初中数学专题分类突破：二次函数的解析式及图象特征

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二次函数

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(1)∵f(1+x)=f(1-x), ∵ 关于直线x=1对称对称, ∴函数f(x)关于直线函数关于直线对称的最大值为15, 又f(x)的最大值为的最大值为故可设f(x)=a(x-1)2+15(a<0). 故可设 ∴f(x)=ax2-2ax+a+15,
15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ a ,
a +2 = 1.即a=-4，而函数是定义在［］即，而函数f(x)是定义在［a,b］是定义在 2 a +b 上的，关于x=1对称 ∴ 2 = 1 .∴b=6. 对称.∴ 上的，即a,b关于关于对称 ∴
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解法二：二次函数的对称轴为解法二：∵二次函数的对称轴为x=1, 与原函数表达式对比可得a+2 ∴f(x)=(x-1)2+c与原函数表达式对比可得与原函数表达式对比可得 =-2, ∴a=-4,又又 ∴b=6.
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3.二次函数的三种表示形式二次函数的三种表示形式一般式: 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) . 顶点式: 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) ,其中其中 (h,k) 为抛
物线的顶点坐标. 物线的顶点坐标两根式: 两根式: y=a(x-x1)(x-x2) ,其中 ,其中 x1,x2 是
1 (2)试比较试比较f(0)·f(1)-f(0)与 16 的大小并说明理由的大小,并说明理由并说明理由. 试比较与
【分析】可利用二次函数中根与系数的关系列出不分析】等关系,从而确定参数的取值范围等关系从而确定参数a的取值范围从而确定参数的取值范围.
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【解析】 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a, 解析】令 ∆>0

备考2024年中考数学专题突破(全国通用)二次函数的存在性问题(原卷版)

专题3-2一网打尽14类·二次函数存在性问题解题策略梳理题型一等腰直角三角形存在性问题本溪中考辽宁阜新中考2023·湖南娄底·统考中考真题2023·四川广元·中考真题题型二等腰三角存在性问题山东泰安中考甘肃白银中考江苏盐城中考（删减）贵港中考（删减）四川眉山中考删减辽宁葫芦岛中考（删减）题型三直角三角形存在性问题兰州中考（删减）辽宁本溪中考贵州安顺中考真题怀化中考真题2023·四川内江·中考真题2023·海口华侨中学考模题型四平行四边形存在性问题【例4.1】对边相等【例4.2】两定两动：x轴+抛物线【例4.3】两定两动：对称轴+抛物线【例4.4】两定两动：斜线+抛物线【例4.5】两定两动：抛物线+抛物线【例4.6】三定一动2023·四川南充·中考真题2023·山东聊城·中考真题2023·四川巴中·中考真题2023-2024学年武汉市洪山区九年级统考题型五正方形存在性问题例5.1：两动点：构造等腰直角定第3点例5.2：两定两动：抛物线+抛物线南充中考真题2023·黑龙江绥化中考真题2023·四川凉山·中考真题2022·四川遂宁·中考真题2023年广西钦州市一模2020·四川德阳·中考真题题型六菱形存在性问题例6.1例6.2例6.32023·湖南邵阳市·中考真题2023·四川广安·中考真题题型七矩形存在性问题【例7.1】【例7.2】两定两动2023·海南·中考真题2023·内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考真题2022·贵州黔西·中考真题2022·贵州黔东南·中考真题2022·湖北随州·中考真题题型八相似三角形存在性问题【例8.1】【例8.2】【例8.3】【练习1】【练习2】【练习3】2022·湖南张家界·中考真题题型九角的存在性问题之转化为相似或全等三角形2023厦门一中模拟2023-2024学年福建省福州屏东中学月考2023-2024学年湖北天门市九年级月考2024届福州市晋安区统考深圳福田区模拟题型十角的存在性问题之转化为等腰三角形2023年武汉市外国语学校中考模拟武汉·中考真题题型十一角的存在性问题之化为正切或斜率【例11.1】【例11.2】题型十二角的存在性问题之与特殊角结合【例12.1】【例12.2】2023·浙江湖州·统考一模题型十三角的存在性问题之2倍角或半角2024届·武汉市武珞路中学期中2022年长沙市雅礼教育集团中考一模锦州中考真题江苏盐城中考真题题型十四角的存在性问题之动点是角的顶点：构造圆【例14】内蒙赤峰·中考真题：一题四法山东日照中考真题甘肃兰州·中考真题四川资阳·中考真题解题策略梳理一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=1334C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-xAH =3，BH =2而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C 、2【构造三垂直】34C C 、求法相同，以3C 为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）；（2）表示线段：AB 1AC 1BC（3）分类讨论：当1BAC 为直角时，22211AB AC BC ；（4）代入得方程： 2222201153m m ，解得：32m．三、等腰直角三角形在性问题方法突破【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90 得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】【兰州中考（删减）】二次函数22y ax bx 的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx 的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．【分析】（1）213222y x x ；（2）本题直角顶点P 并不确定，以BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再过点P 作水平线，得三垂直全等．设HP=a ，PQ=b ，则BQ=a ，CH=b ，由图可知：42a b b a ，解得：13a b．故D 点坐标为（1,3）．同理可求此时D 点坐标为（3,2）．思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P 点坐标易求．P 点横坐标同D 点，故可求得D点坐标．四、平行四边形存在性问题方法突破考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y ，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx -x A BC（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ，可以理解为AC 的中点也是BD的中点．D【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y，2222A CB DAC BD x x x x y y y y→A C B D A C B D x x x x y y y y ．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D （各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：D 之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n ，可得 17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn ，解得 21,4D ；（3）AB 为对角线时，153235mn，解得 33,0D．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A ，2=D A C B ，3D A B C ．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n ，解得43m n ，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n ，解得21m n ，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n ，解得21m n，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：A C B DAC BD x x x x y y y y ，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．五、矩形的存在性问题方法突破矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：A CB D AC BD x x x x y y y y（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有14,03C 、214,03C、 32,0C 、 43,0C在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形：A C B D A C B D x x x x y y y y其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在坐标系中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB为对角线时，14120a bc，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：323abc或233abc．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC为对角线时，14102a bc，另外AC=BD，得合以上可解得：143531abc．故C14,03、D5,13．（3）AD为对角线时，14120b ac，另外AD=BC综合以上可解得：431331abc．故C14,03、D13,13．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC，5BC （3）分类讨论：根据55AC BC ，可得：，（4）求解得答案：解得：236m，故5C 坐标为23,06．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．六、菱形的存在性问题方法突破作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：A CB D AC BD x x x x y y y y考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．1．看个例子：如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）．（1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） 2222151********m p q m m，解得：398985m p q（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ） 2222151041514504m p qm，解得：223m p q 或843m p q（3）当AD 为对角线时，由题意得：2222151401514110p mq m，解得：153m p q153m p q思路2：先等腰，再菱形先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．（1）当AB=AC时，C点坐标为1 ，对应D点坐标为5 ；C点坐标为1 ，对应D点坐标为5 ．（2）当BA=BC时，C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．（3）AC=BC时，C点坐标为39,08，D点坐标为9,58．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．七、正方形的存在性问题方法突破作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．八、相似三角形存在性问题【模型解读】在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．九、角的存在性问题方法突破除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．圆周角定理： 1= 221三角函数：若tan 1=tan 2，则 1= 2全等三角形： 1= 212等腰三角形： 1= 212角平分线： 1= 212平行： 1= 3， 2= 3321想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．题型一等腰直角三角形存在性问题本溪中考1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．ABCD Oxy辽宁阜新中考2．如图，抛物线22y ax bx 交x 轴于点(3,0)A 和点(1,0)B ，交y 轴于点C ．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0) ，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且MNO 为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．备用图2023·湖南娄底·统考中考真题3．如图，抛物线2y x bx c 过点 1,0A 、点 5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求b ，c 的值．(2)点 000,05P x y x 是抛物线上的动点，过点P 作PE x 轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2023·四川广元·中考真题4．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx 的图象与x 轴交于点 2,0A ， 4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ，求出点F 的坐标.题型二等腰三角存在性问题山东泰安中考5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c 交x 轴于点(4,0)A 、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E ，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．甘肃白银中考6．如图，抛物线24y ax bx 交x 轴于(3,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；江苏盐城中考（删减）7．如图所示，二次函数2(1)2y k x 的图像与一次函数2y kx k 的图像交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k ．（1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求k的值．贵港中考（删减）8．如图，已知二次函数2y ax bx c 的图像与x 轴相交于(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴相交于点(0,3)C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH x轴于点H，与线段BC交于点M，的坐标．连接PC．当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P四川眉山中考删减9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c 经过点(5,0)A 和点(1,0)B ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作DMN DBA ，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．辽宁葫芦岛中考（删减）10．如图，直线4y x 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出t的值．题型三直角三角形存在性问题兰州中考（删减）11．通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90 得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx 的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx 的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．辽宁本溪中考如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c 与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,)2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．。

解读二次函数的图像特点

解读二次函数的图像特点二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将解读二次函数的图像特点，包括数轴上的开口方向、顶点坐标、对称轴以及图像的平移和缩放等内容。

一、数轴上的开口方向二次函数的图像可以分为两种开口方向：向上开口和向下开口。

当二次函数的开口方向向上时，表示二次函数的二次系数大于零；当二次函数的开口方向向下时，表示二次函数的二次系数小于零。

二次函数图像的开口方向与二次系数的正负有关，这一特点可以通过观察二次函数的表达式来判断。

二、顶点坐标二次函数的图像在数轴上表现为一个抛物线，抛物线的顶点是二次函数图像的最低点或最高点。

顶点坐标可以通过二次函数的标准式或顶点式来求解。

对于标准式y=ax^2+bx+c，顶点的横坐标为x=-\frac{b}{2a}，代入得到纵坐标。

对于顶点式y=a(x-h)^2+k，顶点的坐标为(h,k)。

顶点坐标是描述二次函数图像位置的重要指标，可以通过计算或观察图像来确定。

三、对称轴二次函数的图像是关于一条垂直于x轴的直线对称的，这条直线称为对称轴。

对称轴的方程可以通过二次函数的顶点坐标求解，其方程为x=-\frac{b}{2a}。

对称轴是二次函数图像的一条重要特点，它将二次函数图像分为左右对称的两部分。

四、图像的平移和缩放二次函数的图像可以通过平移和缩放进行变换。

平移可以改变二次函数图像在数轴上的位置，平移的方向和距离可以通过对标准式的自由项c进行调整。

缩放可以改变二次函数图像的大小，缩放系数可以通过对标准式的二次系数a进行调整。

平移和缩放可以使二次函数图像在数轴上发生水平或垂直方向的移动和变形。

综上所述，二次函数的图像特点包括数轴上的开口方向、顶点坐标、对称轴以及图像的平移和缩放等内容。

掌握这些特点可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。

在解决二次函数相关问题时，需要注意观察二次系数的正负、求解顶点坐标、确定对称轴方程以及根据需要进行图像的平移和缩放等操作。

九年级数学《二次函数》单元复习(导学案)

九年级数学《二次函数》单元复习（导学案）复习目标:1.体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴,并会确定最值.3.会运用待定系数法求二次函数的解析式.4.能根据图象判断二次函数a、b、c的符号及一些特殊方程或不等式是否成立.5.会将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策.一、基础知识归类和整理1.二次函数的概念及图象特征:(1)二次函数:如果 ,那么y叫做x的二次函数,图象是线(2)二次函数顶点式:通过配方y=ax²+bx+c可写成 ,它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线。

a值函数的图象及性质a>0 （1）开口向上，并向上无限伸展；（2）当时，函数有最小值当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.a<0 （1）开口向下，并向下无限伸展；（2）当时，函数有最大值当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.3.二次函数图象的平移规律:y=ax²⟺y=ax²+k ⟺y=a(x+h)²+k,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)可由抛物线y=ax²(a≠0)平移得到.由于平移时,抛物线上所有的点的移动规律都相同,所以只需研究其顶点移动的情况,因此有关抛物线的平移问题,需要利用二次函数的顶点式来讨论。

4.二次函数解析式的确定:用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立的条件,根据不同的条件选择不同的设法:(1)设一般形式: ；(2)设顶点形式: ；(3)设交点式: 。

a 的作用决定开口方向a>0开口；a<0开口决定开口的大小︳a| 越大，抛物线的开口b 的作用b 与a 同号ab2-＜0，顶点在y 轴的侧 b 与a 异号ab2-＞0，顶点在y 轴的侧顶点在y 轴上c 的作用 c>0抛物线与y 轴的交点在y 轴的 c<0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的c=0 抛物线过点 b ²-4ac b ²-4ac>0抛物线与x 轴有交点 b ²-4ac<0 抛物线与x 轴有交点 b ²-4ac=0抛物线与x 轴有交点解决实际应用问题的关键是选准变量,建立好二次函数模型,同时还要注意符合实际情景。

成都中考B卷分类突破专题：二次函数(含解析)难题压轴题(一诊、二诊

成都中考B卷分类突破专题：二次函数1．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b 与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．4．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？5．（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．6．（2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．7．（2011•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x 轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC =15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．的面积S△ABC（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2017•潍坊）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l 将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．9．（2018•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；（2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；（3）点P是抛物线上一动点，在y轴上找点Q．使点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，直接写出对应的点P的坐标．（不用写过程）（4）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出对应的点P的坐标．（不写过程）10．（2018•兰陵县二模）如图，直线y=﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．11．（2014•舟山）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．（1）当m=时，求S的值．（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．（3）①若S=时，求的值；②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．12．（2018•青羊区模拟）已知点A（﹣2，2），B（8，12）在抛物线y=ax2+bx上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞4），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E．连接FH、AE，求之值（用含m的代数式表示）（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=3PM，求t的值．13．（2017•枣庄）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．14．（2018•金牛区模拟）抛物线y=x2+bx+5经过点A（t，0）和点B（5t，0）．（t ＞0）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=2x+5相交于C．D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．15．（2018•成都模拟）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣4ax+c与直线y=kx+1（k≠0）交于y轴上一点A和第一象限内一点B，该抛物线顶点H的纵坐标为5．（1）求抛物线的解析式；=（2）连接AH、BH，抛物线的对称轴与直线y=kx+1（k≠0）交于点K，若S△AHB ，求k的值；（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（如图2），连接PA．当∠PAB=45°时，ⅰ）求点P的坐标；ⅱ）已知点M在抛物线上，点N在x轴上，当四边形PBMN为平行四边形时，请求出点M的坐标．答案解析1．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．【解答】解：（1）由题意可得，解得a=1，b=﹣5，c=5；∴二次函数的解析式为：y=x2﹣5x+5，（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，则，∵MQ=，∴NQ=2，B（，）；∴，解得，∴，D（0，），同理可求，，=S△BCG，∵S△BCD∴①DG∥BC（G在BC下方），，∴=x2﹣5x+5，解得，，x2=3，∵x＞，∴x=3，∴G（3，﹣1）．②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，∴=，∴=x2﹣5x+5，解得，，∵x＞，∴x=，∴G（，），综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）．（3）由题意可知：k+m=1，∴m=1﹣k，∴y l=kx+1﹣k，∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5，解得，x1=1，x2=k+4，∴B（k+4，k2+3k+1），设AB中点为O′，∵P点有且只有一个，∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，∴O′P⊥x轴，∴P为MN的中点，∴P（，0），∵△AMP∽△PNB，∴，∴AM•BN=PN•PM，∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣）（），∵k＞0，∴k==﹣1+．2．（2016•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）．（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）∴S=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．四边形ABCD从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：①当直线l边AD相交与点M 1时，则S=×10=3，∴×3×（﹣y）=3∴y=﹣2，点M 1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，∵点M是线段PQ的中点，根据中点坐标公式的M（，），∴点M（k﹣1，k2）．假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．3．（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b 与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE=k1x+b1，则，解得：，∴y AE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））∵MC=a（m﹣3）﹣a，NE=m=S△ACM+S△CEM=[a（m﹣3）﹣a]+[a（m﹣3）﹣a]m=（m+1）[a（m ∴S△ACE﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P=x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=y D+y Q=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．4．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．即y=x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k=．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，∴y=x+．∴P（x，x+），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+，整理得：x2﹣4x﹣12=0，解得：x=6或x=﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，=，∴=，解得k=±，∵k＞0，∴k=，综上所述，k=或k=．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，∴y=﹣×（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA=30°，∴∠BDH=30°，∴FH=DF×sin30°=，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t=，∵l BD：y=﹣x+，∴F X=A X=﹣2，∴F（﹣2，）．5．（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x﹣1．（2）方法一：i）∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x﹣1．设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1．解方程组：，解得，∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．∴PQ==AP0．若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，∴直线l1的解析式为：y=x﹣5．解方程组，得：，∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．解方程组，得：，∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．方法二：∵A（0，1），C（4，3），∴l AC：y=x﹣1，∵抛物线顶点P在直线AC上，设P（t，t﹣1），∴抛物线表达式：，∴l AC与抛物线的交点Q（t﹣2，t﹣3），∵一M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1），①当M为直角顶点时，M（t，t﹣3），，∴t=1±，∴M1（1+，﹣2），M2（1﹣，﹣2﹣），②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，将点Q（t﹣2，t﹣3）平移至原点Q′（0，0），则点P平移后P′（2，2），将点P′绕原点顺时针旋转90°，则点M′（2，﹣2），将Q′（0，0）平移至点Q（t﹣2，t﹣3），则点M′平移后即为点M（t，t﹣5），∴，∴t1=4，t2=﹣2，∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），③当P为直角顶点时，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．ii）存在最大值．理由如下：由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．∴的最大值为=．6．（2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．【解答】解：（1）∵经过点（﹣3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（﹣5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC=EF．如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，又∵，∴△CAO≌△EFG，∴EG=CO=，即y E=，∴=x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），∴E（2，），S▱ACEF=；（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，同理可求得E′（+1，），S▱ACF′E′=．（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3﹣k，则直线的解析式是：y=kx+3﹣k，∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．根据两点间距离公式得到：M1M2===∴M1M2===4（1+k2）．又M1P===；同理M2P=∴M1P•M2P=（1+k2）•=（1+k2）•=（1+k2）•=4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．7．（2011•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x 轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC =15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．的面积S△ABC（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA：OB=1：5，OB=OC，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），△ABC∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），即y=x2﹣4x﹣5；（2）设E点坐标为（n，n2﹣4n﹣5），抛物线对称轴为x=2，由2（n﹣2）=EF，得2（n﹣2）=﹣（n2﹣4n﹣5）或2（n﹣2）=n2﹣4n﹣5，解得n=1±或n=3±，∵n＞0，∴n=1+或n=3+，边长EF=2（n﹣2）=2﹣2或2+2；（3）存在．由（1）可知OB=OC=5，∴△OBC为等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，﹣5），设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C代入得：，解得：，则直线BC解析式为y=x﹣5，依题意△MBC中BC边上的高为，∴直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，联立，，解得或，∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．8．（2017•潍坊）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l 将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+△PEF）=﹣（t﹣）2+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．9．（2018•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；（2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；（3）点P是抛物线上一动点，在y轴上找点Q．使点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，直接写出对应的点P的坐标．（不用写过程）（4）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出对应的点P的坐标．（不写过程）【解答】解：（1）∵抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣1）2﹣4，∴h=1，k=﹣4；令y=0，即（x﹣1）2﹣4=0解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B （3，0），（2）∵令x=0，得y=（0﹣1）2﹣4=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），点M的坐标为（1，﹣4）∴BC=3，MC=，BM=2∴BC2+MC2=BM2∴△BMC是直角三角形；∴S=BC•CM=×3×=3；（3）由（1）知，抛物线y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，∵点P是抛物线上一动点，∴设P（p，p2﹣2p﹣3），∵点Q在y轴上，∴设Q（0，m），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，AB的中点M（1，0）∵点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，①当AB为边时，AB∥PQ，AB=PQ，∴p2﹣2p﹣3=m，|p|=4，Ⅰ、当p=4时，m=5，∴P（4，5），Ⅱ、当p=﹣4时，m=21，∴P（﹣4，21）②当AB为对角线时，点M是PQ的中点，∴p=2，p2﹣2p﹣3+m=0，∴p=2，m=3，∴P（2，﹣3），∴点P的坐标为（4，5），（﹣4，21）或（2，﹣3），（4）①如图（1），（2）当点G在y轴上时，由△AOG≌△PHA，得PH=OA，得y P=x A=﹣1，∴x2﹣2x﹣3=﹣1，得x=1±，∴P1（1﹣，﹣1），P2（1+，﹣1）②如图（3），当点F在y轴上时，由△AMP≌△FNP，得PM=PN，得y P=x P，则x2﹣2x﹣3=x，得x=，x=故P3（，）或（，）10．（2018•兰陵县二模）如图，直线y=﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=4，∴B（0，4），当y=0时，﹣x+4=0，x=6，∴C（6，0），把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y=ax2+x+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），∴EG=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣+4m，=EG•OC=×6（﹣+4m）=﹣2（m﹣3）2+18，∴S△BEC∵﹣2＜0，∴S有最大值，此时E（3，8）；（3）y=﹣x2+x+4=﹣（x2﹣5x+﹣）+4=﹣（x﹣）2+；对称轴是：x=，∴A（﹣1，0）∵点Q是抛物线对称轴上的动点，∴Q的横坐标为，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，∵点M在直线y=﹣x+4上，∴点M的坐标是（3，2），又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为，根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣）；②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，由（2），可得点M的横坐标是3，∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为，∴P的横坐标为，∴P（，﹣）；③以AM为对角线时，如图4，∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，∴点P的坐标是（﹣，），。

浅谈二次函数的教学中如何突破重难点

浅谈二次函数的教学二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后,学生要学习的最后一类重要的代数函数,它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。

初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质,用二次函数的观点审视一元二次方程,用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。

二次函数和一次函数、反比例函数一样,都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。

二次函数的图像因为是曲线,关系式变化形式多,应用比较复杂。

我在二次函数的教学中,整体把握,重点突破,收到了较好的教学效果。

一、抓住重点组织教学(一) 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式,并体会二次函数的意义这里体现了数学与生活的关系。

教学中,应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手,引导学生列出函数关系式。

然后,让学生观察、思考:所列的函数关系式有什么共同点?它们与一次函数、反比例函数有什么不同?从而引导出二次函数的概念,让学生认识二次函数的各部分名称。

如此,学生能够体会到二次函数来自生活,感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型,激发学习的积极性。

(二) 采用“描点法”画出二次函数的图像,从图像上认识二次函数的性质这是二次函数的教学重点。

一方面,学生要学会画出二次函数的图像;另一方面,要能从图像上认识二次函数的性质。

教学中,教师要扎实地让学生画出二次函数的图像(不能一带而过,就让学生去解决与图像有关的复杂题),即运用探索函数图像的方法——“描点法”,一步一步地列表、描点、连线,加深对二次函数图像形状的认识。

然后,引导学生从二次函数图像的形状、开口方向、对称性、顶点坐标、增减性等方面去理解二次函数的性质(学生一边看图像,一边说性质,很直观)。

要提醒的是,不仅要让学生画出二次函数的准确图像,还要会画二次函数的示意图像。

(三) 利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴,解决简单的实际问题这里包括两点:一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质,这是学生对二次函数性质的进一步认识;二是列二次函数的关系式解决问题,这是学生学习二次函数的落脚点所在。

二次函数的解析式与图像性质

二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质，帮助读者更好地理解和运用二次函数。

1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。

a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。

解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。

首先，二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

其次，二次函数的对称轴为x = -b/2a。

最后，二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ等于零时，二次函数有两个相等的实根；当Δ小于零时，二次函数无实根。

2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状由a的正负值决定。

当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。

二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点，也是对称轴的交点。

顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

通过顶点的坐标，我们可以得到曲线的最值。

当a 大于零时，曲线的最小值为f(-b/2a)；当a小于零时，曲线的最大值为f(-b/2a)。

除了顶点和对称轴，二次函数的图像还与x轴和y轴有关。

当二次函数与x轴相交时，即为二次函数的实根。

根据判别式Δ的值，我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。

当Δ大于零时，曲线与x轴有两个不相等的交点；当Δ等于零时，曲线与x轴有两个相等的交点；当Δ小于零时，曲线与x轴没有交点。

二次函数与y轴的交点为常数项c，即函数在x=0时的值。

这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。

3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。

函数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题4.1函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数的定义1.函数的定义一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.说明:(1)在函数中定义的两个变量x,y是有主次之分的,变量x的变化是主动的,称之为自变量,而变量y是随x的变化而变化的,是被动的,称之为因变量(即自变量的函数);(2)函数不是数,函数的实质是两个变量的对应关系.2.判断一个关系是否是函数关系的方法一看是否在一个变化过程中;二看是否存在两个变量;三看对于变量每取一个确定的值,另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应,以上三者(简称“三要素”)缺一不可.特别提醒：函数的定义中包括了对应值的存在性唯一性两重薏思，即对自变量的每一个确定的值函数有且只有一个值与之对应对自变量x的不同值y的值可以相同，如函数2y x ,当x=1和x=-1时,y的对应值者是L 【知识点2】函数的三种表示方法1.函数的三种表示方法表示方法定义优点缺点列表示通过列出自变量的值与对应函数值的表格表示函数关系的方法叫做列表法一目了然,对表格中已有自变量的每一个值,可直接查出与它对应的函数值列出的对应值是有限的,而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律关系式法用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法.其中的等式叫做函数关系式能准确地反映整个变化过程中自变量与数值的对应关系从函数关系式很难直观看出函数的变化规律,而且有些函数不能用关系式法表示出来图象法用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值2.列函数关系式根据实际问题列函数关系式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数值之间存在的等量关系，列出等式即可.但要整理成用含自变量的代数式表示函数值的形式.【考点一】利用函数的概念判断两变量的函数关系【例1】（2023·上海·八年级假期作业）下列各式中，y 是否是x 的函数？为什么？（1）23y x =；（2）23y x =．【答案】（1）是，理由见分析；（2）不是，理由见分析【分析】根据函数的概念进行求解即可：对于两个变量，对于其中一个变量x 的任意取值（取值范围内），另一个变量y 都有唯一的值与之对应，那么y 就是x 的函数．（1）解：∵在23y x =中，对于任意的x 的值，y 都有唯一的值与之对应，∴y 是x 的函数；（2）解：∵在23y x =中，对于任意一个正数x 的值，y 都有两个值与之对应，∴y 不是x 的函数；【点拨】本题主要考查了函数的定义，熟知函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的概念即可解答．解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数．则只有D 选项符合题意故选：D ．【点拨】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一本的值与其对应，那么就说y 是x 的函数．【变式2】（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是．（填序号即可）①圆的周长C 是半径r 的函数；②表达式y =y 是x 的函数；③如表中，n 是m 的函数；m 3-2-1-123n2-3-6-632④如图中，曲线表示y 是x 的函数．【答案】①②③【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．解：①圆的周长C 是半径r 的函数；表述正确，故①符合题意；②表达式y =y 是x 的函数；表述正确，故②符合题意；③由表格信息可得：对应m 的每一个值，n 都有唯一的值与之对应，故③符合题意；在④中的曲线，当0x >时的每一个值，y 都有两个值与之对应，故④不符合题意；故答案为：①②③【点拨】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．【考点二】函数的解析式★★自变量★★因变量【例2】（2022秋·八年级课时练习）在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度()cm y 随所挂物体的质量x ()kg 变化关系的图象如下：（1）根据图象信息补全表格：x /kg 012345y /cm810121416（2）写出所挂物体质量在0至5kg 时弹簧秤长度y ()cm 与所挂物体质量()kg x 的关系式；（3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的．【答案】（1）18；（2）=2+8y x ；（3）当0≤x ≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm ；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm ．【分析】（1）根据表格可知，发现所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm ，据此解答即可；（2）根据弹簧的长度等于弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度列出关系式；（3）结合图象解答即可．解：（1）由题意可知，当x =5时，y =16+2=18，故答案为：18；（2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm ，根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x 千克时，弹簧长度y =2x +8（0≤x ≤5）；（3）由图象可知，当0≤x ≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm ；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm ．【点拨】本题主要考查得是列函数关系式，解答本题需要同学们明确弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度，根据表格发现所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm 是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021春·海南海口·八年级北京大学附属中学海口学校校考期中）在函数y 变量x 的取值范围是（）A ．x ≥1B ．x ≠2C ．x ≥2D ．x ≥1且x ≠2【答案】D【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解：根据二次根式的意义可知：x -1≥0，即x ≥1，根据分式的意义可知：x -2≠0，即x ≠2，∴x ≥1且x ≠2．故选：D ．【点拨】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．【变式2】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为x 米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米2．（1）写出买地砖需要的钱数y （元）与x （米）的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）当3x =时，地砖的费用为元．【答案】2312060y x x =-8820【分析】（1）先求出小路的面积，然后根据买地砖需要的钱数=小路的面积⨯每平方米地砖的价格，进行计算即可解答；（2）把3x =代入（1）中所求的关系式进行计算即可解答．解：（1）由题意得：两条小路的面积为：223220(52)x x x x x +-=-米2，2260(52)312060y x x x x ∴=⨯-=-，故答案为：2312060y x x =-；（2）当3x =时，2312060312036098820x x -=⨯-⨯=（元)，答：当3x =时，地砖的费用为8820元．【点拨】本题考查了函数关系式，根据题目的已知条件结合图形求出小路的面积是解题的关键．【考点三】利用函数的三种表达方式解决问题【例3】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度(cm)y 随所挂物体的质量(kg)x 变化关系的图象如下：（1）上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据以上图象补全表格：所挂物体质量/kg x 012345弹簧长度/cmy 8101214（3）由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？（4）在弹簧承受范围内，请直接用含有x 的代数式表示y ．【答案】（1）图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；（2）16，18；（3）5千克；（4）()2805y x x =+≤≤【分析】（1）根据变量常量的定义结合题意进行判断即可；（2）根据图象填写表格即可；（3）根据图象得出结论；（4）根据图象可知所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米，据此解答即可．解：（1）图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；（2）由图象得：所挂物体质量/kg x 012345弹簧长度/cm y 81012141618故答案为：16，18；（3）由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是5千克．（4）∵所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米，∴()2805y x x =+≤≤．【点拨】本题考查函数的表示方法，理解表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系是正确判断的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·四川达州·七年级统考期末）李强一家自驾车到离家500km 的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程(km)x 与油箱剩余油量(L)y 之间的部分数据：轿车行驶的路程/km x 0100200300400…油箱剩余油量/L y 5042342618…下列说法不正确的是（）A ．该车的油箱容量为50LB ．该车每行驶100km 耗油8LC ．油箱剩余油量(L)y 与行驶的路程(km)x 之间的关系式为508y x =-D ．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余10L 油【答案】C【分析】根据表格中信息逐一判断即可．解：A 、由表格知：行驶路程为0km 时，油箱余油量为50L ，故A 正确，不符合题意；B 、0100km -时，耗油量为-=50428L ；100——200km 时，耗油量为37298L -=；故B 正确，不符合题意；C 、有表格知：该车每行驶50km 耗油4L ，则45050y x =-，故C 错误，符合题意；D 、当500x =时，()45050010L 50y =-⨯=，故D 正确，不符合题意．故选：C ．【点拨】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键．【变式2】（2020秋·八年级单元测试）等腰三角形ABC 周长为24，底边BC 长为y ，腰AB 长为x ，则y 关于x 的函数解析式及定义域是.【答案】()242612y x x =-<<【分析】根据三角形的周长为24可得出2x+y=24，变形后即可得出y=-2x+24；根据三角形的边长大于0以及两腰之和大于底边，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出自变量x 的取值范围．解：根据题意得：2x+y=24，∴y=-2x+24，∵x 、x 、y 为三角形的边，∴22242240x x x -+-+⎧⎨⎩＞＞，∴6＜x ＜12．故答案为：()242612y x x =-<<．【点拨】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及三角形的周长，解题的关键是：（1）根据三角形的周长为20找出y 关于x 的函数解析式；（2）由三角形的边长为正值结合两腰之和大于底边，列出关于x 的一元一次不等式组．【考点四】实际问题中列函数的表达式【例4】（2023秋·全国·八年级专题练习）某超市最近销售蓝莓，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：每千克售价（元）6059585756……30每天销售量（千克）5055606570……200（1）表格中的自变量是__________，因变量是__________．（2）设当售价从每千克60元下降了x 元时，每天销售量为y 千克，直接写出y 与x 之间的关系式；（3）如果周六的销售量是170千克，那这天的售价是每千克多少元？（4）如果蓝莓的成本价是30元/千克，某天的售价定为40元/千克，当天的销售利润是多少？【答案】（1）每千克售价，每天销量；（2）550y x =+；（3）36元；（4）1500元【分析】（1）根据表格内容可求解此题；（2）由題意根据每千克售价每下降1元每天销售量就增加5千克进行求解；（3）将170y =代入（2）题结果并进行计算；（4）根据当天的销售利润等于每千克的利润乘以销售的千克数进行代入计算．（1）解：由题意得，自变量是每千克售价，因变量是每天销量，故答案为：每千克售价，每天销量；（2）解：由题意得售价每下降1元销售量就增大5千克，∴当售价从每千克60元下降了x 元时，每天销售量为550y x =+即y 与x 之间的关系式为550y x =+；（3）解：当170y =时，170550x =+，解得：24x =，∴602436-=，即这天的售价是每千克36元；（4）解：由（2）题结果可得，当604020x =-=时，52050150y =⨯+=，∴()40301501500-⨯=（元）答：这天的销售利润是1500元．【点拨】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能准确理解题目间数量关系，并运用函数知识进行求解．【举一反三】【变式1】（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）已知两个变量x 和y ，它们之间的三组对应值如下表所示：x 2-02y311-那么y 关于x 的函数解析式可能是（）A ．1y x =-+B ．21y x x =++C ．y =13x +D ．2y x=-【答案】A【分析】根据函数的定义以及函数图象上点的坐标特征逐项进行判断即可．解：A ．表格中的三组x y 、的对应值均满足1y x =-+，因此选项A 符合题意；B ．表格中01x y ==，满足21y x x =++，但23x y =-=，与21x y ==-，不满足21y x x =++，因此选项B 不符合题意；C ．表格中的三组x y 、的对应值均不满足13y x =+，因此选项C 不符合题意；D ．表格中的三组x y 、的对应值均不满足2y x =-，因此选项D 不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查函数关系式，理解函数的定义以及函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）甲同学的饭卡原有208元，在学校消费为周一到周五，平均每天消费35元，他的卡内余额y （元）与在校天数()05x x ≤≤之间的关系式为．【答案】20835y x=-【分析】用208减去x 天内的消费，即可确定函数关系式．解：依题意，他的卡内余额y （元）与在校天数()05x x ≤≤之间的关系式为20835y x =-，故答案为：20835y x =-．【点拨】本题考查了函数关系式，理解题意列出关系式是解题的关键．【考点五】动点问题中列函数的表达式【例5】（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）已知点()8,0A 及在第一象限的动点(),P x y ，且10x y +=．设OPA 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数解析式；（2）求x 的取值范围，并根据x 的取值范围求出S 的取值范围；（3）当12S =时，求P 点坐标．【答案】（1）=-+S 4x 40；（2）010x <<，040S <<；（3）(7,3)【分析】（1）根据OPA ∆的面积S 等于1·2y OP P 可得出S 关于x 的函数解析式；（2）由点P 在第一象限，可得点P 的横纵坐标均大于0，则可得关于x 的不等式，解得x 的取值范围即可．（3）先根据（1）中S 关于x 的函数解析式及12S =，得出点P 的横坐标，再将其代入10x y +=，则可解得点P 的纵坐标．（1）解：由10x y +=得10y x =-，P 点在第一象限，点A 坐标(8,0)，∴11·8(10)44022S OA Py x x ==⨯⨯-=-+，S ∴关于x 的函数解析式为=-+S 4x 40．（2）解：P 在第一象限，∴1000x x ->⎧⎨>⎩，x ∴的取值范围为010x <<．则S 的取值范围为040S <<．（3）解：440S x =-+ ，∴当12S =时，44012x -+=，7x ∴=，710y += ，3y ∴=，P ∴点的坐标为(7,3)．【点拨】本题主要考查了求函数关系式，求自变量的取值范围，解题的关键是运用数形结合和三角形的面积公式进行计算．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图所示，在ABC 中，已知16BC =，高10AD =，动点Q 由C 点沿CB 向B 点移动（不与点B 重合）．设CQ 的长为x ，ACQ 的面积为S ，则S 与x 之间的函数关系式为（）A ．805S x =-（016x <<）B ．5S x =（016x <<）C ．10S x =（016x <<）D ．580S x =+（016x <<）【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式即可得到S 与x 之间的函数关系式．解：∵12ACQ S CQ AD =⋅ ∴11052S x x =⨯=∴S 与x 之间的函数关系式为5S x =（016x <<）．故选：B【点拨】本题考查列函数解析式，理解题意，列出函数解析式，写出自变量的取值范围是解题的关键．【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB 运动，同时动点N 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AD 运动，当点N 运动到点D 时，点M ，N 同时停止运动，设AMN 的面积为y ，运动时间为x （s ），请写出y 与x 之间函数关系式．【答案】()202y x x =<≤【分析】根据点N 的运动情况，写出y 和x 之间的函数关系式即可.解：当点N 在AD 运动时，∵4AB =，∴02x <≤，∵动点M 以每秒1个单位长度的速度沿线段AB 运动，动点N 以每秒2个单位长度的速度沿线段AD 运动，∴AM x =，2AN x =，∴2122y x x x =⋅=，故答案为：()202y x x =<≤.【点拨】本题是运动型综合题，考查了函数表达式、正方形的性质、三角形的面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程.【考点六】分段函数的表达式【例6】（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考开学考试）某市自来水公司为鼓励单位节约用水，额定某单位每月计划内用水3000吨．计划内用水每吨收费1.5元，超额部分按每吨2.4元收费．（1）写出这个单位每月消费y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系式；（2）若该单位1、2月份分别用水3200吨和2800吨，水费各为多少？【答案】（1） 1.5(03000)2.42700(3000)x x y x x <≤⎧=⎨->⎩（2）该单位1、2月份分别用水3200吨和2800吨，水费分别为4980元和4200元【分析】（1）根据题意，分03000x <≤时，3000x >时，分别列出函数关系式，即可求解；（2）将3200,2800x =分别代入（1）的关系式，即可求解．解：（1）当03000x <≤时， 1.5y x =；当3000x >时，()3000 1.53000 2.4 2.42700y x x =⨯+-⨯=-，∴y 与x 之间的函数关系式为 1.5(03000)2.42700(3000)x x y x x <≤⎧=⎨->⎩；（2）∵32003000>，∴ 2.4320027004980y =⨯-=（元），∵28003000<∴ 1.528004200y =⨯=（元），答：该单位1、2月份分别用水3200吨和2800吨，水费分别为4980元和4200元．【点拨】本题考查了列函数关系式，求函数值，根据题意分别列出函数关系式解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）某商店11月11日举行促销优惠活动，当天到店购买商品，有以下两种优惠方案，方案一：用168元购买会员卡后，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折优惠．已知小敏不是该商店的会员，设她所购买商品总价格为x 元，实际支付费用为y 元．（1）若小敏不购买会员卡，则y 与x 之间的函数关系式是________；若小敏购买会员卡，则y 与x 之间的函数关系式是________；（2）小敏准备购买的商品总价格为1080元，请问她选用哪种方案较为合算？【答案】（1）0.9y x =；0.8168y x =+；（2）选用方案一较为合算【分析】（1）根据所购买商品的价格和折扣直接计算出实际应付的钱；（2）分别求出两种不同方案的实际支付费用，再比较，即可．（1）解：小敏不购买会员卡，y 与x 之间的函数关系式是0.9y x =；小敏购买会员卡，y 与x 之间的函数关系式是0.8168y x =+；故答案为：0.9y x =；0.8168y x =+（2）解：方案一：实际支付费用为0.91080972y =⨯=元；方案二：实际支付费用为0.810801681032y =⨯+=元，∵1032972>，∴小敏选用方案一较为合算．【点拨】本题考查的是列函数关系式，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．【变式2】（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本或少于10本按标价卖，10本以上，从第11本开始按标价的70%卖．乙超市的优惠条件是从第1本开始就按标价的85%卖．（1）当小明要买28本时，到哪家超市购买较省钱？（2）写出甲超市中，收款y 甲（元）与购买本数x （本）的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本练习本？【答案】（1）甲家超市买收费省钱；（2）()100.73(10)x x y x x ⎧≤=⎨+>⎩甲；（3）拿24元钱最多可以买30本练习本（在甲超市购买）【分析】（1）根据甲超市所需要的费用=前10本的总费用+后18本的总费用70%⨯得出甲所需要的费用，根据乙超市所需要的费用=28本的总费用85%⨯得出乙所需要的费用，然后进行比较大小得出答案；（2）甲超市所需要的费用=前10本的总费用+超出10本的总费用70%⨯得出函数解析式；（3）首先求出乙的函数解析式，然后分别求出甲和乙超市分别能买到几本练习本，从而得出答案．（1）解：买28本时，在甲超市购买需用10118170%22.6⨯+⨯⨯=（元），在乙超市购买需用28185%23.8⨯⨯=（元），22.623.8<，所以买28本到甲家超市买收费省钱；（2）解：()10y x x =≤甲101(10)170%0.73(10)y x x x =⨯+-⨯⨯=+>甲；答：()100.73(10)x x y x x ⎧≤=⎨+>⎩甲；（3）解：由题知乙超市收款y 乙（元）与购买本数x （本）间的关系式为．17185%20乙=⨯⨯=y x x 所以当24y =甲时，240.73x =+甲，解得：30x =甲；当24y =乙时，172420x =乙，28x ≈乙．所以拿24元钱最多可以买30本练习本（在甲超市购买）．【点拨】此题考查了一次函数关系式及一元一次方程等知识；求出总价y 甲与购买本数()10x x >的关系式是解题的关键．。

二次函数的解析式与图像

二次函数的解析式与图像二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。

本文将从二次函数的解析式和图像两个方面进行探讨，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、二次函数的解析式二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

这个式子中的x²项决定了二次函数的特性，它使得函数的图像呈现出抛物线的形状。

首先，我们来看二次函数的顶点坐标。

二次函数的顶点坐标可以通过解析式中的平方完成平方项的配方来求得。

具体来说，对于一般形式的二次函数y = ax² +bx + c，它的顶点坐标可以通过以下公式求得：x₀ = -b / (2a)y₀ = c - b² / (4a)其中，x₀和y₀分别表示顶点的横坐标和纵坐标。

这个公式的推导过程可以通过完全平方式、配方法等多种方法得到，读者可以根据自己的理解选择合适的方法进行推导。

其次，我们来讨论二次函数的判别式。

判别式可以帮助我们判断二次函数的图像特性。

对于一般形式的二次函数y = ax² + bx + c，它的判别式可以通过以下公式求得：Δ = b² - 4ac其中，Δ表示判别式。

根据判别式的值，我们可以得到以下结论：1. 当Δ > 0时，二次函数的图像与x轴有两个交点，即函数有两个实根；2. 当Δ = 0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即函数有一个实根；3. 当Δ < 0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即函数没有实根。

根据判别式的值，我们可以进一步推导二次函数的解析式。

当Δ > 0时，二次函数的解析式可以表示为：x₁ = (-b + √Δ) / (2a)x₂ = (-b - √Δ) / (2a)其中，x₁和x₂分别表示函数的两个实根。

当Δ = 0时，二次函数的解析式可以表示为：x = -b / (2a)其中，x表示函数的唯一实根。

二次函数的解析式

二次函数的解析式二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它是数学中的重要内容，在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的解析式的含义、性质及应用。

一、解析式的含义二次函数的解析式是指其函数表达式，即y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c是常数，而x是自变量。

二次函数的解析式可以帮助我们确定函数的图像、求解方程、计算函数的性质等。

二、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线。

当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

b、c的值会影响函数图像的位置和形状，b 决定了抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点。

2. 零点二次函数的解析式中，y=0对应的x的值即为二次函数的零点。

我们可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求解零点。

当Δ(判别式)=b^2 - 4ac > 0时，二次方程有两个不同的实根；当Δ = 0时，二次方程有两个相同的实根；当Δ < 0时，二次方程没有实根。

3. 极值点当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

这个点也被称为函数的顶点。

通过求解二次函数的极值点，我们可以进一步确定函数图像的形状。

4. 对称性二次函数的图像具有轴对称性，其对称轴为x = -b/2a。

这意味着函数图像关于对称轴对称。

这个性质在讨论二次函数的图像时非常重要。

三、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 物体运动的抛物线轨迹在物理学中，抛体运动的轨迹是一个抛物线。

通过分析抛体运动的初速度、角度和位移等参数，可以建立物体运动的二次函数模型，从而求出对象的运动轨迹。

2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数用来描述企业的生产成本。

二次函数可以用来建立成本函数模型，分析生产成本与产量之间的关系，从而帮助企业进行经济决策。

浅谈初中二次函数的教学及重难点的突破

龙源期刊网浅谈初中二次函数的教学及重难点的突破作者：阿旺旦增来源：《读与写·上旬刊》2018年第02期摘要：函数是初中数学知识的重点也是基础，加强对函数的理解是学生学习其他数学知识点的重要前提。

但是教师的教学方式直接影响着函数教学的教学效果。

在初中数学教学中，主要是研究二次函数的概念、图像及其性质，并能用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。

其图像因为是曲线，关系式变化形式多，应用比较复杂，对于初中学生来说它不光是个难点和中考的必考内容，也是以后学习其它函数和高中阶段继续学习的基础，必备的知识。

所以，二次函数的教学效果不容忽视。

本人在执教几届九年级数学的基础上，认真总结了在课堂上怎样让学生加深对二次函数概念、图像的理解，并提出一些自己摸索出来的、重难点突破的方法及经验。

关键词：二次函数；概念；图像；教学；重难点；突破中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）02-0173-01二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后，学生要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。

在此之前，学生已经认识了函数的概念，掌握了一次函数和反比例函数的有关内容，但是相对于一次函数和反比例函数来说，初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质，用二次函数的观点去审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。

二次函数和一次函数、反比例函数一样，都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。

主要是图像复杂，解析式形式复杂。

我在二次函数的教学过程中，主要从以下方面突破，收到了较好的教学效果。

1.抓住重点组织教学1.1 通过对实际问题情境的分析构建二次函数的解析式，理解二次函数的意义，这里体现了数学与生活的关系。

在教学中，我引入了学生在体育课投实心球时，实心球走过的路线，接着引入正方形边长和面积之间的关系、体现了数学与生活的关系。

第二十二章二次函数y=ax+bx+c的图象与性质

第二十二章二次函数22.1.5二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【知识点梳理】1.二次函数y=ax2+bx+c的图象特征：2.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用：3. 当x=1时,y=________________________；当x=-1时,y=________________________；当x=2时,y=________________________；当x=-2时,y=________________________。

4. 抛物线y=ax2+bx+c的图象关于坐标轴、原点对称时a,b,c的变化规律：①关于x轴对称时_________________________；②关于y轴对称时_____________________________；③关于原点轴对称时____________________________。

5.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：___________________________,已知图象上三点,通常选择一般式；(2)顶点式：____________________________,已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式；(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)已知图象与x轴的交点坐标，通常选用交点式。

A.基础过关1.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点（0，﹣3），则下列说法不正确的（）。

A.抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴x=1C当x=1时，y取最大值﹣4 D抛物线与x轴的交点是（﹣1,0），（3,0）2.过（-1,0），（3,0），（1，2）三点的抛物线的顶点坐标为（）。

A.（1,2）B.（-1,2）C. （-1,5）D.（1，-5）3.已知二次函数y= -x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围（）。

A. y≥3B. y≤3C. y＞3D.y＜34.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）。

二次函数总结归纳图像

二次函数总结归纳图像二次函数是代数学中一类重要的函数类型，具有一般形式为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

本文将对二次函数的图像进行总结归纳，在不同情况下讨论其图像的特点以及与函数参数的关系。

1. 二次函数图像的基本形态二次函数图像的基本形态为抛物线。

当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

图像关于y轴对称，称为轴对称图像。

抛物线的开口方向和轴对称性是二次函数图像的两个最为明显的特点。

2. a的影响a是二次函数中二次项的系数，它对二次函数图像的开口方向有直接影响。

当a > 0时，二次函数图像开口向上；当a < 0时，二次函数图像开口向下。

a的绝对值越大，抛物线开口越宽。

3. b的影响b是二次函数中一次项的系数，它对二次函数图像的位置有影响。

当b > 0时，图像向左平移，当b < 0时，图像向右平移。

平移的距离与b的绝对值成正比。

4. c的影响c是二次函数中常数项，它对二次函数图像的位置有影响。

当c > 0时，图像向上平移，当c < 0时，图像向下平移。

平移的距离与c的绝对值成正比。

5. 顶点与对称轴二次函数图像的顶点是其最高点或最低点，也是抛物线的轴对称中心，其横坐标为-x轴系数的一半，纵坐标为将x代入后得到的值。

对称轴则是通过顶点的一条垂直线。

6. 零点和与x轴的交点二次函数图像与x轴的交点称为零点，即函数取值为0的点。

二次函数若存在零点，可以通过解方程或利用求根公式来求得。

若零点的个数为0，则函数图像与x轴没有交点；若零点的个数为1，则函数图像与x轴只有一个交点；若零点的个数为2，则函数图像与x轴有两个交点。

7. 函数值的变化趋势对于二次函数而言，当a > 0时，函数图像开口向上，随着x的增大函数值也增大。

当a < 0时，函数图像开口向下，随着x的增大函数值减小。

8. 平移变换的综合效果当b和c同时为0时，二次函数图像的顶点位于原点，开口向上。

2023年中考数学专项突破之函数的实际应用课件(共50张PPT)

要防止轻易放弃.
方法点拨
解决这类问题一般遵循这样的方法：
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三
二次函数的实际应用
(1)运用转化的思想.由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性,因此在解决这
类问题时,要善于把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把
“抽象”的问题转化为“具体”的问题,把“复杂”的问题转化为“简单”的问题.
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三
二次函数的实际应用
题型讲解
二次函数在中考数学中常常作为压轴题,具有一定的综合性和较大的难度,学生往往
因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数.事实上,我们只要理清思路,方法得当,稳步
推进,力争少失分、多得分,同时需要心态平和,切忌急躁,当思维受阻时,要及时调整
思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又
解：∵a=0.1时,s=500,
k
∴500= ,解得k=50.
0.1
则该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式是s=
50
.a返回主目录源自(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米？
50
50
解：将a=0.08代入s= ,得s=
=625.
a
0.08
答：当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶625千米.
提高1元,则每天少售出40本乙种笔记本,为使每天获取的利润更多,店主决定把两种笔
记本的价格都提高x元,在不考虑其他因素的条件下,当x定为多少元时,才能使该文具
若y是x的反比例函数,其图象如图所示：
(1)求y与x的函数解析式；
分析：用待定系数法确定反比例函数解析式.
k
解析：设y与x的函数关系式为y= (k≠0),

初中中考二次函数压轴题分类突破之专题(一)数学建模类(附答案解析)

专题01 二次函数基础上的数学建模类【方法综述】此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。

【典例示范】类型一临界点讨论例1：（2019河北石家庄毕业班教学质量检测）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.(1)当身高为15m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据: √10取3.16)【答案】（1）y=−16x2+23x；（2）①绳子能碰到小丽的头，理由见解析；②1.684⩽d⩽2.316.【思路引导】（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a≠0），把小亮拿绳子的手的坐标（4，0），以及小红头顶坐标（1，1.5-1）代入，得到二元一次方程组，解方程组便可；（2）①由自变量的值求出函数值，再比较便可；①由y=0.65时求出其自变量的值，便可确定d的取值范围．【解析】（1）根据题意,设绳子所对应的抛物线的表达式为y=ax2+bx(a≠0)∵1.5-1=0.5，∴抛物线经过点(4,0)和点(1,0.5) ∴{16a +4b =0a +b =0.5 ，解得{a =−16b =23∴绳子对应的抛物线表达式为y =−16x 2+23x （2）①绳子能碰到小丽的头理由如下：∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m 处， ∴小丽所在位置与原点距离为4-1.5=2.5(m )，∴当x =2.5时，y =−16x 2+23x =−16×2.52+23×2.5=0.625∵1+0.625=1.625<1.65 ∴绳子能碰到小丽的头.②∵1.65-1=0.65，∴当y =0.65时，0.65=−16x 2+23x即10x 2−40x +39=0，解得：x =20±√1010∵√10取3.16 ∴x 1=20+3.1610=2.316，x 2=20−3.1610=1.684，∴4−2.316=1.684，4−1.684=2.316， ∴1.684≤d ≤2.316. 【方法总结】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．针对训练1．（2017内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y =a(x −6)2+ℎ，已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为3m ，球场的边界距O 点的水平距离为14m. （1）当h=4时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）（2）当h=4时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.【答案】(1) y =−118(x −6)2+4 ;(2)见解析;(3) h≥327.【解析】分析：（1）运用待定系数法求二次函数解析式；（2）由（1）可得函数解析式，当x =9时y=3.5,由此可判定球能越过网，令y =0时，求得x =6+6√2,所以球会出界;(3)把两临界值求出来即可. 详解：（1）当h=4时，y =a(x −6)2+4 ∵它过（0,2）， ∴2=a(0−6)2+4 ∵a =−118∴y =−118(x −6)2+4；（2）答：球能越过球网且球会出界理由如下：由（1）可知， y =−118(x −6)2+4令x=9得y=3.5， ∵3.5＞3 ∴球能越过球网; 令y=0得x=6+6√2， ∵6+6√2＞14 ∴球会出界（3）当球过球网时y =a(x −6)2+ℎ过（0，2）和（9,3） {36a +ℎ=29a +ℎ=3 解得：{a =−127ℎ=103 ∴-h≥103 当球到界时，y =a(x −6)2+ℎ过（0，2）和（14,0）{36a +ℎ=264a +ℎ=0 解得：{a =−114ℎ=327 ∴-h≥327 ∴h≥327时球一定能越过球网，又不出边界.2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道y=kx （x≥1）交于点A ，且AB=1米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设v=5．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．【答案】（1）k=18，h=5t 2；（2）x=5t+1，y=﹣5t 2+18，y=−15x 2+25x +895，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v 乙＞7.5 解：（1）由题意，点A （1，18）代入y=kx ，得：18=k1，∴k=18，设h=at 2，把t=1，h=5代入， ∴a=5， ∴h=5t 2；（2）∵v=5，AB=1， ∴x=5t+1， ∵h=5t 2，OB=18，∴y=﹣5t 2+18，由x=5t+1，则t=15（x -1），∴y=﹣15（x -1）2+18=−15x 2+25x +895，当y=13时，13=﹣15（x -1）2+18，解得x=6或﹣4， ∵x≥1， ∴x=6，把x=6代入y=18x ， y=3，∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；（3）把y=1.8代入y=﹣5t 2+18 得t 2=8125，解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去） ∴x=10∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=18x 上，此时，乙的坐标为（1+1.8v 乙，1.8），由题意：1+1.8v 乙﹣（1+5×1.8）＞4.5， ∴v 乙＞7.5.3．（2019盘锦双台子区）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。

2022年人教版(通用)中考数学分类专项精讲精解第六讲函数(二)

第六讲函数（二）专项一二次函数的图象和性质知识清单1．二次函数的概念一般地，形如（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数.2．二次函数的图象和性质考点例析例1 二次函数y＝-x2-2x+3图象的顶点坐标为．分析：确定a，b，c的值，代入顶点公式计算即可；也可以将“一般式”化为“顶点式”求得其顶点坐标．解：例2 已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线y＝-3x2-12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2分析：易得抛物线的对称轴为x＝-2，因为a＝-3＜0，所以当x＝-2时，函数值最大，即y2最大，再根据二次函数的对称性和增减性判断y1，y3的大小即可．解：归纳：对于这类问题一般利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行函数值的大小比较．例3 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值等于（）A．154B．4C．154-D．174-分析：由二次函数图象的对称轴为y轴可得a＝0，将点P（m，n）代入解析式可得m，n的关系式，然后将m-n表示为含m的代数式-m2+m-4，最后利用二次函数的性质可求得其最大值．解：跟踪训练1．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴是x=1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．72⎛⎫⎪⎝⎭，B．（3，0）C．52⎛⎫⎪⎝⎭，D．（2，0）第1题图2．请写出一个函数解析式，使其图象的对称轴为y轴：．3．抛物线y＝3（x-1）2+8的顶点坐标为．4．当-1≤x≤3时，二次函数y＝x2-4x+5有最大值m，则m＝．专项二二次函数的图象与系数的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与其系数a，b，c的符号有密切的联系，它们之间的关系如下表：例1 一次函数y ＝acx +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A B C D分析：选项A ，由抛物线开口向上可知a ＞0，对称轴在y 轴右侧可知a ，b 异号，与y 轴的交点在x 轴上方可知c ＞0，所以ac ＞0，b ＜0，由直线可知ac＞0，b ＞0，故本选项不合题意；用同样的方法分别判断其余选项即可．解：例 2 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＞0；①2a +b =0；①3b -2c ＜0；①am 2+bm ≥a +b （m 为实数）．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而得出abc 的正负；由对称轴x ＝2b a-＝1可得2a +b ＝0；由图象可知当x ＝-1时，y ＝a -b +c ＞0，结合2a +b =0，利用不等式的性质可判断3b -2c 的正负；由图象知当x ＝1时，y 有最小值为a +b +c ，由此可判断am 2+bm 与a +b 的大小关系．解：归纳：几种常见代数式的判断跟踪训练1．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A B C D2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-2，0），B（1，0）两点，则以下结论：①ac ＞0；①二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝-1；①2a+c＝0；①a-b+c＞0．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3第2题图专项三确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例（2020·江西改编）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…-2-1012…y…m0-3n-3…求抛物线的解析式及m，n的值．分析：结合给出的数据可知c＝-3，再将（-1，0），（2，-3）代入解析式得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可确定抛物线的解析式，最后令x＝-2或1，可求得m，n的值．解：跟踪训练1．已知函数y＝a（x-h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8．（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞02．若抛物线y＝ax2-2ax-3+2a2（a≠0）的顶点在x轴上，求其解析式．专项四二次函数图象的平移知识清单抛物线y=ax2向左（右）或向上（下）平移，可得抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.当h＞0时，抛物线向平移|h|个单位长度；当h＜0时，抛物线向平移|h|个单位长度.当k＞0时，抛物线向平移|k|个单位长度；当k＜0时，抛物线向平移|k|个单位长度，即“左加右减自变量，上加下减常数项”.考点例析例将抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的解析式．分析：先将抛物线C1的“一般式”化为“顶点式”，再根据抛物线的平移规律得到新抛物线C2的解析式．解：跟踪训练1．将抛物线y＝2（x-3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（）A．y＝2（x-6）2 B．y＝2（x-6）2+4C．y＝2x2 D．y＝2x2+42．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x-3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x-5）2+33．将抛物线y＝ax2+bx-1向上平移3个单位长度后，经过点（-2，5），则8a-4b-11的值是．专项五二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：考点例析例1 抛物线y＝（k-1）x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．分析：由抛物线与x轴有交点，得Δ≥0，再结合二次函数的意义，得k-1≠0，解两个不等式即可得k的取值范围．解：例2 （2020·娄底）二次函数y＝（x-a）（x-b）-2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b分析：易知二次函数y＝（x-a）（x-b）与x轴的交点的横坐标为a，b，将其图象向下平移2个单位长n，a，b的大小关系．度可得二次函数y＝（x-a）（x-b）-2的图象，如图所示，观察图象可判断m，跟踪训练1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，-1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0B．4＜x2＜5C．b2-4ac＜0D．ab＞0第1题图第3题图2．抛物线y＝2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是．3．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，则当y＜0时，x的取值范围是．4．在平面直角坐标系中，已知A（-1，m），B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位长度，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．专项六二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1 “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行煎炸时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率P与煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a，b，c是常数，a≠0），如图1记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟图1分析：将三组实验数据（3，0.8），（4，0.9），（5，0.6）代入函数关系式P＝at2+bt+c，可确定a，b 的值，利用t ＝2b a计算抛物线顶点的横坐标即为煎炸臭豆腐的最佳时间．解：例2 某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图2所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．（1）当100≤x ≤300时，y 与x 的函数解析式为；（2）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？图2分析：（1）设y 与x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（100，100），（300，80）代入即可求得其解析式；（2）因为100≤200≤300，所以在（1）的解析式中，令x ＝200，可求得此时的批发单价y ，再乘件数即可求得需要支付的总费用；（3）分两种情况讨论：当100≤x ≤300时，可列出w 关于x 的二次函数解析式，根据二次函数的性质结合“批发件数x 为10的正整数倍”可求得此时w 的最大值；当300＜x ≤400时，可列出w 关于x 的一次函数解析式，根据一次函数的性质可求得其最大值，两种情况进行对比可得最终结果．解：跟踪训练1．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图①表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．① ①第1题图2．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100 m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．第2题图3．某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x 元（x ≥50），月销量为y 件，月销售利润为w 元．（1）写出y 与x 的函数解析式和w 与x 的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10 000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求最大利润．专项七二次函数中的分类讨论思想知识清单分类讨论思想是当待解决的问题包含两种或两种以上的可能情况时，需要按不同情况分类来解决问题的一种思想方法，同时它也是一种解题策略.考点例析例已知抛物线y ＝x 2+（2m -6）x +m 2-3与y 轴交于点A ，与直线x ＝4交于点B ，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A ，B 两点），M 为G 上任意一点，设点M 的纵坐标为t ，若t ≥-3，则m 的取值范围是（）A ．m ≥32B ．32≤m ≤3C ．m ≥3D ．1≤m ≤3分析：根据题意，得x ＝2b a-≤2，244ac b a -≥-3，然后再分对称轴在y 轴右侧、为y 轴、在y 轴左侧三种情况对b 的正负进行讨论，最后综合三种情况得出m 的取值范围．解：跟踪训练1．若函数y=（m-1）x2-6x+32m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．-2或3 B．-2或-3 C．1或-2或3 D．1或-2或-32．二次函数y＝ax2-3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上．若①ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为．参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 （-1，4）例2 B 例3 C1．B 2．答案不唯一，如y＝x23．（1，8）4．10专项二二次函数的图象与系数的关系例1 B 例2 D1．C 2．C专项三确定二次函数的解析式例抛物线的解析式为y＝x2-2x-3，m＝5，n＝-4．1．C2．解：因为y＝ax2-2ax-3+2a2＝a（x-1）2+2a2-a-3，且抛物线的顶点在x轴上，所以2a2-a-3=0．解得a＝32或a＝-1．所以抛物线的解析式为y＝32x2-3x+32或y＝-x2+2x-1．专项四二次函数图象的平移例y＝（x-3）2-3．1．C 2．D 3．-5专项五二次函数与一元二次方程的关系例1 k≤54且k≠1 例2 C111．B 2．2 3．-3＜x ＜1 4．4专项六二次函数的应用例1 C例2 （1）y ＝110-x +110 （2）当x ＝200时，y ＝-20+110＝90．90×200＝18 000（元）．答：零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18 000元．（3）分两种情况：①当100≤x ≤300时，w ＝11107110x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝110-x 2+39x ＝110-（x -195）2+3802.5．因为110-＜0，且批发件数x 为10的正整数倍，所以当x ＝190或200时，w 有最大值，为110-（200-195）2+3802.5＝3800；②当300＜x ≤400时，w ＝（80-71）x ＝9x ．因为9＞0，所以当x ＝400时，w 有最大值，为9×400＝3600．综上，零售商一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元．1．18002．（1）证明：因为矩形MEFN 与矩形EBCF 的面积相等，所以ME ＝BE ．因为四块矩形花圃的面积相等，所以S 矩形AMND ＝2S 矩形MEFN ，所以AM ＝2ME ．所以AE ＝3BE ．（2）解：因为篱笆总长为100 m ，所以2AB +GH +3BC ＝100．所以AB ＝40-65BC ．所以y ＝BC ·AB ＝x 6405x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝26405x x -+．因为BE ＝14AB ＝10-310x ＞0，解得x ＜1003，所以0＜x ＜1003．所以y 关于x 的函数解析式为y ＝26405x x -+（0＜x ＜1003）． 3．解：（1）y ＝500-10（x -50）＝-10x +1000；w ＝（x -40）（-10x +1000）＝-10x 2+1400x -40 000．（2）由题意，得-10x 2+1400x -40 000＝8000，解得x 1＝60，x 2＝80．当x＝60时，成本为40×（-10×60+1000）＝16 000＞10 000不符合要求，舍去；当x＝80时，成本为40×（-10×80+1000）＝8000＜10 000符合要求．所以销售价应定为每件80元．（3）因为w＝-10x2+1400x-40 000＝-10（x-70）2+9000．因为-10＜0，所以当x＝70时，w取最大值，为9000．所以销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．专项七二次函数中的分类讨论思想例A1．C 2．3-92⎛⎫⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，12。

二次函数及其像特征

二次函数及其像特征二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是大学数学中常见的函数类型之一。

它具有独特的性质和特征，对于理解函数的变化规律和解决实际问题都有很大的帮助。

本文将介绍二次函数的定义、图像特征以及相关应用。

一、二次函数的定义二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

这里的x为自变量，f(x)为因变量。

二次函数的定义域为实数集R。

二、二次函数的图像特征1. 平移：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，通过改变a、b、c的值可以实现平移变换。

a的正负决定了二次函数的开口方向，正值开口向上，负值开口向下；b的值决定了对称轴的位置，b的绝对值越大，平移距离越远；c的值决定了二次函数与y轴的交点。

2. 对称轴：二次函数的对称轴为一条垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x = -b / (2a)。

对称轴将二次函数分成左右对称的两部分。

3. 最值：二次函数的最值即为最大值或最小值，在二次函数图像的顶点处取得。

当a > 0时，二次函数的最值为最小值；当a < 0时，二次函数的最值为最大值。

4. 零点：二次函数的零点即为函数与x轴的交点。

求解二次函数的零点可以使用因式分解、配方法和根的公式等方法。

三、二次函数的应用二次函数不仅仅是一种抽象的数学概念，它在现实生活中有着广泛的应用。

以下是二次函数常见的应用场景：1. 物体的抛体运动：在物理学中，二次函数可以用来描述物体的抛体运动过程。

例如，我们可以通过二次函数来计算抛体的轨迹、飞行时间、最高点高度等。

2. 经济学中的成本和收益问题：在经济学中，二次函数可以用来描述成本和收益的关系。

例如，企业的成本函数和收益函数通常是二次函数，通过分析二次函数的图像特征，可以帮助企业决策制定和利润最大化。

3. 工程中的波形设计：在工程领域中，二次函数可以用来设计波形，如音频信号的波形、振动信号的波形等。

2023年中考数学专项突破之函数的图象与性质课件 52张PPT

(5)与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身
就是含有字母x的二次函数.
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例题3
已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴、y轴于点
A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由;
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>-(x-b)2+
即为所求;(3)根据反函数的图象和性质,当点P在第一象限时,p>0;当点P在第三象限
时,p≤-2.

解析：(1)把A(2,m),B(n,-2)代入y= 得k2=2m=-2n,即m=-n,则A(2,-n),

如图,过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥y轴于F,延长AE,BF交于D,
∵A(2,-n),B(n,-2),
方法点拨
解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出草图观察分析,将函数
的平移、最值、增减性等贯穿在草图中,此类问题就会迎刃而解.
解题技巧
解决这类问题一般遵循这样的方法:
(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方
程;
(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶
点入口.两车距学校的路程s(单位:km)和行驶时间t(单位:min)之间的函数关系如
图所示.
请结合图象解决下面问题:
(1)学校到自然保护区的路程为 40 km,大客车途中停留了
5min, a=
;15
(2)在小轿车司机驶过自然保护区入口时,大客车离景点入口还有多远?
(3)小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速80 km/h,请你帮助小轿车司