有限元考试试题

一．是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打×。

）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。

（×）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。

（√）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。

（√）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。

（×）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。

（×）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。

（√）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。

（×）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。

（×）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。

（√）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。

（√）
二．单项选择题（共20分，每小题2分）C B B C B C D C C C
1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为
____C__________。

（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法
2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B____的结点和______的插值函数。

（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同
3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_____B______相等。

（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数
4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般______C_____。

（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律
5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少
是__B____完全多项式。

（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次
6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式，因此，不用
进行回代计算。

（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵
7 对称荷载在对称面上引起的________D________分量为零。

（A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移
8 对分析物体划分好单元后，______C____会对刚度矩阵的半带宽产生影响。

（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号
9 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。

（A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n
10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的____C______。

（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性
三．简答题（共20分，每题5分）
1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。

（1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布
2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。

答：
一般原则有
(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；
(2) 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；
(3) 多项式的选取应由低阶到高阶； (4) 尽量选取完全多项式以提高单元的精度。

3、简述有限单元法的收敛性准则。

完备性要求，协调性要求 (2分) 具体阐述内容
4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢）进行排序。

计算精度 （1）>（3）>（2） 计算速度 （2）>（3）>（1）
四．计算题（共40分，每题20分）
1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比0ν=；单元的边
长及结点编号见图中所示。

求 (1) 形函数矩阵N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S (3) 单元刚度矩阵e K 1、解：
设图1所示的各点坐标为
点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0）
于是，可得单元的面积为 12
A =2
a ，及 (1) 形函数矩阵N 为
(7分)
12122121
(0a a )a
1
(00a )a 1
(a a 0)
a
N x y N x y N x y =
+-=++=-+ ；
[][]
12312
3 N N N ==N I I I N N N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为
(7分)
12a 010-a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，220010a a a 0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，32-a 0100a 0
-a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B ； []12
3=B B B B
12a 00-a a 11-a a 2
2E ⎡
⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，22000a a 1a 02E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，32-a 000a 10-a 2E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
S ；
[][]
123123 ==S D B B B S S S
1
2
3
(3) 单元刚度矩阵e K
(6分)
11
1213T 21
222331
32
333110211312011110014020200200020111001e Et tA ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎡⎤
--⎢⎥
⎢⎥===⎢
⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
K K K K B DB K K K K K K
2、图2（a ）所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为21/N m ，
同时在y 方向相应的两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。

设薄板材料的弹性模量为E ，泊松比0ν=。

试求
(1) 利用对称性，取图（b ）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小
相等、形状相同的直角三角形单元。

给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b ）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。

(2) 设单元结点的局部编号分别为i 、j 、m ，为使每个单元刚度矩阵e K 相同，试在
图（b ）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵e K 。

(3) 计算等效结点荷载。

(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。

2、解：
(1) 对称性及计算模型正确 (5分)
图1
图2
（a ）
（b ）
(2) 正确标出每个单元的合理局部编号 (3分)
(3) 求单元刚度矩阵e K (4分)
(4) 计算等效结点荷载 (3分)
(5) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。

(5分)
对 称 1011012020031214301201e Et --⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥
--⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
K 对 称 123356322000026121006120146101620212v v u Et t v u u ⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦-⎢⎥
⎣⎦。