圆锥曲线-共线向量问题(原题+答案)

直线与圆锥曲线的位置关系

专题四：共线向量问题

1、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22

194

x y +

=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数的取

值范围。 分析：由DP

DQ 可以得到

1

21

2

3

(3)

x x y y ，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出

点的坐标，用表示出来。 解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2

),

DP

DQ

(x 1,y 1-3)=(x 2,y 2-3) 即

12

1

2

3

(3)

x x y y

方法一：方程组消元法

又

P 、Q 是椭圆29x +2

4

y =1上的点

2222

2222

1

94

()(33)1

9

4

x y x y

消去x 2，可得2

222

2

2

(33)1

4

y y

即y 2=135

6

又

－2

y 2

2，－2

135

6

2 解之得：

1

55

λ≤≤ 则实数的取值范围是1,55⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

。

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，

由22

34936

y kx x y =+⎧⎨

+=⎩消y 整理后，得22

(49)54450k x kx +++= P 、Q 是曲线M 上的两点

22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k ->即295k > ①

由韦达定理得：121222

5445

,4949k x x x x k k

+=-

=++ 21212

1221

()2x x x x x x x x +=++

222254(1)45(49)k k λλ+∴=+即2222

3694415(1)99k k k

λλ+==++ ②

由①得2

11095k <

<，代入②， 整理得236915(1)5λλ<<+， 解之得155

λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15

λ=。 总之实数的取值范围是1,55⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

。

2、已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率2

2

e =

，椭圆上的点到焦点的最短距离为2

12

-

, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB 3AP =. （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．

解：（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2

，由条件知a-c ＝22，c a ＝22

，

∴a ＝1，b ＝c ＝

2

2

…………………3分 故C 的方程为：y 2

＋x 2

12＝1 …………4分

（2）当直线斜率不存在时：1

2

m =±

…………5分 当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）

∴22

21

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0………6分 ∴Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） …7分

x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2

－1

k 2＋2

………8分

∵AP ＝3 ∴－x 1＝3x 2 ∴122

2

122

23x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩ 消去x 2，得3（x 1＋x 2）2

＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2

－1

k 2＋2

＝0………9分

整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2

－2＝0

m 2

＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m

2

4m 2－1

， ………10分

∴k 2

＝2－2m 2

4m 2－1≥0，∴211-<≤-m 或12

1≤

＝2－2m 2

4m 2－1代入（*）得211-<<-m 或12

1

<

∴211-

<<-m 或12

1

<

1

≤