反向．故选：A.4. 已知弧长为3π地弧所对地圆心角为6π,则该弧所在地扇形面积为（）A.B.1π3C.2π3D.4π3【结果】B 【思路】【思路】先求得扇形地半径,由此求得扇形面积.【详解】依题意,扇形地半径为π32π6=,所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B5. 在ABC 中,内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知5c =,23B π=,ABC,则b =（）A. B. 7C. D. 6【结果】B 【思路】【思路】依据5c =,23B π=,ABC,求得a ,再利用余弦定理求解.【详解】因为5c =,23B π=,ABC,所以112sin 5sin 223ABC πS ac B a ==⨯⨯=,解得3a =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,2925253cos493π=+-⨯⨯⨯=,所以7b =,故选：B6. 已知函数()f x 是定义在R 上地奇函数,()(4)f x f x =+,且(1)1f -=-,则(2020)(2021)f f +=（）A. 1- B. 0C. 1D. 2【结果】C 【思路】【思路】由()(4)f x f x =+得函数地周期性,由周期性变形自变量地值,最后由奇函数性质求得值．【详解】∵()f x 是奇函数,∴(0)0,(1)(1)1f f f ==--=,又()(4)f x f x =+,∴()f x 是周期函数,周期为4．∴(2020)(2021)(0)(1)011f f f f +=+=+=．故选：C ．7. 如图,圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令地仪器,也是作为指导汉族劳动人民农事活动地重要依据,它由“圭”和“表”两个部件组成,圭是南北方向水平放置测定表影长度地刻板,表是与圭垂直地杆,正午时太阳照在表上,通过测量此时表在圭上地影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时,太阳光线与圭所在平面所成角分别为α,β,测得表影长之差为l ,那么表高为（）A.tan tan tan tan l αβαβ- B.()tan tan tan tan l βαβα- C.tan tan tan tan l βαβα- D.()tan tan tan tan l αβαβ-【结果】C【思路】【思路】由题意画出图形,找出线面角,设AB x =,然后求解三角形得结果.【详解】如图,设表高AB x =,在ACD △中,CAD βα∠=-,由正弦定理有sin sin sin()AC CD lCAD αβα==∠-,所以sin sin()l AC αβα⋅=-,在直角三角形ABC 中,sin ABACβ=,即sin sin sin sin sin sin()sin cos cos sin l x AC l αβαβββαβαβα⋅=⋅==⋅--tan 1tan tan 1tan tan tan l l ββαααβ-==-.故选：C8. 已知△ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,若2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）,则当角C 得到最大值时,B =（）A.3πB.56πC.2πD.23π【结果】D 【思路】【思路】利用正弦定理, 把2sin ()(sin sin )c C a b B A =+-转化成只含有边地等式, 然后利用余弦定理及基本不等式求得cos C 地最小值, 即可求解.【详解】2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）中利用正弦定理, 得22()()c a b b a =+- ,即2222b a c -=,则由余弦定理得222223cos 24a b c a b C ab ab+-+==,由均值不等式得2234a b ab +=…当且仅当b =时等号成立, 则易知角C 地最大值为6π.当b =时, 22232a a c -=,则a c =,所以2,6663A CB πππππ===--=, 故选：D.二､多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分9. 下面结论正确地是（）A. 在ABC 中,若A B >,则sin sin A B>B. 在锐角三角形ABC 中,不等式2220b c a +->恒成立C. 在ABC 中,若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D. 在ABC 中,若360b A ==︒，,三角形面积S =,【结果】ABC 【思路】【思路】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A 。

学高一3月第一次月考数学试题(解析版)

结合向量的计算法则即可得出结果.
【详解】A.正八边形ABCDEFGH中那么故A对；
B. 故B对；
C. 与夹角为故故C对；
D. 故D错；
故选：ABC
11.已知锐角内角的对边分别为若则边的可能取值为（）
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围讨论结合条件可得所求结论.
A. 3B. C. 1D.
5. 的内角ABC的对边分别为abc 则（）
A. B. 3C. D. 2
6.有很多立体图形都体现了数学的对称美其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示它是一个棱数为24的半正多面体且所有顶点都在同一个正方体的表面上它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的若被截正方体的棱长为则该石凳的表面积为（）
（1）若求的值；
（2）求的最小值；
【答案】（1）；（2）最小值 .
【解析】
【分析】（1）依题意画出图形即可求出再中由余弦定理求出再求出最后根据计算可得；
（2）以为原点所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系求出的坐标设即可表示出再根据向量数量积的坐标运算及三角函数的性质计算可得；
【详解】因为所以所以因此
故答案为： .
14.已知向量那么在上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.
【详解】设向量的夹角为
因为
所以向量方向上的单位向量为：

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。

2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期3月月考数学试题 (含答案)

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册3月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设点A (1，2)，B (3，5)，将向量AB 按向量a ＝(－1，－1)的方向平移后得到''A B 为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，7)2．已知3cos 5α=，02πα<<，则sin()πα+的值为()A ．45-B ．35-C ．35D ．453．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是()A ．12e e = B ．12||||1e e += C ．212()2e e += D ．12||2e e -= 4．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为()A ．B ．C ．D ．5．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB的夹角的余弦值为()A ．45-B ．45C ．310-D ．3106．已知1sin()124πα-=，则5cos(2)(6πα+=)A B ．C ．78D ．78-7．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，则(AG =)A ．2133AB AD+ B ．1233AB AD+C ．3344AB AD+ D ．2233AB AD+ 8.在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为()A ．116+B ．116C ．1112+D ．1112二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是()A ．最小正周期为πB ．在区间[,]36ππ-上的最大值为2C ．图象的一个对称中心为(,0)3π-D ．图象的一条对称轴为直线12x π=10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =，b =，45B =︒，则角A 的可能取值是()A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒11．对于ABC ∆有如下命题，其中错误的是()A ．若22sin sin sin 2ABC +<，则ABC ∆为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC ∆C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形D ．P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC ∆的重心12．对任意两个非零向量a ，b ，定义新运算：||sin ,||a ab a b b <>=⊗ ．已知非零向量m，n 满足||3||m n > ，且向量m ，n 的夹角(,)42ππθ∈，若4()m n ⊗ 和4()n m ⊗ 都是整数，则m n⊗的值可能是()A ．2B ．52C ．3D ．4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，则x =．14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则b在a方向上的投影向量的模长是．15．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S 中S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且(cos )a c B C =+，则ABC ∆面积的最大值是，此时ABC ∆外接圆的半径为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=．（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，1c =，求b 的值．18．（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．（1）若12DE DC =，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅的取值范围．19．（本题满分12分）某地一天的时间(024x x ，单位：时）随气温(C)y ︒变化的规律可近似看成正弦函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，如图所示．（1）根据图中数据，试求sin()(0y A x B A ωϕ=++>，0ω>，0)πϕ-<<的表达式．（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23C ︒，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？20．（本题满分12分）在ABC ∆中，222a a c b =+-=．（1）若b =，求sin C ；（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．21．（本题满分12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+，(cos ,2)b m θ=- ，函数()f a b θ=⋅ ．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围．22.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-．（1）证明：2B A =；（2）求函数2()sin 6sin 6cos6cos 6()f x m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．答案和解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设点A (1，2)，B (3，5)，将向量AB 按向量a ＝(－1，－1)的方向平移后得到''A B 为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，7)【正确答案】B 2．已知3cos 5α=，02πα<<，则sin()πα+的值为()A ．45-B ．35-C ．35D ．453cos 5α=，02πα<<，4sin 5α∴==，4sin()sin 5παα∴+=-=-．【正确答案】A 3．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是()A ．12e e =B ．12||||1e e +=C ．212()2e e += D ．12||2e e -= 根据题意，依次分析选项：对于A ，12e e ⊥ ，则12,e e方向不同，A 错误；对于B ，12||||112e e +=+=，B 错误；对于C ，12e e ⊥ ，则120e e ⋅=，则有222121212()22e e e e e e +=++⋅= ，C 正确；对于D ，12e e ⊥ ，则120e e ⋅= ，则有222121212()22e e e e e e -=+-⋅= ，则12||e e -=D 错误．【正确答案】C4．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为()A ．52mB ．53mC ．55mD ．56m在ABC ∆中，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，可得180607545CAB ∠=︒-︒-︒=︒，又因为得10BC m =，由正弦定理可得：sin sin BC ABCAB ACB=∠∠，可得3sin 21056sin 22ACBAB BC CAB ∠=⋅=⋅=∠．【正确答案】D5．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB的夹角的余弦值为()A ．45-B ．45C ．310-D ．310(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，∴(1,2)OA =- ，(2,1)AB =-，故cos OA < ，2222122(1)45(1)22(1)AB -⨯+⨯->==--+⋅+-．【正确答案】A 6．已知1sin()124πα-=，则5cos(2)(6πα+=)A ．158B ．158-C ．78D ．78-1sin()sin()12412ππαα-==--，1sin()124πα∴-=-，则2517cos(2)cos(2)2sin ()1216612168πππααα+=--=--=⨯-=-．【正确答案】D7．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，则(AG =)A ．2133AB AD+B ．1233AB AD+C ．3344AB AD+D ．2233AB AD+建立平面直角坐标系，如图所示：矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，设(2,0)B ，则(0,1)D ，1(2,)2E ，(1,1)F ，3(2G ∴，3)4；∴3(2AG = ，34，(2,0)AB = ，(0,1)AD = ，设AG xAB y AD =+ ，则3(2，3)(24x =，)y ，即32234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得34x =，34y =；∴3344AG AB AD =+ ．【正确答案】C8.在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为()A．116+B ．116C．1112+D ．1112设||AB c = ，||AC b = ，根据题意得cos 9cos 1sin 62bc A b c A bc A ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得3b =，5c =，4sin 5A =，3cos 5A =，∴||4CB = ，∴34||||CA CB x y CP x y CA CB CA CB =⋅+⋅=+，又A 、P 、B 三点共线，∴134x y+=，∴2121111111()(3412321212x y x y x y x y y x +=++=+++=，当且仅当13432x yx y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即6(46)5x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．【正确答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是()A ．最小正周期为πB ．在区间[,]36ππ-C ．图象的一个对称中心为(,0)3π-D ．图象的一条对称轴为直线12x π=()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()sin(2)3g x x π=+的图象；所以函数的最小正周期为π，当12x π=时，函数取得最大值1．【正确答案】AD10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c．若a =，b =45B =︒，则角A 的可能取值是()A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒在ABC ∆中，由于a =b =45B =︒，利用正弦定理：sin sin a bA B=，解得sin 2A =；由于sin b a B >；所以60A =︒或120︒．【正确答案】CD11．对于ABC ∆有如下命题，其中错误的是()A ．若222sin sin sin ABC +<，则ABC ∆为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC ∆的面积为32C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形D ．P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC ∆的重心对于A ，因为222sin sin sin A B C +<，通过正弦定理可知222222cos 02a b c a b c C ab+-+<⇒=<，故ABC ∆是钝角三角形，故A 错；对于B ，若1,30AB AC B ===︒，假设BC x =，由余弦定理可知22212x x =+-，可解得1x =或2x =当111,1224ABC BC S ∆==⨯⨯=，当112,2222ABC BC S ∆==⨯=，故B 错；对于C ，若sin 2sin 2A B =，则由22A B =或者22A B π=-，即A B =或者2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或者直角三角形，故C 错；对于D ，P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，取BC 中点D ，连接PD ，所以有2PB PC PD DB PD DC PD +=+++=，又因为0PA PB PC ++= ，所以PB PC PA +=- ，所以2PA PD -=，所以A ，P ，D 三点共线，且||2||AP PD =．所以P 是ABC ∆的重心，故D 正确．【正确答案】ABC12．对任意两个非零向量a ，b ，定义新运算：||sin ,||a a b a b b <>=⊗ ．已知非零向量m ，n满足||3||m n > ，且向量m ，n 的夹角(,)42ππθ∈，若4()m n ⊗ 和4()n m ⊗都是整数，则m n ⊗ 的值可能是()A ．2B ．52C ．3D ．4由题意可得||sin ()||4n kn m k Z m θ==∈⊗．因为||3||0m n >>，所以||10||3n m <<，因为(,)42ππθ∈，所以2sin 12θ<<，所以||10sin ||3n m θ<< ，即1043k <<，解得403k <<，因为k Z ∈，所以1k =，所以||sin 1||4n n m m θ==⊗ ，则||1||4sin n m θ= ，故2||sin 4sin ||m m n n θθ==⊗，因为(,)42ππθ∈，所以sin 12θ<<．因为||10||3n m <<，所以1104sin 3θ<<，所以3sin 4θ>，所以3sin 14θ<<，所以29sin 116θ<<，则294sin 44θ<<，即9(,4)4m n ∈⊗ ．【正确答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，则x =．(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，∴312x -=，则6x =-．【正确答案】6-14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==- ，则b 在a方向上的投影向量的模长是．(1,3),(2,4)a b ==-，∴123(4)10a b ⋅=⨯+⨯-=-，||a == ，故b 在a方向上的投影向量为1||||a b a a a ⋅⋅= ，3)(1=-，3)-，=．15．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，∴(1,1)AB = ，(2,3)AC =- ，∴(3,2)AB AC +=- ，(1,4)AB AC -=-，||AB AC ∴+=，||AB AC -= ，∴以线段AB ，AC．16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且(cos )a c B C =+，则ABC ∆面积的最大值是，此时ABC ∆外接圆的半径为．因为(cos )a c B C =，由正弦定理得sin sin (cos )sin()A C B C B C =+=+，所以sin cos cos sin cos sin cos C B C C B C C B +=+cos sin cos C C B C =，因为cos 0C ≠sin C B =，由正弦定理得b ，由题意可得S ==，当29c =时，三角形ABC 的面积最大，此时3c =，b ==，9311sin 3422S bc A ===⨯3sin A ⨯，解得1sin 2A =，设ABC ∆外接圆的半径为R ，2sin a R A=，可得3212R =，可得3R =．；3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=．（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，1c =，求b 的值．解：（1）因为2sin 3sin cos 0a C c A B -=，由正弦定理可得23cos 0ac ac B -=，因为0ac ≠，所以2cos 3B =；（2）因为2BA BC ⋅=，所以cos 2ac B =，所以3ac =，因为1c =，所以3a =，由余弦定理22222cos 9123163b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =．18．（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．（1）若12DE DC = ，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅ 的取值范围．解：（1）由图知：,AC AD DC CB AB AC AB AD DC =+=-=-- ，所以111()222EF EC CF DC CB AB AD =+=+=- ，所以211()()()22AC EF AD DC AB AD AD AB DC AB AD DC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅ ，又224AB AD CD ===，//AB CD ，90DAB ∠=︒，所以21(02420)22AC EF ⋅=⨯+⨯--= ．（2）由（1）知：11()22EF EC CF EC CB EC AB AD DC =+=+=+-- ，令EC DC λ= 且01λ，则11(1),(()22EA DA DE DA DC EF DC AB AD λλ=-=--=-+- ，所以221111()(1)()()()2222EA EF DA DC DC DA AB AD DC AB DC AD λλλλ-⋅=-⋅---+⋅+-⋅-⋅ 21114(1)(24()244λλλ=-++=--．则1[,2]4EA EF ⋅∈- ．19．（本题满分12分）某地一天的时间(024x x ，单位：时）随气温(C)y ︒变化的规律可近似看成正弦函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，如图所示．（1）根据图中数据，试求sin()(0y A x B A ωϕ=++>，0ω>，0)πϕ-<<的表达式．（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23C ︒，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？解：（1）由题意可知，2614A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得6A =，20B =，又153122T =-=，所以24T =，则212T ππω==，当3x =时，14y =，即36cos()201412πϕ++=，即cos()14πϕ+=-，即2,4k k Z πϕππ+=+∈，所以32,4k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，故34πϕ=，所以36cos()20124y x ππ=++，[0x ∈，24]；（2）令36cos()2023124y x ππ=++，可得31cos()1242x ππ+，即322,31243k x k k Z ππππππ-+++∈，解得132452k x k -+-+，k Z ∈，当1k =时，1124x ，故老张该日可在[11x ∈，19]这一时段外出活动，活动时长最长不超过19118-=小时．20．（本题满分12分）在ABC ∆中，22222,2a a c b ac =+-=．（1）若5b =，求sin C ；（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．解：（1）2222a c b ac +-，∴222222a c b ac +-=，2cos 2B ∴=．0B π<< ，∴4B π=．由余弦定理可得2222cos b c a ca B =+-．225(22)224c c π=+-⨯．得2430c c -+=．1c ∴=，或3c =．由正弦定理可得sin sin c b C B =．∴当1c =时，10sin 10C =．当3c =时，310sin 10C =．（2）由余弦定理知22224b c c π=+-⨯．22480c c b ∴-+-=．①当2b =时，2c =，满足题意．②当b =0c =（舍)，或4c =，满足题意．综上，当2b =，或b 时，ABC ∆存在且唯一确定．21．（本题满分12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+ ，(cos ,2)b m θ=- ，函数()f a b θ=⋅ ．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围．解：（1）()2sin cos (2)(sin cos )f a b m θθθθθ=⋅=+-+ ，当0m =时，11()2sin cos 2(sin cos )22(16666622f πππππ=++=⨯⨯⨯+=．（2）2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+ ，∴不妨令sin cos t θθ=+，则22sin cos 1t θθ=-，此时sin cos )4t πθθθ=+=+，[0θ∈ ，]2π，[44ππθ∴+∈，34π，[1t ∴∈，∴原问题等价于不等式241(2)23t m t m t -+-+>-对所有[1t ∈恒成立，242(2)2t t m t t∴++>+-，20t +> ，24222(2))222t t t t t t t m t t t t ++++++∴<==+++，2t t += ，当且仅当2t t =，即t =时，等号成立，此时2()min t t +=，m ∴<，故实数m 的范围为(-∞，．22.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-．（1）证明：2B A =；（2）求函数2()sin 6sin 6cos6cos 6()f x m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．（1）证明：因为cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-，所以sin cos()(sin cos sin cos )cos A A B B A A B A -=-，所以sin cos()sin()cos A A B B A A -=-，所以sin cos()sin()cos 0A A B A B A -+-=，即sin[()]0A A B +-=，即sin(2)0A B -=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以02A π<<，02B π<<，所以22A B ππ-<-<，所以20A B -=，即2A B =．（2）解：因为ABC ∆是锐角三角形，所以02A π<<，022B A π<=<，032A ππ<-<，所以64A ππ<<，所以576444A πππ<+<，从而21sin(642A π-+<-，所以)14A π+<-，设sin 6cos 6t A A =+，则[4t A π=+∈1)-，设函数211()22g t t mt =+-，则其图象的对称轴方程为t m =-，①当m -<，即m >()g t 在[，1)-上单调递增，因为1(2g =，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为1(2-，)m -．②当212m +-<-，即212m +()g t 在[，)m -上单调递减，在(,1)m --上单调递增，因为211()22g m m -=--，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为211[22m --，)m -．③当1m <-<-，即1m <<时，()g t 在[，)m -上单调递减，在(,1)m --上单调递增，因为211()22g m m -=--，1(2g =，所以f （A ）的值域为211[22m --，1]2-．④当1m --，即1m 时，()g t 在[，1)-上单调递减，因为1(2g =，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为(m -，1]2-．综上所述，当m >f （A ）的值域为1(2-，)m -；当m f （A ）的值域为211[22m --，)m -；当1m <<时，f （A ）的值域为211[22m --，1]2-；当1m 时，f （A ）的值域为(m -，1]2-．。

精品解析：福建省同安第一中学2022-2023学年高一3月第一次月考数学试题(解析版)

同安一中2021~2022学年下学期第一次月考高一数学试题（本卷满分150分,考试时长120分钟）第Ⅰ卷选择题一，单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分）1. 已知集合{20}M x x =-<,{N x y ==,则M N = （）A. {1}x x >-B. {12}x x -≤<C. {}12x x -<< D. R【结果】B 【思路】【思路】化简集合,M N ,即得解.【详解】解：由题得(,2),[1,)M N =-∞=-+∞,所以[1,2)M N =- .故选：B 2. 已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位）,则实数a 等于（）A. −2 B. 2C.12D. −1【结果】C 【思路】【思路】依据复数地运算法则,化简复数为21255a ai -++,依据复数地概念,列出方程,即可求解.【详解】依据复数地运算法则,可得()()()()2222a i i a i i i i +++=--+21255a a i -+=+,因为复数2a i i +-是纯虚数,所以2105a -=且205a +≠,解得12a =.故选：C ．3. 下面函数中,既是奇函数,又是增函数地是A. ()2log f x x= B. ()1f x x =+ C. ()lg f x x= D. ()3f x x=【思路】【思路】依据要求对给出地四个选项分别进行判断,进而可得结果．【详解】选项A 中,函数()f x 为非奇非偶函数,在定义域上为增函数,所以不合题意。

选项B 中,函数()f x 为非奇非偶函数,在定义域上为增函数,所以不合题意。

选项C 中,函数()f x 为偶函数,在(),0∞-上为减函数,在()0,∞+上为增函数,所以不合题意。

选项D 中,函数()f x 为奇函数,在定义域上为增函数,所以符合题意．故选D ．【点睛】解答本题关键是熟知所给函数地性质,然后再依据要求进行判断,考查对基础知识地掌握情况和判断能力,属于基础题．4. 已知a →,b →为非零向量,则“0a b →→∙>”是“a →与b →夹角为锐角”地A. 充分而不必要款件 B. 必要而不充分款件C. 充分必要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】B 【思路】【详解】依据向量数量积地定义式可知,若0a b ⋅> ,则a 与b 夹角为锐角或零角,若a 与b夹角为锐角,则一定有0a b ⋅> ,所以“0a b ⋅> ”是“a 与b夹角为锐角”地必要不充分款件,故选B.5. 已知(1,)a n = ,(1,)b n =-．若2a b - 与b垂直,则||a＝（）A. 1C. 2D. 4【结果】C 【思路】【思路】由向量垂直坐标表示可得n 2＝3,再依据向量模长地坐标运算求||a即可.【详解】由题设得：(2)a b -⋅ 220b a b b =⋅-= .故222(1)(1)0n n --+=,解得n 2＝3.所以,||2a ==.的的6. 长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸,假设游船在静水中地航行速度1v地大小为114/v km h = ,水流地速度2v 地大小为24/v km h = .设1v 和2v地夹角为()0180θθ︒<<︒,北岸地点'A 在A 地正北方向,游船正好到达'A 处时,cos θ=（）A.B. C.27D. 27-【结果】D 【思路】【思路】用向量表示速度,依据向量地平行四边形法则,由题意可得2v v ⊥,即可求解.【详解】设船地实际速度为v ,1v 和2v地夹角为θ,北岸地点A '在A 地正北方向,游船正好到达A '处,则2v v ⊥,∴21421)47(v cos cos v θπθ=--=-=-=- .故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量在物理中应用问题,解题关键是依据向量地平行四边形法则及物理性质求解,考查数形结合思想和转化思想,属于基础题.7. 在ABC 中,角A B C ，，地对边分别为a b c ，，,面积为S ,若cos cos 2a B b A bc +=,且cos S A =,则A =（）A.6π B.4πC.3πD.23π【结果】C 【思路】【思路】依据正弦定理以及三角形地面积公式进行求解即可．【详解】解：cos cos 2a B b A bc += ,∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A b C +=,即sin()sin 2sin A B C b C +==,的由sin 0C >,得21b =,12b =,cos S A =,∴1cos sin 2S A bc A ==,即sin A A =,即sin tan cos A A A==则3A π=,故选：C ．8. 在OAB 中,2OA OB ==,AB =动点P 位于直线OA 上,当PA PB →→⋅得到最小值时,PBA ∠地正弦值为（）【结果】C 【思路】【思路】建立平面直角坐标系,写出坐标表示PA PB →→⋅,利用二次函数求出最小值时P 地坐标,最后利用向量地夹角公式求解即可.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：则((0,1)A B O ,设(,)P x y ,因为动点P 位于直线OA 上,直线OA 地方程为：1y x =+,所以22(,),)3PA PB x y x y x y →→⋅=--⋅--=-+222244931)2(334x x x x x =-++=+-=+-,当x =时,PA PB →→⋅得到最小值94-,此时3(4P,3(),(4BP BA →→==-,所以cos BP BA PBA BP BA→→→→⋅∠====⋅又因为(0,)PBA π∠∈,所以sin PBA ∠=故选：C.二，多项选择题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,其中每题全都选对得5分,选对但不全得2分,有选错得0分）9. 已知复数4732iz i+=+,则下面结论中正确地是（）A. z 地虚部为i B. 2z i=-C. |z |=D. z 在复平面内对应地点位于第四象限【结果】BC 【思路】【思路】由复数地除法运算逐项排除可得结果.【详解】()()()()4732472613232323213i i i iz i i i i +-++====+++-,对于A ,z 地虚部为1,故错误。

【2019最新】高一数学下3月月考试题(1)

【2019最新】高一数学下3月月考试题(1)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间120分钟。

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分) 1.集合S ＝{a ，b}，含有元素a 的S 的子集共有( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个2.若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log23等于( ) A ． B．C ．a ＋bD ．a －b3.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(3,8)，则a2.5与a2.3的大小为( )A ．a2.5＝a2.3B ．a2.5<a2.3C ．a2.5>a2.3D ．无法确定4.若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与平面α的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．不平行C ．平行或相交D ．平行或在平面内 5.下列几个关系中正确的是( ) A ． 0∈{0} B． 0＝{0} C ． 0⊆{0} D ． ∅＝{0}6.如下图，在边长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1表面上，一只蚂蚁从A点出发爬到C1点，则蚂蚁爬行的最短路程为( ) A ．B ． 3C ． 2D ．＋17.已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2,3}，M ＝{－1,0,1,3}，N ＝{－2,0,2,3}，则(∁UM)∩N 为( ) A ． {－1,1} B ． {－2} C ． {－2,2} D ． {－2,0,2}8.一次函数f(x)的图象过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是( )A． (2,1) B． (－1,1)C． (1,2) D． (3,2)9.若定义在(－1,0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，则a的取值范围是( )A． (0，) B． (0，]C． (，＋∞) D． (0，＋∞)10.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A． 0 B． 1C． 2 D． 311.某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110(元)．若顾客购买一件标价为 1 000元的商品，则所能得到的优惠额为( )A． 130元 B． 330元C． 360元 D． 800元12.已知a＝()－1.1，b＝20.6，c＝2log52，则a、b、c的大小关系为( )A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知0<a<1,0<b<1，若alogb(x －3)<1，则x 的取值范围是__________. 14.若函数y ＝ax －(b －1)(a ＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 必满足条件________.15.已知函数f(x)＝2|2x －m|(m 为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 16.以下说法中：①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1； ②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱； ③过圆台侧面上每一点的母线都相等．正确的序号为________．三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共70分)17.三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的正视图和侧视图.(单位：cm) (1)画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积.18.如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，D 是棱CC1上的一点，P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.求证：CD ＝C1D. 19.如图，P 、Q 、R 分别是四面体ABCD 的棱AB ，AC ，AD 上的点，若直线PQ 与直线BC 的交点为M ，直线RQ 与直线DC 的交点为N ，直线RP 与直线DB 的交点为L ，试证明M ，N ，L 共线．20.定义域在R 上的单调函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)(x ，y∈R)，且f(3)＝6.(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(3)若对于任意x∈都有f(kx2)＋f(2x －1)<0成立，求实数k 的取值范围．21.已知y ＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a －1)，求a 的取值范围．22.如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD ，E ，F 分别是PA 和AB 的中点．(1)求证：EF∥平面PBC ；(2)求E 到平面PBC 的距离．答案解析1.【答案】B【解析】根据题意，在集合S 的子集中，含有元素a 的子集有{a}、{a ，b},2个．故选B.2.【答案】B【解析】log23＝＝，故选B.3.【答案】C【解析】∵指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(3,8)，∴a3＝8，解得a＝2.∴f(x)＝2x，且在R上单调递增，∴22.3<22.5.故选C.4.【答案】D【解析】∵直线a∥直线b，且a∥平面α，直线b∥平面α或直线b在平面α内．故选D.5.【答案】A【解析】A.0为元素，{0}为集合，满足0∈{0}，∴A正确．B．0为元素，{0}为集合，满足0∈{0}，∴B不正确．C．0为元素，{0}为集合，满足0∈{0}，∴C不正确．D．∅为集合，不含元素，{0}为集合，含有一个元素0，满足∅{0}，∴D不正确．故选A.6.【答案】A【解析】如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AC1即为最短路线．∵正方体的边长为1，∴AC1＝＝.故选A.7.【答案】C【解析】依题意可得∁UM＝{－2,2}，所以(∁UM)∩N＝{－2,2}．故选C.8.【答案】C【解析】设一次函数的解析式为y＝kx＋b，又图象过点A(－1,0)，B(2,3)，则有解得故y＝x＋1.结合选项中各点的坐标，C中的点(1,2)满足y＝x＋1.9.【答案】A【解析】当x∈(－1,0)时，则x＋1∈(0,1)，因为函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，故0<2a<1，即0<a<.故选A.10.【答案】B【解析】由题意可知在0点到3点这段时间，每小时蓄水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．11.【答案】B【解析】当顾客购买一件标价为1 000元的商品时，该商品的售价应为1 000×80%＝800(元)，由表格中消费金额与获得奖券的对应关系可知该顾客还可获得130元奖券，故所能得到的优惠额为1 000－800＋130＝330(元)．故选B.12.【答案】A 【解析】∵a＝()－1.1＝21.1>20.6>1，∴a>b>1，而c＝2log52＝log54<log55＝1，∴a>b>c.故选A.13.【答案】(3,4)【解析】∵0<a<1，∴alogb(x－3)<1＝a0等价于logb(x－3)>0＝logb1.∵0<b<1，∴解得3<x<4.14.【答案】a＞1，b≥2【解析】y＝ax－(b－1)的图象可以看作由函数y＝ax的图象沿y轴平移|b－1|个单位得到.若0＜a＜1，不管y＝ax的图象沿y轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a＞1时，由于y＝ax的图象必过定点(0,1)，当y＝ax的图象沿y轴向下平移大于或等于1个单位后，得到的图象不经过第二象限.由b－1≥1，得b≥2.所以a，b必满足条件a＞1，b≥2.15.【答案】(－∞，4]【解析】令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]．16.【答案】①③【解析】①正确，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积；②错误，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱；③正确，圆台的母线都相等．17.【答案】(1)作出俯视图如下.(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3).【解析】18.【答案】证明如图，连接AB1，设AB1与BA1交于点O，连接OD.∵PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，∴OD∥PB1.又AO＝B1O，∴AD＝PD.又AC∥C1P，∴CD＝C1D.【解析】19.【答案】证明∵M∈PQ，PQ⊂平面PQR，M∈平面PQR；同理易证，N，L∈平面PQR，且M，N，L∈平面BCD，∴M，N，L∈平面PQR∩平面BCD，即M，N，L共线．【解析】20.【答案】解(1)由已知令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，由f(3)＝6，得f(3)＝f(2)＋f(1)＝2f(1)＋f(1)＝3f(1)＝6，∴f(1)＝2.(2)函数f(x)是奇函数，证明如下：令x＝－y，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．(3)函数f(x)是奇函数，且f(kx2)＋f(2x－1)<0，在x∈[，3]上恒成立，∴f(kx2)<f(1－2x)在x∈[，3]上恒成立，又∵f(x)是定义域在R上的单调函数，且f(0)＝0<f(1)＝2，∴f(x)是定义域在R上的增函数，∴kx2<1－2x在x∈[，3]上恒成立，∴k<()2－2()在x∈[，3]上恒成立．∴令g(x)＝()2－2()＝(－1)2－1，由于≤x≤3，∴≤≤2.∴g(x)min＝g(1)＝－1，∴k<－1.【解析】21.【答案】由题意可知解得0<a<1.①又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，∴1－a>2a－1，即a<.②由①②可知，0<a<，即所求a的取值范围是(0，)．【解析】22.【答案】(1)证明∵AE＝PE，AF＝BF，∴EF∥PB.又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，故EF∥平面PBC.(2)解在平面ABCD内作过F作FH⊥BC于H.∵PC⊥平面ABCD，PC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD.又平面PBC∩平面ABCD＝BC，FH⊥BC，FH⊂平面ABCD，∴FH⊥平面PBC.又EF∥平面PBC，故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH.在直角三角形FBH中，∠FBC＝60°，FB ＝，FH＝FBsin∠FBC＝×sin 60°＝×＝a.故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离等于a.。

重庆市酉阳第二中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

重庆市酉阳第二中学校2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
17．已知()2,3a =-r ，()4,2b =r ．
(1)求a b +r r ，
a b
-r r ；
参考答案：
1．C
【分析】对于A ：根据单位向量的概念即可判断；对于B ：根据共线向量的定义即可判断；对于C ：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D ：根据向量不能比较大小即可判断.【详解】依题意，
对于A ，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故错误；对于C ，若,a b r r 同向共线，||||||a b a b +=+r r r r
，若,a b r r 反向共线，||||||a b a b +<+r r r r ，
若,a b r r
不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知||||||a b a b +<+r r r r
.
综上可知对于任意向量,a b r r ，必有||||||a b a b +£+r r r r
，故正确；
对于D ，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.2．B
【分析】由AF CD =uuu r uuu r
，结合向量的加法运算得出答案.【详解】如图所示，AF CD
=uuu r uuu r
BA CD FE BA AF FE BE
++=++=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 故选：B
答案第161页，共22页。

高一3月第一次月考数学试题(解析版)

（2）若f（x） • 求f（x）的最大值及相应x的值．
【答案】（1）或（2）的最大值为此时
【解析】
【分析】（1）利用向量共线得到三角方程转化为三角函数求值问题易解；
（2）把数量积转化为三角函数利用角的范围结合单调性即可得到最大值．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∴cosx＝0或
即cosx＝0 或tanx
对于D选项：
所以点满足方程如下图所示：点
设的方程为：所以与夹角即为射线与的夹角
当分别相切时得到夹角的最小值和最大值即夹角的范围.
则可得设与夹角为
则解得
所以的取值范围为故D不正确.
故选：AC.
第Ⅱ卷非选择题
三填空题（本题共5小题共20分）
13.在中若则 ______________
【答案】（1）；（2） .
【解析】
【分析】（1）先表示出和用分离参数法把m分离出来利用函数求最值求出m的范围；
（2）先把表示出来利用换元法转化为在上有解利用分离参数法求出t的范围.
【详解】解：
．
设
．
即实数的取值范围是
设
．
取
设易知在上单增
∴实数的取值范围．
【点睛】（1）分离参数法是求参数范围的常用方法之一；
小问2详解】
解：由（1）得又
所以所以
因为所以所以 .
因为所以
所以
.
21. 的角ABC的对边分别为abc已知 .
（1）求角A；
（2）从三个条件：① ；② ；③ 的面积为中任选一个作为已知条件求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案不唯一具体见解析.

2023北京一六六中高一3月月考数学(教师版)

2023北京一六六中高一3月月考数学一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin210°＝（）A．B．C．D．2．如图，在平行四边形ABCD中，＝（）A．B．C．D．3．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝（）A．B．C．2D．4．把函数y＝sin x（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R5．若动直线x＝a与函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1B．C．D．26．若||＝1，||＝2，＝+，且⊥，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，PM⊥x轴，垂足为M．若△OMP的面积为，则sin2α＝（）A．B．C．D．9．在△ABC中，“对于任意t≠1，”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知向量，，满足，，，，则的最大值是（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共5小题，每小题6分）11．已知sinα＝，＜α＜π，则cos（α﹣）＝．12．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝5：7：8，则∠B的大小是．13．已知函数f（x）＝sin x﹣cos x，则＝；若将f（x）的图象向左平行移动个单位长度得到g（x）的图象，则g（x）的一个对称中心为．14．在菱形ABCD中，若，则的值为．15．已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝．三.解答题（本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．如图，在△ABC中，＝，＝．设＝，＝．（Ⅰ）用，表示，；（Ⅱ）若P为△ABC内部一点，且＝+．求证：M，P，N三点共线．17．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．18．在△ABC中，a sin C＝c cos A，c＝2．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC 边上高线的长．条件①：sin C＝；条件②：b＝1+；条件③：a＝．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19．设有限集合E＝{1，2，3，⋯，N}，对于集合A⊆E，A＝{x1，x2，x3，⋯，x m}，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素x k，当x k≠1时，在集合A中存在元素x i，x j（i≤j），使得x k＝x i+x j，则称A为E的封闭子集；②对于集合A中任意两个元素x i，x j（i≠j），都有x i+x j∉A，则称A为E的开放子集．（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E 的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；（Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°＝﹣，故选：A．2．【答案】B【分析】直接由向量减法的三角形法则求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，＝．故选：B．3．【答案】A【分析】结合已知条件，直接利用正弦定理作答．【解答】解：∵AB＝，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：，∴．故选：A．4．【答案】C【分析】根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．【解答】解：由y＝sin x的图象向左平行移动个单位得到y＝sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到y＝sin（2x+）故选：C．5．【答案】B【分析】可令F（x）＝|sin x﹣cos x|求其最大值即可．【解答】解：由题意知：f（x）＝sin x、g（x）＝cos x令F（x）＝|sin x﹣cos x|＝|sin（x﹣）|当x﹣＝+kπ，x＝+kπ，即当a＝+kπ时，函数F（x）取到最大值故选：B．6．【答案】C【分析】要求两个向量的夹角，需要知道两个向量的模和夹角，而夹角是要求的结论，所以根据两个向量垂直，数量积为零，把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程，解出夹角的余弦值，根据角的范围，得到结果．【解答】解：若，设向量与的夹角为θ∵，∴，则∴故选：C．7．【答案】A【分析】由已知函数图象求得T，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f（π）．【解答】解：由图可知，＝﹣（﹣）＝，则T＝π，∴ω＝2．又2×+φ＝，∴φ＝﹣．则f（x）＝2sin（2x﹣），∴f（π）＝2sin（2π﹣）＝2sin（﹣）＝﹣．故选：A．8．【答案】D【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，求得sin2α＝2sinα•cosα的值．【解答】解：平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，PM⊥x轴，垂足为M．若△OMP的面积为，则sinα•cosα＝，sin2α＝2sinα•cosα＝，故选：D．9．【答案】A【分析】两边平方后整理成关于t的一元二次不等式恒成立，利用判别式小于等于0，以及正弦定理可得充分性成立；由△ABC为直角三角形，不一定得出|﹣t|＞||成立，即必要性不成立．【解答】解：△ABC中，对于任意t≠1，|﹣t|＞||，所以＞，即a2t2﹣2act cos B+c2﹣b2＞0，t＝1时不等式a2t2﹣2act cos B+c2﹣b2＝0，所以Δ＝（2ac cos B）2﹣4a2（c2﹣b2）≤0，化简得cos2B≤1﹣，即sin2B≥，解得sin B≥，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得sin B＝≥，即c≥2R，所以sin C＝≥1，又因为sin C≤1，所以sin C＝1，得出C＝，充分性成立；若△ABC为直角三角形，则不一定C＝，所以|﹣t|＞||不一定成立，即必要性不成立；是充分不必要条件．故选：A．10．【答案】C【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．【解答】解：已知向量，，满足，，，则＝1，＝，又，则，即＝，当且仅当与同向共线时取等号，即，即，即的最大值是，故选：C．二.填空题（本大题共5小题，每小题6分）11．【答案】见试题解答内容【分析】由已知求得cosα，然后展开两角差的余弦求得cos（α﹣）．【解答】解：由sinα＝，＜α＜π，得cosα＝﹣．∴cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝．故答案为：．12．【答案】见试题解答内容【分析】根据sin A：sin B：sin C＝5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入余弦定理中求得cos B的值，进而求得B．【解答】解：sin A：sin B：sin C＝5：7：8∴a：b：c＝5：7：8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可得cos B＝＝；∴∠B＝．故答案为．13．【答案】1；（0，0），答案不唯一．【分析】由题意，利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∴＝2sin＝1．将f（x）的图象向左平行移动个单位长度得到g（x）＝2sin x的图象，令x＝kπ，k∈Z，可得则g（x）的对称中心为（kπ，0），k∈Z，则g（x）的一个对称中心为（0，0），故答案为：1；（0，0），答案不唯一．14．【答案】见试题解答内容【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可．【解答】解：菱形ABCD中，，则＝•＝||×||×cos∠CBD＝||×||＝×＝．故答案为：．15．【答案】见试题解答内容【分析】根据f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．【解答】解：如图所示，∵f（x）＝sin，且f（）＝f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x）在处取得最小值．∴ω+＝2kπ﹣（k∈Z）．∴ω＝8k﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴当k＝1时，ω＝8﹣＝；当k＝2时，ω＝16﹣＝，此时在区间内已存在最大值．故ω＝．故答案为：三.解答题（本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【答案】（Ⅰ）＝，＝；（Ⅱ）详见解答过程．【分析】（I）由已知结合向量的线性表示即可求解；（Ⅱ）由已知只要证明与共线，结合向量的线性表示及向量共线定理即可证明．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，＝，＝．设＝，＝．＝＝；＝＝﹣＝+＝；证明：（Ⅱ）因为P为△ABC内部一点，且＝+．则＝＝﹣+＝＝，所以与共线且有公共点M，所以M，P，N三点共线．17．【答案】（1）π；（2）最大值为2，最小值为．【分析】（1）根据三角恒等变换可得，结合公式计算即可求解；（2）根据题意可得，结合正弦函数的单调性，进而得出函数f（x）的最值．【解答】解：（1）＝＝，则，所以函数f（x）的最小正周期为π；（2）因为，所以，而函数y＝sin x在上单调递增，在上单调递减，当，即时，函数f（x）取得最大值为2，当＝，即x＝0时，，当，即时，，所以当x＝0时函数f（x）取得最小值为．故函数f（x）取得最大值为2，函数f（x）取得最小值为．18．【答案】（1）；（2）选①：不满足题意；选②：；选③：不符合题意．【分析】（1）由正弦定理可得，从而，进而可求解A；（2）选①：由正弦定理得，求得，从而确定三角形不存在；选②：由余弦定理求得，再利用等面积法可求解BC边上高线的长；选③：由正弦定理可求得，进而求得或，不满足题意．【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，又sin C≠0，所以，即，因为A∈（0，π），所以；（2）若选条件①：，由正弦定理知，可得，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；若选条件②：，由余弦定理可得，，即，所以满足条件的三角形唯一，设BC边上的高为h，由等面积法可知，即，解得，故BC边上高线的长为；若选条件③：，由正弦定理可得，即，所以，可得或，有两解，不符合题意．综上，应该选②，BC边上高线的长为．19．【答案】（Ⅰ）A为E的封闭子集，B是E的开放子集．（Ⅱ）9．（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）利用封闭子集，开放子集定义可得答案；（Ⅱ）A＝{1，x2，x3，•，x m﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜••＜x m﹣1＜100，因集合A中任意一个元素x k，当x k ≠1时，在集合A中存在元素x i，x j（i≤j），使得x k＝x i+x j，则x n﹣1+1≤x n≤2x n﹣1，其中2≤n≤m，n∈N*，据此可得7≤x7≤64＜100，得m＞7，后排除m＝8，再说明m＝9符合题意即可；（Ⅲ）因为N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，当N≥3，将E＝{1，2，3，•，N}里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m＝为最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）对于A，∵2＝1+1，4＝2+2，6＝2+4，8＝2+6，10＝2+8，且A⊆E，则A为E的封闭子集．对于B，由题可得B＝{4，7，10，13，16，19}，其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且B⊆E，∴B是E的开放子集．（Ⅱ）由题意，A＝{1，x2，x3，•，x m﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜••＜x m﹣1＜100，∵集合A中任意一个元素中任意一个元素x k，当x k≠1时，在集合A中存在元素x i，x j（i≤j），使得x k＝x i+x j，则x n﹣1+1≤x n≤2x n﹣1，其中n∈[2，m]，n，x n∈N*，得x2＝2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤32，7≤x7≤64，∵7≤x7≤64＜100，则m＞7，若m＝8，则x8＝100，则在A中存在元素x i，x j（i≤j），使它们的和为100，又1＜x2＜x3＜••＜x m﹣1＜100，则当i＜j时，x i+x j≤x6+x7≤96＜100，得x8＝2x7，解得x7＝50，∴在A中存在元素x i，x j（i≤j），使它们的和为50，又当i＜j时，x i+x j≤x4+x5≤24＜25，∴不存在元素x i，x j（i≤j），使x6＝x i+x j，这与集合A为E的封闭子集矛盾，故m≠8，当m＝9，取A＝{1，2，4，8，16，32，64，96，100}，∴其符合E的封闭子集的定义，∴m的最小值为9．（Ⅲ）∵N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，当N≥3时，将E＝{1，2，3，•，N}里面的奇数组成集合A，则A＝{1，3，5，7，•，N}，∵A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A⊆E，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为，下面说明为m最大值，N＝1，成立；当N≥3时，若m＞，则A中至少有一个属于E＝{1，2，3，•，N}的偶数，设为a t，则2≤a t≤N﹣1，得a t+1为属于集合{1，3，5，7，•，N，a t}中的奇数，这与E开放子集的定义矛盾，故m≤，综上，m的最大值为．第11页/共11页。

重庆市永川区萱花中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

A． f x 的最小正周期为 π
B．
f
x
关于点
5π 12
,
2
对称
C．
f
x
在
π 12
,π 6
上单调递增
D．若
f
x
在区间
π 12
,
a
上存在最大值，则实数
a
的取值范围为
π 6
,
三、填空题
13．已知函数 f x 2sin xcos x cos 2 x 0 的最小正周期为．则的值
π 2
的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中
心之间的距离为
π 2
.
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)求 f (x) 单调递增区间和对称中心．
21．已知函数
f
x
2cos
2x
cos
2x
π 2
1
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)求
f
x
在
0,
π 2
上的值域；
(3)试讨论函数 h x f x
重庆市永川区萱花中学校 2022-2023 学年高一下学期 3 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． cos300 （）
A．
1 2
B． 1 2
C． 3 2
2． sin15cos 45 sin105sin135 （）
，
x2
[0,
m]
，当
x1
x2
时，都有
h(x1)
t(x2)
h(x2)

山东省济南外国语学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

2022-2023学年度第二学期月考考试高一数学试题（2023.3）考试时间120分钟满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（共8题，满分40分，每小题5分）1．22cos 112π+的值是（）A ．32B C D ．2+2．如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，则下列各式一定成立的是（）A ．AB CD = B ．AC BD = C ．12AO CA =D ．()12AO AB AD =+3．在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，则向量AB AD AC ++的长度等于（）A ．4B ．C ．3D ．24．设函数()cos f x x x =−，则下列函数中为偶函数的是（）A ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．π3f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π6f x ⎛−⎫ ⎪⎝⎭5．函数()2cos x x f x x−=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．已知π1sin 63α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则πsin 2cos 26αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭（）A ．23−B ．23C ．79−D ．797．已知函数()2cos 2f x x x =−，x ∈R ，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3x =为()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在5,1212ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 在区间()0π，上有2个零点8．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 图象相邻对称轴间的距离为π2，对任意x ，都有()()0g x g x −+=，且()0f = ）A ．()f xB ．()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 的图象关于直线π6x =对称 D ．()f x 在5,1212ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增二、多选题（共4题，满分40分，每小题5分）9．设a ＝(AB ＋CD )＋(BC ＋DA )，b 是任一非零向量，则在下列结论中正确的为（） A ．//a b B ．a b b += C ．a b b −=D ．||||||a b a b −<+10．下列关于向量的命题正确的是（）A ．向量,a b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b a λ=成立B ．对任意向量,a b ，a b a b −≤−恒成立C ．非零向量,,a b c ，满足//a b ，//b c ，则//a cD ．在OAB 中，C 为边AB 上一点，且:2:3AC CB =，则3255OC OA OB =+11．将函数sin2y x x =的图象向左平移π12个单位，得到()y f x =的图象，则（） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的单调递增区间为()ππ,π2k k k Z ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦12．关于函数()2ππ22sin 612f x x x ⎛⎫⎛⎫=−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最大值是2B ．函数()f x 在（−π12，5π12）上单调递增C ．函数()f x 的图像可以由函数2sin 21y x =+的图像向右平移π6个单位得到D ．若方程()0f x m −=在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个实根，则)3,13[+∈m第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（共4题，满分20分）13．在平面直角坐标系xOy 中，若角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与以点O 为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则sin 22πθ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值为______.14．设1e ，2e 是不共线向量，124e e −与12ke e +共线，则实数k 为__________．15．函数()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<的图象向左平移π6个单位后与函数cos2x y =−的图象重合，则ϕ=_________．16．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()3πsin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若当120x x t ≤<≤时，总有()()()()1212f x f x g x g x −<−，则正实数t 的最大值为______.四、解答题（共70分） 17．如图，按下列要求作答．(1)以A 为始点，作出a b +；(2)以B 为始点，作出c d e ++； (3)若a 为单位向量，求a b +、c d +和c d e ++． 18．化简：(1)()()532423a b b a −+−； (2)()()()111232342a b a b a b −−−−−； 19．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于P 点34,.55⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求()sin πα−的值；(2)求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．20．函数()()sin f x A x =+ωϕ（0,0A ω>>，0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)将()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，设()()()h x f x g x =−，证明：()h x 为偶函数.21．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =++．(1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递增区间；(3)若对任意的2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()4≤−f x m 恒成立，求实数m 的最小值．22．如图，在扇形MON 中，2π240,,3ON MON MON ∠∠==的平分线交扇形弧于点P ，点A 是扇形弧PM 上的一点（不包含端点），过A 作OP 的垂线交扇形弧于另一点B ，分别过,A B 作OP 的平行线，交,OM ON 于点,D C .(1)若π3AOB ∠=，求AD ； (2)求四边形ABCD 的面积的最大值.。