2019上海市初三数学中考一模各区试卷第18题解析
2019中考金山区初三数学一模及答案
y
O
x
第 24 题图
25．已知多边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结 AC、FD，点 H 是射线 AF 上的一 个动点，联结 CH，直线 CH 交射线 DF 于点 G，作 MH⊥CH 交 CD 的延长线于点 M，设 ⊙O 的半径为 r（r＞0）． （1）求证：四边形 ACDF 是矩形． （2）当 CH 经过点 E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用 r 的代数式表示）． （3）当∠HCD=α（0＜α＜90°），求点 C、M、H、F 构成的四边形的面积（用 r 及含 α 的 三角比的式子表示）．
2
r c
55
19、2 20、（1） x1 5 ， x2 1
（1） cot MCB 1 2
11、20 16、 2 3
21、（1） 24 10 米
（2）126 米
22、（1）证明略 23、（1）证明略 24、（1） y x2 4x 6
（2） EH 2 （2）证明略 （2）相离
为 H．联结 OD 交弦 BC 于 E，交 CH 于 F，联结 EH． （1）求证: △BHE∽△BCO． （2）若 OC=4，BH=1，求 EH 的长．
C
ED F
A
O
H
B
第 22 题图
23．如图，M 是平行四边形 ABCD 的对角线上的一点，射线 AM 与 BC 交于点 F，与 DC
的延长线交于点 H． （1）求证: AM 2 MF MH ．
2019年上海市金山区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数是二次函数的是()A. y=xB. y=1x C. y=x−2+x2 D. y=1x22.在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sin∠B等于()A. ACAB B. BCABC. ACBCD. BCAC3.如图，已知BD与CE相交于点A，ED//BC，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE的长等于()A. 4B. 9C. 12D. 164.已知e⃗是一个单位向量，a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式正确的是()A. |a⃗|e⃗=a⃗B. |e⃗|b⃗ =b⃗C. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ D. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，那么a、b、c的取值范围是()A. a<0、b>0、c>0B. a<、b<0、c>0C. a<0、b>0、c<0D. a<0、b<0、c<06.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是()A. 点B、点C都在⊙A内B. 点C在⊙A内，点B在⊙A外C. 点B在⊙A内，点C在⊙A外D. 点B、点C都在⊙A外二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知二次函数f(x)=x2−3x+1，那么f(2)=______．8.已知抛物线y=12x2−1，那么抛物线在y轴右侧部分是______(填“上升的”或“下降的”)．9.已知xy =52，那么x+yy=______．10.已知α是锐角，sinα=12，那么cosα=______．11.一个正n边形的中心角等于18°，那么n=______．12.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，AB=4，那么AP=______．13.如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部(点B)60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=______米．14.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2和5，圆心距为d，若⊙O1与⊙O2相交，那么d的取值范围是______．15.如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且ADAB =25，DE//BC，设OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 、OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c⃗，那么DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用b⃗ 、c⃗表示)．16.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°，AP=6，那么⊙O2的半径等于______．17.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=______．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.在边AB上取一点O，使BO=BC，以点O为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′(点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′)，那么△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是______三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：cos245°−cot30°2sin60∘+tan260°−cot45°⋅sin30°．20.已知二次函数y=x2−4x−5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．(点B在点A的右侧)(1)当y=0时，求x的值．(2)点M(6,m)在二次函数y=x2−4x−5的图象上，设直线MP与x轴交于点C，求cot∠MCB的值．21.如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求(1)背水坡AB的长度．(2)坝底BC的长度．22.如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，D是BC⏜的中点，CH⊥AB于H，垂足为H，联OD交弦BC于E，交CH于F，联结EH．(1)求证：△BHE∽△BCO．(2)若OC=4，BH=1，求EH的长．23.如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．(1)求证：AM2=MF⋅MH．(2)若BC2=BD⋅DM，求证：∠AMB=∠ADC．24.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6)，点B(1,3)，直线l1：y=kx(k≠0)，直线l2：y=−x−2，直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，且l1与l2相交于点C，直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线l2上(此时抛物线的顶点记为M)，再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线l1上(此时抛物线的顶点记为N)．(1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式．(2)判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线l2的位置关系，并说明理由．(3)设点F、H在直线l1上(点H在点F的下方)，当△MHF与△OAB相似时，求点F、H的坐标(直接写出结果)．25.已知多边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MH⊥CH交CD的延长线于点M，设⊙O的半径为r(r>0)．(1)求证：四边形ACDF是矩形．(2)当CH经过点E时，⊙M与⊙O外切，求⊙M的半径(用r的代数式表示)．(3)设∠HCD=α(0<α<90°)，求点C、M、H、F构成的四边形的面积(用r及含α的三角比的式子表示)．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、y=x属于一次函数，故本选项错误；B、y=1x的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；C、y=x−2+x2=x2+x−2，符合二次函数的定义，故本选项正确；D、y=1x2的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；故选：C．根据二次函数的定义判定即可．本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，∴sin∠B=ACAB，故选A．我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵ED//BC，∴ABAD =ACAE，即86=12AE，∴AE=9，故选B．4.【答案】B【解析】解：A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；B.符合向量的长度及方向，故本选项正确；C.得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．故选B．长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．本题考查了向量的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图象开口可知：a<0，由图象与y轴交点可知：c<0，<0，由对称轴可知：−b2a∴b<0，即a<0，b<0，c<0，故选D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．也考查了含30°角的直角三角形的性质．先解直角△ABC，求出AB、AC的长，再根据点到圆心距离与半径的关系可以确定点B、点C与⊙A的位置关系．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3，∵⊙A的半径为3，4>3，2√3>3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．7.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：把x=2代入f(x)=x2−3x+1得f(2)=22−3×2+1=−1．故答案为−1．8.【答案】上升的【解析】【分析】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】x2−1，解：∵y=12∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y 轴右侧部分是上升的， 故答案为：上升的．9.【答案】72【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x ，y 的值是解题关键．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案． 【解答】 解：∵xy =52，∴设x =5a ，则y =2a ， 那么x+y y =2a+5a 2a =72． 故答案为：72．10.【答案】√32【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．先确定α的度数，即可得出cosα的值． 【解答】解：∵α是锐角，sinα=12， ∴α=30°， ∴cosα=√32． 故答案为：√32．11.【答案】20【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【解答】 解：n =360°18∘=20，故答案为：20． 12.【答案】2√5−2【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−√52，较长的线段=原线段的√5−12.根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP =√5−12AB ，代入数据即可得出AP 的长． 【解答】解：由于P 为线段AB =4的黄金分割点， 且AP 是较长线段；则AP =√5−12AB =√5−12×4=2√5−2． 故答案为2√5−2． 13.【答案】20√3【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出AB 的值进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：tan30°=AB CB=AB 60=√33， 解得：AB =20√3，答：铁塔的高度AB 为20√3m. 故答案为：20√3． 14.【答案】3<d <7【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d 、两圆的半径分别为r 、R ：①两圆外离⇔d >R +r ；②两圆外切⇔d =R +r ；③两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)；④两圆内切⇔d =R −r(R >r)；⑤两圆内含⇔d <R −r(R >r).利用两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)求解． 【解答】解：∵⊙O 1与⊙O 2相交， ∴3<d <7．故答案为3<d <7． 15.【答案】−25b ⃗+25c ⃗【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．根据三角形法则和平行线分线段成比例来求DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：∵ADAB =25，DE//BC ， ∴DEBC =ADAB =25， ∴DE =25BC ． ∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−25b ⃗ +25c ⃗ ．故答案是：−25b ⃗+25c ⃗ ． 16.【答案】2√3【解析】 【分析】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接AB 交O 1P 于C ，根据相交两圆的性质得到AB ⊥O 1P ，AC =BC ，得到∠APC =12∠APB =30°，根据直角三角形的性质得到AC =12AP =3，连接AO 2，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接AB 交O 1P 于C ， 则AB ⊥O 1P ，AC =BC ， ∴AP =PB ，∴∠APC =12∠APB =30°，∴AC =12AP =3， 连接AO 2， ∵AO 2=PO 2， ∴∠AO 2C =60°， ∴AO 2=ACsin60∘=√32=2√3，∴⊙O 2的半径等于2√3．17.【答案】√172【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数定义，解答本题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，作EF ⊥BC 于点F ，根据余弦定义求出CD 长，根据等腰三角形性质求出BC 长，根据平行关系易证△BDG∽△BFE ，再根据相似三角形的对应边成比例结合线段的和差关系求出GE 即可． 【解答】解：作EF ⊥BC 于点F ，∵AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AB =AC =5，cos∠C =45， ∴AD ⊥BC ，AD =3，CD =4， ∴AD//EF ，BC =8，∴EF =1.5，DF =2，△BDG∽△BFE ，∴DGFE =BDBF=BGBE，BF=6，∴DG=1，∴BG=√17，∴46=√17BE，得BE=3√172，∴GE=BE−BG=3√172−√17=√172，故答案为√172．18.【答案】5.76【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到OA′=OA=4，∠A′=∠A，根据相似三角形的性质得到OM=3，求得AM=1，根据相似三角形的性质得到S△AON=6，同理，S△AMP= 0.24，于是得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴BO=BC=6，∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，∴OA′=OA=4，∠A′=∠A，∵∠A′OM=∠C=90°，∴△A′OM∽△ACB，∴OMBC =OA′AC，∴OM=3，∴AM=1，∵∠A′MO=∠AMP，∴∠APM=∠A′ON=90°，∴△AON∽△ACB，∴S△AONS△ACB =(AOAC)2=14，∵S△ABC=12×8×6=24，∴S△AON=6，同理，S△AMP=0.24，∴△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是6−0.24=5.76．故答案为：5.76．19.【答案】解：原式=(√22)2−√32×√32+(√3)2−1×12=12−1+3−12 =2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：(1)把y =0代入y =x 2−4x −5，得x 2−4x −5=0，解得，x 1=5，x 2=−1，即当y =0时，x 的值是−1或5；(2)∵点M(6,m)在二次函数y =x 2−4x −5的图象上，∴m =62−4×6−5=7，∴点M(6,7)，∵二次函数y =x 2−4x −5，与y 轴的交点为P ，∴点P 的坐标为(0,−5)，设直线MP 的函数解析式为y =kx +b ，{6k +b =7b =−5，得{k =2b =−5， 即直线MP 的解析式为y =2x −5，当y =0时，x =52，即点C 的坐标为(52,0)，由(1)知，当y =0时，x 的值是−1或5，∵二次函数y =x 2−4x −5与x 轴交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，∴点B 的坐标为(5,0)，∴cot∠MCB =6−527=12．【解析】(1)根据题目中的函数解析式，可以求得当y −0时对应的x 值；(2)根据题意可以求得点M 的坐标，点C 的坐标和点B 的坐标，从而可以求得cot∠MCB 的值．本题考查抛物线与x 轴的交点、一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21.【答案】解：(1)分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为点M 、N ，根据题意，可知AM =DN =24(米)，MN =AD =6(米)，在Rt △ABM 中，∵AM BM =13，∴BM =72(米)，∵AB 2=AM 2+BM 2，∴AB =√242+722=24√10(米)，答：背水坡AB 的长度为24√10米；(2)在Rt△DNC中，DNCN =12，∴CN=48(米)，∴BC=72+6+48=126(米)，答：坝底BC的长度为126米．【解析】(1)直接分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC垂足分别为点M、N，得出AM= DN=24(米)，MN=AD=6(米)，进而利用坡度以及勾股定理进而得出答案；(2)利用(1)中所求，进而得出BC的长．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．22.【答案】(1)证明：∵OD为圆的半径，D是BC⏜的中点，∴OD⊥BC，BE=CE=12BC，∵CH⊥AB，∴∠CHB=90°，∴HE=12BC=BE，∴∠B=∠EHB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠EHB=∠OCB，又∵∠B=∠B∴△BHE∽△BCO．(2)解：∵△BHE∽△BCO，∴BHBC =BEOB，∵OC=4，BH=1，∴OB=4，得12BE =BE4，解得BE=√2，∴EH=BE=√2．【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；(2)由△BHE∽△BCO，可得BHBC =BEOB，由此即可解决问题；本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴AMMF =DMMB，DMMB=MHAM，∴AMMF =MHAM，即AM2=MF⋅MH．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，又∵BC2=BD⋅DM，∴AD 2=BD ⋅DM 即AD DB =DM AD ，又∵∠ADM =∠BDA ，∴△ADM∽△BDA ，∴∠AMD =∠BAD ，∵AB//CD ，∴∠BAD +∠ADC =180°，∵∠AMB +∠AMD =180°，∴∠AMB =∠ADC ．【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)由△ADM∽△BDA ，推出∠AMD =∠BAD ，由AB//CD ，推出∠BAD +∠ADC =180°，由∠AMB +∠AMD =180°，可得∠AMB =∠ADC ；本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c 得：{c =63=1+b +c ，解得：{b =−4c =6， 则抛物线的表达式为：y =x 2−4x +6；(2)y =x 2−4x +6=(x −2)2+2，故顶点坐标为(2,2)，把点P 坐标代入直线l 1表达式得：2=2k ，即k =1，∴直线l 1表达式为：y =x ，设：点M(2,m)代入直线l 2的表达式得：m =−4，即点M 的坐标为(2,−4)，设：点N(n,−4)代入直线l 1表达式得：n =−4，则点N 坐标为(−4,−4)，同理得：点D 、E 的坐标分别为(−2,0)、(0,−2)、联立l 1、l 2得{y =x y =−x −2，解得：{x =−1y =−1，即：点C 的坐标为(−1,−1)， ∴OC =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2，CE =√2=OC ，∵点C 在直线y =x 上，∴∠COE =∠OEC =45°，∴∠OCE =90°，即：NC ⊥l 2，NC =√(−1+4)2+(−1+4)2=3√2>4，∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线l 2相离；(3)①当点F 在直线l 2下方时，设：∠OBK =α，点A 、B 的坐标分别为(0,6)，(1,3)，则AO =6，AB =BO =√10， 过点B 作BL ⊥y 轴交于点L ，则tan∠OAB =13，sin∠OAB =√10，OK =AOsin∠OAB =√10×6√10，sinα=OK OB =35， ∵等腰△MHF 和等腰△OAB 相似，∴∠HFM =∠ABO ，则∠KBO =∠OFM =α，点C 、M 的坐标分别为(−1,−1)、(2,−4)， 则CM =3√2，FM =CM sinα=5√2，CF =4√2，OF =OC +FC =5√2，则点F 的坐标为(−5,−5)，∵FH =FM =5√2，OH =OF +FH =10√2，则点H 的坐标为(−10,−10)；②当点F 在直线l 2上方时，同理可得点F 的坐标为(8,8)，点H 的坐标为(3,3)或(−10,10)；故：点F 、H 的坐标分别为(−5,−5)、(−10,−10)或(8,8)、(3,3)或(8,8)、(−10,−10)．【解析】(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c ，即可求解；(2)求而出点N 、点C 的坐标，计算NC 得长度即可求解；(3)分点F 在直线l 2下方、点F 在直线l 2上方两种情况，求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，难点在(3)，利用等腰三角形相似得出∠KBO =∠OFM =α，再利用解直角三角形的方法求线段的长度，从而求解．25.【答案】解：(1)证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴AB =AC ，∠ABC =∠BAF =180×(6−2)6=120°，∴∠BAC =∠BCA ，∵∠BAC +∠BCA +∠ABC =180°，∴∠BAC =30°，得∠CAF =90°，同理∠ACD =90°，∠AFD =90°，∴四边形ACDF 是矩形；(2)如图1，连接OC 、OD ，由题意得：OC =OD ，∠COD =360°6=60°，∴△OCD 为等边三角形，∴CD =OC =r ，∠OCD =60°，作ON ⊥CD ，垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，∴CN =12CD =12r ，由sin∠OCD =ON OC =√32得ON =√32r ， 作OP ⊥AC 垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，∴CP=12AC，∵∠OCP=90°−60°=30°，∴CP=OC⋅cos30°=√32r，得AC=√3r，当CH经过点E时，可知∠ECD=30°，∵四边形ACDF是矩形，∴AF//CD，∴∠AHC=∠ECD=30°，∴在Rt△ACH中，CH=2AC=2√3r，∵MH⊥CH，∴cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，∴MN=72r，∴在Rt△MON中，OM=√ON2+MN2=√13r，∵⊙M与⊙O外切，∴r Q+r M=OM，即⊙M的半径为(√13−1)r．(3)如图2，作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，∵AF//CD，AC⊥CD，∴HQ=AC=√3r，∴CQ=HQ·1tan∠HCQ =√3r⋅1tanα，MQ=HQ⋅tan∠QHM=√3r⋅tanα，即CM=√3r(tanα+1tanα)，①当0°<α<60°时，点H在边AF的延长线上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CQ−CD=√3r⋅1tanα−r，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(6×1tana)2．②当α=60°时，点H与点F重合，此时点C、M、H、F构成三角形，非四边形，所以舍去．③当60°<α<90°时，点H在边AF上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CD−CQ=r−√3r⋅1tanα，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(√3+3tanα)⋅r22．综上所述，当∠HCD=α(0°<α<90°)时，点C、M、H、F构成的四边形的面积为(6tan+3tana−√3)·r22或(√3+3tanα)⋅r22．【解析】(1)根据正多边形的性质和矩形的判定解答即可；(2)连接OC、OD，证△OCD为等边三角形得CD=OC=r，∠OCD=60°，作ON⊥CD求得ON=√32r，再作OP⊥AC，求得AC=√3r，由四边形ACDF是矩形知∠AHC=∠ECD=30°，据此得CH=2AC=2√3r，由cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，MN=72r，利用勾股定理求得OM=√ON2+MN2=√13r，依据⊙M与⊙O外切可得答案；(3)作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，再由AF//CD，AC⊥CD知HQ=AC=√3r，继而求得CQ=√3r⋅1tanα，MQ=√3r⋅tanα，则CM=√3r(tanα+1tanα)，再分0°<α<60°、α=60°和60°<α<90°三种情况分别求解可得．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、垂径定理、平行线的性质、圆与圆的位置关系、三角函数的应用及分类讨论思想的运用等知识点．。
2019上海初三数学一模18题解析
2019年上海市初三一模数学考试18题解析2019.1一、宝山18．如图，Rt △A BC 中，90∠=︒ACB ，4=AC ，5BC =， 点P 为AC 上一点，将BCP △沿直线BP 翻折，点C 落在 C '处，连接A C '，若AC BC '∥，那么CP 的长为 ． 【答案】52． 【解析】如图，BPC BPC '△≌△， 222A C A D DC A D BC BD '''=-=--=，设(04)CP C P x x '==<<，则4AP x =-， 由22252C P A C A P x ''=+⇒=，即CP 的长为52．二、崇明18．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD 中， 点M 在CD 边上，连结A M 、BM ，90AMB ∠=︒，则 点M 为直角点．若点E 、F 分别为矩形ABCD 边AB 、CD 上的直角点，且5AB =，6BC =，则线段EF 的长为 ．【答案】6或7．【解析】① 当线段EF AB ⊥时，6EF =； ② 当线段EF 不垂直于AB 时，取CD 中点M ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知11522M E CD ==，从而222111112M F M F M E E F ==-=，∴121F F =，221212117E F F F E F =+=； 综上，线段EF 的长为6或7．三、奉贤18．如图，在A BC △中，5AB AC ==，3sin 5C =，将A BC △绕点A 逆时针旋转得到ADE △，点B 、C 分别与点D 、E 对应，A D 与 边BC 交于点F ．如果AE BC ∥，那么BF 的长是 ．【答案】258． 【解析】过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ，∵5AB AC ==，3sin 5C =，∴B C ∠=∠且28BC CH ==， ∵A BC A DE △≌△，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAF EAC ∠=∠， ∵AE BC ∥，∴EAC C ∠=∠，从而BAF C ∠=∠， 于是A BC FBA △∽△，∴258A B BC BF BF A B =⇒=． 四、虹口18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，BED △绕着点B 旋转至11BE D △， 如果点1D E D 、、在同一直线上，那么1E E 的长为 ． 【答案】610． 【解析】过点B 作1DD 的垂线，垂足为H ，由题意，2,42,25BE BD ED ===，由等面积法可得1122BDE S BE A D ED BH =⋅=⋅△，解得45BH =，从而22124522DD DH BD BH ==-=， ∵11D BE DBE ∠=∠，∴1111D BE D BE D BE DBE ∠+∠=∠+∠， 即11EBE DBD ∠=∠，又1BE BE =，1BD BD =， ∴11EBE DBD △∽△，∴111610EE BE EE DD BD =⇒=．五、黄浦18．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边A D 上的点，EF BE ⊥， 交边CD 于点F ，联结CE 、BF ，如果3tan 4A BE ∠=，那么 :CE BF = ．【答案】45． 【解析】由3tan 4A BE ∠=可得::3:4:5AE AB BE =， 由一线三直角模型可知，A BE DEF △∽△，∴A B BEDE EF=， ∵AB CD =，∴CD BE CD DE DE EF BE EF =⇒=，从而Rt Rt CDE BEF △∽△，∴45CE CD BF BE ==．六、嘉定18．在A BC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，3A C A E =，45CDE ∠=︒（如图），DCE △沿直线DE 翻折，翻 折后的点C 落在A BC △内部的点F ，直线A F 与边BC 相交于点G ， 如果BG AE =，那么tan B = ． 【答案】37． 【解析】如图，易得四边形CDFE 为正方形，设(0)A E BG a a ==>，则3AC a =，2FE EC a ==， ∵EF BC ∥，∴FE A E GC A C =，得6GC a =，∴33tan 77A C aB BC a ===．七、金山18．如图，在Rt A BC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =．在边AB 上取一点O ，使BO OC =，以点O 为旋转中心，把A BC △逆时针旋转90︒， 得到A B C '''△（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么 A BC △与A B C '''△的重叠部分的面积是 ． 【答案】14425【解析】如图，易证A BC A FO A DE A DO '△∽△∽△∽△， 224116844A FO A FO A BC A BC S A O S S S A C ⎛⎫⎛⎫===⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△， 3314OD OD AD OA =⇒=⇒='，2211161010010025A DE A DE A BC A BCS A D S S S A B ⎛⎫⎛⎫===⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△，则14425ODEF A FO A DE S S S S ==-=△△重叠． 八、静安18．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后， 点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结A E ．如果 2tan 3DFC ∠=，那么BD A E的值是 ． 【答案】13． 【解析】2222313tan 3DF DFC CD +∠=⇒==， 易证Rt Rt BFE DFC △≌△，∴BF DF =，∵90BAE ABD ABD FBD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAE FBD ∠=∠，又AB EB =，∴可证A BE BFD △∽△，∴13BD BF DF A E A B CD ===．九、闵行18．如图，在Rt A BC △中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，点D 为边AB 上一点．将BCD △沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结A E ． 如果AE CD ∥，那么BE = ．【答案】245． 【解析】联结BE ，交CD 于点M ，易证DM 为EB 的垂直平分线， ∵AE CD ∥，∴AE EB ⊥，又∵EM M B =，∴D 为AB 中点，∴1522CD A B ==，由等面积法可得1122BCD A BC BM CD S S ⋅==△△，1224255BM BE BM ⇒=⇒==． 十、浦东18．将矩形纸片ABCD 沿直线A P 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果AED ∠的余弦值为35，那么A BBC= ．【答案】2425． 【解析】联结DE ，交A P 于点M ，易证A M 为ED 的垂直平分线，由AED ∠的余弦值为35，设3,5(0)EM a A E A D a a ===>，则26ED EM a ==，4AM a =，易证Rt Rt A EM DEC △∽△， ∴42455CD A M CD a ED A E ==⇒=，从而2425A B CD BC A D ==．十一、普陀18．如图，A BC △中，8AB AC ==，3cos 4B =，点D 在边BC 上，将A BD △沿直线A D 翻折得到AED △，点B 的对应点为E ，A E 与边BC 相交于点F ，如果2BD =， 那么EF = ．【答案】3215． 【解析】过点A 作BC 的垂线，垂足为H ，由题意，6CH =，27A H =，A BD A ED △≌△，∴B E C ∠=∠=∠，2DE BD ==，8AE AB ==，从而可证DEF A CF △∽△， ∴14EF DE CF A C ==，设(0)EF x x =>，则4CF x =，46FH x =-，8AF x =- ∵222AF AH FH =+，∴22(8)28(46)x x -=+-，解得3215x =或0x =（舍），即3215EF =．十二、青浦18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点 S 称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE ，1S 是“亮点”， 2S 不是“亮点”，如果AB DE ∥，AE DC ∥，2AB =，1AE =，60B C ∠=∠=︒，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的 面积为 ．【答案】3． 【解析】由“亮点”的定义，可得所有“亮点”组成的图形为 图中的正三角形EFG ，其边长为1，∴面积为3．十三、松江18．如图，在直角坐标平面xOy 中，点A 坐标为(3,2)，90AOB ∠=︒，30OAB ∠=︒，AB 与x 轴交于点C ，那么:AC BC 的值为 ． 【答案】23． 【解析】如图，过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足为D 、E ， 过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，于是，由题意可得3,2,3OAA D OD OB===， 由一线三直角模型可知，A OD OBE △∽△， ∴23,3A O OD A D BE OE OB BE OE ==⇒==， 易证，CGA CFB △∽△，∴233A C A G OD BC BF OE ====．十四、徐汇18．在梯形ABCD 中，AB DC ∥，90B ∠=︒，6BC =，2CD =，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF AD ∥交边AB 于点F ．将BEF △沿直线EF 翻折得到GEF △，当EG 过点D 时，BE 的长 为 ．【答案】6512． 【解析】如图，过点D 作EF 的垂线，垂足为H ，交BC 于点I ，∵EF AD ∥，∴A EFB ∠=∠，由同角的余角相等，可得EFB DIC ∠=∠， ∵3tan 4A =，∴3810tan ,433CD DIC CI DI CI ∠==⇒==，易证，DEH IEH △≌△，∴DH HI =，1523H I DI ==，由34525tan 45412H I DIC EI H I EI ∠=⇒=⇒==，∴712CE CI EI =-=，6512BE BC CE =-=．十五、杨浦18．Rt A BC △中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 ． 【答案】2413． 【解析】如图，A BC A DE △≌△且四边形ACFG 为矩形， ∴2BC DE ==，3AC AE ==，由一线三直角模型可知，A GE EFD △∽△，∴32GE A E FD ED ==， 设3,2GE x DF x ==，则33EF x =-， 由勾股定理，得222DE DF EF =+，解得513x =，∴点E 到直线BC 的距离243313EF x =-=．十六、长宁18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将A BP △ 沿直线A P 翻折，点B 恰好落在边A D 的垂直平分线上，如果 5AB =，8A D =，4tan 3B =，那么BP 的长为 ． 【答案】257或7． 【解析】记A D 的垂直平分线为l 交A D 、BC 分别于点E 、F ，过点A 作BC 的垂线，垂足为H ， 由已知条件，易得5AB AB '==，3BH =，223EB A B A E ''=-=，4AH EF ==，7BF =， 设(08)BP BP x x '==<<，则7PF x =-，如图，情况一（B 点翻折后的对称点B '在线段EF 上），此时1B F '=，在Rt B PF '△中应用勾股定理，得222B P PF B F ''=+，解得257x =或0x =（舍）；情况二（B 点翻折后的对称点B '在线段EF 的延长线上），此时7B F '=， 类似有222B P PF B F ''=+，解得7x =（表示P 与F 重合）或0x =（舍）；综上，BP 的长为257或7．。
2019-2020学年上海市崇明区初三数学一模(试卷+参考答案)
崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列各组图形一定相似的是（▲）(A)两个菱形；(B)两个矩形；(C)两个直角梯形；(D)两个正方形． 2．在Rt △ABC 中，∠C90，如果AC8，BC6，那么∠B 的余切值为（▲）3 (A) 43．抛物线；(B)4；(C)3 352 y3(x1)2的顶点坐标是（▲）；(D)4 5． (A)(1,2)；(B)(1,2)；(C)(1,2)；(D)(1,2)．4．已知c 为非零向量，a3c ，b2c ，那么下列结论中错．误．的是（▲）(A)a ∥b ；(B)3 ab ；(C)a 与b 方向相同；(D)a 与b 方向相反．25．如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（▲）(A)点P ；(B)点Q ；(C)点R ；(D)点M ． AB··AP·Q ··R·CDE NM·B C M(第6题图)(第5题图)6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且DE ∥BC ，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是（▲）(A)A DAN ANAE；(B)D NBM NECM；(C)D NAE BMEC；(D)D NNE MCBM．九年级数学共6页第1页二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知xy23，那么x yx▲．8．已知线段A B8cm，点C在线段A B上，且2ACBCAB，那么线段A C的长▲cm．9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为▲度．10．小杰沿坡比为1︰2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了▲米．11．在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿影长为3米，同时同地测得一栋楼的影长为90米，那么这栋楼的高度为▲米．12．如果将抛物线221yxx先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为▲．13．如果二次函数2yaxbxc图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是▲．x⋯1012⋯y⋯0343⋯14．一个正五边形的中心角的度数为▲度．15．两圆的半径之比为3︰1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为▲．16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是▲．17．如图，在△ABC中，ACAB，点D在BC上，且BDBA，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，点F是AC的中点，联结EF．如果四边形DCFE和△BDE的面积都为3，那么△ABC 的面积为▲．18．如图，在Rt△ABC中，∠C90，AB10，AC8，点D是AC的中点，点E在边AB 上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A处，当AEAB时，那么AA的长为▲．BAEFB DC C·DA (第17题图)(第18题图)九年级数学共6页第2页三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2cot602tan302tan60sin452sin30．20．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC2AD，对角线AC、BD相交于点O，设A D a，ABb．（1）试用a、b的式子表示向量AO；A D（2）在图中作出向量DO在a、b方向上的分向量，O 并写出结论．BC(第20题图)21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，AC是O的直径，弦BDAO于点E，联结BC，过点O作OFBC于点F，BD8，AE2．（1）求O的半径；（2）求OF的长度．(第21题图)九年级数学共6页第3页22．（本题满分10分，第(1)小题５分，第(2)小题５分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC150，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD150时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？D· D·CC···B·BEA l·Al(图2)(图3)(图1)(第22题图)23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）如图，△ABC中，ADBC，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DFBE，垂足为F，且AEDFEFCD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF∠DCF；（2）AFBDACDF．AEFOBCD(第23题图)九年级数学共6页第4页24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，抛物线与x轴相交于点A(3,0)、点B(1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．(第24题图)（备用图）九年级数学共6页第5页25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，在△ABC中，ABAC10，BC16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AFAD交射线DE于点F．（1）求证：ABCEBDCD；A（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；F（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．EBCD(第25题图)AB DCBC(备用图)崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学答案及评分参考2020.1 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、D2、A3、C4、C5、B6、B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、528、4549、7010、5011、5412、(1,1)13、(3,0)14、7215、216、617、1018、285 2 或452三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19、解：原式=33223322(3)()1222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3312⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分523 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分20、（1）∵AD∥BC，BC2ADAOAD ∴OCBC 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AO AC ∴13即1AOAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分3∵ADa，BC与AD同向∴BC2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵ACABBCb2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分12∴AOba⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分33（2）略，画图正确得4分，结论正确得1分21、（1）解：∵AC是O的直径，弦BDAO，BD8∴1BEDEBD4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2联结O B，设O的半径为x，则O AOBx∵AE2∴OEx2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵在Rt△OEB中，222OEBEOB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分222∴(x2)4x解得x5∴O的半径为5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）∵在Rt△CEB中，222 CEBEBC又∵CE538，BE4∴BC45⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵OBOC，OFBC∴1BFCFBC25⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2∵在Rt△OFB中，222 OFBFOB∴OF25205⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分22、（1）解：过点B作BHDE，垂足为H由题意可得：ABHE5cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDBCCD40cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∠ABH∠DHB90，∠DBH1509060⋯⋯1分∴在Rt△DHB中，sin∠DBH D HDH3 DB402∴DH203cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴DE2035(cm)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点C作CGBH，CKDE，垂足分别为G、K由题意可得：BCCD20cm，CGKH九年级数学共6页第8页∴在Rt△CGB中，C GCG3sin∠CBH∴CG103cm BC202∴KH103cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠BCG906030∴∠DCK150903030⋯⋯1分∴在Rt△DCK中，sinDCK∠D KDK1 DC202∴DK10cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴现在的高度为15103厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴(2035)(15103)10310比原来降低了10310厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分23、（1）证明：∵ADBC，DFBE∴∠ADB∠DFE90⋯⋯⋯1分∴∠DBE∠BED90，∠DBE∠BDF90∴∠BED∠BDF∴∠AEF∠CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵AEDFCDEFAEEF∴CDDF∴△AEF∽△CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴∠EAF∠DCF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）证明：∵△AEF∽△CDF∴∠EFA∠DFC∴∠AFO∠EFD90∵∠DFB90∴∠BFD∠AFC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠EAF∠DCF，∠AOF∠COD∴△AOF∽△COD∴AOOFOCOD九年级数学共6页第9页AOOC∴OFOD又∵∠AOC∠FOD∴△AOC∽△FOD∴∠ACF∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠DBE∠BED∠FDE∠BED90∴∠DBE∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∠ACF∠DBE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分又∵∠BFD∠AFO∴△BFD∽△CFA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AFAC∴DFBD∴AFBDACDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分24、（1）解：设抛物线的解析式为2(0)yaxbxca∵抛物线2yaxbxc过点A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)9a3bc0∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分abc0c3a1b2解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分c3223 ∴这条抛物线的解析式为y xx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分顶点坐标为(1,4)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点B作BHAC，垂足为H∵∠AOC90，OAOC3∴∠OAC∠OCA45，AC32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠BHA90∴∠HAB∠HBA90∴∠HAB∠HBA45∵在Rt△AHB中，222 AHBHAB，AB4∴AHBH22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分九年级数学共6页第10页∴CH32222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BH22∵∠BHC90∴tanACB2∠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分CH2 （3）解：过点D作DKx轴，垂足为K2设(,23)Dxxx，则K(x,0)，并由题意可得点D在第二象限223∴DKxx，OKx∵∠BAC是公共角∴当△AOE与△ABC相似时存在以下两种可能1°∠AOD∠ABC∴tan∠AODtan∠ABC3∴223xxx3113113解得x1，x2（舍去）⋯⋯⋯1分221133133∴D(,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分222°∠AOD∠ACB∴tan∠AODtan∠ACB2∴223xxx2 解得x13，x23（舍去）⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴D(3,23)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分综上所述：当△AOE与△ABC相似时，1133133点D的坐标为(,)22或(3,23)．25、（1）证明：∵ABAC∴∠B∠C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ADC∠B∠BAD即∠ADE∠CDE∠B∠BAD九年级数学共6页第11页∵∠ADE∠B∴∠BAD∠CDE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴△BDA∽△CED⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分ABBD∴CDCE∴ABCEBDCD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）∵OF平分∠ADC∴∠ADE∠CDE∵∠CDE∠BAD∴∠ADE∠BADAEBDACBC∴DF∥AB∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ADE∠B∠C∴∠BAD∠C又∵∠B是公共角∴△BDA∽△BAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDBA ∴BABCBD10∴101625∴BD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分4254AE ∴1016125∴AE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分32（3）过点A作AHBC，垂足为H1 ∵ABAC，AHBC∴BHCHBC28由勾股定理得出AH6∴3tanB4∵∠ADE∠B，AFAD∴tanADF∠A FAD34ADAB设A F3k，则A D4k，DF5k∵△BDA∽△CED∴DECD ①点F在线段D E的延长线上，当△AEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°FAFE3k，则D E2k104k∴CD2k∴CD5∴BD16511⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2°EAEF则D E2.5k九年级数学共6页第12页104k ∴CD2.5k252539∴CD∴BD16⋯⋯⋯⋯⋯2分44473°AEAF3k则D Ek5104k∴75 CDk7725∴CD∴BD16⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分222②点F在线段D E上，当△AEF是等腰三角形时，∵∠AFE90∠ADF∴∠AFE是一个钝角∴只存在FAFE3k这种可能，则D E8k104k∴CD8k∴CD20＞16，不合题意，舍去综上所述，当△AEF是等腰三角形时，BD的长11或394或252．（做对1种情况2分，做对2种情况4分，做对3种情况但没有讨论在线段D E上的这种可能5分，做对3种情况并分类讨论出不存在的情况6分）九年级数学共6页第13页。
2019年上海市普陀区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 已知二次函数y =(a −1)x 2+3的图象有最高点，那么a 的取值范围是( )A. a >0B. a <0C. a >1D. a <12. 下列二次函数中，如果图象能与y 轴交于点A(0,1)，那么这个函数是( )A. y =3x 2B. y =3x 2+1C. y =3(x +1)2D. y =3x 2−x3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE 与△ABC 相似，那么这个条件是( )A. ∠AED =∠BB. ∠ADE =∠CC. AD AC =AE ABD. AD AB =DE BC 4. 已知a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 都是非零向量，如果a ⃗ =2c ⃗ ，b ⃗ =−2c ⃗ ，那么下列说法中，错误的是( ) A. a ⃗ //b ⃗ B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ +b ⃗ =0D. a ⃗ 与b ⃗ 方向相反5. 已知⊙O 1和⊙O 2，其中⊙O 1为大圆，半径为3.如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于( )A. 1B. 4C. 5D. 86. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，且DE 经过重心G ，在下列四个说法中①DE BC =23；②BD AD =13；③C △ADE C △ABC =23；④S △ADE S 四边形DBCE =45，正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 如果x y =72，那么x−2yy 的值是______．8. 化简：3(a⃗ +12b ⃗ )−2(a ⃗ −b ⃗ )=______． 9. 如果抛物线y =2x 2+x +m −1经过原点，那么m 的值等于______．10. 将抛物线y =12(x +3)2−4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是______． 11.已知抛物线y =2x 2+bx −1的对称轴是直线x =1，那么b 的值等于______． 12.已知△ABC 三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于______． 13.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =3，BC =1，那么∠A 的正弦值是______． 14. 正八边形的中心角为______度．15.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD=1，BC=5，2那么DC的长等于______．16.如图，AB//CD，AD、BC相交于点E，过E作EF//CD交BD于点F，如果AB：CD=2：3，EF=6，那么CD的长等于______．17.已知二次函数y=ax2+c(a>0)的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1______y2(填“<”、“=”或“>”)18.如图，△ABC中，AB=AC=8，cosB=3，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD4翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD=2，那么EF=______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：4sin45°+cos230°−2cot45°．tan60°−√2四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AE与BD 相交于点G ，AG ：GE =3：1．(1)求EC ：BC 的值；(2)设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示)21. 如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1O 2与AB 交于点C ，O 2A 的延长线交⊙O 1于点D ，点E 为AD 的中点，AE =AC ，联结OE ．(1)求证：O 1E =O 1C ；(2)如果O 1O 2=10，O 1E =6，求⊙O 2的半径长．22. 如图，小山的一个横断面是梯形BCDE ，EB//DC ，其中斜坡DE 的坡长为13米，坡度i =1：2.4，小山上有一座铁塔AB ，在山坡的坡顶E 处测得铁塔顶端A 的仰角为45°，在与山坡的坡底D 相距5米的F 处测得铁塔顶端A 的仰角为31°(点F 、D 、C 在一直线上)，求铁塔AB 的高度．(参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6)23.已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2=AF⋅AB，∠DAF=∠EAC．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)求证：DFDE =CECB．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B，且OB=3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；(2)如果点E是y轴上的一点(点E与点C不重合)，当BE⊥DE时，求点E的坐标；(3)如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD=135°，求点F的坐标．25.如图，点O在线段AB上，AO=2OB=2a，∠BOP=60°，点C是射线OP上的一个动点．(1)如图①，当∠ACB=90°，OC=2，求a的值；(2)如图②，当AC=AB时，求OC的长(用含a的代数式表示)；(3)在第(2)题的条件下，过点A作AQ//BC，并使∠QOC=∠B，求AQ：OQ的值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．【解答】解：由题意可知：a−1<0，∴a<1，故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x=0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A(0,1)．【解答】解：当x=0时，y=3x2=0；当x=0时，y=3x2+1=1；当x=0时，y=3(x+1)2=9；当x=0时，y=3x2−x=0，所以抛物线y=3x2+1与y轴交于点(0,1)．故选B．3.【答案】D【解析】【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【解答】解：由题意得，∠A=∠A，A.当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B.当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C.当ADAC =AEAB时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D.当ADAB =DEBC时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．考查了向量，向量是既有方向又有大小的．【解答】解：A.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，且a⃗与b⃗ 方向相反，故本选项说法正确；B.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以|a⃗|=|b⃗ |=|2c⃗|，故选项说法正确；C.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =0，故本选项说法错误；D.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，且a⃗与b⃗ 方向相反，故本选项说法正确；故选：C．5.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距=两圆半径之差，外切时，r+R=d．【解答】根据两圆位置关系是内切，则圆心距=两圆半径之差，以及外切时，r+R=d，分别求出即可．解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3−x=2，∴x=1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3=4．故选：B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．连接AG并延长，交BC于F，依据DE//BC，且DE经过重心G，即可得到△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE//BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =ADAB=AGAF=23，故①正确；∴C△ADEC△ABC =23，故③正确；∵DG//BF，∴GFGA =DBDA=12，故②错误；∵△ADE∽△ABC ，DE BC =23，∴S △ADE S △ABC =49， ∴S △ADES 四边形DBCE =45，故④正确； 故选C ．7.【答案】32【解析】解：∵x y =72，∴设x =7a ，则y =2a ，那么x−2y y =7a−4a 2a=32． 故答案为：32．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出x ，y 的值是解题关键．8.【答案】a ⃗ +72b ⃗【解析】解：3(a⃗ +12b ⃗ )−2(a ⃗ −b ⃗ )=3a ⃗ +32b ⃗ −2a ⃗ +2b ⃗ =(3−2)a ⃗ +(32+2)b ⃗ =a ⃗ +72b ⃗ ．故答案是：a⃗ +72b ⃗ ． 平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．9.【答案】1【解析】解：把(0,0)代入y =2x 2+x +m −1得m −1=0，解得m =1，故答案为1．把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m 的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 10.【答案】y =12(x +1)2−1【解析】解：将抛物线y =12(x +3)2−4向右平移2个单位所得直线解析式为：y =12(x +3−2)2−4=12(x +1)2−4；再向上平移3个单位为：y =12(x +1)2−4+3，即y =12(x +1)2−1．故答案是：y =12(x +1)2−1．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11.【答案】−4【解析】解：∵y=2x2+bx−1，∴抛物线对称轴为x=−b2×2=−b4，∴−b4=1，解得b=−4，故答案为−4．由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y=ax2+bx+c的对称轴为x=−b2a．12.【答案】24【解析】解：设△A′B′C′的最大边长是x，根据相似三角形的对应边的比相等，可得：2 12=4x，解得：x=24，∴△A′B′C′最大边的长等于24．故答案为：24．由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△A′B′C′的最大边的长．本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．13.【答案】13【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=3，BC=1，∴∠A的正弦sinA=BCAB =13，故答案为13．我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.代入数据直接计算得出答案．本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14.【答案】45【解析】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15.【答案】2√5【解析】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC=90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC=90°，∴∠ABD=∠C，∴tanC=BDDC =12，∴BD=12CD，由勾股定理得，BD2+CD2=BC2，即(12CD)2+CD2=52，解得，CD=2√5，故答案为：2√5．根据垂直的定义得到∠ABD=∠C，根据正切的定义得到BD=12CD，根据勾股定理计算即可．本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．16.【答案】15【解析】【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由△ABE∽△DCE，推出BEEC =ABCD=23，可得BEBC=25，再证明△BEF∽△BCD，可得EFCD=BEBC=25，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB//CD，∴△ABE∽△DCE，∴BEEC =ABCD=23，∴BEBC =25，∵EF//CD，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD =BEBC=25，∵EF=6，∴CD=15，故答案为15．17.【答案】<【解析】解：∵二次函数y=ax2+c(a>0)，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1<y2．故答案为<．由于二次函数y=ax2+c(a>0)的图象的开口向上，对称轴为y轴，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y= ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)．18.【答案】3215【解析】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，∵AB=AC=8，cosB=34，∴BH=6=CH，BC=12，由折叠可得，BD=DE=2，∠E=∠ABC=∠C，AB=AE=6，又∵∠AFC=∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴DFAF =EFCF=DEAC=14，设EF=x，则CF=4x，AF=8−x，∴DF=14AF=2−14x，∵BD+DF+CF=BC，∴2+2−14x+4x=12，解得x=3215，∴EF=3215，故答案为3215．过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH=6=CH，由折叠可得，BD=DE=2，∠E=∠ABC=∠C，AB=AE=6，依据△AFC∽△DFE，即可得到DFAF =EFCF=DE AC =14，设EF=x，则CF=4x，AF=8−x，DF=14AF=2−14x，依据BD+DF+CF=BC，可得x的值，进而得出EF的长．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．19.【答案】解：原式=4×√22+(√32)2−2×1√3−√2=2√2+34−2(√3+√2)=34−2√3．【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴ADBE =AGGE=3，∴BC BE =3， ∴EC ：BC =2：3． (2)23a ⃗ +43b ⃗ ，12a ⃗ +12b ⃗ .【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)利用三角形法则计算即可．【解答】解：(1)见答案；(2)∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AC =2AO ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，EC =23BC ，∴EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +43b ⃗ ， ∵AD//BE ，∴BG GD =EG AG =13，∴BG =14BD ，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +a ⃗ +2b ⃗ =2a ⃗ +2b⃗ ， ∴BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(2a ⃗ +2b ⃗ )=12a ⃗ +12b ⃗ ， 故答案为23a ⃗ +43b ⃗ ，12a ⃗ +12b ⃗ ． 21.【答案】(1)证明：连接O 1A ，∵点E 为AD 的中点，∴O 1E ⊥AD ，∵⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1O 2与AB 交于点C ，∴O 1C ⊥AB ，在Rt △O 1EA 和Rt △O 1CA 中，{O 1A =O 1A AE =AC， ∴Rt △O 1EA≌Rt △O 1CA(HL)∴O 1E =O 1C ；(2)解：设⊙O 2的半径长为r ，∵O 1E =O 1C =6，∴O 2C =10−6=4，在Rt △O 1EO 2中，O 2E =√O 1O 22−O 1E 2=8，则AC =AE =8−r ，在Rt △ACO 2中，O 2A 2=AC 2+O 2C 2，即r 2=(8−r)2+42，解得，r=5，即⊙O2的半径长为5．【解析】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．(1)连接O1A，根据垂径定理得到O1E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论；(2)设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．22.【答案】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i=1：2.4，∴设EH=5x，则DH=12x，∵EH2+DH2=DE2，∴(5x)2+(12x)2=132，∴x=1(负值舍去)，∴EH=5，DH=12，∵EB//DC，∴∠ABE=∠AGH=90°，∵∠AEB=45°，∴AB=BE，∴HG=AB，∴FG=5+12+AB，AG=AB+5，∵∠F=31°，∴tanF=tan31°=AGFG =AB+517+AB=0.6，∴AB=13米，答：铁塔AB的高度是13米．【解析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH=5，DH=12，根据三角函数的定义解直角三角形，然后列方程可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵AE2=AF⋅AB，∴AEAB =AFAE，∵∠EAF=∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF=∠B，∵∠DAF=∠EAC，∴∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB．(2)∵△ADE∽△ACB，∴DE BC =AD AC ，∠D =∠C ，∵∠DAF =∠EAC ，∴△ADF∽△ACE ，∴AD AC =DF EC ， ∴DEBC=DF EC ， ∴DF DE =CE CB ．【解析】(1)由AE 2=AF ⋅AB ，推出△AEF∽△ABE ，推出∠AEF =∠B ，再证明∠DAE =∠BAC ，即可解决问题；(2)由△ADE∽△ACB ，推出DE BC =AD AC ，∠D =∠C ，再证明△ADF∽△ACE ，可得AD AC =DFEC ，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)OB =3OA =3，则点B 的坐标为(3,0)，将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：{0=a −b +c 0=9a +3b +c，解得：{a =1b =−2， 则抛物线的表达式为：y =x 2−2x −3…①，函数对称轴为x =−b2a =1，则点D 的坐标为(1,−4)；(2)如图，过点D 作DL ⊥y 轴，交于点E ，设：OE =m ，则EL =4−m ，OB =3，DL =1，∵∠LED +∠OEB =90°，∠OEB +∠OBE =90°，∴∠LED =∠OBE ，∴tan∠LED =tan∠OBE ，即：OE OB =LD EL ，m 3=14−m ，解得：m =1或3(舍去x =3)，则点E 的坐标为(0,−1)；(3)延长BD 交y 轴于点H ，将△BCH 围绕点B ，顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F ，∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，则∠FBD=135°，BC′⊥x轴，则点C′(3,3√2)，∠H′C′B=∠HCB=180°−45°=135°，tan∠ABD=−y DOB−x D =42=2，OH=OB⋅tan∠ABD=2×3=6，则：HC=6−3=3=H′C′，过点C′作C′G⊥GH′交于点G，在△BGH′中，GC′=H′C′cos45°=3√22=GH′，则点H′的坐标为(3−3√22,9√22)，将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：{0=3k+b9√22=(3−3√22)k+b，解得：{k=−3b=9，则直线BH′的表达式为：y=−3x+9…②，联立①②并解得：x=3或−4(x=3舍去)，故点F的坐标为(−4,21)．【解析】(1)把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)设：OE=m，则EL=4−m，OB=3，DL=1，利用∠LED=∠OBE，即可求解；(3)延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F.确定直线BH′的表达式，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中(3)用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．25.【答案】解：(1)如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH ⊥AB ，∴∠AHC =∠BHC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACH +∠BCH =90°，∵∠ACH +∠A =90°，∴∠BCH =∠A ，∴△ACH∽△CBH ， ∴CH BH =AH CH ， ∵OC =2，∠COH =60°，∴∠OCH =30°，∴OH =12OC =1，CH =√3， ∴√3a−1=√3，整理得：2a 2−a −4=0，解得a =1+√334或1−√334(舍弃)．经检验a =1+√334是分式方程的解． ∴a =1+√334．(2)如图②中，设OC =x.作CH ⊥AB 于H ，则OH =x 2，CH =√32x.在Rt △ACH 中，∵AC 2=AH 2+CH 2，∴(3a)2=(√32x)2+(2a +12x)2，整理得：x 2+ax −5a 2=0，解得x =(√6−1)a 或(−√6−1)a(舍弃)，∴OC =(√6−1)a ；(3)如图②−1中，延长QC 交CB 的延长线于K ．∵∠AOC=∠∠AOQ+∠QOC=∠ABC+∠OCB，∠QOC=∠ABC，∴∠AOQ=∠KCO，∵AQ//BK，∴∠Q=∠K，∴△QOA∽△KCO，∴AQOK =OQKC，∴AQOQ =OKKC，∵∠K=∠K，∠KOB=∠AOQ=∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴OKKC =OBOC，∴AQOQ =OBOC=(√6−1)a=√6+15．【解析】(1)如图①中，作CH⊥AB于H.证明△ACH∽△CBH，可得CHBH =AHCH，由此构建方程即可解决问题．(2)如图②中，设OC=x.作CH⊥AB于H，则OH=x2，CH=√32x.在Rt△ACH中，根据AC2=AH2+CH2，构建方程即可解决问题．(3)如图②−1中，延长QC交CB的延长线于K.利用相似三角形的性质证明AQOQ =OBOC，即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2019年上海市青浦区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市青浦区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列图形中，一定相似的是()A. 两个正方形B. 两个菱形C. 两个直角三角形D. 两个等腰三角形2.如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=10，那么CE等于()A. 103B. 203C. 52D. 1523.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于()A. a⋅tanαB. a⋅cotαC. a⋅sinαD. a⋅cosα4.下列判断错误的是()A. 0⋅a⃗=0⃗B. 如果a⃗+b⃗ =2c⃗，a⃗−b⃗ =3c⃗，其中c⃗≠0⃗，那么a⃗//b⃗C. 设e⃗为单位向量，那么|e⃗|=1D. 如果|a⃗|=2|b⃗ |，那么a⃗=2b⃗ 或a⃗=−2b⃗5.如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是()A. ∠AED=∠BB. ∠BDE+∠C=180°C. AD⋅BC=AC⋅DED. AD⋅AB=AE⋅AC6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是()A. ac>0B. b>0C. a+c<0D. a+b+c=0二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果xx+y =25，那么xy=______．8.计算：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=______．9.两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为______．10. 抛物线y =x 2−4x −1的顶点坐标是______．11. 抛物线y =−x 2+mx −3m 的对称轴是直线x =1，那么m =______．12. 抛物线y =x 2−2在y 轴右侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)13. 如果α是锐角，且sinα=cos20°，那么α=______度．14.如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD ，坝高为15米，迎水坡CD 的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD 的长度为______米．15. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC 的值为______．16. 在△ABC 中，AB =AC ，高AH 与中线BD 相交于点E ，如果BC =2，BD =3，那么AE =______．17. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，tan∠CAB =2，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC的延长线上的点D ，点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那么CF =______．18. 对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S 称为“亮点”.如图，对于封闭图形ABCDE ，S 1是“亮点”，S 2不是“亮点”，如果AB//DE ，AE//DC ，AB =2，AE =1，∠B =∠C =60°，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 计算：(sin30°)−1+|1−cot30°|+√3tan30°−1cos 245∘．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，CE =2BE ，AC 、DE 相交于点F ．(1)求DF ：EF 的值；(2)如果CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b ⃗ 表示向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AE 2=AD ⋅AB ，∠ABE =∠ACB ． (1)求证：DE//BC ；(2)如果S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，求S △ADE ：S △BDE 的值．22. 如图，在港口A 的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B ，A 、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A 的北偏东67°方向上，有一渔船C 发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C 处？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125)23. 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD =AF ，AE ⋅CE =DE ⋅EF ．(1)求证：△ADE∽△ACD ；(2)如果AE ⋅BD =EF ⋅AF ，求证：AB =AC ．24.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=−x2平移后经过点A(−1,0)、B(4,0)，且平移后的抛物线与y轴交于点C(如图)．(1)求平移后的抛物线的表达式；(2)如果点D在线段CB上，且CD=√2，求∠CAD的正弦值；(3)点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=18，DB=DC=15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE=DF=5.AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．(1)求证：BG=CH；(2)设AD=x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．【解答】解：A、两个正方形，角都是直角，一定相等，四条边都相等，一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．2.【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到ADDF =BCCE=3，则BC=3CE，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE的长．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【解答】解：∵AB//CD//EF，∴ADDF =BCCE=3，∴BC=3CE，∵BC+CE=BE，∴3CE+CE=10，∴CE=52．故选：C．3.【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．【解答】解：cotα=ACBC，∴AC=BC⋅cotα=a⋅cotα，故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．【解答】解：A.0⋅a⃗=0⃗，故本选项不符合题意．B.由a⃗+b⃗ =2c⃗，a⃗−b⃗ =3c⃗得到：a⃗=52c⃗，b⃗ =−12c⃗，故两向量方向相反，a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．C.e⃗为单位向量，那么|e⃗|=1，故本选项不符合题意．D.由|a⃗|=2|b⃗ |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．A和B：根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．【解答】解：A.由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；B.由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；C.由AD⋅BC=AC⋅DE，得ADAC =DEBC不能判断△ADE∽△ACB；D.由AD⋅AB=AE⋅AC得ADAC =AEAB，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：A.由图象可知：a<0，c>0，∴ac<0，故A错误；B.由对称轴可知：x=−b2a<0，∴b<0，故B错误；C.由对称轴可知：x=−b2a=−1，∴b=2a，∵x=1时，y=0，∴a+b+c=0，∴c=−3a，∴a+c=a−3a=−2a>0，故C错误；故选D．7.【答案】23【解析】【分析】由xx+y =25可得x+yx=52，进一步得到1+yx=52，可求yx，进一步得到xy的值．考查了比例的性质，关键是得到1+yx =52．【解答】解：∵x x+y=25，∴x+yx =52，1+yx =52，y x =32，∴xy =23．故答案为：23．8.【答案】a⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于该题．考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．【解答】解：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=3a⃗−3b⃗ −2a⃗+3b⃗=(3−2)a⃗+(−3+3)b⃗=a⃗．故答案是：a⃗．9.【答案】1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用是解此题的关键．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，∴它们的周长比为：1：3．故答案为：1：3．10.【答案】(2,−5)【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为x=ℎ，此题还考查了配方法求顶点式．已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：∵y=x2−4x−1=x2−4x+4−4−1=(x−2)2−5，∴抛物线y=x2−4x−1的顶点坐标是(2,−5)．故答案为：(2,−5)11.【答案】2【解析】【分析】是解题的关键．本题考查了二次函数的性质，牢记抛物线的对称轴为直线x=−b2a由抛物线的对称轴为直线x=1，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=−x2+mx−3m的对称轴是直线x=1，∴−m=1，2×(−1)∴m=2．故答案为2．12.【答案】上升【解析】【分析】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】解：∵y=x2−2，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为上升．13.【答案】70【解析】【分析】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．直接利用sinA=cos(90°−∠A)，进而得出答案．【解答】解：∵sinα=cos20°，∴α=90°−20°=70°．故答案为：70．14.【答案】39【解析】【分析】直接利用坡度的定义得出EC的长，进而利用勾股定理得出答案．此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，∴DE=15m，则DEEC =12.4，故EC=2.4×15=36(m)，则在Rt△DEC中，DC=√ED2+EC2=39(m)．故答案为：39．15.【答案】12【解析】【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．根据题意和勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以求得tan∠ABC的值．【解答】解：连接CD，如右图所示，设每个小正方形的边长为a，则CD=√2a，BD=2√2a，BC=√10a，∵(2√2a)2+(√2a)2=(√10a)2，∴△BCD是直角三角形，∴tan∠ABC=tan∠DBC=CDBD =√2a2√2a=12，故答案为：12．16.【答案】2√3【解析】【分析】连接DH，依据等腰三角形的性质，即可得到DH为△ABC的中位线，依据△DEH∽△BEA，即可得到BE=2，进而得出AE的长．本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【解答】解：如图所示，连接DH，∵AB=AC，AH⊥BC，∴H为BC的中点，又∵D为AC的中点，∴DH为△ABC的中位线，∴DH//AB，DH=12AB，∴△DEH∽△BEA，∴EDEB =DHBA=12=EHEA，又∵BD=3，∴BE=2，∴Rt△BEH中，EH=√BE2−BH2=√3，∴AE=2EH=2√3，故答案为：2√3．17.【答案】√5−12【解析】【分析】根据已知条件得到BC=AC⋅tan∠CAB=2，根据勾股定理得到AB=√AC2+BC2=√5，根据旋转的性质得到AD=AB=√5，∠D=∠B，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，tan∠CAB=2，∴BC=AC⋅tan∠CAB=2，∴AB=√AC2+BC2=√5，∵将△ABC绕点A旋转后，点B落在AC的延长线上的点D，∴AD=AB=√5，∠D=∠B，∴∠CFD=∠CAB∵AC=1，∴CD=√5−1，∵∠FCD=∠ACB=90°，∴CDCF=tan∠CFD=tan∠CAB=2，∴CF=√5−12，故答案为：√5−12．18.【答案】√34【解析】【分析】如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N.由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是△EMN，证明△EMN是等边三角形，求出EN即可．本题考查平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N．由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是△EMN，∵AB//DE，AE//DC，∴∠EMN=∠B=60°，∠ENM=∠C=60°，∴△EMN，△ABN是等边三角形，∴AN=AB=2，∵AE=1，∴EN=1，∴S△EMN=√34×12=√34．故答案为√34．19.【答案】解：(sin30°)−1+|1−cot30°|+√3tan30°−1cos245∘=(12)−1+|1−√3|+√3×√33−1(√22)2=2+√3−1+1−2=√3．【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ，AD//BC ， ∴DFEF =ADEC ， ∵CE =2BE ， ∴BC EC =32， ∴DF EF =32． (2)∵CE =2BE ， ∴CE =23CB ，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，∵ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −23a ⃗ ，∵DF EF=32，∴EF =25ED ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =25(b ⃗ −23a ⃗ )=25b ⃗ −415a ⃗ ．【解析】(1)利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)利用三角形法则即可解决问题；本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21.【答案】解：(1)证明：∵AE 2=AD ⋅AB ， ∴AEAD =ABAE ，又∵∠EAD =∠BAE ， ∴△AED∽△ABE ， ∴∠AED =∠ABE ， ∵∠ABE =∠ACB ， ∴∠AED =∠ACB ， ∴DE//BC ； (2)∵DE//BC ， ∴△ADE∽△ABC ，， ，，∴(ADAB )2=19，∴ADAB =13，∴ADDB =12，．【解析】本题考查了平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．(1)根据已知条件得到AEAD =ABAE，根据相似三角形的性质得到∠AED=∠ABE，从而∠AED=∠ACB，根据平行线的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．22.【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH=67°，∠B=37°，AB=20．在Rt△ABH中，∵sinB=AHAB，∴AH=AB⋅sin∠B=20×sin37°≈12，∵cosB=BHAB，∴BH=AB⋅cos∠B=20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=tan∠ACH=AHCH AH CH，∴CH=AHtan∠ACH =12tan67∘≈5，∵BC=BH+CH，∴BC≈16+5=21．∵21÷25<1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【解析】由已知可得△ABC中∠C=67°，∠B=37°且AB=20海里．要求BC的长，可以过A作AD⊥BC于D，先求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23.【答案】证明：(1)∵AD=AF，∴∠ADF=∠F，∵AE⋅CE=DE⋅EF，∴AEDE =EFCE，又∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F=∠C，∴∠ADF=∠C，又∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；(2)∵AE⋅BD=EF⋅AF，∴AEAF =EFBD，∵AD=AF，∵∠AEF =∠EAD +∠ADE ，∠ADB =∠EAD +∠C ， ∴∠AEF =∠ADB ， ∴△AEF∽△ADB ， ∴∠F =∠B ， ∴∠C =∠B ， ∴AB =AC ．【解析】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)由AE ⋅CE =DE ⋅EF ，推出△AEF∽△DEC ，可得∠F =∠C ，再证明∠ADF =∠C ，即可解决问题；(2)欲证明AB =AC ，利用相似三角形的性质证明∠B =∠C 即可．24.【答案】解：(1)设平移后的抛物线的解析式为y =−x 2+bx +c ， 将A(−1,0)、B(4,0)，代入得{−1−b +c =0−16+4b +c =0.，解得：{b =3c =4.，所以，y =−x 2+3x +4； (2)如图1∵y =−x 2+3x +4， ∴点C 的坐标为(0,4)，设直线BC 的解析式为y =kx +4，将B(4,0)，代入得kx +4=0，解得k =−1， ∴y =−x +4．设点D 的坐标为(m,4−m)．∵CD =√2，∴2=2m 2，解得m =1或m =−1(舍去)， ∴点D 的坐标为(1,3)．过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ． ∵12AC ⋅BN =12AB ⋅OC ， ∴√17⋅BN =5×4， ∴BN =√17=20√1717，∵DM//BN ，∴DM BN=CDCB ，∴DM=5√1717，∴sin∠CAD=DMAD =5√1717×√13=5√221221；(3)如图2设点Q的坐标为(n,−n2+3n+4)．如果四边形ECPQ是菱形，则n>0，PQ//y轴，PQ=PC，点P的坐标为(n,−n+4)．∵PQ=−n2+3n+4+n−4=4n−n2，PC=√2n，∴4n−n2=√2n，解得n=4−√2或n=0(舍)．∴点Q的坐标为(4−√2,5√2−2).【解析】(1)根据平移前后a的值不变，用待定系数法求解即可；(2)求出直线BC的解析式，确定点D的坐标，过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N，运用面积法求出BN，再根据相似三角形的性质求出DM，根据直角三角函数求解即可；(3)设点Q的坐标为(n,−n2+3n+4)，如果四边形ECPQ是菱形，则n>0，PQ//y轴，PQ=PC，点P的坐标为(n,−n+4)，根据邻边相等列出方程即可求解．此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵AD//BC，∴ADBG =DEEB，ADCH=DFFC．∵DB=DC=15，DE=DF=5，∴DEEB =DFFC=12，∴ADBG =ADCH．∴BG=CH；(2)过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．∵ADBG =DEEB=12，∴BG=CH=2x，∴BH=18+2x．∵AD//BC，∴ADBH =DNNB，∴x18+2x =DNNB，∴x18+2x+x =DNNB+DN=DN15，∴DN=5xx+6．∵AD//BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，∴NQDN =PDBD，∴NQ=4xx+6．∴y=12AD⋅NQ=12x⋅4x6+x=2x2x+6(0<x≤9)；(3)∵AD//BC，∴∠DAN=∠FHG．(i)当∠ADN=∠FGH时，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC=∠FGH，∴BD//FG，∴BGBC =DFDC，∴BG18=515，∴BG=6，∴AD=3．(ii)当∠ADN=∠GFH时，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND=∠FGH，∴△ADN∽△FCG．∴AD DN =FCCG ， ∴x ⋅(18−2x)=5x x+6⋅10，整理得x 2−3x −29=0，解得 x =3+5√52，或x =3−5√52(舍去)．综上所述，当△HFG 与△ADN 相似时，AD 的长为3或3+5√52．【解析】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． (1)由AD//BC 知ADBG =DEEB ，ADCH =DFFC，结合DB =DC =15，DE =DF =5知DE EB =DF FC=12，从而得ADBG =ADCH ，据此可得答案；(2)作DP ⊥BC ，NQ ⊥AD ，求得BP =CP =9，DP =12，由ADBG =DEEB =12知BG =CH =2x ，BH =18+2x ，根据ADBH =DNNB 得x18+2x+x =DNNB+DN =DN15，即DN =5x x+6，再根据NQ DN =PDBD 知NQ =4x x+6，由三角形的面积公式可得答案；(3)分∠ADN =∠FGH 和∠ADN =∠GFH 两种情况分别求解可得．。
2019年上海市静安区中考数学一模试卷含答案解析
2019年上海市静安区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．a（a＞0）等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）
A．=B．=C．=D．=
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（）A．m?sinαB．m?cosαC．m?tanαD．m?cotα
5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）
A．α=30°B．α=45°C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）
A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）
二．填空题（每个小题4分，共48分）
7．16的平方根是．
8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为．
9．方程+=1的根为．
10．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为．
11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是．
12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值
第1页（共23页）。
2019上海各区中考数学一模压轴题18题图文解析
例2015年上海市宝山区中考一模第18题如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，CD＝2，AB＝BC，AD＝1．动点M、N分别在AB边和BC的延长线上运动，且AM＝CN，联结AC交MN于点E，MH⊥AC于H，则EH＝____ _____．图1动感体验图2例2015年上海市崇明县中考一模第18题如图1，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C 落在点Q处，EQ与BC交于点G，那么△EBG的周长是________．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14崇明一模18”，可以体验到，FB＝FD，△FAE与△EBQ相解得△EBG的周长＝12．例2015年上海市奉贤区中考一模第18题在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．在平面内将△ABC绕点B旋转，点A落到点A′，点C落到点C′，若旋转后点C的对应点C′和点A、B正好在同一直线上，那么∠A′AC′的正切值等于________．动感体验请打开几何画板文件名“14奉贤一模18”，拖动点C′绕着点B旋转，可以体验到，点C′可以落在线段AB上（如图1），也可以落在AB的延长线上（如图2）．答案3或1．思路如下：3如图1，当点C′落在线段AB上时，AC′＝AB－BC′＝5－4＝1，A′C′＝3．如图2，当点C′落在线段AB的延长线上时，AC′＝AB＋BC′＝5＋4＝9，A′C′＝3．图1 图2例 2015年上海市虹口区中考一模第18题如图1，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，联结DE ，点F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ．若AB ＝5，AD ＝8，AE ＝4，则AF 的长为________．图1动感体验请打开几何画板文件名“14虹口一模18”，可以体验到，在△AEF 中，已知两个角和其中一个角的对边，求AF 的长，AF 是直角三角形AFH 的斜边．在Rt △AFH 中，AH ，sin ∠AFE ＝sin ∠B ＝45，所以AF ＝sin AH B＝图2 图3例 2015年上海市黄浦区中考一模第18题如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BE ⊥CD ，垂足为E ，联结AE ，∠AEB ＝∠C ，且2cos 5C ∠=，若AD ＝1，则AE 的长是______．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄浦一模18”，拖动点A 运动，可以体验到，△ADE 、例2015年上海市嘉定区中考一模第18题如图1，在△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D．△ABD沿直线AD翻折后，点B落到点B1处，如果∠B1DC＝12∠BAC，那么BD＝_______．图1动感体验请打开几何画板文件名“14嘉定一模18”，拖动点C绕点A旋转，可以体验到，AB1与A图2例2015年上海市金山区中考一模第18题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将△ABC绕着点C旋转90°，点A、B的对应点分别为D、E，那么tan∠ADE的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“14金山18”，拖动点D绕着点C旋转，可以体验到，旋转90°存在顺时针和逆时针两种情况，因此∠ADE的大小存在两种情况．在Rt△ADH中，DH＝DE－EH＝5－215＝45，所以tan∠ADE＝AHDH＝7．图2 图3例2015年上海市浦东新区中考一模第18题把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，放大或缩小的三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比．已知△ABC在直角坐标平面内，点A(0,－1)，B(，C(0, 2)，将△ABC进行T-变换，T-变换中心为点A，T-变换角为60°，T-变换比为23，那么经过T-变换后点C所对应的点的坐标为________．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14浦东新区18”，拖动点B′绕着点A逆时针旋转，可以体验到此时点H与点O重合，所以点C′′的坐标为(,0)．图1 图2例2015年上海市普陀区中考数学一模第18题如图1，已知△ABC中，AB＝AC，tan B＝2，AD⊥BC于D，G是△ABC的重心．将△ABC绕着重心G旋转，得到三角形A′B′C′，并且点B′在直线AD上，联结CC′，那么tan∠CC′B′的值等于________________．图1动感体验打开几何画板文件名“15普陀一模18”，拖动点在B′绕重心G旋转，可以体验到，当B′落在直线AD上时，C、C′、D′三点共线，∠CC ′B′就是Rt△CC′D′的一个锐角（如图2，图3）．图2 图3 图4例 2015年上海市徐汇区中考数学一模第18题如图1，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8．点M 、N 分别在边AB 、BC 上，沿直线MN 将△ABC 折叠．点B 落在点P 处，如果AP //BC 且AP ＝4，那么BN ＝_____．图1动感体验打开几何画板文件名“15徐汇一模18”，可以体验到，△BAP 与△NBM 相似，△MAP图2 图3 图4【方法2】如图4，作NH ⊥AP ，垂足为H ，那么△MAP ∽△PHN ．所以MA AP PM PH HN NP==．设BN ＝PN ＝n ，那么PH ＝AH －AP ＝n －4．所以446MA PM n n ==-．所以+446MA PM n n =-+，即4246AB n =-．所以64246n =-．解得n ＝132．例 2015年上海市闸北区中考一模第18题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰好落在边AC 上的点E 处．如果AD DB ＝m ，AE EC＝n ，那么m 与n 满足的关系式是m ＝_______（用含n 的代数式表示m）．图1动感体验请打开几何画板文件名“14闸北一模18”，拖动点D 在AB 上运动，观察m 随n 变化的函数图像，可以体验到，m 是n 的一次函数．答案 2n ＋1．思路如下：如图2，作DH ⊥AC ，垂足为H ．由于DC ＝DE ，所以H 是EC 的中点．已知AE EC ＝n ＝1n ，所以122+112n AH n HC+==．因此m ＝AD DB ＝2+1AH n HC =． 图2例 2015年上海市长宁区中考一模第18题如图1，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到正方形AB ′C ′D ′．当两正方形重叠部分的面积是原正方形面积的14时，1sin '2B AD ＝_________．图1当重叠部分的面积等于原正方形面积的14时，DE 的长等于正方形边长的14．设正方形的边长为4，此时DE ＝1，所以sin ∠EAD ．图2。
2019上海初三一模18题
AC = AD2 + DC 2 = 4 2 ， AF 4 2 ， AO DO 1 AC 2 2 ，
3
2
FO AO AF 4 2 ，在 Rt△DOF 中， DF = FO2 + DO2 = 4 5 ，
3
3
\ cosÐBDD'= DO = 2 2 = 3 10 BEE' = BDD' \ cos BEE'=cos BDD' = EH
5
BF 5
cos B 8
上海市闵行区高唱老师编辑整理
三. 杨浦区
18．Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，将此三角形绕点 A 旋转，当点 B 落在直线 BC
上的点 D 处时，点 C 落在点 E 处，此时点 E 到直线 BC 的距离为
．
【解析】作 BF ^ AD ，垂足为点 F ，由旋转可知，， BC = DE = 2 ， 1 2 3 ， 1+2+5 180 ， 2+3+4 180 ，\Ð4 = Ð5 ． RtDACD 中，
．
【解析】作 FH ^ AB ，垂足为点 H ，由等腰三角形、旋转、 AE BC 易证
1 2 3 4 5 6 7 ，所以， FB = FA ， BH = 1 AB = 5 ． 22
在 RtDFBH 中， sin B= sin C = 3 ， cos B= BH = 4 Þ BF = BH = 25 ．
BH 3 AH =4, BH = 3 ．由翻折可知，AB = AB' = 5, AM = AD = 2 ，四边形 AHNM 是正方形，
\ MB' =
上海市上海市嘉定区上海2019年中考数学一模考试试卷及参考答案
一、单选题
1. 下列选项中的两个图形一定相似的是. ( ) A . 两个等腰三角形 B . 两个矩形 C . 两个菱形 D . 两个正五边形. 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.下列四个选项，不符合题意是( ) A . sinA= B . cosA= C . tanA= D . cotA=
到地面时,AB与地面上的直线AH的夹角∠OAH的度数为30°.
（1） 当AB的另一个端点B碰到地面时(如图）,跷跷板AB与直线BH的夹角∠ABH的正弦值是多少? （2） 当AB的另一个端点B碰到地面时(如右图),点A到直线BH的距离是多少米? 20. 如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,⊙O的半径长为rcm,弧AB的长度为 cm,弧CD的长度为 cm(温馨提醒:弧的度数 相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当 = 时,求证:AB=CD
参考答案 1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
19.
20. 21.
22.
23. 24.
21. 如图，海中有一个小岛A,该岛的四周10海里的范围内有暗礁，有一货轮在海面上由西向东航行，到达B处时，该货 轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处，如果货轮继续向东航行，是
否会有触礁危险？请通过计算说明：
22. 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、 AC上，DE∥BC，∠ABE=∠C，
3. 如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( )
2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-定义新图形及其他题型含详解
专题定义新图形及其他题型【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 1x+c 1的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．10．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线34y x上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为__．专题定义新图形及其他题型【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的相似；模型思想．【分析】过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．想办法求出AE ，EC 即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．则有∠AEC ＝∠ADB ＝∠AFE ＝∠EGC ＝90°，AE ＝AD ，∠EAF ＝∠CEG ＝30°，∴EF ＝12AE ＝2，∴EG ＝2，CG ＝3EG ＝52，CE ＝2CG ＝5，∴AC =．∴等边△ABC 的边长为．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为2．【考点】抛物线与x 轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．【解答】解：设抛物线y ＝x 2+bx 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，∴A （0，0），B （﹣b ，0），D （﹣2b ，﹣24b ），∵抛物线y ＝x 2+bx 对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴AB 2＝AD 2+BD 2＝2AD 2，∴b 2＝2（24b +416b ），解得：b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3．【考点】抛物线与x 轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】先由直线y ＝﹣kx +k 求得点A 和点B 的坐标，然后求得点C 的坐标，最后将点A 、B 、C 的坐标分别代入函数y ＝mx 2+2mx +c 中求得m 、k 、c 的值，即可得到一次函数的解析式．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，22020m m c c k mk mk c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩，解得：000m k c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133m k c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩或1311m k c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B 经过逆时针旋转90°后的点的坐标．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；；推理能力．【分析】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ），由题意可知34M M N y x x =-，即可求得D 点坐标为（6，0），则有直线MD 解析式为3(6)4y x =--，因为N 点过直线MD ，N 点也过抛物线y=(x-2)2+3，故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716），可设顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y a x =-+，又因为M 点过2557()416y a x =-+，即可解得a=-1，故顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y x =--+．【解答】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=∴34M M N y x x =-即3324D x =-解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D ∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线y=(x-2)2+3故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+化简得2135042a a -+=解得a=54或a=2（舍）将a=54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557(416y a x =-+有25573(2)416a =-+化简得95731616a =+解得a=-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557(416y x =--+．【点评】本题考察了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用．理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上是解题的关键．5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB ＝ACAD＝CD ＝32，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC 长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF 的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD＝8，CD＝4，再求出MH＝4，DH＝2，设BE＝x，得出CE＝12﹣x，CF＝3+x，EH＝10﹣x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DCA，∴MH DH=ACDMCD AD=，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴MH DH1=842=，∴MH＝4，DH＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC +∠GAK ＝180°，∴∠E +∠GAK ＝180°，∴∠AGE +∠AKE ＝180°，∵∠AKE +∠AKC ＝180°，∴∠AKC ＝∠CGE ，∴∠AKC ＝∠ACK ，∴AC ＝AK ＝2，∵AH ⊥CK ，∴KH ＝CH ，∵∠AHE ＝∠DCK ＝90°，∴AH ∥CD ，∴KA ＝AD ，∴DK ＝2AK ＝4，AD ＝AK ＝2，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB =∴BD ＝AB +AD ＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．10．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是13318﹣1．【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出2294AD CD AE BE ==，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，求出AB ＝AD AE×BE ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，由等腰三角形的性质得出BM ＝CM ＝12BC ，由直角三角形的性质得出AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝x ，得出BC ＝2BM ＝，求出DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，即可得出答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝30°，∵∠DAE ＝∠B ＝30°，∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ，∵∠AED ＝∠BEA ，∴△ADE ∽△BAE ，∴AD AE DE ==AB BE AE，∴AE 2＝DE ×BE ，同理：△ADE ∽△CDA ，∴AD DE =CD AD ，∴AD 2＝DE ×CD ，∴22239()24AD CD AE BE ===，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AE AB BE =，∴AB ＝AD AE ×BE ＝32×4x ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，如图所示：∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM ＝12BC ，∵∠B ＝30°，∴AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝，∴BC ＝2BM ＝，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，∴13318DE EC ==﹣1；故答案为：13318﹣1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线y=x ²沿OA 方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为_y=(x-4)2+3_．【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征，四二次函数的平移【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力.【分析】过点A作AB丄x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可.【解答】解：如图，过点A作AB丄x轴于B，∵点A在直线34y x上，OA=5，∴OB=4，AB=3，∵点A的坐标为(4，3)，∴平移后的抛物线解析式是y=(x-4)2+3故答案为y=(x-4)2+3.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便.。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题18 图形的变化之解答题(2)(39道题)(解析版)(1)
专题18 图形的变化之解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．（2019•宝山区一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【答案】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．2．（2019•青浦区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan∠B，求∠CAD的正弦值．【答案】解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B，∴BC＝2由勾股定理得，AB∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE∴DE∴由勾股定理得AD∴cos∠CAD∴sin∠CAD则∠CAD的正弦值为【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．3．（2019•青浦区二模）如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝092，tan22.8°＝0.42】【答案】解：∵AH⊥直线l，∴∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，tan∠ADH，∴DH，在Rt△BDH中，tan∠BDH，∴DH，∴，解得：AB≈5.3m，答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确的解直角三角形是解题的关键．4．（2019•浦东新区二模）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．【答案】解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH＝20.8．答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得，解得，x1＝60，x2＝﹣40，经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．【点睛】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，（1）题的关键是解直角三角形求出AC，（2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程．5．（2019•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF ⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：（1）∠ACE的正切值；（2）线段AE的长．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB＝90°，∴∠BCE+∠CBD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD，∵AC＝4且D是AC的中点，∴CD＝2，又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．∴tan∠BCD，∴tan∠ACE＝tan∠CBD；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，∴tan A，∵BC＝3，AC＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴tan A，∴，设EH＝3k，AH＝4k，∵AE2＝EH2+AH2，∴AE＝5k，在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，∴tan∠ECA，∴CH k，∴AC＝AH+CH k＝4，解得：k，∴AE．【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．6．（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos∠，点D是边BC的中点，点E在边AC上，且，AD与BE相交于点F．求：（1）边AB的长；（2）的值．【答案】解：（1）∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝DC BC＝5，在Rt△ABD中，cos∠ABC，∴AB＝13；（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，∵EH∥BC，，∴，∵BD＝CD，∴，∵EH∥BC，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、余弦的定义是解题的关键．7．（2019•金山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，CE＝CB，CD＝5，sin∠．求：（1）BC的长．（2）tan E的值．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是边AB的中点；∴CD AB，∵CD＝5，∴AB＝10，∵sin∠ABC，∴AC＝6∴；（2）作EH⊥BC，垂足为H，∴∠EHC＝∠EHB＝90°∵D是边AB的中点，∴BD＝CD AB，∠DCB＝∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠EHC＝∠ACB，∴△EHC∽△ACB，∴由BC＝8，CE＝CB得CE＝8，∠CBE＝∠CEB，∴解得EH，CH，BH＝8∴tan∠CBE3，即tan E＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．8．（2019•徐汇区二模）如图，已知⊙O的弦AB长为8，延长AB至C，且BC AB，tan C．求：（1）⊙O的半径；（2）点C到直线AO的距离．【答案】解：（1）过O作OD⊥AB于D，则∠ODC＝90°，∵OD过O，∴AD＝BD，∵AB＝8，∴AD＝BD＝4，∵BC AB，∴BC＝4，∴DC＝4+4＝8，∵tan C，∴OD＝4，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OA4，即⊙O的半径是4；（2）过C作CE⊥AO于E，则S△AOC，即，解得：CE＝6，即点C到直线AO的距离是6．【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的面积公式，勾股定理，解直角三角形等知识点，能求出AD、OD的长度是解此题的关键．9．（2019•包头模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴，即，解得CF；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH，∴AH，EH＝AE﹣AH，∴tan D＝tan∠ECH．【点睛】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D 相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．10．（2019•黄浦区一模）如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）【答案】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC，∴∠BPC＝30°，∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，BC PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：两船相距（40﹣10）海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．11．（2019•东阳市模拟）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF 所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．（1）求支架BF的长；（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°，tan32°，tan40°）【答案】解：：（1）∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，∴tan∠OAB tan32°，∵AB＝2m，∴，∴OB＝1.24m，∵⊙O的半径为0.2m，∴BF＝1.04m；（2）∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，∴∠OAD＝50°，∵∠OAC＝32°∴∠CAD＝18°，∴AB的坡度为tan18°，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．12．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．【答案】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE BP；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴，∴，∴，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A．求底边BC的长．【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A，∵cos A，AB＝5，∴AD＝AB•cos A＝53，∴BD4，∵AC＝AB＝5，∴DC＝2，∴BC2．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（2019•靖江市一模）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【答案】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．15．（2019•松江区一模）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP，设P A＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．16．（2019•濉溪县二模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CFEG是矩形，∴EG＝CF＝0.45，设AD＝x，∴AE＝1.8﹣x，∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，cos∠CAG0.8，解得：x＝0.35，∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．17．（2019•随县模拟）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【答案】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得．即，∴B'C＝63cm．故BB'＝B'C﹣BC＝63﹣54＝9（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．18．（2019•徐汇区校级一模）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【答案】解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．19．（2019•浦东新区一模）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 1.4， 1.7）【答案】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，∵∠SAB＝37°，DB∥AS，∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，∴BM＝1海里，AM海里．在Rt△AMC中，tan C，∴CM 4.25（海里）∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解决本题的关键是作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系求解．20．（2019•宝山区一模）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【答案】解：作BC⊥P A交P A的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD，∴tan14°，即0.25，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB．19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．21．（2019•青浦区一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°，cos67°，tan67°）【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sin B，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cos B，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH∠，∴CH5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（2019•寿光市模拟）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．【答案】解：由题意可得，∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠AED，∴ED＝AD，∴AD＝15米，∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC米，AC米，∴AH＝AC+CH米，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝∠DBC，∴BC＝CD米，∴AB＝AC﹣BC米，即AH米，AB米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数和数形结合的思想解答．23．（2019•静安区一模）计算：【答案】解：原式＝3﹣2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．（2019•射阳县一模）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据： 1.41， 1.73，2.45， 2.65）【答案】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG AC＝10，CG AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴，∴，∴DH23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS10，∴A′B＝1010，∵BG10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（2019•闵行区一模）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249， 1.4142．【答案】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH，即得tan32°，解得：x32.99∴塔高AB约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26．（2019•嘉定区一模）计算：2|1﹣sin60°|．【答案】解：2|1﹣sin60°|＝2（1）＝2＝2＝2．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．27．（2019•无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28．（2019•虹口区一模）计算：【答案】解：原式＝3+2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．29．（2019•金山区一模）计算：cos245°tan260°﹣cot45°•sin30°．【答案】解：原式＝（）2（）2﹣11+3＝2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．30．（2019•长宁区一模）计算：60°．【答案】解：原式（）2（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．31．（2019•崇明区一模）计算：cos245°cot30°•sin60°．【答案】解：原式＝（）2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．32．（2019•普陀区一模）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【答案】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．33．（2019•长宁区一模）如图，小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°．若瞭望台DE垂直于江面，它的高度为3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离；（2）求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离．（结果保留一位小数）【答案】解：（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由题意可知CE＝GF＝2，CG＝EF在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∴i，设CG＝4k，BG＝3k，则BC5k＝10，∴k＝2，∴BG＝6，∴CG＝EF＝8，∵DE＝3，∴DF＝DE+EF＝3+8＝11（米），答：瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米；（2）由题意得∠A＝40°，在Rt△ADF中，∠DF A＝90°，∴cot A，∴ 1.19，∴AF≈11×1.19＝13.09（m），∴AB＝AF﹣BG﹣GF＝5.09≈5.1（米），答：渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．34．（2019•黄浦区一模）计算：2cos245°tan45°．【答案】解：原式＝2×（）21＝21＝11＝46．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．35．（2019•宝山区一模）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【答案】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．36．（2019•金山区一模）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求（1）背水坡AB的长度．（2）坝底BC的长度．【答案】解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，根据题意，可知AM＝DN＝24（米），MN＝AD＝6（米），在Rt△ABM中，∵，∴BM＝72（米），∵AB2＝AM2+BM2，∴AB24（米），答：背水坡AB的长度为24米；（2）在Rt△DNC中，，∴CN＝48（米），∴BC＝72+6+48＝126（米），答：坝底BC的长度为126米．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．37．（2019•普陀区一模）计算：4sin45°+cos230°．【答案】解：原式＝4（）2＝22（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．（2019•杨浦区一模）如图，AD是△ABC的中线，tan B，cos C，AC．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．【答案】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵cos C，AC，∴CH＝1，AH1，在Rt△ABH中，∵tan B，∴BH＝5，∴BC＝BH+CH＝6．（2）∵BD＝CD，∴CD＝3，DH＝2，AD在Rt△ADH中，sin∠ADH．∴∠ADC的正弦值为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．39．（2019•杨浦区三模）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【答案】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．。
2019年上海市虹口区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.抛物线y=x2−1与y轴交点的坐标是()A. (−1,0)B. (1,0)C. (0,−1)D. (0,1)2.如果抛物线y=(a+2)x2开口向下，那么a的取值范围为()A. a>2B. a<2C. a>−2D. a<−23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，AB=13，那么cos A的值为()A. 513B. 1213C. 125D. 5124.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为()A. 5 米B. 5√3米C. 2√5米D. 4√5米5.如果向量a⃗与单位向量e⃗的方向相反，且长度为3，那么用向量e⃗表示向量a⃗为()A. a⃗=3e⃗B. a⃗=−3e⃗C. e⃗=3a⃗D. e⃗=−3a⃗6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE=∠C，AE=2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为()A. 1：2B. 2：3C. 1：4D. 4：9二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果ab =23，那么a+ba的值为______．8.计算：2a⃗−(3b⃗ −a⃗ )=______9.如果抛物线y=ax2+2经过点(1,0)，那么a的值为______．10.如果抛物线y=(m−1)x2有最低点，那么m的取值范围为______．11.如果抛物线y=(x−m)2+m+1的对称轴是直线x=1，那么它的顶点坐标为______．12.如果点A(−5,y1)与点B(−2,y2)都在抛物线y=(x+1)2+1上，那么y1______y2(填“>”、“<”或“=”)13.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=23，BC=4，那么AB=______．14.如图，AB//CD//EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC=6，CE=9，AF=10，那么DF的长为______．15.如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE//AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF//BC交AC于点F，如果DF=4，那么BE的长为______．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC=2，BC=4，那么cot∠CAE=______．17.定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA=2，那么PC=______．18.如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：2cos230°−sin30°tan260∘−4cos45∘四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.已知抛物线y=2x2−4x−6．(1)请用配方法求出顶点的坐标；(2)如果该抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位后经过原点，求m的值．21. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，cotA =43，BC =6，点D 、E分别在边AC 、AB 上，且DE//BC ，tan∠DBC =12．(1)求AD 的长；(2)如果AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．22. 如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE 高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE 上的线段AB 重合，BE 长为0.2米，当踏板连杆绕着点A 旋转到AC 处时，测得∠CAB =37°，此时点C 距离地面的高度CF 为0.45米，求AB 和AD 的长(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)23. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是边BC 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点 E ．(1)求证：DE ⋅CD =AD ⋅CE ；(2)设F 为DE 的中点，连接AF 、BE ，求证：AF ⋅BC =AD ⋅BE ．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B(4,0)，点A(3,m)在抛物线上．(1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；(2)求tan∠OAB的值．25.如图，在四边形ABCD中AD//BC，∠A=90°，AB=6，BC=10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．(1)如果cos∠DBC=2，求EF的长；3=y，求y关于x的函数关系(2)当点F在边BC上时，连接AG，设AD=x，S△ABGS△BEF式并写出x的取值范围；(3)连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：当x=0时，y=x2−1=−1，所以抛物线y=x2−1与y轴交点的坐标为(0,−1)．故选：C．通过计算自变量为对应的函数值可得到抛物线y=x2−1与y轴交点的坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．2.【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口向下可得出a+2<0，解之即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．”是解题的关键．【解答】解：∵抛物线y=(a+2)x2开口向下，∴a+2<0，∴a<−2．故选：D．3.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AC=5，AB=13，∴cosA=ACAB =513，故选：A．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．本题主要考查了锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．4.【答案】C【解析】解：作BC⊥地面于点C，设BC=x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC=2x米，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即(2x)2+x2=102，解得，x=2√5，即BC=2√5米，故选：C．作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵向量e⃗为单位向量，向量a⃗与向量e⃗方向相反，∴a⃗=−3e⃗．故选：B．根据平面向量的定义即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．6.【答案】B【解析】解：∵AD：ED=3：1，∴AE：AD=2：3，∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD=2：3，故选：B．根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=2：1，再根据三角形相似求得S△ACD=94S△ABE即可求得．本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．7.【答案】52【解析】解：∵ab =23，∴设a=2x，则b=3x，那么a+ba =2x+3x2x=52．故答案为：52．直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．8.【答案】3a⃗−3b⃗【解析】解：原式=2a⃗−3b⃗ +a⃗=3a⃗−3b⃗ ．故答案是：3a⃗−3b⃗ ．实数的加减计算法则同样适用于平面向量的加减计算法则．考查了平面向量，掌握平面向量的加减计算法则即可解题，属于基础计算题．9.【答案】−2【解析】解：把(1,0)代入y=ax2+2得a+2=0，解得a=−2．故答案为−2．把已知点的坐标代入抛物线解析式可求出a的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10.【答案】m>1【解析】解：∵抛物线y=(m−1)x2有最低点，∴m−1>0，即m>1．故答案为m>1．由于抛物线y=(m−1)x2有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定m的范围．本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．11.【答案】(1,2)【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，属于基础题．首先根据对称轴是直线x=1，从而求得m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y=(x−m)2+m+1的对称轴是直线x=1，∴m=1，∴解析式y=(x−1)2+2，∴顶点坐标为：(1,2)，故答案为：(1,2)．12.【答案】>【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质得到当x<−1时，y随x的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到y1与y2的大小关系．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=−1，而抛物线开口向上，所以当x<−1时，y随x的增大而减小，因为−5<−2<−1，所以y1>y2．故答案为>．13.【答案】6【解析】解：∵在Rt△ABC中，sinA=BCAB =23，且BC=4，∴AB=BCsinA =423=6，故答案为：6．由sinA=BCAB 知AB=BCsinA，代入计算可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．14.【答案】6【解析】解：∵AB//CD//EF，∴BECE =AFDF，∴6+99=10DF，∴DF=6，故答案为：6．根据平行线分线段成比例、比例的基本性质解答即可．本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出DF是解决问题的关键．15.【答案】8【解析】解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴BGHG=2，∵DE//AC，DF//BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE=DF=4，∵GE//CH，∴△BEG∽△CBH，∴BECE =BGGH=2，∴BE=8，故答案为：8．连接BG并延长交AC于H，根据G为ABC的重心，得到BGHG=2，根据平行四边形的性质得到CE=DF=4，根据相似三角形的性质即可得到结论本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，∴AD=CD=BD，∴∠ACD=∠CAD，∠DCB=∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD=∠B+∠CAD=90°，∴∠CAE=∠B，∴cot∠CAE=cotB=BCAC =42=2，故答案为：2．根据直角三角形的性质得到AD=CD=BD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠CAD，∠DCB=∠B，根据余角的性质得到∠CAE=∠B，于是得到结论．本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．17.【答案】165【解析】解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵∠PCB=∠PBA，∴∠ACB−∠PCB=∠ABC−∠PBA，即∠ACP=∠CBP．在△ACP与△CBP中，{∠ACP=∠CBP∠PAC=∠PCB，∴△ACP∽△CBP，∴PAPC =ACBC，∵AC=5，BC=8，PA=2，∴PC=2×85=165．故答案为165．根据两角对应相等的两三角形相似得出△ACP∽△CBP，利用相似三角形对应边的比相等即可求出PC．本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACP∽△CBP，属于中考常考题型．18.【答案】6√105【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=AD=4，∴BD=√2AB=4√2，∵点E为边AB的中点，∴AE=12AB=2，∵∠EAD=90°，∴DE=√AD2+AE2=2√5，过B作BF⊥DD1于F，∴∠DAE=∠EFB=90°，∵∠AED=∠BFE，∴△ADE∽△FEB，∴EFAE =BEDE，∴EF2=22√5，∴EF=2√5，∴DF=2√5+2√5=12√5，∵△BED绕着点B旋转至△BD1E1，∴BD1=BD，∠D1BD=∠E1BE，BE1=BE，∴DD1=2DF=24√5，△D1BD∽△E1BE，∴EE1DD1=BEBD，∴EE124√5=24√2，∴EE1=6√105，故答案为：6√105．根据正方形的性质得到AB=AD=4，根据勾股定理得到BD=√2AB=4√2，=√AD 2+AE 2=2√5，过B 作BF ⊥DD 1于F ，根据相似三角形的性质得到EF =2√5，求得DF =2√5+2√5=12√5，根据旋转的性质得到BD 1=BD ，∠D 1BD =∠E 1BE ，BE 1=BE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．19.【答案】解：原式=2×(√32)2−12(√3)2−4×√22=2×34−123−2√2=13−2√2=3+2√2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20.【答案】解：(1)y =2x 2−4x −6=2(x 2−2x)−6=2(x −1)2−8，故该函数的顶点坐标为：(1,−8)； (2)当y =0时，0=2(x −1)2−8， 解得：x 1=−1，x 2=3，即图象与x 轴的交点坐标为：(−1,0)，(3,0)， 故该抛物线沿x 轴向左平移3个单位后经过原点， 即m =3．【解析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键． (1)直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； (2)直接求出图象与x 轴的交点，进而得出平移规律．21.【答案】解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，cotA =43，BC =6，∴ACCB =AC 6=43，则AC =8．又∵在Rt △BCD 中，tan∠DBC =12， ∴DCBC =DC 6=12，∴CD =3．∴AD =AC −CD =5．(2)∵DE//BC ， ∴DEBC =AD AC =58．∴DE =58BC ． ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ． ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58b ⃗ −58a ⃗ ．【解析】(1)通过解Rt △ABC 求得AC =8，解Rt △BCD 得到CD =3，易得AD =AC −CD =5；(2)由平行线截线段成比例求得DE 的长度，利用向量表示即可．考查了平面向量，解直角三角形，平行线的性质．注意：向量是有方向的． 22.【答案】解：过点C 作CG ⊥AB 于G ， 则四边形CFEG 是矩形， ∴EG =CF =0.45， 设AD =x ，∴AE =1.8−x ，∴AC =AB =AE −BE =1.6−x ， AG =AE −CF =1.35−x ，在Rt △ACG 中，∠AGC =90°，∠CAG =37°， cos∠CAG =AGAC =1.35−x 1.6−x=0.8，解得：x =0.35，∴AD =0.35米，AB =1.25米，答：AB 和AD 的长分别为1.25米，0.35米．【解析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 过点C 作CG ⊥AB 于G ，得到四边形CFEG 是矩形，根据矩形的性质得到EG =CF =0.45，设AD =x ，求得AE =1.8−x ，AC =AB =AE −BE =1.6−x ，AG =AE −CF =1.35−x ，即可得到结论．23.【答案】证明：(1)∵AB =AC ，D 是边BC 的中点， ∴AD ⊥BC ， ∴∠ADC =90°，∴∠ADE +∠CDE =90°． ∵DE ⊥AC ， ∴∠CED =90°，∴∠CDE +∠DCE =90°， ∴∠ADE =∠DCE ．又∵∠AED =∠DEC =90°， ∴△AED∽△DEC ， ∴DE AD=CE CD，∴DE ⋅CD =AD ⋅CE ； (2)∵AB =AC ， ∴BD =CD =12BC ． ∵F 为DE 的中点， ∴DE =2DF ．∵DE ⋅CD =AD ⋅CE ， ∴2DF ⋅12BC =AD ⋅CE ，∴CE DF =BCAD ．又∵∠BCE =∠ADF ， ∴△BCE∽△ADF ， ∴BCAD =BEAF ，∴AF ⋅BC =AD ⋅BE ．【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：(1)利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC ；(2)利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF ．(1)由AB =AC ，D 是边BC 的中点，利用等腰三角形的性质可得出∠ADC =90°，由同角的余角相等可得出∠ADE =∠DCE ，结合∠AED =∠DEC =90°可证出△AED∽△DEC ，再利用相似三角形的性质可证出DE ⋅CD =AD ⋅CE ；(2)利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD =12BC ，DE =2DF ，结合DE ⋅CD =AD ⋅CE 可得出CEDF =BCAD ，结合∠BCE =∠ADF 可证出△BCE∽△ADF ，再利用相似三角形的性质可证出AF ⋅BC =AD ⋅BE ．24.【答案】解：(1)把点O(0,0)，点B(4,0)分别代入y =−x 2+bx +c 得： {c =0−16+4b +c =0， 解得：{b =4c =0，即抛物线的表达式为：y =−x 2+4x ， 它的对称轴为：x =−42×(−1)=2，(2)把点A(3,m)代入y =−x 2+4x 得： m =−32+4×3=3， 即点A 的坐标为：(3,3)，过点B 作BD ⊥OA ，交OA 于点D ，过点A 作AE ⊥OB ，交OB 于点E ，如下图所示，AE =3，OE =3，BE =4−3=1，OA =√32+32=3√2，AB =√12+32=√10， S △OAB =12×OB ×AE =12×OA ×BD ， BD =OB×AE OA =3√2=2√2，AD =√AB 2−BD 2=√10−8=√2，tan∠OAB =BDAD =2．【解析】(1)把点O(0,0)，点B(4,0)分别代入y =−x 2+bx +c ，解之，得到b 和c 的值，即可得到抛物线的表达式，根据抛物线的对称轴x =−b2a ，代入求值即可，(2)把点A(3,m)代入y =−x 2+4x ，求出m 的值，得到点A 的坐标，过点B 作BD ⊥OA ，交OA 于点D ，过点A 作AE ⊥OB ，交OB 于点E ，根据三角形的面积和勾股定理，求出线段BD 和AD 的长，即可得到答案．本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，解题的关键：(1)正确掌握代入法和抛物线的对称轴公式，(2)正确掌握三角形面积公式和勾股定理．25.【答案】解：(1)将ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处， ∴BG ⊥EF ，BG =AB =6，cos∠DBC =23=BG BF =6BF ，则：BF =9，S △BEF =12BF ⋅AB =12EF ⋅BG ，即：9×6=6×EF ， 则EF =9；(2)过点A 作AH ⊥BG 交于点H ，连接AG ，设：BF =a ， 在Rt △BGF 中，cos∠GBF =cosα=BGBF =6a ，则tanα=√a 2−366，sinα=√a 2−36a，y =S △ABG S △BEF=12BG×AH 12BF×AB =6×6×sinαa×6=36a 2…①，tanα=AB AD =6x =√a 2−366，解得：a 2=36+(36x )2…②，把②式代入①式整理得：y =x 2x 2+36(x ≥92)；(3)①当GF =FC 时，FC =10−a =GF =asinα=√a 2−36， 把②式代入上式并解得：x =454，②当CF =CG 时， 同理可得：x =18√9191； 故：AD 的长为454或18√9191．【解析】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题目难度较大．(1)利用S △BEF =12BF ⋅AB =12EF ⋅BG ，即可求解；(2)y=S△ABGS△BEF =12BG×AH12BF×AB=6×6×sinαa×6=36a2，tanα=ABAD=6x=√a2−366，即可求解；(3)分GF=FC、CF=CG两种情况，求解即可．。
上海市2019年中考数学一模18题汇编
上海市2019年一模18题1、（宝山）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，5BC =，点P 为AC 上一点，将△BCP 沿直线BP 翻折，点C 落在C '处，连接AC '，若AC '∥BC ，那么CP的长为2、（崇明）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M 在边CD 上，连结AM 、BM ，90AMB ∠= ，则点M 为直角点．若点E 、F 分别为矩形ABCD 边AB 、CD 上的直角点，且5,6AB BC ==，则线段EF 的长为____________．3、（奉贤）如图5，在ABC 中，35,sin 5AB AC C ===，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，点B 、C 分别与点D 、E 对应，AD 与边BC 交于点F ，如果//AE BC ，那么BF 的长是____________．（图5）4、（虹口）如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，BED 绕着点B 旋转至11BD E ，如果点D 、E 、1D 在同一直线上，那么1EE 的长为____________姓名：年级：学校：5、（黄埔）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的点，EF BE ⊥，交边CD 于点F ，联结CE 、BF ，如果3tan 4ABE ∠=，那么:CE BF =_．6、（嘉定）在△ABC 中，︒=∠90ACB ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AE AC 3=，︒=∠45CDE (如图3)，△DCE 沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在△ABC 内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果AE BG =，那么=B tan _．7、（金山）如图，在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，8=AC ，6=BC ．在边AB 上取一点O ，使BC BO =，以点O 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90，得到C B A '''∆（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么ABC ∆与C B A '''∆的重叠部分的面积是_．8、（静安）如图6，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后，点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结AE ．如果2tan 3DFC ∠=，那么BD AE的值是____________．9、（闵行）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，点D 为边AB 上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B 落在点E 处，联结AE ．如果AE //CD ，那么BE =．10、（浦东）将矩形纸片ABCD 沿直线AP 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果AED ∠的余弦值为35，那么AB BC=____________．11、（普陀）如图5，ABC 中，38,cos 4AB AC B ===，点D 在边BC 上，将ABD 沿直线AD 翻折得到AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与边BC 相交于点F ，如果2BD =，那么EF =____________．12、（青浦）对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S 称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE ，1S 是“亮点”，2S 不是“亮点”，如果//,//AB DE AE DC ，2,1AB AE ==，60B C ∠=∠=，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为____________．13、（松江）如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，AB 与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______．14、（徐汇）在梯形ABCD 中，//AB DC ，390,6,2,tan 4B BC CD A ∠==== ．点E 为BC 上一点，过点E 作//EF AD 交边AB 于点F ．将BEF 沿直线EF 翻折得到GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为____________．15、（杨浦）Rt ABC 中，90,3,2C AC BC ∠===，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为____________．16、（长宁）如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将ABP ∆沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果5=AB ，8=AD ，34tan =B ，那么BP 的长为_．（有不解问题加老师微信解答）A CD 第18题图。
2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-图形的翻折含详解
专题图形的翻折【知识梳理】【历年真题】1．（2021秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝1，则BE＝．2．（2021秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，sin∠A＝45．点D、E分别在AB和AC边上，AD＝2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE＝．3．（2021秋•金山区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝45，E是BC上一点，把△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，如果PE∥AC，那么BE＝．4．（2021秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q处，联结PQ，如果∠CQB＝APQ，那么AQ的长为．5．（2021秋•徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上一点，且BD＝3CD，将△ABD沿直线AD翻折，点B的对应点为B′，则sin∠CB′D＝．6．（2021秋•崇明区期末）如图所示，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，如果将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点D处，折痕为CM，那么cos∠DMA＝．7．（2021秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝35．D是边BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点F处．如果线段FD交边AB于点G，当FD⊥AB时，AE：BE的值为．8．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为．9．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．10．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为．11．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．12．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE 翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于．13．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为．14．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是cm．15．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC 上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．16．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B 所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝．17．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC 的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝．18．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为．专题图形的翻折【历年真题】2．（2021秋•长宁区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 、E 分别在AC 边和AB 边上，沿着直线DE 翻折△ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，如果CF ＝1，则BE ＝724．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】过F 作FG ⊥AB 于点G ．先求出AB ＝3，BF ＝3﹣1＝2．则FG ＝GB ＝BF ，所以AG ＝AB﹣BG ＝﹣＝，设AE ＝x ，则EF ＝x ，EG ＝﹣x ，在Rt △EGF 中，EG 2+FG 2＝EF 2，利用勾股定理解列出（﹣x ）2+（）2＝x 2，解得x ＝524，即求出BE ．【解答】解：过F 作FG ⊥AB 于点G ．∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝3，CF ＝1，∴AB ＝，BF ＝3﹣1＝2．∴FG ＝GB ＝BF ＝，∴AG ＝AB ﹣BG ＝＝，设AE ＝x ，则EF ＝x ，EG ＝﹣x ，在Rt △EGF 中，EG 2+FG 2＝EF 2，即（﹣x ）2+）2＝x 2，解得x ＝524，∴BE ＝AB ﹣AE ＝﹣524＝724．故答案为：724．【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型．2．（2021秋•虹口区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝15，sin ∠A ＝45．点D 、E 分别在AB 和AC 边上，AD ＝2DB ，把△ADE 沿着直线DE 翻折得△DEF ，如果射线EF ⊥BC ，那么AE ＝510-．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】推理填空题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】先根据折叠得到DE 平分∠AEF ，根据角平分线过D 作∠AEF 两边垂线即可．【解答】过D 作DM ⊥AC 于M ，过B 作BH ⊥AC 于H∵AB ＝AC ＝15，4sin 5A ∠=，AD ＝2DB ∴AD ＝10，DM ＝8，AM=6，BH=12，AH=9，∴CH ＝AC-CH=6∴22tan 2,5BHC BC BH CH CH∠===+过D 作DG ⊥EF 交EF 于N，交AC 于G∵把△ADE 沿着直线DE 翻折得△DEF∴DE 平分∠AEF，∴DM＝DN＝8，EM＝EN，∵EF⊥BC 于点G，∴DH∥BC，∴23DG AD BC AB ==，∠C＝∠NHE，∴23DG BC ==∴8NG DG DN =-=-∵tan tan 2EN C NGE NG∠=∠==∴216EM EN NG ===∴10AE AM EM =+=故答案为：10-【点评】本题难度比较大，综合考查折叠的性质、三角函数、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由折叠得到角平分线再根据角平分线作垂线．3．（2021秋•金山区期末）在△ABC 中，AB＝AC＝10，sinB＝45，E 是BC 上一点，把△ABE 沿直线AE 翻折后，点B 落在点P 处，如果PE∥AC，那么BE＝2．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识．【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，设AP 交BC 于F ，根据AB ＝AC ＝10，sin B ＝45，AD ⊥BC ，可得AD ＝8，BD ＝CD ＝6，BC ＝12，由△ABE 沿直线AE 翻折后，点B 落在点P 处，即得∠P ＝∠B ＝∠C ，∠BAE ＝∠PAE ，而PE ∥AC ，有∠P ＝∠FAC ，可证得∠AEC ＝∠EAC ，CE ＝AC ＝10，即得BE ＝BC ﹣CE ＝2．【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，设AP 交BC 于F ，如图：∵AB ＝AC ＝10，sin B ＝45，AD ⊥BC ，∴4105AD AD AB ==，∴AD ＝8，∴BD ＝CD ＝6，∴BC ＝12，∵△ABE 沿直线AE 翻折后，点B 落在点P 处，∴∠P ＝∠B ＝∠C ，∠BAE ＝∠PAE ，∵PE ∥AC ，∴∠P ＝∠FAC ，∴∠B ＝∠FAC ，∴∠B +∠BAE ＝∠FAC +∠PAE ，即∠AEC ＝∠EAC ，∴CE ＝AC ＝10，∴BE ＝BC ﹣CE ＝2，故答案为：2．【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，能熟练运用锐角三角函数解直角三角形．4．（2021秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q处，联结PQ，如果∠CQB＝APQ，那么AQ的长为395．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；运算能力；推理能力．【分析】利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出AQ的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：根据题意如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，根据折叠的性质可知∠A＝∠PQA，∵∠AQP+∠A+∠APQ＝180°，∠AQP+∠PQC+∠CQB＝180°，∵∠CQB＝∠APQ，∴∠A＝∠AQP＝∠PQC，∴PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，如图，过点C作CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，∴S △ABC ＝12⨯AC •BC ＝12⨯AB •CD ，∴10CD ＝6×8，∴CD ＝245，∵CD ⊥AB ，PE ⊥AB ，∴PE ∥CD ，∴△APE ∽△ACD ，∴AP PE AC CD =，∴82485x PE -=，∴PE ＝35（8﹣x ），∴AE=45（8﹣x ），∴AQ ＝2AE ＝85（8﹣x ），∵∠PCQ ＝∠QCA ，∠PQC ＝∠A ∴△PCQ ∽△QCA ，∴CQ CP PQ AC CQ AQ==，∴CQ，88(8)5x x -=-，∴258x =，∴AQ ＝85（8﹣x ）＝395．故答案为：395．【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，主要考查了翻折的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理，三角形等面积法，综合性较强，熟练解直角三角形中线段问题是解题的捷径．5．（2021秋•徐汇区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，点D 为斜边BC 上一点，且BD ＝3CD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为B ′，则sin ∠CB ′D ＝1010．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；解直角三角形；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由折叠的性质得出AB ＝AB '，∠BAD ＝∠B 'AD ，证出∠CB 'D ＝∠CAD ，由平行线的性质得出∠CAD ＝∠ADE ＝∠CB 'D ，13CD AE BD BE ==，设AE ＝a ，则DE ＝3a ，求出AD＝，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵将△ABD 沿直线AD 翻折，∴AB ＝AB '，∠BAD ＝∠B 'AD ，∵AB ＝AC ，∴AC ＝AB '，∴∠AB 'C ＝∠ACB '，设∠B 'AC ＝x ，∠CB 'D ＝α，∠CAD ＝β，∵AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝∠AB 'D ＝45°，∴2（α+45°）+x ＝180°，∴2α＝90°﹣x ，又∵∠B 'AD +∠BAD ＝∠B 'AC +∠CAB ，∴2（x +β）＝90°+x ，∴2β＝90°﹣x ，∴α＝β，∴∠CB 'D ＝∠CAD ，∵CD ⊥AB ，DE ⊥AB ，∴CA ∥DE ，∴∠CAD ＝∠ADE ＝∠CB 'D ，13CD AE BD BE ==，∵BE ＝DE ，∴13AE BE =，设AE ＝a ，则DE ＝3a ，∴AD =，∴sin ∠CB ′D ＝sin ∠ADE ＝AE DE =＝10．故答案为：1010．【点评】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，平分线分线段成比例定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．（2021秋•崇明区期末）如图所示，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，如果将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点D 处，折痕为CM ，那么cos ∠DMA ＝3132．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由折叠的性质可知，CB ＝CD ＝6，∠BCM ＝∠ACM ，证明△BCM ∽△BAC ，由相似三角形的性质得出CD BM CM AB BC AC==，求出BM 和AC 的长，过点D 作DN ⊥AM 于点N ，设MN ＝x ，则AN ＝5﹣x ，由勾股定理求出x ，根据锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知，CB ＝CD ＝6，∠BCM ＝∠ACM，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴CD BM CM AB BC AC ==，∴696BM =，∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC =，∴AC ＝152，∴AD ＝AC ﹣CD ＝152﹣6＝32，过点D 作DN ⊥AM 于点N ，设MN ＝x ，则AN ＝5﹣x ，∴22223((5)42x x +-=-，解得318x =，∴cos ∠DMA ＝31318432MN DM ==．故答案为：3132．【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明△BCM ∽△BAC 是解题的关键．7．（2021秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝35．D是边BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点F处．如果线段FD交边AB于点G，当FD⊥AB时，AE：BE的值为4．【考点】平行线分线段成比例；解直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，如图，利用正弦的定义得到sin B＝35DGBD=，则设DG＝3x，BD＝5x，所以BG＝4x，再根据折叠的性质和平行线的性质得到∠H＝∠DBH，所以DH＝DB＝5x，接着根据平行线分线段成比例定理得到35GE DGBE DH==，则BE＝52x，然后证明△BDG∽△BAC，利用相似比得到BA＝252x，最后计算AE：BE的值．【解答】解：如图，过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，如图，∵FD⊥AB，∴∠DGB＝90°，∵sin B＝35DGBD=，∴设DG＝3x，BD＝5x，∴BG4x，∵△BDE沿直线DE翻折得到△FDE，∴∠BDE＝∠FDE，∵DE∥BH，∴∠FDE＝∠H，∠BDE＝∠DBH，∴∠H＝∠DBH，∴DH＝DB＝5x，∵DE∥BH，∴35 GE DGBE DH==，∴BE＝58×4x＝52x，∵∠BGD＝∠C＝90°，∠DBG＝∠ABD，∴△BDG∽△BAC，∴BD BGBA BC=，即5410x xBA x=，∴BA＝252x，∴AE＝AB﹣BE＝252x﹣52x＝10x，∴AE：BE＝10x：52x＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了折叠的性质和解直角三角形．8．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为26．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM＝BM＝4，进而求出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，在Rt△ABM中，∠B＝45°，AB＝2，∴AM＝BM＝AB•sin∠B＝4，在Rt△ACM中，AM＝4，∠C＝60°，∴AC＝AM4=sin C sin60∠833，又∵A′E⊥AC，∴∠A′EC＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝12（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴AE AD=AB DC，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝22，AE2242833AE＝3，在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝3×226，∴AA′＝2AF＝6，故答案为：6．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．9．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于655．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】首先根据题意得到EG ＝CG ，CE ⊥BD ，证明△CDF ∽△BCD 和△CDG ∽△BDC ，可计算CD 和CG 的长，再证明△EFD ∽△AED ，可得AE 的长．【解答】解：由折叠得：CE ⊥BD ，CG ＝EG ，∴∠DGF ＝90°，∴∠DFG +∠FDG ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADG +∠CDG ＝90°，∴∠CDG ＝∠DFG ，∵∠CDF ＝∠BCD ＝90°，∴△CDF ∽△BCD ，∴CD DF =BC CD，∵AB ＝4，DF ＝1，∴CD 1=4CD，∴CD ＝2，由勾股定理得：CF ＝221+2=5，BD 222+45，同理得：△CDG∽△BDC，∴CD CG=BD BCCG4，∴CG ＝455，∴CE＝2CG ＝85 5，∴EF＝CE﹣CF ＝855＝355，∵DF1=ED2，ED21==AD42，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴EF DF=AE DE ，即15=AE2，∴AE【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用相似三角形列比例式是本题的关键．10．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为2或40 17．【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】分两种情况画出图形，①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；方法二：过点E作EH⊥BC于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，由BF的长列出方程，解方程求出a即可；②方法一如图2，当∠AB′F＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出9442a a+=，求出a的值则可得出答案．【解答】解：①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB 22226810AC BC +=+=，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4，∵∠AFB '＝∠BFD ＝90°，∠ACB ＝90°，∴∠DFB ＝∠ACB ，又∵∠DBF ＝∠ABC ，∴△BDF ∽△BAC ，∴BF BD BC AB =，即4810BF =，解得：BF ＝165，设BE ＝B 'E ＝x ，则EF ＝165﹣x ，∵∠B ＝∠FB 'E ，∴sin ∠B ＝sin ∠FB 'E ，∴'AC EF AB B E =，∴166510x x-=，解得x ＝2．∴BE ＝2．方法二：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，设EH ＝3a ，BE ＝5a ，则BH ＝4a ，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴EF ＝3a ，∴BF ＝8a ＝BD •cos ∠B ＝4×45，∴a ＝25，∴BE ＝5a ＝2；②如图2中，当∠AB ′F ＝90°时，连接AD ，作EH ⊥AB ′交AB ′的延长线于H．∵AD ＝AD ，CD ＝DB ′，∴Rt △ADC ≌Rt △ADB ′（HL ），∴AC ＝AB ′＝6，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴∠B ＝∠DB 'E ，∵AB '⊥DB '，EH ⊥AH ，∴DB '∥EH ，∴∠DB 'E ＝∠B 'EH ，∴∠B ＝∠B 'EH ，∴sin ∠B ＝sin ∠B 'EH ，设BE ＝x ，则B 'H ＝35x ，EH ＝45x ，在Rt △AEH 中，AH 2+EH 2＝AE 2，∴22234(6)()(10)55x x x ++=-，解得x ＝4017，∴BE ＝4017．则BE 的长为2或4017．方法二：过点E 作EG ⊥BD 于点G ，设EG ＝3a ，BG ＝4a ，BE ＝5a ，∴DG ＝EG ×32＝92a ，∵DG +GB ＝DB ，∴9442a a +=，∴a ＝817，∴BE ＝4017．故答案为：2或4017．【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．11．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝1，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D 、F 、E 在同一直线上，则线段AE 的长为152+．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据矩形的性质得到AD ＝BC ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，根据折叠的性质得到CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，DC ＝DE ，证明△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，∠CEB ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠DCE ＝∠CEB ，∴∠CEF ＝∠DCE ，∴DC ＝DE ，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AF DEEF AE=，∴11x xx+=，解得x＝152+或x＝152（舍去），∴AE＝12．故答案为：15 2．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于214．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝425y，FG＝AG﹣AF＝85y，即可求解．【解答】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC＝3：2，∴设BE＝3x，EC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝2x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴AD DF AFEH EF FH==，∴523x AFEH FH==，∴EH＝152x，AF＝23FH，∴CH＝EH﹣EC ＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴AD AGCH GH=，∴51011112x AGGHx==，∴设AG＝10y，GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝215y×2＝425y，∴FG＝AG﹣AF＝85y，∴AF：FG＝21：4＝21 4，故答案为21 4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．13．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为24 7．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰梯形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵FB′⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C，∴sin∠ABC＝sin∠C＝AFBF＝45，设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k，∴k＝3，∴AF＝12，BF＝15，∵AD∥BF，∴△APD∽△FPB，∴PA AD62=== PF BF155，∴PA＝27AF＝247，故答案为24 7．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是532cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据已知条件得到AE＝DF＝BE＝CF，求得四边形AEFD是矩形，得到EF＝AD，∠AEN＝∠BEN＝90°，根据折叠的性质得到BN＝AB，根据直角三角形的性质得到∠BNE＝30°，于是得到EN＝32BN532到结论．【解答】解：如图，∵在矩形纸片ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，∴AE＝DF＝BE＝CF，∴四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD，∠AEN＝∠BEN＝90°，∵折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，∴BN＝AB，∵BE＝12AB，∴BE＝12BN，∴∠BNE＝30°，∵AB＝5cm，∴EN ＝32BN∴EF≥EN时，点A恰好落在线段EF上，即AD∴边AD的长至少是【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为1．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得AB BDBM BE=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CA CDCB AC=，∴464CD=，∴CD＝83，BD＝BC﹣CD＝103，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，∴DM＝3215，MB＝BD﹣DM＝65，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴AB BD BM BE，∴BE＝BD BMAB＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．16．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A1FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB=；②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为或4；故答案为：4；【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．17．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝5或5．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用．【分析】分两种情形分别求解，作DF⊥AB于F，连接AA′．想办法求出AE，利用等腰直角三角形的性质求出AA′即可．【解答】解：如图，作DF⊥AB于F，连接AA′．在Rt△ACB中，BC＝6，∵∠DAF＝∠BAC，∠AFD＝∠C＝90°，∴△AFD∽△ACB，∴DF AD AFBC AB AC==，∴46108DF AF==，∴DF＝125，AF＝165，∵A′E⊥AB，∴∠AEA′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED＝45°，∴EF＝DF＝125，∴AE＝A′E＝125+165＝285，∴AA′＝2825，如图，作DF⊥AB于F，当EA′⊥AB时，同法可得AE＝165﹣125＝45，AA AE＝425．故答案为2825或425．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为1 7．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用．【分析】如图，连接BD ．设BC ＝2a ．在Rt △BEF 中，求出EF ，BF 即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD ．设BC ＝2a．∵四边形ABC 都是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2a ，∠A ＝∠C ＝60°，∴△BDC 是等边三角形，∵DE ＝EC ＝a ，∴BE ⊥CD ，∴BE 22-3BC EC =a ，∵AB ∥CD ，BE ⊥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠EBF ＝90°，设AF ＝EF ＝x ，在Rt △EFB 中，则有x 2＝（2a ﹣x ）2+3a ）2，∴x ＝74a ，∴AF ＝EF ＝74a ，BF ＝AB ﹣AF ＝4a ，∴cos ∠EFB ＝14774a BF a EF ==，故答案为17．【点评】本题考查菱形的性质，解翻折变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷试题及答案(解析版)
2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列四条线段能成比例线段的是( ) A ．1，1，2，3B ．1，2，3，4C ．2，2，3，3D ．2，3，4，52．如果:3:2a b =，且b 是a 、c 的比例中项，那么:b c 等于( ) A ．4:3B ．3:4C ．2:3D ．3:23．如果ABC ∆中，90C ∠=︒，1sin 2A =，那么下列等式不正确的是( )A ．cos AB ．cot A =C ．sin B =D ．tan B =4．下列关于向量的运算中，正确的是( ) A ．a b b a -=- B ．2()22a b a b --=-+ C ．()0a a +-=D ．0a a +=5．如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图象的对称轴是直线( ) A ．0x =B ．12x =C ．34x =D ．1x =6．如果以a 、b 、c 为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a 与b 的比值不可能为( ) A ．23B ．34C ．45D ．56二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果53x x y =-，那么xy= ． 8．等边三角形的中位线与高之比为 ．9．如果两个相似三角形的面积比为4:9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为 ．10．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，6BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1AD =，如果ABC ADE ∆∆∽，那么AE = ．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，8BC =，如果点G 为重心，那么GCB ∠的余切值为 ． 12．如果开口向下的抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，那么a 的值是 ． 13．如果抛物线22y x bx c =-++的对称轴在y 轴的左侧，那么b 0（填入“<”或“>” ）． 14．已知点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在抛物线22y x x m =++上，如果120x x <<，那么1y 2y （填入“<”或“>” ）． 15．如图，//AG BC ，如果:3:5AF FB =，:3:2BC CD =，那么:AE EC = ．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 cm ．17．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上时，抛物线2C 的顶点也在抛物线1C 上，此时我们称抛物线1C 与2C 是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线22y x =是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是 （只需写出一个）．18．Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．如图，已知ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD 的中点，CE 交BD 于点G ．（1）求OGDG的值； （2）如果设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GO ．20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点(1,2)-和(1,0)-和3(0,)2-．（1）求此二次函数的解析式；（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）．21．如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 5B =，cosC =，AC =（1）BC 的长； （2）ADC ∠的正弦值．22．某学生为测量一棵大树AH 及其树叶部分AB 的高度，将测角仪放在F 处测得大树顶端A 的仰角为30︒，放在G 处测得大树顶端A 的仰角为60︒，树叶部分下端B 的仰角为45︒，已知点F 、G 与大树底部H 共线，点F 、G 相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH 和树叶部分的高度AB ．23．已知：如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且ACD B BAE ∠=∠=∠． （1）求证：AD DEBC AC=； （2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=． （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =．若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒．求P 点的坐标．25．已知：梯形ABCD中，//⊥分别交射AD=，6AB=，DF DCAD BC，AB BC⊥，3线AB、射线CB于点E、F．（1）当点E为边AB的中点时（如图1)，求BC的长；（2）当点E在边AB上时（如图2)，联结CE，试问：DCE∠的大小是否确定？若确定，请求出DCE∠的正切值为y，请求出y关于x的∠的正切值；若不确定，则设AE x=，DCE函数解析式，并写出定义域；（3）当AEF∆的面积为3时，求DCE∆的面积．2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是()A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，2，3，3D．2，3，4，5【解答】解：A、1:21:3≠，则::a b c d≠，即a，b，c，d不成比例；B、1:32:4≠，则::a b c d≠．故a，b，d，c不成比例；C、2:23:3=，即::b ac d=，故b，a，c，d成比例；D、2:43:5≠，则::a b c d≠，即a，b，c，d不成比例．故选：C．2．如果:3:2a b=，且b是a、c的比例中项，那么:b c等于()A．4:3B．3:4C．2:3D．3:2【解答】解：:3:2a b=，b是a和c的比例中项，即::a b b c=，:3:2b c∴=．故选：D．3．如果ABC∆中，90C∠=︒，1sin2A=，那么下列等式不正确的是()A．cos A B．cot A=C．sin B=D．tan B=【解答】解：设1BC=，ABC∆中，90C∠=︒，1 sin2A=，2AB∴=，AC=，cos A∴=A选项错误；cot A=，故B选项正确；sin B=，故C选项正确；tan B=，故D选项正确；故选：A．4．下列关于向量的运算中，正确的是( ) A ．a b b a -=- B ．2()22a b a b --=-+ C ．()0a a +-=D ．0a a +=【解答】解：A 、a b b a -=-+，故本选项错误． B 、2()22a b a b --=-+，故本选项正确． C 、()0a a +-=，故本选项错误．D 、0a a +=，故本选项错误．故选：B ．5．如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图象的对称轴是直线( ) A ．0x = B ．12x =C ．34x =D ．1x =【解答】解：0x =、2x =时的函数值都是3相等，∴此函数图象的对称轴为直线0212x +==． 故选：D ．6．如果以a 、b 、c 为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a 与b 的比值不可能为( ) A ．23B ．34C ．45D ．56【解答】解：以a 、b 、c 为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似， :4:5a b ∴=或5:6或2:3，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果53x x y =-，那么x y = 2． 【解答】解：53x x y =-，35x y x -=， 315y x -=， 25y x =， 52x y =． 故答案为：52．8．等边三角形的中位线与高之比为 【解答】解：设等边三角形的边长为2a ，则中位线长为a =，所以等边三角形的中位线与高之比为a =故答案为：．9．如果两个相似三角形的面积比为4:9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为 10 ．【解答】解：设较大三角形的周长为x ，两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4:9， ∴两个相似三角形的周长比为2:3， ∴423x =， 解得，6x =，∴这两个三角形的周长和4610=+=，故答案为：10．10．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，6BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1AD =，如果ABC ADE ∆∆∽，那么AE 3． 【解答】解：ABC ADE ∆∆∽， ∴AD AE AB AC =，即135AE=， 解得，53AE =， 故答案为：53．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，8BC =，如果点G 为重心，那么GCB ∠的余切值为 4 ． 【解答】解：作AD BC ⊥于D ， 则点G 在AD 上，连接GC ， AB AC =，AD BC ⊥，142CD BC ∴==，由勾股定理得，3AD =， G 为ABC ∆的重心，113DG AD ∴==， cot 4CDGCB DG∴∠==， 故答案为：4．12．如果开口向下的抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，那么a 的值是 2- ． 【解答】解：抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，且开口向下， ∴240a a <⎧⎨-=⎩， 解得：2a =-． 故答案为：2-．13．如果抛物线22y x bx c =-++的对称轴在y 轴的左侧，那么b < 0（填入“<”或“>” ）． 【解答】解：由对称轴可知：04bx =<， 0b ∴<，故答案为：<14．已知点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在抛物线22y x x m =++上，如果120x x <<，那么1y <2y （填入“<”或“>” )．【解答】解：抛物线的对称轴为直线212x =-=-，当1x >-时，y 随x 的增大而增大， 因为120x x <<， 所以12y y <． 故答案为<．15．如图，//AG BC ，如果:3:5AF FB =，:3:2BC CD =，那么:AE EC = 3:2 ．【解答】解：//AG BC ，AGF BDF ∴∆∆∽， ∴35AG AF BD FB ==， 设3AG k =，5BD k =， 32BC CD =， ∴25CD BD = 2CD k ∴=， //AG CD ， AGE CDE ∴∆∆∽， ∴3322AE AG k CE CD k ===， 故答案为3:2．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 270 cm ．【解答】解：由题意得，BH AC ⊥，则18472BH =⨯=，斜坡BC 的坡度1:5i =，725360CH ∴=⨯=，360303270()AC cm ∴=-⨯=，故答案为：270．17．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上时，抛物线2C 的顶点也在抛物线1C 上，此时我们称抛物线1C 与2C 是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线22y x =是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是 22(1)2y x =--+，（答案不唯一） （只需写出一个）．【解答】解：由抛物线22y x =可知顶点为(0,0)，设“互为关联”的抛物线为22()2y a x m m =-+，代入(0,0)求得2a =-，∴ “互为关联”的抛物线为222()2y x m m =--+，故答案为22(1)2y x =--+，（答案不唯一）．18．Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 13．【解答】解：如图，过B 作BG AD ⊥于G ，将ABC ∆绕点A 旋转得到ADE ∆，AD AB ∴=，DE BC =，ADE ABC ∠=∠，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，AB AD ∴===24BD BC ∴==，ABC ACB ∠=∠， 1122ABD S AD BD AC BG ∆==，BG ∴=， 过E 作EH BD ⊥交BD 的延长线于H ，180BAG ABC ADB ∠=︒-∠-∠，180EDH ADB ADE ∠=︒-∠-∠，BAG EDH ∴∠=∠，90AGB DHE ∠=∠=︒，ABG DEH ∴∆∆∽，∴AB BG DE EH=，∴=， 2413EH ∴=， ∴点E 到直线BC 的距离为：2413． 故答案为：2413．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．如图，已知ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD 的中点，CE 交BD 于点G ．（1）求OG DG的值； （2）如果设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GO ．【解答】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，OD OB =，AE DE =，2BC DE ∴=，//DE BC ，DEG BCG ∴∆∆∽， ∴12DG DE GB BC ==， 设DG k =，2GB k =，则3BD k =， 1.5OB OD k ==，0.5OG k ∴=， ∴0.512OG k DG k ==．（2）BD BA AD b a =+=-， 16OG BD =， ∴111()666GO b a a b =--=-． 20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点(1,2)-和(1,0)-和3(0,)2-． （1）求此二次函数的解析式；（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）．【解答】解：（1）根据题意得2032a b c a b c c ⎧⎪++=-⎪-+=⎨⎪⎪=-⎩，解得12132a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩， 所以此二次函数的解析式为21322y x x =--； （2）22131(1)2222y x x x =--=--，则抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,2)-， 当0y =时，213022x x --=，解得11x =-，23x =，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)； 如图，21．如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 5B =，cos C =，AC =（1）BC 的长；（2）ADC ∠的正弦值．【解答】解：（1）如图，作AH BC ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，cos CH C AC ==，AC = 1CH ∴=，1AH ==，在Rt ABH ∆中，1tan 5AH B BH ==， 5BH ∴=，6BC BH CH ∴=+=．（2）BD CD =，3CD ∴=，2DH =，AD ==在Rt ADH ∆中，sin AH ADH AD ∠==．ADC ∴∠ 22．某学生为测量一棵大树AH 及其树叶部分AB 的高度，将测角仪放在F 处测得大树顶端A 的仰角为30︒，放在G 处测得大树顶端A 的仰角为60︒，树叶部分下端B 的仰角为45︒，已知点F 、G 与大树底部H 共线，点F 、G 相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH 和树叶部分的高度AB ．【解答】解：由题意可得，30AEC ∠=︒，60ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒， 1.5CH DG EF ===米，15FG ED ==米， ADC AED EAD ∠=∠+∠，30EAD ∴∠=︒，EAD AED ∴∠=∠，ED AD ∴=，15AD ∴=米，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，30DAC ∴∠=︒，152DC ∴=米，AC =米，32AH AC CH ∴=+== 45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，45DBC ∴∠=︒，BDC DBC ∴∠=∠，152BC CD ∴==米，152AB AC BC ∴=-==米，即AH =米，AB =米． 23．已知：如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且ACD B BAE ∠=∠=∠．（1）求证：AD DE BC AC=； （2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE AB CE AD=．【解答】证明：（1）ACD B BAE ∠=∠=∠，BAC BAE CAE ∠=∠+∠，AED ACD CAE ∠=∠+∠， AED BAC ∴∠=∆，DAE B ∠=∠，AED BAC ∴∆∆∽， ∴AD DE BC AC=．（2）ADE CDA ∠=∠，DAE ACD ∠=∠，DAE DCA ∴∆∆∽， ∴AE DE AC AD=， DE EC =， ∴AE AC CE AD=， ∴2222AE AC CE AD =， DAC BAC ∠=∠，ACD B ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，2AC AD AB ∴=， ∴222AE AD AB AB EC AD AD==． 24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=． （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =．若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒．求P 点的坐标．【解答】解：（1）顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=，则3m =， 则抛物线的表达式为：2(1)3y a x =-+，即：32a +=，解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：222y x x =-++；（2）设：抛物线向上平移n 个单位，则函数表达式为：222y x x n =-+++，令0y =，则1x =+0x =，则2y n =+，OA OB =，12n ∴+=+，解得：1n =或2-（舍去2)-，则点A 的坐标为(3,0)，故点(3,1)E -；（3）过点B 、A 分别作x 轴、y 轴的平行线交于点G ，3OA OB ==，则过点G 作圆G ，圆与x 、y 轴均相切， 1452BPA BOA ∠=︒=∠，故点P 在圆G 上， 过点P 作PF x ⊥轴交BG 于点E ，交x 轴于点F ，则四边形AGEF 为边长为3的正方形，则：333PF EF PE =+==+=25．已知：梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，3AD =，6AB =，DF DC ⊥分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F ．（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1)，求BC 的长；（2）当点E 在边AB 上时（如图2)，联结CE ，试问：DCE ∠的大小是否确定？若确定，请求出DCE ∠的正切值；若不确定，则设AE x =，DCE ∠的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当AEF ∆的面积为3时，求DCE ∆的面积．【解答】解：（1）如图1中，//AD BC ，AB BC ⊥，90ABC A ∴∠=∠=︒，3AE EB ==，3AD =，AD AE ∴=，45AED ADE BEF F ∴∠=∠=∠=∠=︒，EF DE ∴==3FB =， DF DC ⊥，90FDC ∴∠=︒，45C F ∴∠=∠=︒，DF DC ∴==12CF ∴==，1239BC CF BF ∴=-=-=．（2）结论：：DCE ∠的大小是定值． 理由：如图2中，连接BD ．取EC 的中点O ，连接OD ，OB ．90EBC EDC ∠=∠=︒，EO OC =， OD OE OC OB ∴===，E ∴，B ，C ，D 四点共圆， DCE ABD ∴∠=∠，在Rt ADE ∆中，1tan 2AD ABD BD ∠==， ABD ∴∠的大小是定值， DCE ∴∠的大小是定值， 1tan 2DCE ∴∠=．（3）如图21-中，连接AF ．设AE x =，FB y =，EB m =， 132AEF S AE FB ∆==， 6xy ∴=，//AD FB ， ∴AE AD EB FB=， ∴3x m y =， 3xy m ∴=，63m ∴=，2m ∴=，2EB ∴=，4AE =，在Rt AED ∆中，5DE ==， 在Rt DEC ∆中，1tan 2DE DCE DC ∠==， 10DC ∴=， 115102522DEC S DE DC ∆∴==⨯⨯=．当点E 在AB 的延长线上时，同法可得8AE =，DE =，2CD DE ∴==， 15732DEC S DE DC ∆∴==． 综上所述，DEC ∆的面积为25或73．。
2019-2020上海市数学中考一模试题(带答案)
14．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为．
15．当直线 经过第二、三、四象限时，则 的取值范围是_____．
16．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．
∴∠BEF=∠DEF=60°．
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．
在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2 ．
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2 ×8=16 ．故选D．
考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
【详解】
试题分析：
①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，
∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；
②∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OEB，∴△EOB≌△CMB，故②正确；
C．仅家长自己参与；D．家长和学生都未参与.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.
2019年上海市静安区中考数学一模考试卷含逐题详解
2019年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x52．下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．4．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．不等式2x﹣1＞0的解是．8．方程＝的根是．9．已知＝，那么的值是．10．△ABC∽△A1B1C1，其中点A，B，C分别与点A1，B1，C1对应，如果AB：A1B1＝2：3，AC＝6，那么A1C1＝．11．如图，在点A处测得点B处的仰角是．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）12．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝米．13．抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）14．如图4，AD∥BC，AC、BD相交于点O，且S△AOD：S△BOC＝1：4．设＝，＝，那么向量＝．（用向量、表示）15．在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．16．抛物线y＝ax2（a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是．17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BE∥AD，且BE交CD于点E，∠AEB＝∠C．如果AB＝3，CD＝8，那么AD的长是．18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：20．（10分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．21．（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A（6，），点P的横坐标是2．抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．求：（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．22．（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB＝ED，分别延长ED、AC 交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P 的坐标．25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM 上（点P不与B重合），连结PA并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．2019年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x5【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝x6，故选：C．【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】根据各个选项中的函数解析式可以直接写出它们的顶点坐标，从而可以解答本题．【解答】解：y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1），故选项A不符合题意，y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），故选项B符合题意，y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），故选项C不符合题意，y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选项D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3，∴cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝3cosα，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．4．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：＝．故选：D．【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【解答】解：在△ADE与△ACB中，∵＝，且∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解【分析】根据单位向量的定义，向量平行的定义以及平行四边形的判定进行判断．【解答】解：A、设为单位向量，那么||＝1，故本选项说法正确．B、已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么、方向相反，则∥，故本选项说法正确．C、四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||即AD＝BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误．D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确．故选：C．【点评】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是明确平面向量的表示形式，难度一般．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．不等式2x﹣1＞0的解是x＞．【分析】先移项，再系数化为1即可．【解答】解：移项，得2x＞1，系数化为1，得x＞．【点评】注意移项要变号．8．方程＝的根是x＝﹣1．【分析】按分式方程的解法，去分母化分式方程为整式方程求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣1），得x2＝1所以x＝±1．当x＝1时，x﹣1＝0，所以1不是原方程的根；当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，所以﹣1是原方程的根．所以原方程的解为：x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，解分式方程易忘记检验而出错．9．已知＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝2a，则y＝5a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．10．△ABC∽△A1B1C1，其中点A，B，C分别与点A1，B1，C1对应，如果AB：A1B1＝2：3，AC＝6，那么A1C1＝9．【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1＝2：3，∴＝＝，∵AC＝6，∴＝∴A1C1＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．11．如图，在点A处测得点B处的仰角是∠4．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）【分析】根据仰角的定义即可得到结论．【解答】解：在点A处测得点B处的仰角是∠4，故答案为：∠4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角，熟记仰角和俯角的定义是解题的关键．12．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝3米．【分析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵i＝1：，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∴BC＝AB＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．13．抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，从而可以求得a的值，进而得到该抛物线在对称轴左侧的部分是上升还是下降，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，∴0＝a×02+（a﹣1），得a＝1，∴y＝x2，∴该函数的顶点坐标为（0，0），函数图象的开口向上，∴该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．如图4，AD∥BC，AC、BD相交于点O，且S△AOD：S△BOC＝1：4．设＝，＝，那么向量＝+．（用向量、表示）【分析】根据已知条件得到△ADO∽△CBO，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝，得到＝，求得＝，根据已知条件得到＝+，于是得到结论．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴＝（）2＝，∴＝，∴＝，∵＝，＝，∴＝+，∴＝＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．【分析】根据勾股定理可求得AB＝10，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝5，最后根据重心的性质可求DG．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵CD为AB边上的中线，∴CD＝AB＝5，∵点G是重心，∴DG＝CD＝．故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．抛物线y＝ax2（a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1．【分析】沿直线y＝x向上平移，平移距离为则相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【解答】解：∵抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为，相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到：“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1．故答案为：y＝（x﹣1）2+1．【点评】本题考查了二次函数的几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BE∥AD，且BE交CD于点E，∠AEB＝∠C．如果AB＝3，CD＝8，那么AD的长是．【分析】根据平行四边形的判定得到四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质得到BE＝AD，DE＝AB ＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB＝3，∵CD＝8，∴CE＝CD﹣DE＝5，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∵∠AEB＝∠C，∴△AEB∽△BCE，∴，∴，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是．【分析】根据矩形的性质得到BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，根据折叠的性质得到DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，根据勾股定理得到BF＝CF＝＝x，求得BC＝（+3）x，根据勾股定理得到BD＝＝x，根据三角形的面积公式得到AH＝，求得AE＝2AH＝，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，∴DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，∴∠DBF＝∠FDB，∴BF＝DF，∴EF＝CF，∵tan∠DFC＝∠BFE＝，∴设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，∴BF＝CF＝＝x，∴BC＝（+3）x，∴BD＝＝x，∵AE⊥BD，∴AH＝，∴AE＝2AH＝，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝3﹣2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（2﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．21．（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A（6，），点P的横坐标是2．抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．求：（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．【分析】（1）设反比例函数的解析式为：y＝，把点A（6，）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案，（2）把x＝2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y＝0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为：y＝，把点A（6，）代入得：＝，解得：k＝8，即反比例函数的解析式为：y＝，（2）把x＝2代入y＝得：y＝＝4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4＝0，解得：a＝﹣1，即抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，把y＝0代入得：﹣（x﹣2）2+4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，即B点的坐标为：（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式，（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x 轴的交点．22．（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【分析】（1）由AC⊥BC，得到∠C＝90°，根据三角函数的定义得到AC＝800，在Rt△ABC中根据三角函数的定义得到AB＝＝≈1395米；（2）求得该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC＝＝2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB＝＝≈1395米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB＝ED，分别延长ED、AC 交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BDE，根据三角形的外角的性质得到∠BAD ＝∠F，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE，∵∠BDE＝∠CDF，∴∠CDF＝∠B，∵∠BAD＝∠ADC﹣∠B，∠F＝∠ACD﹣∠CDF，∴∠BAD＝∠F，∴△ABD∽△FDC；（2）∵∠EAD＝∠F，∠AED＝∠FEA，∴△AED∽△FEA，∴＝，∴AE2＝DE•EF，∵BE＝DE，∴AE2＝BE•EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P 的坐标．【分析】（1）设A（m，0），由△ABD的面积是3可求得m＝2，再利用待定系数法求解可得；（2）作DF⊥x轴，BF⊥AD，由A，B，D坐标知DF＝AF＝3，据此可求得AD＝3，∠DAF＝45°，继而可得AE＝BE＝，DE＝2，再依据正切函数的定义求解可得；（3）先求出直线AD解析式为y＝x﹣2，直线BD解析式为y＝3x﹣12，直线CD解析式为y＝﹣x+8，①△ADB ∽△APE时BD∥PE，此条件下求得PE解析式，连接直线PE和直线AD解析式所得方程组，解之求得点P坐标；②△ADB∽△AEP时∠ADB＝∠AEP，依据tan∠ADB＝tan∠AEP＝求解可得．【解答】解：（1）设A（m，0），则AB＝4﹣m，由△ABD的面积是3知（4﹣m）×3＝3，解得m＝2，∴A（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），将D（5，3）代入得：3a＝3，解得a＝1，∴y＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（2，0），B（4，0），D（5，3），∴DF＝3，AF＝3，则AD＝3，∠DAF＝45°，过点B作BE⊥AD于E，则AE＝BE＝，∴DE＝2，∴tan∠ADB＝＝＝；（3）如图2，由A（2，0），D（5，3）得直线AD解析式为y＝x﹣2，由B（4，0），D（5，3）可得直线BD解析式为y＝3x﹣12，由C（0，8），D（5，3）可得直线CD解析式为y＝﹣x+8，当y＝0时，﹣x+8＝0，解得x＝8，∴E（8，0），①若△ADB∽△APE，则∠ADB＝∠APE，∴BD∥PE，设PE所在直线解析式为y＝3x+m，将点E（8，0）代入得24+m＝0，解得m＝﹣24，∴直线PE解析式为y＝3x+24，由得，∴此时点P（11，9）；②若△ADB∽△AEP，则∠ADB＝∠AEP，∴tan∠ADB＝tan∠AEP＝，设P（n，n﹣2），过点P作PG⊥AE于点G，则OG＝n，PG＝n﹣2，∴GE＝8﹣n，由tan∠AEP＝＝＝求得n＝4，∴P（4，2）；综上，P（11，9）或（4，2）．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握三角形的面积公式、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、一次函数和二次函数的交点问题等知识点．25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM 上（点P不与B重合），连结PA并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．【分析】（1）用解直角三角形的方法，求出AH和BC长即可求解；（2）证明△ABP∽△CQA，利用，即可求解；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，利用cos∠PQC＝cosα＝＝，即可求解．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC交于点H，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝＝2，设BH＝m，∴AH＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝36，∴m＝﹣2（舍）或m＝2，∴BH＝2，AH＝2m＝4，在Rt△AHC中，AC＝9，根据勾股定理得，CH＝＝7，∴BC＝BH+CH＝9，S△ABC＝AH•BC＝×4×9＝18；（2）过点A作AG⊥PA交于点G，由（1）知，BC＝9，∵AC＝9，∴AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵BM∥AC，∴∠BAC＝∠ABP，∴∠ABP＝∠ABC，∵AH⊥BC，AG⊥BP，∴AG＝AH＝4，BG＝BH＝2，∴PG＝BP﹣BG＝x﹣2根据勾股定理得，AP＝＝，∵BM∥AC，∴∠QAC＝∠APB，又∠AQC＝∠ABP，∴△ABP∽△CQA，∴，其中：AB＝6，BP＝x，QA＝y，AP ＝，AC＝9，∴，∴CQ ＝，y ＝①（x＞0）；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，在Rt△ABH中，cos∠ABH ＝＝，∴cos∠PQC＝cosα＝＝其中CQ ＝，PQ＝AP+AQ＝y+AP，AP ＝，∴＝②联立①②解得：x＝﹣14（舍）或x＝9，即BP的长为9．【点评】本题为三角形综合题，重点是确定三角形相似，利用解直角三角形和三角形相似的方法，求出对应线段长度是解题的关键，本题难度较大．第21页（共21页）。