数字图象处理第三章

何一个像素 为原图像所 有像素的加 权和。 F(0,0)为f(x,y)
F(0,0) F(u,v) f(x,y)
f(x,y)
a0,0(x,y)
对 应 点 积 之 和
在u×v维正交
基a0,0(x,y)分
量上的投影。
F(u,v)
a*u,v(x,y)－基图像
加 权 和
＝∑
2、变换核的可分离性
上述f(x,y)、F(u,v)的计算所需的乘法和加法的次数是与 N×M有关的数。如果u×v维空间的正交基ai,j(x,y)可以写成：
统的结果。所有线性系统理论都可以拿来使用。
图像变换是将图像从空域变换到其它域，如频域。 图像变换需满足某些条件。
图像处理的手段
图像处理——通过某种方法将数字图像中的像素进行改变，以 达到预期效果。 通常，图像处理在以下三个域中进行： 空域处理：利用某种方法直接对数字图像中的象素进行修改。 频域处理：将空域图像经过傅立叶变换，使其成为“频域图 象” ，而后对其各个频率成分进行处理；处理完成后，将 “频 域图像” 图像经过傅立叶反变换为空域图像。 其它域处理：空域图象经过某种变换，使其成为“对应域图 像” ，而后进行相应处理；处理完成后，将 “对应域图像” 图 像经过对应反变换为空域图像。
2 j 0 以上过程称为正交变换。 3k 0
f A 1g AT g
0 j 0
0 1 0 2 k 3
正变换：将任意一个矢量分解成为一个由该矢量投影在给定正 交基上的分量组成的矢量。 反变换：将任意一个由给定正交基上的分量组成的矢量合成为 空间矢量。
au ,v ( x, y) au ( x)bv ( y) a(u, x)b(v, y) —— 一个二维完备正交基＝两个一维完备正交基之积
其中{au(x), u=0,1,…,N-1}, {bv(y), v=0,1,…,N-1}为一维完备 正交基向量的集合。用矩阵表示： A={a(u, x)}，B={b(v,y)} 通常选择A=B ，如果A、B是复数矩阵则它们为酉阵： AA*T=ATA*=I BB*T=BTB*=I A-1=A*T B-1=B*T 则称该正交基——变换核是可分离的。
则：有下式(设f(x,y)为一N×N维矩阵)
F (u, v) f ( x, y )au ,v ( x, y )
x 0 y 0 * f ( x, y ) F (u, v)au , v ( x, y ) u 0 v 0 N 1 N 1 N 1 N 1
空域图像点
正变换核(逆基图像) 反变换核(基图像)
若此集合中的函数满足
时，称集合un(t)为正交函数集合。当C=1时，称集合 un(t)为归一化正交函数集合。 从几何的观点来看正交性——相互垂直
一维变换
若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号，可以用展开式表
示为：
f ( x) a n u n ( x) n 0

对任何平方可积的分段连续信号f(x)，对任意小的ε＞0， 存在充分大的N和有限项展开式
Auv ( x, y ) {e u0 x v0 y , e u0 x v1 y , eu0 x v2 y ,...,e u0 x v N y e u1 x v0 y , eu1 x v1 y , eu1 x v2 y ,...,eu1 x v N y } .......... ....... e uN x v0 y , euN x v1 y , euN x v2 y ,...,euN x v N y }
二维变换的理解
F (u, v) f ( x, y )au ,v ( x, y )
x 0 y 0 * f ( x, y ) F (u, v)au , v ( x, y ) u 0 v 0 N 1 N 1
N 1 N 1
F(u,v)中的任
0 u, v N 1 0 x, y N 1
aui ,v j ( x0 , y N 1 ) aui ,v j ( x1 , y N 1 ) aui ,v j ( xN 1 , y N 1 )
aui ,v j ( x0 , yn 1 ) aui ,v j ( x1 , yn 1 ) aui ,v j ( xm 1 , yn 1 )
结论:
如果能够找到一组正交且完备的函数集合au,v(x,y) ，则任
何平方可积分段连续的二维函数f(x,y)——图像，都可由
aui ,v j ( x0 , yn 1 ) aui ,v j ( x1 , yn 1 ) aui ,v j ( xn 1 , yn 1 )
au,v(x,y)
0 u, v N 1 0 x, y N 1
将上式写成 au ,v ( x, y) 如果矩阵为正交复数矩阵且是对称的
例如 设：二维连续实值函数集合，U＝V＝N Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y), a0,2(x,y), …a0,v(x,y), a1,0(x,y), a1,1(x,y), a1,2(x,y), … a1,v(x,y) ………………… au,0(x,y), au,1(x,y), au,2(x,y), … au,v(x,y)}
时，称集合Au,v(x,y)为正交函数集合。当C=1时，称集 合Au,v(x,y)为归一化正交函数集合。
对正交函数集合的理解
在对应点上定义了un(t) 对每一个un(t)在t方向上采样 0 1 2 3 4 5 n
v
u=0,1,…,m-1 v=0,1,…,n-1
在对应交叉点上 定义了au,v(x,y) 对每一个au,v(x,y) 在x,y方向上采样
图像变换
图象变换可以看成是一幅图象经过一个系统生成的结果：
f(x,y) → h(x,y) → g(x,y)。
如果系统h(x,y)满足一定的条件：齐次性、可加性和时 不变性，就成为了线性时不变系统（LTI）。一般而言，都 将图像处理系统看成为线性时不变(位置不变)系统。 于是，可将图像变换看成是图象经过一线性位置不变系
若它们彼此正交，则向量的元素应满足下式：
C aki akj k 0 0
n 1
i j i j
矢量的点积 自点积＝常数 互点积＝0
当C=1时，称归一化正交，每一向量为单位向量，彼 此垂直。这n个矢量构成了n维空间的n维正交基。
用满足上式的n维正交 基矢量组成矩阵
一定满足：
a00 a A 10 an 10
k 0 n 0 N 1
N 1
k 0,1,2 N - 1 n 0,1,2 N - 1
正交函数数字化后完备性的体现形式——任何一个矢量 可以分解成正交投影的线性组合。
二维变换
与一维的思想一样，设：二维连续实值函数集合 Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y), a0,2(x,y), … a0,v(x,y), a1,0(x,y), a1,1(x,y), a1,2(x,y), …a1,v(x,y) … … … au,0(x,y), au,1(x,y), au,2(x,y), … au,v(x,y)} 若此集合中的函数(U×V个)满足
数都可以由一个函数簇 的加权和来逼近
2、离散情况
对上述一维连续实值正交函数集合un(t)进行等间
隔采样，可以看作是下列向量的集合：
a00 a01 a0 n 1 a a a 10 11 1 n 1 , a , , a a0 1 n 1 a a a n 10 n 11 n 1n 1
对集合内的每个函数沿x，y方向进行等间隔采样，采 样点数为N×N，于是集合中的每一个函数都成为一个 N×N的矩阵。
可分离变换核举例(采样网格为行、列数相等)
aui ,v j ( x0 , y1 ) aui ,v j ( x0 , y0 ) a (x , y ) aui ,v j ( x1 , y1 ) ui ,v j 1 0 aui ,v j ( x, y ) aui ,v j ( xN 1 , y0 ) aui ,v j ( xN 1 , y1 )
论的主要问题之一。
变换选择的原则
1)变换必须是可逆的。
2)变换不能损失信息。 3)变换必须是有好处的。 4)变换算法必须是不复杂的。
G(i,j) = I f(x,y)
→ f(x,y) = I-1 G(i,j)
虽然满足1、2、4条件，但不满足第三条。
一维变换
1、正交函数集合的正交性和完备性 设：一维连续实值函数集合un(t)={u0(t),u1(t),u2(t)…}，
图象为什么要变换
利用变换的某些性质，可以大大简化或加速图象处
理过程 空域图象经过变换后形成 “对应域图象”，从中会 看到在空域图象中不易看到的某些“东西”。 变换后形成 “对应域图象”，会呈现某些性态，利
用这些性态可完成图象处理中某个应用领域的应用。
应选择什么样的变换才能满足各种要求是下面要讨
1、二维变换
aui ,v j ( x0 , y1 ) aui ,v j ( x0 , y0 ) a (x , y ) aui ,v j ( x1 , y1 ) ui , v j 1 0 aui ,v j ( x, y ) aui ,v j ( xn 1 , y0 ) aui ,v j ( xn 1 , y1 )
ˆ ( x) a u ( x) f nn
n 0 N 1
t 0 T
使得
t0

ˆ ( x ) dx f ( x) f
2
一维变换
则称函数un(x)集合是完备的。 如果能够找到一组正交且完备的函数集合， 则任何平方可积的分段连续信号f(x)都可由 这个函数集合的加权和表示。这N个函数构 成了N维正交基。 任何一个满足条件的函
这个函数集合的加权和表示。如果f(x,y)以离散形式( m×n 矩阵)表示——数字图像，该数字图像f(x,y)可分解为在 m×n维正交空间内，在m×n维正交基au,v(x,y)上的投影。同 一维情况类似，有：
正变换：将任意一个数字图像分解成为一个由该图像投影
在给定正交基上的分量组成的图像。反变换：将任意一个 由给定正交基上的分量组成的图像合成为空域图像。
百度文库
a11 a21 an 11
a0 n 1 a1n 1 an 1n 1
AT A AA T I AT A 1
该矩阵称为正交矩阵。
3、一维正交变换
利用上述矩阵对任一数据向量f进行运算为： g = Af 例 若要恢复f，则 i i
4 3 2 1
0 1 2 3 4 5
u
如果对正交函数集合auv(x,y)在某个给定区域内等间隔采样，则每个aij(x,y)
就是一个矩阵，其元素值既和x、y有关，又和i、j有关。则这u×v个矩阵
构成了u×v维空间的u×v维的正交基。
aui ,v j ( x0 , y1 ) aui ,v j ( x0 , y0 ) a (x , y ) aui ,v j ( x1 , y1 ) ui , v j 1 0 aui ,v j ( x, y ) aui ,v j ( xm1 , y0 ) aui ,v j ( xm 1 , y1 )
4、酉变换
若A为复数方阵，正交的条件为：
A
1
A
*T
其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩 阵。对于任意向量f用酉矩阵的变换和恢复称为酉变换。 将aij写成a(k,n)，有：
g Af f A*T g
g ( k ) a ( k , n) f ( n) f ( n) a * ( k , n) g ( k )