级数求和常用方法
级数的处理技巧
级数的处理技巧级数是数列的和。
数列是一列按照顺序排列的数字，而级数则是把数列中的每一项按照一定规律相加得到的结果。
在数学中，级数的处理技巧非常重要，可以帮助我们求解一些复杂的数学问题。
下面我将介绍一些常用的级数处理技巧。
一、等差级数的求和公式等差级数是指数列中每一项之间的差都相等的级数。
如果等差级数的首项为a，公差为d，那么级数的前n项和Sn可以表示为：Sn = (2a + (n-1)d)n/2这个公式非常有用，可以方便的求解等差级数的和。
例如，要求等差级数1+3+5+...+99的和，可以使用上述公式，代入a=1，d=2，n=50，得到Sn=2500.二、等比级数的求和公式等比级数是指数列中每一项之间的比例都相等的级数。
如果等比级数的首项为a，公比为r，那么级数的前n项和Sn可以表示为：Sn = a(1-r^n)/(1-r)这个公式也非常重要，可以方便的求解等比级数的和。
例如，要求等比级数2+4+8+...+256的和，可以使用上述公式，代入a=2，r=2，n=9，得到Sn=510.三、特殊级数的求和方法除了常见的等差级数和等比级数，还有一些特殊级数，它们的求和方法也有一些特殊的技巧。
1. 调和级数调和级数是指级数的每一项都是倒数，即Sn=1+1/2+1/3+...+1/n。
调和级数在数学中经常出现，但其求和并不容易，因为随着级数的项数增多，每一项的值趋近于0，但是总和趋近于无穷大。
调和级数的求和公式为：Sn = Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ≈ln(n) + γ其中，Hn表示调和级数的前n项和，γ为欧拉常数（约为0.57721）。
2. 幂级数幂级数是指级数的每一项都是某个变量的幂次，形如：Sn = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中x为变量，a0、a1、a2等为常数。
幂级数也是一种重要的级数，在数学分析中有广泛的应用。
对于特定的常数a0、a1、a2等，可以使用泰勒级数或者麦克劳林级数展开幂级数，并通过求导和整理的方式得到幂级数的和。
求级数的和的方法总结
求级数的和的方法总结求解级数的和是数学中常见的问题之一、在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列，而求解级数的和就是对这些项进行求和运算得到的结果。
级数求和方法的总结如下：一、等差级数求和：等差级数是指级数中每一项与前一项之差都是相等的级数，求等差级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等差级数和的公式为Sn = (n/2)(a1+an)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项。
通过代入这些值即可求得。
2. 差分法：将等差级数分解为两个等差数列之和，然后分别求和。
例如，Sn = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+(a1+d(n-1))) = (2a1+d(n-1))(n/2) = (2a1+2d(n-1))(n/4) = 2(a1+d(n-1))(n/4)。
二、等比级数求和：等比级数是指级数中每一项与前一项之比都是相等的级数，求等比级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等比级数和的公式为Sn = (a1 - an*r)/(1-r)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项，r为公比。
通过代入这些值即可求得。
2. 求和法：当公比r在-1到1之间时，等比级数和的求和公式可以通过不断地相加前n项来逼近真实值。
即Sn = a1/(1-r) - an*r/(1-r)。
三、收敛级数求和：收敛级数是指级数在求和过程中会逐渐趋于一个有限的值的级数。
常用的收敛级数求和方法主要有以下几种:1. 逐项求和法：如果级数每一项能够逐项求和，那么可以通过逐项求和来求得级数的和。
例如，级数Sum(1/n^2) = 1/1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ...，可以通过逐项求和将级数的每一项相加来得到和。
2. 极限求和法：如果级数满足级数的通项能够构造成一个已知数列，那么可以通过求出这个数列的极限来得到级数的和。
例如，级数Sum(1/n) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...，通过求出数列1/n的极限为0，可以得知级数的和为无穷大。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全无穷级数是数学中的一个重要概念，它由一系列无穷多个数相加而成。
在许多实际问题中，我们需要计算无穷级数的和。
本文将介绍一些常见的无穷级数求和公式，帮助读者更好地理解和计算无穷级数。
1.等差数列求和公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当n趋近于无穷大时，等差数列的和可以通过以下公式计算：Sn = lim(n→∞) (n/2) [2a1 + (n-1)d]其中Sn是前n项和。
2.等比数列求和公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当，r，<1时，等比数列的和可以通过以下公式计算：Sn=a1/(1-r)当，r，>1时，等比数列的和不存在。
3.幂级数求和公式幂级数是形如∑(n=0)∞a^n的无穷级数，其中a为常数。
幂级数的和可以通过以下公式计算：S=1/(1-a)该公式要求幂级数的绝对值，a，<14.调和级数求和公式调和级数是形如∑(n=1)∞1/n的无穷级数。
调和级数的和发散，即不存在有限的和。
然而，其部分和可以逼近自然对数的常数项：S = ∑(n=1)∞ 1/n ≈ ln(n) + γ5.奇数级数求和公式奇数级数是形如∑(n=1)∞(2n-1)的无穷级数。
奇数级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞(2n-1)=n^26.平方和级数求和公式平方和级数是形如∑(n=1)∞n^2的无穷级数。
平方和级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞n^2=n(n+1)(2n+1)/67.指数级数求和公式指数级数是形如∑(n=0)∞(x^n/n!)的无穷级数，其中x为常数。
S=∑(n=0)∞(x^n/n!)=e^x8.费马级数求和公式费马级数是形如∑(n=1)∞(1/n^2)的无穷级数。
费马级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞(1/n^2)=π^2/6上述是一些常见的无穷级数求和公式，希望能够帮助读者更好地理解和计算无穷级数的和。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和是数学中的一种重要计算方法，它广泛应用于各种数学分析、物理、工程等领域。
求和公式大全旨在为大家提供一个全面的参考，以便更好地理解和应用无穷级数求和。
一、无穷级数求和的概念与意义
无穷级数是指一个无限项的数列，每一项都是一个函数的值。
求和公式则是用来计算无穷级数前n项和的公式。
在数学分析中，级数收敛性是判断级数求和的关键，只有收敛的级数才有意义进行求和。
二、常见无穷级数求和公式
1.等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an)/2
2.等比数列求和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)
3.调和级数求和公式：Hn = ln(n) - ln(1 + 1/n)
4.几何级数求和公式：S = a/(1 - r)
5.幂级数求和公式：S = ∑(an^k)，其中a是级数的首项，n是项数，k是指数。
三、无穷级数求和方法概述
1.收敛性判断：如泰勒级数、级数收敛则求和收敛。
2.部分求和法：将级数分为部分，分别求和，再求总和。
3.数学归纳法：用于证明收敛级数的求和公式。
4.数值计算方法：如迭代法、蒙特卡洛方法等，用于求解非收敛级数的近似值。
级数求和常用方法
级数求和的常用方法摘要级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法.关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法Summation of series method in common useAbstractProgression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions.Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use目录引言................................................ 错误!未定义书签。
常见幂级数展开式求和公式
常见幂级数展开式求和公式幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以将各种函数表示为无穷级数的形式。
常见的幂级数展开式求和公式有泰勒级数、麦克劳林级数和幂级数的逐项积分求和公式。
下面将逐一介绍这些公式。
1.泰勒级数求和公式：泰勒级数是将一个函数在其中一点展开成无穷级数的形式，用于近似表示函数在该点的值。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=a 处的泰勒级数展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f^n(a)表示f(x)在x=a点的n阶导数，n!表示n的阶乘。
当n 足够大时，泰勒级数可以提供较准确的函数近似。
2.麦克劳林级数求和公式：麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处展开的特殊形式。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=0处的麦克劳林级数展开式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...麦克劳林级数将函数近似表示为多项式的形式，方便计算。
3.幂级数逐项积分求和公式：对于幂级数∑a_n(x-a)^n，可以对其逐项积分得到：∫[∑a_n(x-a)^n]dx = ∑[a_n/(n+1)(x-a)^(n+1)] + C其中，C为积分常数。
这个公式可以用于计算幂级数的积分。
除了上述三种常见幂级数展开式求和公式，还有一些其他的展开式求和公式，如：4.欧拉恒等式：欧拉恒等式表示以自然对数e为底的指数函数和三角函数的关系：e^ix = cos(x) + i·sin(x)其中，i表示虚数单位。
这个等式广泛应用于复数分析、信号处理等领域。
5.贝塞尔函数展开式：贝塞尔函数是一类特殊的函数，可以用无穷级数表示。
对于整数阶的贝塞尔函数J_n(x)，其展开式为：J_n(x)=(∑[(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k+n)])/(x/2)^n贝塞尔函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
无穷级数求和7个公式展开
无穷级数求和7个公式展开一、等差数列求和公式等差数列是最基本的数列之一，其求和公式为：\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]其中，\(S_n\)表示前n个数的和，\(a_1\)表示首项，\(a_n\)表示末项。
这个公式的推导非常直观，可以通过对等差数列的各项进行求和求得。
二、几何数列求和公式几何数列也是常见的数列类型之一，其求和公式为：\[S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\]其中，\(S_n\)表示前n个数的和，\(a_1\)表示首项，r表示公比。
这个公式的推导可以通过对几何数列的各项进行求和求得。
三、调和级数求和公式调和级数是由倒数构成的无穷级数，其求和公式为：\[S_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} =\ln(n)+O(1)\]其中，\(S_n\)表示前n项的和。
这个公式的推导较为复杂，可以通过级数的收敛性以及极限的定义来推导得到。
四、指数级数求和公式指数级数是由指数函数构成的无穷级数，其求和公式为：\[S_n = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!} = e^x-1\]其中，\(S_n\)表示前n项的和，x表示指数。
这个公式的推导可以通过级数展开以及指数函数的特性来得到。
五、幂级数求和公式幂级数是由幂函数构成的无穷级数，其求和公式为：\[S_n = 1+a+2a^2+3a^3+...+na^n = \frac{1}{(1-a)^2}(1-(n+1)a^n+na^{n+1})\]其中，\(S_n\)表示前n项的和，a表示幂级数的底数。
这个公式的推导可以通过级数展开以及幂函数的性质来得到。
六、Bernoulli数的幂级数展开Bernoulli数是数论中的一类特殊数列，其幂级数展开公式为：\[\frac{1}{e^x-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n x^n}{n!}\]其中，\(B_n\)表示Bernoulli数，\(x\)表示自变量。
发散级数求和法
发散级数求和法
发散级数求和法指的是一种特殊的数学方法，用于求解无限级数中的和。
在这种方法中，我们不需要确切地知道级数的收敛性，而是通过一些技巧性的方法来计算出级数的和。
其中比较常见的方法包括：
1. 扩展欧拉求和法：这种方法适用于某些发散的级数，但是其部分和数列可以被表示为某个函数的级数形式。
我们可以通过对这个函数进行一些简单的变换，得到级数的和。
2. 几何级数求和法：这种方法适用于形如a + ar + ar^2 + ... 的级数，其中a为首项，r为公比。
我们可以通过求出这个级数的部分和公式，然后对公比进行特殊处理，得到级数的和。
3. 狄利克雷求和法：这种方法适用于某些交替级数或者周期级数。
我们可以通过一些技巧性的操作，将这些级数转化为另外一些级数的形式，然后再求和。
发散级数求和法在实际问题中也有广泛的应用，比如在量子场论中的费曼图计算中，就需要用到这种方法来处理发散级数。
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级数求和的方法
级数求和的方法标题: 级数求和的方法正文:级数是一类重要的数学函数,在实际应用中有着广泛的应用。
其中,级数求和是一种常见的计算方式。
下面,我们将介绍一种常见的级数求和方法,即对数级数求和。
假设有一个正整数n,我们定义一个级数:$$a_0 + a_1 + cdots + a_n = frac{1}{1 - x^n}$$其中,$a_0, a_1, cdots, a_n$是正整数,$x$是一个实数。
这个级数可以表示为:$$a_0 + a_1 + cdots + a_n = sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$那么,级数求和公式如下:$$frac{1}{1 - x^n} = sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$这里,$frac{1}{1 - x^n}$是一个常数函数,可以表示为:$$frac{1}{1 - x^n} = frac{1}{1 - x} cdot sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$ 将级数和级数求和公式代入,可以得到:$$frac{1}{1 - x} cdot sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 + cdots + a_n$$ 这就是级数求和公式。
我们可以使用这个公式来计算任意级数。
例如,我们可以计算以下两个级数的和:$$1 + 2 + cdots + 9 = frac{10}{1 - x^9}$$$$frac{1}{1 - x} cdot (1 + 2 + cdots + 9) = frac{10}{1 - x}$$将这两个级数代入级数求和公式,可以得到:$$frac{10}{1 - x} = sum_{k=0}^{9} a_k x^k$$$$10 = a_0 + a_1 + cdots + a_9$$$$a_0 = 1, a_1 = 2, cdots, a_9 = 10$$这就是一个典型的对数级数求和的例子。
除了对数级数求和,还有其他的级数求和方法。
级数求和的八种方法
级数求和的八种方法一、列方程法：列方程法是通过将级数的部分项与一些已知的函数进行比较，然后列出方程，并求解得到级数的和。
常用的列方程法有以下几种：1.等差级数：等差级数是指级数的每一项与前一项之间的差都相等的级数。
求等差级数和的方法有两种常用的方式：（1）利用等差级数的通项公式：对于等差级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
利用这个通项公式，可以列出等差级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。
（2）利用等差级数的求和公式：等差级数的求和公式是 Sn = (a1 + an)n/2，其中n表示级数的项数，a1表示首项，an表示末项。
将对应的值代入公式，即可求得等差级数的和。
2.等比级数：等比级数是指级数的每一项与前一项之间的比例都相等的级数。
求等比级数和的方法有以下两种常见的方式：（1）利用等比级数的通项公式：对于等比级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
利用这个通项公式，可以列出等比级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。
（2）利用等比级数的求和公式：等比级数的求和公式是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1表示首项，q表示公比，n表示级数的项数。
将对应的值代入公式，即可求得等比级数的和。
二、借助公式法：由于有些级数的部分和难以直接计算，可以利用已知的级数求和公式，借助一些已知级数的和，表示成新的级数的和。
常见的借助公式法有以下几种：1.幂级数的求和公式：幂级数是指级数的每一项都是幂函数的项。
对于幂级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的幂级数表示成一个已知幂级数的和，从而利用已知的幂级数求和公式得到级数的和。
2.三角函数级数的求和公式：三角函数级数是指级数的每一项都是一个三角函数的项。
对于三角函数级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的三角函数级数表示成一个已知三角函数级数的和，从而利用已知的三角函数级数求和公式得到级数的和。
数学中的数列和级数求和
数学中的数列和级数求和数学是一门充满魅力的学科，其中数列和级数求和是数学中一个重要且有趣的概念。
数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，而级数是由数列中的项相加而得到的结果。
在数学中，我们经常需要求解数列和级数的值，这不仅有助于我们理解数学规律，还可以应用于实际问题的解决。
一、数列求和数列求和是指将数列中的所有项相加，得到一个确定的值。
在数学中，常见的数列求和方法有等差数列求和和等比数列求和。
1. 等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。
对于等差数列求和，我们可以使用求和公式来简化计算。
求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，我们可以使用求和公式来计算其和。
首项a1为1，末项an为9，项数n为5。
代入公式得到Sn = (1 + 9) * 5 / 2 = 25。
2. 等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中公比为2。
对于等比数列求和，我们可以使用求和公式来简化计算。
求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示等比数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
例如，对于等比数列1，2，4，8，16，我们可以使用求和公式来计算其和。
首项a1为1，公比q为2，项数n为5。
代入公式得到Sn = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31。
二、级数求和级数是指将数列中的所有项相加而得到的结果。
在数学中，常见的级数求和方法有等差级数求和和等比级数求和。
1. 等差级数求和等差级数是指级数中相邻两项之差都相等的级数。
例如，1，3，5，7，9，...就是一个等差级数，其中公差为2。
对于等差级数求和，我们可以使用求和公式来简化计算。
级数求和的方法
解题方法与技巧级数求和的方法金丹丽 (安徽财贸学院基础部 蚌埠 233041)级数求和是级数理论的基本问题之一,也是较难解决的问题。
本文将从几个不同的角度对级数求和的方法作一探讨。
求级数和的方法一般有:一、利用级数收敛的定义根据收敛的定义,求收敛级数的和,归结为求部分和S n 的极限,即∑∞n =1u n =lim n →∞S n ,而求S n 的方法有:用公式、交叉相消、分项求和等。
例1 求∑∞n =1n(n +1)!分析 本例不能直接求得S n ,须先分项,然后求S n 。
解 由于u n =n(n +1)!=1n !-1(n +1)!所以 S n =12!+23!+…+n(n +1)!=(11!-12!)+(12!-13!)+…+(1n !-1(n +1)!)=1-1(n +1)!从而lim n →∞S n =lim n →∞[1-1(n +1)!]=1,故 ∑∞n =1u n =1例2 求12+322+523+…+2n -12n+… 解 S n =12+322+523+…+2n -12n12S n =122+323+524+…+2n -12n -1两式相减 12S n =12+222+223+…+22n -2n -12n +1=12(1+1+12+…+12n -1-2n -12n )=12(1+1-12n -11-12)-2n -12n 于是lim n →∞S n =1+11-12=3 即S =3例3 求下列两个级数的和:(1)q sin T +q 2sin2T +q 3sin3T +…+q n sin n T +…;(2)q co s T +q 2cos2T +q 3cos3T +…+q n co s n T +…;16 高等数学研究STU DIES IN CO LLEGE M AT HEM AT IC S V ol.4,No.2M a r.,2001收稿日期:2001—02—20。
其中|q |<1分析 本题可以利用定义来求和,但由于直接求部分和的极限有困难,因此,可利用欧拉公式,借助于求复数项级数∑∞n =1r n (r =qe i T )的和,以同时求得所给两个级数的和。
级数求和的八种方法
级数求和的八种方法级数求和是高等数学课程中经常出现的一个重要问题。
求和的方法因级数的性质和特点而异，下面介绍了八种方法，帮助我们更好地解决求和问题。
一、部分分式分解法部分分式分解是可用于求解一般有理函数的技术，可以将一个消去精度高的有理函数转换为单项式之和。
则，若级数为$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$，那么就有因此原级数可以改写为用局部熟知来代替繁琐的求和，求和得到$\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} -\frac{1}{3}+……+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$二、递推法定义$a_n$表示级数前n项总和，即则有$S_{1}=a_{1}$$S_{2}=a_{1}+a_{2}=S_{1}+a_{2}$……若能求出$a_n$的通项公式，则可以利用递推计算出$S_n$。
三、换序法如果知道级数的其中一项的值，那么就可以通过改变级数项的序列来大大简化求和问题。
换序法不影响级数的总和，因此只要找到如下的项$a_{n1},a_{n2},a_{n3},……,a_{nm}$，其中每一个$m$都满足那么原级数就可以换为$S_n=(a_1+a_2+a_3+……+a_{n_1-1})+(a_{n_1}+a_{n_2}+……+a_{n_m})+(a_{n_{m+1}}+……+a_n)$四、差分法对于一个级数，有时候会出现一个有规律的序列。
我们可以使用差分法来求解这个序列。
定义级数的前$n$项的差分序列为其中，$\Delta{a_k}=a_{k+1}-a_k$对于单调不降（单调不增）的数列，通过差分可以得到一个常数序列。
因此，级数前$n$项和可以表示为：$S_n=\frac{1}{2}a_1+\sum_{k=2}^{n}(\Delta{a_1}+\Delta{a_2}+……+\Delta{a_{k-1} })$五、Euler变换在求解级数之前，我们可以将级数转化为某个未知函数的级数，再进行求解。
专题17 级数求和
⎝ n=0
⎠ ⎝ n=0
⎠
=
⎜⎜⎝⎛
x2 1− x
⎟⎟⎠⎞″
+
⎜⎛ ⎝
1
x −
x
⎟⎞′ ⎠
=
⎜⎛ ⎝
−
(
x
+
1)
+
1
1 −
x
⎟⎞″ ⎠
+
⎜⎛ ⎝
−1
+
1
1 −
x
⎟⎞′ ⎠
= 3−x (1 − x)3
x ∈ (−1,1).
∑∞
【例 4】求幂级数
xn 的收敛域及和函数.
n=1 n(n +1)
【解】 易求得该幂级数收敛域为[−1,1] .
x)
∫ ∫ ∫ S(x) =
x S′(t)dt =
x
ln(1+ t)dt −
x
ln(1− t)dt
0
0
0
= (1+ x) ln(1+ x) + (1− x)ln(1− x)
又 S(1) = lim S(x) = 2ln 2, S(−1) = lim S(x) = 2ln 2,
x→1−
x →−1+
所以
∑∞
令 S(x) =
xn
n=1 n(n + 1)
当 0 < x ≤ 1时，
x ∈[−1,1] . 当 x = 0 时， S(x) = 0 .
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
S(x) =
xn
= ∞ x n − ∞ x n = − ln(1 − x) − 1 ∞ x n+1
n=1 n(n + 1) n=1 n n=1 n + 1
幂级数如何求和函数
幂级数如何求和函数幂级数是指一系列项按照指数逐渐增大的级数。
求和函数则是求级数的和的函数。
本文将介绍如何求解幂级数的和，并且提供一些常见的幂级数求和函数。
一、求解幂级数的和的一般方法求解幂级数的和的一般方法有两种：确定递推关系和使用积分法。
1.确定递推关系法假设我们有一个幂级数∑(a_n*x^n)。
要求解该级数的和，可以通过以下步骤进行：步骤1：确定递推关系首先，我们需要确定各项之间的关系。
这可以通过观察级数的表达式来得到，或者通过对级数进行变换得到。
例如，有些级数可以通过不同项之间的代数关系来变换为已知的级数。
步骤2：求解递推关系根据第一步得到的递推关系，我们可以通过迭代计算的方式求解级数的各项。
步骤3：计算和值将上一步求得的各项进行累加，即可得到级数的和值。
2.积分法对于一些幂级数，我们可以通过积分法求解级数的和。
具体步骤如下：步骤1：求解原函数将级数∑(a_n*x^n)求导生成∑(a_n*n*x^(n-1))，然后求得原函数F(x)。
步骤2：确定积分常数由于幂级数的每一项都是原函数的导数，所以在确定积分常数时需要记住每一项的常数项。
步骤3：计算和值将上一步求得的原函数在积分区间内进行求解，并用积分常数进行修正，即可得到级数的和值。
二、常见的幂级数求和函数1.几何级数的求和函数几何级数是指形如∑(a*x^n)的级数，其中a是常数。
几何级数的和可以使用以下公式求解：S=a/(1-x)其中a是首项的值，x是公比的值。
2.泰勒级数的求和函数泰勒级数是一类特殊的幂级数，可以用来逼近各种函数的值。
泰勒级数的和可以通过将函数展开为幂级数来求解。
例如，e^x的泰勒级数展开为∑(x^n/n!)，其中n!表示阶乘的值。
3.特殊函数的求和函数许多特殊函数在数学中都有相应的幂级数展开式，因此可以通过求和幂级数来计算特殊函数的值。
例如，对于正弦函数 sin(x)，它的幂级数展开为∑((-1)^n *x^(2n+1) / (2n+1)!)。
级数求和的常用方法
级数求和的常用方法级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行函数值计算的一种工具,无穷级数的和是级数研究中的一项重要内容,级数求和方法在各高等数学教材中都有介绍，本文主要归纳出几种常用的级数求和方法，给初学者提供学习上的帮助.1数项级数求和的常用方法1.1 拆项法这是一种简单、常用的方法，适用于一些简单的级数求和问题,其基本思想是将级数∑∞=1n na的通项n a 分解为：n n n b b a -=+1，代入级数的部分和∑==nk kn as 1，相邻两项相消，则有11b b s n n -=+，若∞→n lim b b n =+1，则∑∞=1n n a ∞→=n lim n s =1b b -.例1 求级数∑∞=+-1)15)(45(1n n n 的和)5](1[P .解 ∑=+-=nk n k k s 1)15)(45(1=)151451(511+--∑=k k n k =)1511(51+-n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim )1511(51+-n =51例2 求级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和)5](1[P . 解 ∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++=nk n k n k k k k k k k s 11)2)(1(1)1(121)2)(1(1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-)2)(1(12121n n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim41)2)(1(12121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-n n 由以上两个例题可知，在遇到级数通项的分母是两个或三个因式的乘积而分子是一个常数时，就可以将分母适当的拆解，化成两项的差，从而用拆项法求级数的和.1.2 利用代入法求和在求数项级数的和时，有时可先转化为相应的幂级数，利用函数的幂级数展开式以及傅立叶级数展开式，把收敛区间内相应的数代入展开式中，从而求出数项级数的和.例如，常用∑∞==0!n nxn x e)(+∞<<-∞x ，∑∞=-=02)!2()1(cos n nnn x x )(+∞<<-∞x ，∑∞=--=+11)1()1ln(n n n n x x )11(≤<-x 等来求级数的和.例3 求级数1112)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n n n n的和.解 考虑幂级数111)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n x n n n其收敛半径为1，所以当21=x 时级数收敛，设其和函数为)(x f ，下面在)1,0(内求)(x f ， 由于1122)2)(1(+-+=++n n n n n所以 ∑∑∞=+++∞=++--+-=1111111)1(22)1()(n n n n n n n x n x x f ∑∑∞=∞=++++-++-=111211)1(2)1(2n n n n n n n x n x x x x x x x x -++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)1ln(2)1ln(222)1ln(21-+⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 令 21=x 便得，223ln 52)2)(1()1()21(111-=⋅++-=∑∞=++n n n n n n f 以上计算比较巧妙地运用了函数)1ln(x +的幂级数展开式.例4 求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.解 将函数x 在[]ππ,-上展成傅立叶级数得：∑∞=---=12)12()12cos(42n n xn x ππ， []ππ,-∈x 令 π=x ，则8)12(1212π=-∑∞-n n 在学习级数这一部分内容时，熟练掌握住特殊函数的幂级数展开式和傅立叶级数的展开式是很有必要的，它对于特殊的级数求和很有帮助.1.3 方程式法利用方程式法求和的关键是构造出关于n s 的方程式，解出n s 的具体的表达式，从而求出∞→n lim n s =s .例5 求级数∑∞=-113n n n的和.解 设 ∑=-=nk k n ks 113（1）则 ∑==nk k n ks 1331 （2）(1)-（2）得：n s 32=∑-=+11311n k k -n n 3=n n3211-+ =n n323- 所以 13249-⋅-=n n ns 所以49lim 311==∞→∞=-∑n n n n s n由以上例题可知当级数通项的分母是等比序列而分子是等差序列的关系时，常常通过构造出ns 的方程式，使得问题迎刃而解.1.4 利用欧拉常数法极限∞→n lim ⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n k n k 1ln 1的值称为欧拉常数，设为)57721.0( =c c ，则有：∑=nk k 11=n c n ε++ln 其中∞→n lim 0=n ε,利用上式，可求某些数项级数的和. 例6 求级数∑∞=+1)12(1n n n 的和. 解 =n s ∑=+nk k k 1)12(1=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nk k k 11221=∑=nk k11-⎪⎭⎫⎝⎛++++12151312n =∑=nk k 11⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-n n n 2141211212221312112=∑=n k k 112-21221221++-∑=n kn k =()()21222ln 2ln 22++-++-++n n c n c n n εε =122222ln 222+--+-n n n εε 所以2ln 22lim )12(11-==+∞→∞=∑n n n s n n 把一些级数的部分和转换成含有欧拉常数的表达式，利用已知的欧拉常数进行求解. 1.5 利用子序列的极限[2](440)P我们知道，若2{}n s 与21{}n s +有相同的极限s ，则lim n x s s →∞=.因此对于级数1nn a∞=∑，若通项n a 0→（当n →∞），则部分和的子序列2{}n s 收敛于s ,意味着21{}n s +也收敛于s ，从而1n n a ∞=∑=s .我们把2{}n s 与21{}n s +成为互补子序列.这个道理可推广到一般：若1nn a∞=∑的通项n a 0→（n →∞），{}n s 的子序列1{}pn n s s ∞=→(p 是某个正整数)，则1n n a ∞=∑=s .这种方法称为子序列方法.例7 求级数 11111111111(1)()()2345627893++-+++-+++-+⋅⋅⋅的和. 解 此级数通项趋于零，因此只要求3n s 的极限，注意公式111123n+++⋅⋅⋅+=ln n c n ε++,其中c 为欧拉常数，0n ε→（当n →∞）因此 对原级数31111111123323n s n n=+++⋅⋅⋅+----⋅⋅⋅-=3ln 3ln ln 3n n n n εε-+-→（当n →∞） 所以 原级数的和为 ln3s =例8 将级数 111112345-+-+-的各项重新安排，使先依次出现p 个正项，再出现q 个负项，然后如此交替，试求新级数的和.解 因为通项趋于零，根据上述子序列求和法，对新级数我们只要求子序列()1{}p q n n s ∞+=的极限，新级数前()p q n +项的和()111111132124221p q n s p q p +=++⋅⋅⋅+----+-+111123412224p p q q +++--+-++11142n 212n 23q p p p p -⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+++----（）（）112n 12(22)p nq q +-----112(24)2nq q nq -⋅⋅⋅--- 11111113521242np nq=+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-- =111111111111()23452242242np np nq+++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅- 111111111(1)(1)222222np np nq=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+即 ()211ln(2)[ln()][ln()]22p q n np np nq s c np c np c nq εεε+=++-++-++→1ln 2ln 2pq+ （当n →∞）所以 所求级数的和为 1ln 2ln 2p q+当级数的某个子序列的极限能够适当的凑成欧拉常数且其通项趋与零时，常利用子序列的极限求解.1.6 利用级数的绝对收敛法若级数∑∞=1n nu是绝对收敛的级数，则当其中的项交换顺序时，级数的和不变.例9 求级数 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n的和.解 已知 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n绝对收敛因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-!31!2121!31⎪⎭⎫⎝⎛-=!51!4121!52 ……⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-)!12(1)!2(12)1()!12()1(n n n n nn……两边相加即得：∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++-++-=+-0)!12()1()!2()1(!51!41!31!2121)!12()1(n nn n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=∑∑∞=∞=00)!12()1()!2()1(21n n n n n n()1sin 1cos 21-=绝对收敛的交错级数求和时，一般常用级数的绝对收敛法求和.2函数项级数求和的常用方法2.1 逐项积分与逐项微分法在函数项级数一致收敛的条件下，如果欲求和的级数与一个已知和式的级数之间恰好存在微分(或积分)的关系，先对此级数逐项微分（或积分）后求和，然后再反过来求一次积分（或微分），便可得到此级数的和函数.例10 求级数∑∞=-112n n x n的和.解 因为 ∞→n lim nn a a 1+=∞→n lim 22)1(n n +=1， 所以1=R 当 x =1时，因为 ∞→2n ，故 当=x ±1时，级数发散所以 级数的收敛域为)1,1(-,当 )1,1(-∈x 时，令 )(x f =∑∞=-112n n x n逐项积分，得dt t f x⎰)(=dt tn n x n ∑⎰∞=-112=∑∞=1n n nx =2)1(x x- 所以当<x 1时，=∑∞=-112n n x n'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2)1()(x x x f 3)1(1x x-+=例11 求级数nn x n n 20!)12(∑∞=+的和. 解 因为 ∞→n limnn a a 1+=∞→n lim )12)(1(32+++n n n =0 故级数的收敛域为（+∞∞-,），当()+∞∞-∈,x 时， 令)(x f =nn x n n 20!)12(∑∞=+ 则 ∑∞=--+=112)!1()12(2)('n n x n n x f =[]1)1(21)!1(3)1(22+-∞=∑-+-n n x n n =24)(2x xe x xf +解一阶线性微分方程 -)('x f 24)(2x xe x xf = 有 )(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e xe e xdx x xdx2224)2(22c x e x += 因为 1)0(=f ， 代入上式得 1=c所以 当()+∞∞-∈,x 时，)12()(22+=x e x f x逐项积分与逐项微分法适用于求某些函数项级数的和函数，前提是函数项级数必须在所讨论的区间上一致收敛.2.2 三角级数求和法)442](3[P为了求级数nx un ncos 0∑∞=及nx u n n sin 0∑∞=的和，常把它视为复数域内幂级数n n n z u ∑∞=0（其中ix e z =）的实部和虚部.例12 求级数∑∞=0!cos n n nx的和. 解 令 ixe z = 考虑级数∑∞==0!n z ne n z 则 ∑∞==0!n nn z ∑∞=0!cos n n nx ∑∞=+0!sin n n nxi [])sin(sin )cos(sin cos sin cos x i x e e e x x i x z +==+故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=0!cos n n nx =)cos(sin cos x ex()∞<x 例13 求级数∑∞=1sin n n nx的和)472(]3[P . 解 令z=ixe ，则 ∑∞=-=111ln n n z nz ，而 xx iarctgx x i x z cos 1sin )cos 22ln(21)sin cos 1ln(11ln-+--=---=- )74](4[P =-xxiarctg x cos 1sin 2sin2ln -+ 则 ∑∑∑∞=∞=∞=+=111sin cos n n n n n nx i n nx n z故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=1sin n n nx ==-x x arctg cos 1sin )2(x ctg arctg =2x-π ()π20<<x在级数的通项含有正弦和余弦函数时，一般常应用三角级数求和法.以上介绍的级数求和的几种常用方法，对于解决此类问题会起到一定的指导作用.但是单纯地掌握几种方法还是远远不够的，关键是善于发现问题的特点，从而采取正确的方法解决问题.。
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1.7方程式法 (3)1.8原级数转化为子序列求和 (3)1.9数项级数化为函数项级数求和 (3)1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4)1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4)1.12构造函数计算级数和 (5)1.13级数讨论其子序列 (5)1.14裂项法求级数和 (6)1.15裂项+分拆组合法 (7)1.16夹逼法求解级数和 (7)2函数项级数求和 (8)2.1方程式法 (8)2.2积分型级数求和 (8)2.3逐项求导求级数和 (9)2.4逐项积分求级数和 (9)2.5将原级数分解转化为已知级数 (10)2.6利用傅里叶级数求级数和 (10)2.7三角级数对应复数求级数和 (11)2.8利用三角公式化简级数 (12)2.9针对2.7的延伸 (12)2.10添加项处理系数 (12)2.11应用留数定理计算级数和 (13)2.12利用Beta函数求级数和 (14)参考文献 (15)级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.1数项级数求和1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.11((1)22n n a a n n s na d +-=+=），其中1a 为首项，d 为公差 证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+） 因为等差级数11...+n n a a a a +==所以1(2n n a a s +=）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++.解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：21012(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+⋅，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+.1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1)1n a q s q-=-，其中1a 为首项，q 为公比.证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4 1.4错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q ，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例2：计算212n n -∑.解： 2313521...2222n n s -=++++ ①，21352121 (222)n n s --=++++ ②，②-①得： 121121************n n n k k k n k k k k k n s s s -===---=-=+-=+-=∑∑∑111121121213122212n n n n n n -----+-=---，lim n s →∞=3.1.5蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.例3：计算1ni =∑.解：将各项展开可得：(1...s =-+++++11==lim n s →∞= 1.6有理化法求级数和对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例4：计算1n ∞=.解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项n a =对其分母有理化得：−−−−=−分母有理化，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1. 1.7方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例5：计算2cos cos 2...cos n q q n q θθθ+++，其中1q <. 解：记2cos cos 2...cos =nq q n s q θθθ+++= =1cos nk k k q θ∑两边同时乘以cos 2q θ得[]+1+1=1=1cos cos cos =2=2cos+1+cos -1)nnk k k k k k k q s qq θθθθθ•••∑∑（）（ 即：+1222cos cos+1cos )(cos )2=n n n n q s q s q q q s q θθθθ+•++-+-（）（ 解此方程得：2122cos cos(1)cos =12cos n n q n q n q q s q q θθθθ++-++-+-22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-. 1.8原级数转化为子序列求和若下列条件成立[1]:（1）当n →∞时级数的通项0n a →（2）级数各项没有破坏次序的情况而得新序列n 1n b ∞=∑收敛于原级数 .例6：计算11111111111++-1+++-+++-+ (2345627893)（）（）（）.解：lim 0n n a →∞=，应用欧拉公式1111++...ln 23n c n e n++=++，其中c 为欧拉常数，0()n e n →→∞111111+++...+-1--...-2332s n n=3ln 3ln n n n n e e =-+-，lim ln3n s →∞=.1.9数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.例7：求级数和11135...n n ∞=••••∑（2-1）.解：建立函数项级数2111()135...n n s x x n ∞-==••••∑（2-1）由函数敛散性知识可知其收敛域为(,)-∞+∞，将函数项级数逐项求导可得：'2211()1135...n n s x x n ∞-==+••••∑（2-3）=211111()135...n n x x xs x n ∞-=+=+••••∑（2-1），由此可知()s x 满足微分方程'()()1s x xs x -=，且易知(0)0s =，解此常微分方程得：221122()xx t dt s x ee-=⎰，令1x =则可以求出原级数和：211122s t eedt =⎰.1.10化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将n 与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.例8：计算11k n k∞=+∑，其中()n →∞.解：记1011111lim =ln21+1n n n k k dx s k n k n x n∞→∞==−−−−−−−−→==←−−−−−−−−++∑∑⎰分子分母同时除以构造分割建立级数与积分的桥梁. 1.11三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.例9[7]：设2cos cos 2...cos = n s q q n q θθθ+++，求s .解：由于1cos =nk k s q k θ=∑，令(cos sin )i z qe q i θθθ==+为复数，其中0,1,2...k =(cos sin )k k ik k z q e q k i k θθθ==+，其中1,2...k =，得：122011+...1(cos sin )(cos 2sin 2)+1n nk n k z z z z z q i q i z θθθθ+=-==+++=++++-∑ 323cos 2cos 3(cos3sin 3)+...+(cos sin )1cos n q q q i q n i n q θθθθθθθ++++=++2...+cos (sin )sin 2...sin nn q n i q qq n θθθθ++++而另一方面1111(cos(+1)sin(+1))11(cos sin )n n z q n i n z q i θθθθ++--+=--+=211-2cos q qθ+ ｛1221cos cos(1)cos(1)cos sin(1)sin n n n q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤--+++++⎣⎦+ 212sin cos(1)sin sin(1)sin(1)cos n n n i q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤-+-+++⎣⎦｝取实部对应原级数和即得：12211(1cos cos(1)cos )1-2cos n n q qs q q n q n θθθθ+++=--+++即： 11221(1cos cos(1)cos 12cos )1-2cos n n s q q n q n q q q qθθθθθ++=--++-+-+ 当n →∞，且1q <时22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-.1.12构造函数计算级数和将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例10[7]：请计算下面的级数式子：记2323=1-+......)1111nn t t t t s t t t t t ++++++++（）(，其中1t →-.解：构造函数式子：1()11x x xe f x e e --==++,此函数在[0,)+∞单调递减. 由于000(1)ln(1)|ln 211x xx x x e d e dx dx e e e--+∞+∞-+∞---+==-+=++⎰⎰， 令ln h t =-，满足11lim limln t t h t →→==0ln 1111hthe t eeh h----=-=-=，ln ln ()()1()11k t k hk kt k hk t e e f kh t e e ----===+++. 代入题目中的级数式子得：23231lim 1-+......)111n n t t t t t t t t t t -→+++++++（）(+1= 011lim ()h h k e h f kh h -∞→=-∑=0011lim ()ln 21h xx h k e e h f kh dx h e --∞+∞-→=-==+∑⎰. 1.13级数讨论其子序列引理[1]：数列}{n s 收敛的充分必要条件是}{n s 的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列}{n s 收敛于s 的充分必要条件是两个互补的子列}{2n s ,}{12-n s ,收敛于同一极限.推广可得：定理[1]：若级数∑∞=1n n a 通项满足当n →∞时， 0→n a （收敛判别的必要条件），∑∞=1n n a 收敛于s 的充分必要条件是：部分和}{n s 的一个子序列}{np s 收敛于s ，其中p 满足：p 是某个正整数p =1，2，…将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和1.6的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.例11[6]：计算：12cos32n n n π∞=∑. 解：记12cos32n n n s π∞==∑，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：1{|3,0,1,2...}A n n k k ===，2{|31,0,1,2...}A n n k k ==+=，3{|32,0,1,2...}A n n k k ==+=.则：1232222coscos cos cos 3333=++2222n n n nn n A n A n A n n n n ππππ∞∞∞∞=∈∈∈∑∑∑∑331320002coscos +133+222k k k k k k πππ∞∞∞++====+∑∑∑（） 1211+cos +cos +()2343k k πππ∞=∑3=01（（））2 1115(1)148718=--=-，所以：12cos23127n n n s π∞==-=-∑. 1.14裂项法求级数和针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出. 裂项一般形式：1111()()(+)x m x n n m x m x n=-+-++，此处m n >.例12：计算111...123234(1)(2)s n n n =+++++. 解:记1(1)(2)n a n n n =++，111[]2(1)(1)(2)n a n n n n =-+++ 针对11(1)nk k k =⋅+∑同理采用裂项法记111(1)1n b n n n n ==-++则11(1)nk k k =+∑=11111111111(1)()()()()+...+()2233445561n n −−−−−−−−−−→-+-+-+-+--←−−−−−−−−−−+裂项后后面项可以消去前面项部分这就是裂项法的好处！ 11-1n +，111lim lim[1-]1(1)1nn n k k k n →∞→∞===++∑，所以 111111lim lim [](1)(2)2(1)(1)(2)nnn n k k k k k k k k k →∞→∞===++++++∑∑= 11111111lim lim()2(1)2(1)2n n n n k k k k k k +→∞→∞==--++∑∑=1111(1)2224--=. 1.15裂项+分拆组合法将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.例13：计算1(+1)(+2)n nn n n ∞=∑（+3）.解：11235+1+2+3(+1)(+2)n n n n n n n ++-=（+3）111111251()(+1)(+2)3+1+2+33(+1)(+2)n n n n n n n n n n n n n ∞∞∞===∴=+--∑∑∑（+3）（+3）=1125111()()3233464+--=. 1.16夹逼法求解级数和在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.例14[8]：设m 为一给定的正整数，求221,1n m nm n ∞=≠-∑. 解：12222221,11111m Nm m Nm Nn m n n n ms m n m n m n +-++=≠==+==+---∑∑∑ 1111111111[ (21122121)m Nn m m m m m m m m n m n +=+=++++++++-+-+--+∑] 1111111(1...1...)22222m m N N m m =+++------+ 21112...2122+1m m N m N N N m N +++++++<<且∞→N 时，2lim 0+1N mN →∞=，且2lim 0+2N m N m →∞=，所以23lim 04m N N s m +→∞=-，即2221,134n m nm n m ∞=≠=--∑ 2 函数项级数求和函数项级数和依据未知数x 的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.2.1方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.例15：计算函数项级数23456()1 (21324135246)x x x x x s x x =+++++++ 解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为+∞，逐项求导得3'2()1 (2)x s x x x =++++即：'()1()s x xs x =+(0)1s =解此微分方程得：2222()(1)x t x s xe e dt -=+⎰.2.2积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.例16：计算级数(21)220x k k k eππ∞+-=∑⎰.解：因为(2,(21x k k ππ∈+）），作变量替换t k x +=π2得：(21)(222200=x t tk k k k ee e e ππππππ+--+--=⎰⎰⎰）再根据：'22t t ee dt --=⎰⎰C +得：(422204tt tk ee e πππππ-+--=-+⎰⎰⎰）=4042|2eeπππ--=84042|24eeec ππππ---=.所以原级数=8211t k k eee ππππ∞----==-∑⎰. 2.3逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。