粒子在电磁场中的运动.

A − ∇φ（电场强度）， B=∇ × A（磁感应强度）
c ∂t
（3） （4）
学 式（3）即荷电 q 的粒子在电磁场中的Newton方程，式（3）左边第二项
理 即Lorentz力，是经过实践证明为正确的。
物 按照量子力学中的正则量子化程序
学 K
P
→
PKˆ
=
-i=∇
（7）
安徽大 则
H
=
1
2μ
⎛ ⎜⎝
PKˆ
大 K K
KK
=ψ A⋅ Pψ * +ψ * A⋅ Pψ = (b)
安徽 ② 规范不变性 （略）
7.2 正常Zeeman效应
原于中的电子(q = −e) ，可近似看成在一个中心平均场中运动，
院 能级一般有简并。实验发现，如把原子（光源）置于强磁场中，原子发
学 出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman效应。
−
q c
K A
⎞2 ⎟⎠
+
qφ
（8）
S.eq
i= ∂ ψ
∂t
=
⎡1
⎢ ⎢⎣
2μ
⎛ ⎜⎝
PKˆ
−
q c
K A
⎞2 ⎟⎠
⎤
+ qφ ⎥ψ
⎥⎦
院 K K
因为 A(r ,t)
是
K r
的函数，所以
PKˆ
=
-i=∇ 与
K A
一般不对易：
学 PKˆ
⋅
K A
−
K A
⋅
PKˆ
=
−i=∇
⋅
K A
理 K
但若利用电磁场的横波条件 ∇ ⋅ A = 0 ，则方程（9）也可表为
学物 速度算符
= 1 (ψ *νKψ +ψνK*ψ *) = Re(ψ *νKψ )
2
安徽大 vK=
1
μ
⎛ ⎜⎝
K P
−
q c
AK ⎞⎟⎠
=
1
μ
⎛ ⎜⎝
−i=∇
−
q c
AK ⎞⎟⎠
关于式（）中的 (a′) ⇒ (a), (b′) ⇒ (b):
K
K
K
K
P ~ ∇, ψ *Pψ =ψ *(Pψ ) ~ ϕ f 。 利用公式
+
qφ
K
学 A,φ
—电磁矢势和标势；
K P
=
μvK +
q
K A —正则动量。
c
大 Hamilton量这样写法的理由如下：把式（1）代入正则方程
徽rK = ∂HK , 安 ∂P
PK = − ∂∂HrK
（1） （2）
即可得出
μ
rK
=
q
⎛ ⎜⎝
K E
+
1νK
c
×
K B
⎞ ⎟⎠
K
院 E
=
−
1
∂
K
KK
K
K
K
院 ∇ ⋅ (ϕ f ) = (∇ϕ) ⋅ f + ϕ ∇ ⋅ f
学 得
KK
K
KK
K
理 (a′) = (Pψ *) ⋅ (Pψ ) +ψ *P2ψ − (Pψ ) ⋅ (Pψ *) −ψ P2ψ *
K
K
物 =ψ *P2ψ −ψ P2ψ * = (a)
学 K
K
KK
KK
KK
(b′) = (Pψ *) ⋅ ( Aψ ) +ψ *P ⋅ ( Aψ ) = ( Aψ ) ⋅ (Pψ *) +ψ *P ⋅ Aψ
物理 =
1 2
⎡⎣(∇
⋅
rK)BK
−
K (B
⋅ ∇)rK ⎤⎦
=
1 2
⎡K ⎢3B ⎣
−
⎛ ⎜ ⎝
Bx
∂rK ∂x
+
By
∂rK ∂y
+
Bz
∂rK ∂z
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
大学 =
1 2
K ⎣⎡3B
−
K (Bxi
+
By
K j
+
K Bzk )⎦⎤
=
1 2
K ⎣⎡3B
−
K B⎦⎤
=
K B
安徽 ∇
⋅
K A
=
1 2
7.5.3超导环内的磁通量量子化
安徽 7.5.4 Josephson结 习题
7.1 电磁场中荷电粒子的SchrÖdinger方程，两类动量
（1） S.eq
院 考虑质量为 μ ，荷电 q 的粒子在电磁场中的运动。在经典力学中，
学 其Hamilton量表为
物理 H
=
1
2μ
⎛ ⎜⎝
K P
−
q c
K A
⎞2 ⎟⎠
理 K
式（11）取复共轭（注意，A、φ
为实，在坐标表象中
K P*
=
K −P
）
学物 −i= ∂ ψ * ∂t
=
⎡1
⎢ ⎣
2μ
K P2
+
q
μc
KK A⋅ P +
q2
2μc2
K A2
+ qφ ⎤⎥ψ *
⎦
大K
安徽 ψ * × (11) −ψ × (12), 注意 ∇ ⋅ A = 0 ，得
（12）
(a)
(b)
E粒le安子cPt徽在aror电大tm第i磁ca学7l章g场e物ns中ei理tn的ic学a运nF动院ield
第7章 粒子在电磁场中的运动
7.1 电磁场中荷电粒子的SchrÖdinger方程，
两类动 量
院 7.2 正常Zeeman效应 学 7.3 Landau能级 理 7.4 圆环上荷电粒子的能谱与磁通 物 7.5 超导现象 学 7.5.1 唯象描述 大7.5.2 Meissner效应
∇
⋅
K (B
×
rK)
=
1 2
⎡⎣(∇
×
K B)
⋅
rK
−
K B
⋅
(∇
×
rK)⎤⎦
=
0
K
KK
取B 沿 z 轴方向(B = Bk ) ，
则式（1）
Ax
=
−
1 2
By,
（9） （10）
学物 库仑规范的 辅助条件
徽大 i= ∂ ψ 安 ∂t
=
⎡1
⎢ ⎣
2
μ
K P2
−
q
μc
KK A⋅P +
q2
2μc2
K A2
+
qφ
⎤⎥ψ
⎦
（11）
（2） 讨论
① 定域的几率守恒与流密度
院 “定域”（集中、单个交换能量和动量）是粒子性运动的特征；
学 “非定域”（广延、连续交换能量和动量）是波动性运动的特征。
2qψ
c
K
* Aψ
⎤ ⎥⎦
（）
徽大 即
∂
ρ
+∇⋅
K j
=
0
安 ∂t
（13）
式中
ρ =ψ *ψ
K j=
1
KK
(ψ *Pψ −ψ Pψ *) −
q
K
Aψ *ψ
院 2μ
μc
理学 流密度算符
=
1
2μ
⎡
⎢ψ
⎢⎣
*
⎛ ⎜⎝
K P
−
q c
AK ⎞⎟⎠ψ
+ψ
⎛ ⎜⎝
K P
−qLeabharlann cK A⎞* ⎟⎠
ψ
⎤ *⎥ ⎥⎦
理 光谱线分裂反映原子的简并能级发生分裂，能级简并被解除或部分
物 解除。
学 在原子大小范围中，实验室里常用的磁场都可视为均匀磁场，记为
K
K
大 B，相应的矢势 A可取为
K
徽A
=
1
K B
×
K r
（1）
安 K K2
K
可验证：
∇ × A = B, ∇ ⋅ A = 0
公式：
∇×(
K f
×
K g)
=
K (g
⋅∇)
K f
+
(∇⋅
K g)
K f
−
(
K f
⋅∇)
−
gK(∇⋅
KK f )g
（a）
院 ∇ ⋅ (
K f
×
K g)
=
(∇ ×
K f )⋅
K g
−
K f
⋅ (∇ ×
K g)
（b）
学 ∇
×
K A
=
1 2
∇×
K (B×
rK)
=
1 2
⎡⎣(rK
K ⋅∇)B
+
(∇
⋅
rK)BK
−
(
K B
⋅
∇)rK
−
(∇
⋅
BK )rK ⎤⎦
−i= ∂
院 ∂t
(ψ *ψ )
=
1
2μ
K
⎡⎣ψ *P2ψ
K
−ψ P2ψ * ⎤⎦
−
q
μc
(ψ
*
K A
⋅
K
Pψ
+ψ
KK
A⋅ Pψ *)
理学 =
1
2μ
KK
P ⋅ (ψ *Pψ
−ψ
K
Pψ *) −
q
μc
KK
P ⋅ (ψ *Aψ )