初三数学圆与相似的专项培优练习题(含答案)

（1）求实数 a，b 的值；
（2）如图①，动点 E，F 同时从 A 点出发，其中点 E 以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 边 向终点 B 运动，点 F 以每秒 个单位长度的速度沿射线 AC 方向运动．当点 E 停止运动 时，点 F 随之停止运动．设运动时间为 t 秒．连接 EF，将△ AEF 沿 EF 翻折，使点 A 落在点 D 处，得到△ DEF. ①是否存在某一时刻 t，使得△ DCF 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请 说明理由； ②设△ DEF 与△ ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式．
线上时，∠ DFC 又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
i）当点 E 在点 A 与线段 AB 中点之间时，即当 0＜t≤ ，两个三角形的重叠部分是整个 △ DEF；
ii）当点 E 在线段 AB 中点与点 O 之间时，即 ＜t≤2 时，重叠部分是个不规则四边形，根据 S=S△ DEF﹣S△ DBG 可求解。
∴
，即
,
∴
，
故答案为
（3） 【解析】【解答解：（1）∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB⊥BC， ∵ PM⊥BC， ∴ △ PMC∽ △ ABC
∴ ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ BCD=90°， ∵ PM⊥BC，PN⊥CD， ∴ ∠ PMC=∠ PNC=90°=∠ BCD， ∴ 四边形 CNPM 是矩形， ∴ CM=PN，
设 GH=m，则 BH= ，DH=2m，∴ DB= ．
∵ DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴ m= （4t﹣5），
∴ S=S△ DEF﹣S△ DBG= ×2t×t﹣ （4t﹣5）× （4t﹣5）=
；
ⅲ）当 2＜t≤ 时，重叠部分为△ BEG，如图 5．
∵ BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t）， ∴ S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．
=________
在（1）中，固定点 P，使△ PEF 绕点 P 旋转，如图 2， 的大小有无变化？请仅就图 2 的 情形给出证明． （3）问题解决 如图 3，四边形 ABCD 为正方形，AB=BC=a，点 P 在对角线 AC 上，M，N 分别在 BC，CD 上，PM⊥PN，当 AP=nPC 时，（n 是正实数），直接写出四边形 PMCN 的面积是________ （用含 n，a 的代数式表示）
∴ 四边形 DECF 是正方形， ∴ EC∥ DF，EC=DF， ∴ ∠ EAH=∠ HFD，AE=DF，
在△ AEH 与△ FDH 中
，
∴ △ AEH≌ △ FDH（AAS），
∴ EH=DH，
Hale Waihona Puke Baidu
∵ ∠ BAG+∠ CAF=90°，
∴ ∠ BAG+∠ ABE=90°，
∴ ∠ AGB=90°，
∴ AF⊥BE，
∴ EM=MN=t﹣ ，
=t﹣ ，
∴ y=S△ EMN= EM•PN= ×
；
②当 3＜t≤3 时，如图（5），
△ ABC 与△ EFG 重叠部分为四边形 PQNM，设 AB 与 EF、EG 分别交于点 P、Q，AC 与 EF、 EG 分别交于点 M、N，则∠ EPQ=90°， ∵ CG=3 ﹣t，
【答案】（1）解：由题意得：
，解得：a= ，b=
（2）解：①由（1）知二次函数为 （0，﹣2）， ∴ OA=4，OB=1，OC=2，∴ AB=5，AC= ，BC= ∴ △ ABC 为直角三角形，且∠ ACB=90°．
.∵ A（4，0），∴ B（﹣1，0），C ，∴ AC2+BC2=25=AB2 ，
∵ AE=2t，AF= t，∴
在△ ABE 与△ ACF 中，
，
∴ △ ABE≌ △ ACF（SAS），
∴ ∠ ABE=∠ FAC，
∵ ∠ BAG+∠ CAF=90°，
∴ ∠ BAG+∠ ABE=90°，
∴ ∠ AGB=90°，
∴ AF⊥BE
（2）证明：作 IC 的中点 M，连接 EM，由（1）∠ DEC=∠ ECF=∠ CFD=90°
综上所述：
．
【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点 A，以及当 x=-2 和 x=5 时二次函数的
函数值 y 相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。
（2）①由 x=0 及 y=0 时，求出点 A、B、C 三点的坐标，以及线段 OA、OB、OC 的长，利
用勾股定理的逆定理证明△ ABC 是直角三角形，用含 t 的代数式表示出线段 AD、AE、AF
（即 DF）的长，则根据 AE、EF、OA、OC 的长以及公共角∠ OAC 能判定△ AEF、△ AOC 相
似，可证得△ AEF 也是一个直角三角形，及∠ AEF 是直角；若△ DCF 是直角三角形，可分成
三种情况讨论：
i）点 C 为直角顶点，由于△ ABC 恰好是直角三角形，且以点 C 为直角顶点，所以此时点
则得比例式
，由（1）可得比例式
，即比值不变；
（3）由（2）的方法可得
，则四边形 PMCN 的面积=
.
4．如图（1），在矩形 DEFG 中，DE=3，EG=6，在 Rt△ ABC 中，∠ ABC=90°，BC=3， AC=6，△ ABC 的一边 BC 和矩形的一边 DG 在同一直线上，点 C 和点 D 重合，Rt△ ABC 将从 D 以每秒 1 个单位的速度向 DG 方向匀速平移，当点 C 与点 G 重合时停止运动，设运动时 间为 t 秒，解答下列问题：
B、D 重合，由此得到 AD 的长，进而求出 t 的值；
ii）点 D 为直角顶点，此时∠ CDB 与∠ CBD 恰好是等角的余角，由此可证得 OB=OD，再得
到 AD 的长后可求出 t 的值；
iii）、点 F 为直角顶点，当点 F 在线段 AC 上时，∠ DFC 是锐角，而点 F 在射线 AC 的延长
（2）作 IC 的中点 M，结合正方形的性质，可证得∠ EAH=∠ HFD，AE=DF，利用 AAS 证明
△ AEH 与△ FDH 全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。
2．已知二次函数 y＝ax2＋bx－2 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的 坐标为(4，0)，且当 x＝－2 和 x＝5 时二次函数的函数值 y 相等．
∴
，
故答案为 ； （ 3 ）∵ PM⊥BC，AB⊥BC ∴ △ PMC∽ △ ABC
∴
当 AP=nPC 时（n 是正实数），
∴ PM=
a
∴ 四边形 PMCN 的面积=
，
故答案为：
．
【分析】（1）由题意易得△ PMC∽ △ ABC，可得比例式
，由矩形的性质可得
CM=PN，则结论可得证；
（2）过 P 作 PG⊥BC 于 G，作 PH⊥CD 于 H，由辅助线和已知条件易得△ PGM∽ △ PHN，
∴
，即
，
∴ CD= ，
∴ t=CD= ；
（2）解：如图（3），∵ ∠ EDG=90°，DE=3，EG=6，
∴ DG=
=3 ，
在 Rt△ EDG 中，sin∠ EGD=
，
∴ ∠ EGD=30°， ∵ ∠ NCB=∠ CNG+∠ EGD，
∴ ∠ CNG=∠ NCB﹣∠ EGD=60°﹣30°=30°， ∴ ∠ CNG=∠ EGD，
∴ NC=CG=DG﹣BC=3 ﹣3；
（3）解：由（1）可知，当 x＞ 时，△ ABC 与△ EFG 有重叠部分． 分两种情况：①当 ＜t≤3 时，如图（4），
△ ABC 与△ EFG 有重叠部分为△ EMN，设 AC 与 EF、EG 分别交于点 M、N，过点 N 作直线 NP⊥EF 于 P，交 DG 于 Q， 则∠ EPN=∠ CQN=90°， ∵ NC=CG， ∴ NC=DG﹣DC=3 ﹣t，
初三数学圆与相似的专项培优练习题(含答案)
一、相似
1．如图所示，△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△ CDE 沿直线 BC 翻折 到△ CDF，连结 AF 交 BE、DE、DC 分别于点 G、H、I．
（1）求证：AF⊥BE； （2）求证：AD=3DI． 【答案】（1）证明：∵ 在△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=90°，D 是 BC 的中点， ∴ AD=BD=CD，∠ ACB=45°， ∵ 在△ ADC 中，AD=DC，DE⊥AC， ∴ AE=CE， ∵ △ CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF， ∴ △ CDE≌ △ CDF， ∴ CF=CE，∠ DCF=∠ ACB=45°， ∴ CF=AE，∠ ACF=∠ DCF+∠ ACB=90°，
∴ AE= AB= t= ÷2= ； ⅱ）若 D 为直角顶点，如图 3．
∵ ∠ CDF=90°，∴ ∠ ODC+∠ EDF=90°． ∵ ∠ EDF=∠ EAF，∴ ∠ OBC+∠ EAF=90°， ∴ ∠ ODC=∠ OBC，∴ BC=DC． ∵ OC⊥BD， ∴ OD=OB=1， ∴ AD=3， ∴ AE= ， ∴ t= ； 当点 F 在 AC 延长线上时，∠ DFC＞90°，△ DCF 为钝角三角形． 综上所述，存在时刻 t，使得△ DCF 为直角三角形，t= 或 t= ． ②ⅰ）当 0＜t≤ 时，重叠部分为△ DEF，如图 1、图 2，∴ S= ×2t×t=t2； ⅱ）当 ＜t≤2 时，设 DF 与 BC 相交于点 G，则重叠部分为四边形 BEFG，如图 4， 过点 G 作 GH⊥BE 于 H，
∵ M 是 IC 的中点，E 是 AC 的中点，
∴ EM∥ AI，
∴
，
∴ DI=IM，
∴ CD=DI+IM+MC=3DI，
∴ AD=3DI
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和 SAS 证明△ ABE≌ △ ACF，利用全等三角形的性
质得出∠ ABE=∠ FAC，再证明∠ AGB=90°，可证得结论。
在 Rt△ NQC 中，NQ=sin∠ NCQ×NC=sin60°×（3 ﹣t）=
，
∴ PN=PQ﹣NQ=3﹣
=
，
∵ ∠ PMN=∠ NCQ=60°，
∴ sin∠ PMN= ，MN= 在矩形 DEFG 中，EF∥ DG， ∴ ∠ MEN=∠ CGN， ∵ ∠ MNE=∠ CNG，∠ CNG=∠ CGN， ∴ ∠ EMN=∠ MNE， ∴ EM=MN，
.
又∵ ∠ EAF=∠ CAB，
∴ △ AEF∽ △ ACB，∴ ∠ AEF=∠ ACB=90°，
∴ △ AEF 沿 EF 翻折后，点 A 落在 x 轴上点 D 处；
由翻折知，DE=AE，∴ AD=2AE=4t，EF= AE=t． 假设△ DCF 为直角三角形，当点 F 在线段 AC 上时： ⅰ）若 C 为直角顶点，则点 D 与点 B 重合，如图 2，
∴ S△ EMN=
，
∵ EP=DB=t﹣3，∠ PEQ=30°，
∴ 在 Rt△ EPQ 中，PQ=tan∠ PEQ×EP=tan30°×（t﹣3）=
【答案】（1） （2）解：如图 3，过 P 作 PG⊥BC 于 G，作 PH⊥CD 于 H，
则∠ PGM=∠ PHN=90°，∠ GPH=90° ∵ Rt△ PEF 中，∠ FPE=90° ∴ ∠ GPM=∠ HPN ∴ △ PGM∽ △ PHN
∴
由 PG∥ AB，PH∥ AD 可得，
,
∵ AB=a，BC=b
iii）当点 E 在线段 OB 上时，即 2＜t≤ 时，重叠部分是个小直角三角形，根据三角形的面积 公式，即可求解。
3． （1）问题发现
如图 1，四边形 ABCD 为矩形，AB=a，BC=b，点 P 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上，Rt△ PEF
的两条直角边 PE，PF 分别交 BC，DC 于点 M，N，当 PM⊥BC，PN⊥CD 时， （用含 a，b 的代数式表示）． （2）拓展探究
（1）如图（2），当 AC 过点 E 时，求 t 的值； （2）如图（3），当 AB 与 DE 重合时，AC 与 EF、EG 分别交于点 M、N，求 CN 的长； （3）在整个运动过程中，设 Rt△ ABC 与△ EFG 重叠部分面积为 y，请求出 y 与 t 的函数关 系式，并写出相应 t 的取值范围． 【答案】（1）解：如图（2），当 AC 过点 E 时， 在 Rt△ ABC 中，BC=3，AC=6， ∴ BC 所对锐角∠ A=30°， ∴ ∠ ACB=60°， 依题意可知∠ ABC=∠ EDC=90°， ∵ ∠ ACB=∠ ECD， ∴ △ ABC∽ △ EDC，