数学8字模型与飞镖模型

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三角形中的5种解题模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(浙教版)(解析版)

重难点：三角形中的5种解题模型【知识梳理】一、“8”字模型三角形三个内角的和等于180°对顶角相等二、飞镖模型三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和.三、“A”字模型三角形三个内角的和等于180°四、“老鹰捉小鸡”模型三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.五、（双）角平分线模型1.双内角平分线2.双外角平分线3.内角平分线+外角平分线三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.【考点剖析】一、“8”字模型1．（2021秋•宁远县校级期中）如图所示，∠α的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故选：A．2．（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故选：B．3．（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如图，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．4．（2019春•邗江区校级月考）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．二、飞镖模型1．（2021春•宝应县月考）如图，求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．【解答】证明：作射线AD，如图，∵∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，∴∠3+∠4＝∠B+∠C+∠1+∠2，2．（2020春•如东县期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数（用含α和β的式子表示）；③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由：连接AD并延长到点E．∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，∴∠ABX+∠ACX＝36°．故答案为36．②如图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，则有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，∴∠DCE＝．故答案为．③设∠ABD＝x°，∠ACD＝y°．由题意可得，解得∠A＝55°．3．（2020春•锡山区期中）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．【解答】解：（1）连接AD并延长至点F，且∠BDC＝∠BDF+∠CDF及∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；故答案为：40．②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；而∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°∴（140﹣x）+x＝77，14﹣x+x＝77，x＝70∴∠A为70°．题型三：“A”字模型1．（2022春•云龙区校级月考）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．故选：B．2．（2021春•东台市月考）如图，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝°．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝75°，∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．故答案为：255．3．（2020春•新野县期末）旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A），在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A；即∠P＝90°﹣∠A；故答案为：50°，∠P＝90°﹣∠A；（4）延长BA、CD于Q，则∠P＝90°﹣∠Q，∴∠Q＝180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q＝180°+180°﹣2∠P＝360°﹣2∠P．题型四：“老鹰捉小鸡”模型1．（2022春•无锡期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝（180°﹣∠1），在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3A，∠CED＝∠3+∠A，∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，∴2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．2．（2022春•洪泽区月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．故选：B．3．（2021春•江都区校级期末）如图，三角形纸片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片一角折叠，使点C 落在△ABC的内部，若∠2＝50°，则∠1＝．【解答】解：设折痕为EF，连接CC′．∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，∴∠1+∠2＝2∠ECF，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°，∴∠1＝80°﹣50°＝30°，故答案为：30°．4．（2021春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．【解答】解：由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360．5．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）2∠A′＝∠1+∠2，理由沿DE折叠使点A落在A′处的位置，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A′）＝2∠A′；（2）2∠A′＝∠2﹣∠1，理由：∵沿DE折叠使点A落在A′处的位置，∴∠A＝∠A′，∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，即2∠A′＝∠2﹣∠1．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．题型五：（双）角平分线模型1．（2022春•海州区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（）A．116°B．100°C．128°D．120°【解答】解：∵△ABC纸片沿DE折叠，∴△AED≌△A′ED，∴∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED＝180°﹣（∠ADE+∠AED）+180°﹣（∠ADE+∠AED）＝2∠A，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝122°，∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝2×58°＝116°，∴∠A＝180°﹣116°＝64°，∴∠1+∠2＝2∠A＝2×64°＝128°，故选：C．2．（2022春•靖江市校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．则∠BOC＝．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ABO＝∠OBC＝∠ABC，∠ACO＝∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．3．（2022春•丹徒区月考）在△ABC中，∠A＝40°：（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠BOC＝180°+∠A，∴∠BOC＝90°+∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝110°；（2）∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．∠BOC＝90°﹣∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝70°．（3）∵∠OCD＝∠BOC+∠OBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠BOC+2∠OBC＝∠ABC+∠A，∴2∠BOC＝∠A，即∠BOC＝∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝20°；（4）∠BOC＝90°+n；∠BOC＝90°﹣n；∠BOC＝n．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 【分析】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠,再利用平角的定义可求出BED BDE ∠+∠的度数，进而利用三角形内角和可求∠B 的度数.【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠∵1'180,2'180BED B ED BDE B DE ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∴11(36012)(36080)14022BED BDE ∠+∠=︒−∠−∠=⨯︒−︒=︒ ∴180()18014040B BED BDE ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C ，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A ．∠B ＝∠DB ．∠1＝∠A ＋∠DC ．∠2＞∠D D ．∠C ＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A ＋∠AOD ＋∠D ＝180°，∠C ＋∠COB ＋∠B ＝180°，∠A ＝∠C ，∠AOD ＝∠BOC ，∴∠B ＝∠D ，∵∠1＝∠2＝∠A ＋∠D ，∴∠2＞∠D ，故选项A ，B ，C 正确，故选D ．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【详解】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒−︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒−︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．4．（2023春·江苏镇江·七年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】B【分析】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，根据三角形内角和定理求出,BOC ∠再利用邻补角的性质求出DEO ∠，再根据四边形的内角和求出DFO ∠，根据邻补角的性质即可求出DFC ∠的度数．【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∵180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒∴180,AOB B OAB ∠=︒−∠−∠同理得180,AOC OAC C ∠=︒−∠−∠∵360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒∴360BOC AOB AOC ∠=︒−∠−∠360(180)(180)B OAB OAC C =︒−︒−∠−∠−−∠−∠107,B C BAC =∠+∠+∠=︒∵72,BED ∠=︒∴180108,DEO BED ∠=︒−∠=︒∴360DFO D DEO EOF ∠=︒−∠−∠−∠36035108107110,=︒−︒−︒−︒=︒∴180********DFC DFO ∠=︒−∠=︒−︒=︒,故选：B ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180(2)n ︒−．二、填空题 5．（2023·全国·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若1120∠=︒，那么32∠−∠的度数为．【答案】60︒【分析】根据平角的定义求出4∠，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图14180∠+∠=︒，1120∠=︒，460∴∠=︒，324Ð=Ð+ÐQ ，32460∴∠−∠=∠=︒，故答案为：60︒．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．6．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF 并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF ，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF ，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，因此应将∠D 减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 7．（2022春·七年级单元测试）如图，把ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在图中的A '处，若29A ∠=︒，90BDA ∠'=︒，则A EC ∠'的大小为．【答案】32︒/32度【分析】利用折叠性质得'45ADE A DE ∠=∠=︒，'AED A ED ∠=∠，再根据三角形外角性质得74CED ∠=︒，利用邻补角得到106AED ∠=︒，则'106A ED ∠=︒，然后利用''A EC A ED CED ∠=∠−∠进行计算即可．【详解】解：∵'90BDA ∠=︒，∴'90ADA ∠=︒，∵ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在图中的A'处，∴'45ADE A DE ∠=∠=︒，'AED A ED ∠=∠，∵294574CED A ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴106AED ∠=︒，∴'106A ED ∠=︒，∴''1067432A EC A ED CED ∠=∠−∠=︒−︒=︒．故答案为：32︒．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键．七年级课时练习）如图，在ABC 中，【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF 的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA 的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA ）=360°﹣122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC=12∠DAC ，∠ECA=12∠ACF ，∴∠EAC+∠ECA =12（∠DAC+∠ACF ）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA ）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 9．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ；L ；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠= ．【答案】20202α【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得112A A ∠=∠，同理得212122A A α∠=∠=；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A∴11118022A ABC ACB ACD ∠=︒−∠−∠−∠∵ACD A ABC ∠=∠+∠∴111802A ABC ACB A ∠=︒−∠−∠−∠∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴112A A ∠=∠同理，得2121112222A A A α∠=∠=⨯∠=； 323111122222A A A α∠=∠=⨯⨯∠=；43411111222222A A A α∠=∠=⨯⨯⨯∠=；…1122n n n A A α−∠=∠= ∴202020202A α∠= 故答案为：20202α．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．三、解答题 10．（2022秋·八年级课时练习）如图，ABC ∆中，(1)若ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，请用A ∠表示1BO C ∠、2BO C ∠；(2)若ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅依次从下到上），请用A ∠表示1BO C ∠，1n BO C −∠．【答案】(1)111203BO C A ∠=︒+∠，22603BO C A ∠=︒+∠，(2)()118011n BO C A n n ︒−∠=+∠，11801n n BO C A n n −︒−∠=+∠【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，再由ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，可得111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠再根据三角形的内角和定理，即可求解；（2）根据三角形的内角和定理可得180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，再由ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒−∠111(180),n n n O BC O CB A n −−−∠+∠=︒−∠再根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】（1）解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，∵ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，∴111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠ ∴11111180()180(180)12033BO C O BC O CB A A ∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=︒+∠，22222180()180(180)6033BO C O BC O CB A A ∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=︒+∠；（2）解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，∵ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒−∠111(180),n n n O BC O CB A n −−−∠+∠=︒−∠∴()()111180111180180(180)n BO C O BC O CB A A n n n ︒−∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=+∠，()11111801180180(180)n n n n n BO C O BC O CB A A n n n −−−−︒−∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=+∠．【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键．）如图所示，在ABC 中，）如图所示，ABC 的外角平分线）如图所示，ABC 的内角平分线【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=−∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+−∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒−∠−∠，=180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB ）]， =180°-12（∠A+180°）， =90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE 中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A ．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题． 12．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）若∠ABC +∠ACB ＝130°，求∠BPC 的度数．（2）当∠A 为多少度时，∠BPC ＝3∠A ？【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，∠ABC+∠ACB ＝130°，1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠，180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒−∠，180()BPC PBC PCB Ð=°-Ð+Ð1180(90)2A =︒−︒−∠1902A =+∠︒∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠，36A ∴∠=︒．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 13．（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，已知四边形ABDC ，求证BDC A B C ∠=∠+∠+∠．【答案】见解析【分析】方法1连接BC ，根据三角形内角和定理可得结果；方法2 作射线AD ，根据三角形的外角性质得到31B ∠=∠+∠，42C ∠=∠+∠，两式相加即可得到结论；方法3延长BD ，交AC 于点E ，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】方法1如图所示，连接BC.在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=，即12180A ABD ACD ∠+∠+∠+∠+∠=.在BCD △中，12180BDC ∠+∠+∠=，++∴∠=∠∠∠；BDC A ABD ACD方法2如图所示，连接AD并延长.∠是ABD△的外角，3∴∠=∠∠.31+ABD∠=∠+∠.同理，42ACD∴∠+∠=∠+∠+∠+∠.3412ABD ACD∠=∠+∠+∠.即BDC A ABD ACD方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.∠是ABE的外角，DEC∴∠=∠+∠.DEC A ABDBDC∠是DEC的外角，∴∠=∠+∠.BDC DEC ACDBDC A ABD ACD∴∠=∠+∠+∠.【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．14．（2023春·江苏·七年级专题练习）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=_____°；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，则DCE ∠=______°； ③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，…，9G ，若140BDC ∠=︒，177BG C ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】(1)=++BDC BAC B C ∠∠∠∠(2)①40，②90，③70°【分析】（1）根据题意观察图形连接AD 并延长至点F ，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；（2）①由（1）的结论可得ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，然后把50A ∠=︒，90BXC ∠=︒代入上式即可得到ABX ACX ∠+∠的值；②结合图形可得DBE DAE ADB AEB ∠=∠+∠+∠，代入50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒即可得到ADB AEB ∠+∠的值，再利用上面得出的结论可知()12DCE ADB AEB A ∠=∠+∠+∠，易得答案．③由②方法，进而可得答案．【详解】（1）=++BDC BAC B C ∠∠∠∠，理由如下：连接AD 并延长至点F ，由外角定理可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，∵BDC BDF CDF ∠=∠+∠，∴BDC BAD B C CAD ∠=∠+∠+∠+∠，∵BAC BAD CAD ∠=∠+∠，∴=++BDC BAC B C ∠∠∠∠；（2）①由（1）的结论易得：ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，∵50A ∠=︒，90BXC ∠=︒，∴905040ABX ACX ∠+∠=︒−︒=︒，故答案是：40；②由（1）的结论易得=++DBE DAE ADB AEB ∠∠∠∠，DCE ADC AEC A ∠=∠∠∠＋＋，∵50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，∴80ADB AEB ∠+∠=︒；∵DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠， ∴12ADC ADB ∠=∠，12AEC AEB ∠=∠， ∴()14050902DCE ADB AEB A ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒；③由②知，()1110BG C ABD ACD A ∠=∠+∠+∠， ∵177BG C ∠=︒，∴设A ∠为x ︒，∵140ABD ACD x ∠+∠=︒−︒， ∴()11407710x x −=+，∴70x =，∴A ∠为70°．故答案是：70°．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出BDC A B C ∠=∠+∠+∠是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．【答案】（1）72︒；（2）40︒．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ∴∠ADP=∠PDF=12ADC ∠，∵60ADC ∠=︒，∴30ADP ∠=︒，∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．16．（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【答案】(1)125︒(2)1902Q A ∠=︒−∠(3)∠A的度数是45︒或60︒或120︒或135︒【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝1 2∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝12∠MBC，∠QCB＝12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E ＝3∠Q，再求出答案即可【详解】（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC＝12∠MBC，∠QCB＝12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12∠A；（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠BC+2∠E，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A，∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12∠MBC＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．17．（2022秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．【答案】(1)13cm(2)a、112.5°；b、90°＋12x°【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm．（2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC．【详解】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm∴1＜BC＜7∴BC=6 cm∴三角形的周长为：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm（2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135°∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠ACB)=12×135°=67.5°∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB)=180°−67.5°=112.5°b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x°∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠ACB)=12×(180°− x°)=90°−12x°∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB)=180°−(90°−12x°)=90°＋12x°【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D ∠=︒+∠+∠；（4）()11802P B D ∠=︒−∠+∠【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；（2）设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩解方程即可得到答案；（3）根据直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，得到1=2PAB PAD BAD ∠=∠∠，1=2PCB PCE PCD ∠=∠∠从而可以得到180°()2PAB PCB D B −∠+∠+∠=∠，再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D ，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D 得到=P B PAD PCB PAB PCB ∠−+=∠+∠∠∠∠即可求解；（4）连接PB ，PD 根据APB PBA PAB +∠+∠=∠ 180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠ 180°得到APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠ 360°，同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠ 360°，再根据=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°，FAP PAO ∠=∠，PCE PCB ∠=∠，即可求解.【详解】解：（1）A B AOB ∠+∠+∠=180°，C D COD ∠+∠+∠=180°，A B AOB C D COD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠．AOB COD ∠=∠，A B C D ∴∠+∠=∠+∠；（2）AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，ABC P P ADC ∴∠−∠=∠−∠，()1122P ABC ADC ∴∠=∠+∠=（36°+16°）=26°（3）直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，1=2PAB PAD BAD ∴∠=∠∠，1=2PCB PCE BCE ∠=∠∠，∴2PAB B ∠+∠=180°-2PCB D ∠+∠，∴180°()2PAB PCB D B −∠+∠+∠=∠∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D ，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D∴=P PAD BAD B PCD BCD ∠+−−−∠∠∠∠∠,P PAB B PCB ∴∠−∠−∠=∠∴P B PAB PCB ∠−=∠+∠∠∴180°()2P B D B−∠−∠+∠=∠，即P ∠=90°()12B D +∠+∠．（4）连接PB ，PD直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠， FAP PAO ∴∠=∠，PCE PCB ∠=∠，∵APB PBA PAB +∠+∠=∠180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠180° ∴APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°∴2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∴2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∵=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°∴2APC ABC ADC ∠+∠+∠=360°，APC ∴∠=180°-()12ABC ADC ∠+∠【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．【模型实例】观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD CBAE EBCDA图③21O ABE图④G F 12AB E（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDC BAEE312图⑤P OQA BF C D图⑥21EDCFOBA【练习】1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝；图图①OOEEDDCCBBAA（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝．图②OEDCBA2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝．HGFEDCBA模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．ADC图①4321AD 图②4321AD（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．【模型实例】如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．MAB2143MBA练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .E 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．B CA【模型实例】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。

求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.B模型4 边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.B【模型实例】如图，点O 为三角形内部一点．求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC ；(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.BB【练习】观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．(1)如图①，△ABC 中，P 为边BC 一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．(2)如图②，将(1)中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．(3)图③将(2)中的点P 变为两个点1P 、2P ，请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.P 2P 1BCCB CB P三角形的折角模型一、三角形的折角模型：三角形某角折叠后在三角形内所产生的角度等量关系条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形内二、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关系条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形外三、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关系条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形外1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 和AC 上的点，将△ABC 纸片沿DE 折叠，点A 落到点F 的位置．如果DF ∥BC ，∠B ＝60°，∠CEF ＝40°，则∠F ＝．2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上一点，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上．若∠A ＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝度．3．（1）如图①，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 内部点A ′的位置．试写出∠A 与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；（2）如果把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 外部点A ′的位置，如图②所示．此时∠A 与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出．（3）如果把四边形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在四边形BCFE 内部点A ′、D ′的位置，如图③所示．直接写出∠A ′、∠D ′、∠1与∠2之间的关系．三角形的角平分线模型一、三条内角角平分线的交点与两个顶点连线的夹角=21900剩余角条件：BP 、CP 是任意△ABC 中∠B 、∠C 的角平分线结论：二、外角平分线所成夹角=21剩余角条件：B D 是∠A BC 的角平分线,CD 是△A BC 的外角平分线结论：三、两个角的外角平分线的交点与这两个角的顶点连线的夹角=21900剩余角条件：已知△ABC 的∠B 和∠C 的外角平分线交于D结论：【练习】1．如图,在三角形A BC 中,∠A=42°,∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别交于D 、E, 求∠BDC 的度数2．如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2013BC 的平分线与∠A 2013CD 的平分线交于点A 2014，得∠A 2014CD ，则∠A 2014＝．4．如图，BP 、CP 是任意△ABC 中∠B 、∠C 的角平分线，可知∠BPC ＝90°+∠A ，把图中的△ABC 变成图中的四边形ABCD ，BP ，CP 仍然是∠B ，∠C 的平分线，猜想∠BPC 与∠A 、∠D 的数量关系是．平行倒角【模型实战】阅读材料：如图1，若//AB CD ，则B D BED ∠+∠=∠．理由：如图，过点E 作//EF AB ，则B BEF ∠=∠．因为//AB CD ，所以//EF CD ，所以D DEF ∠=∠，所以BED BEF DEFB D =+=+∠∠∠∠∠．交流：（1）若将点E 移至图2所示的位置，//AB CD ，此时B 、D ∠、E ∠之间有什么关系？请说明理由．探究：（2）在图3中，//AB CD ，E G +∠∠、B F D ++∠∠∠又有何关系？应用：（3）在图4中，若//AB CD ，又得到什么结论？请直接写出该结论．由简单图形到复杂图形的演变1．已知：如左图，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如右图，在左图的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：（1）在左图中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系：；（2）在右图中，若∠D ＝50°，∠B ＝40°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）（3）如果右图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（直接写出结论）2．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．3．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．4．（2019春•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝60°．（1）如图1，若∠ADC和∠ABC的平分线交于点O，求∠BOD的度数；（2）如图2，若∠ABC的平分线与四边形ABCD的外角∠EDC的平分线交于点P，求∠BPD的度数；（3）如图3，若DG、BH分别是四边形ABCD的外角∠CDE、∠CBF的平分线，判断DG与BH是否平行，并说明理由．5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F．试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．6．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝°；∠E＝°；（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为．。

三角形知识点飞镖模型及8字形

+ ∠D
边的关系 1. 飞镖模型
AB + AC > BD + CD
2. 8 字模型
AD + BC > AB + CD
注意：飞镖模型先证明再应用 8 字模型的结论可以在小题中直接应用，但是在大题中必
角形
一基本概念 1.定义：由在同一条直线 2.表示方法： ∆ABC
的条线段首尾次连接组成的平面图形
3.边：定义：组成角形的线段定理：1 角形任意两边之和大于第边 2 角形任意两边之差小于第边 4.内角一个角形有 3 个内角定义：角形两边所组成的角定理：角形个内角的和等于 180 ° 5.外角一个角形有 6 个外角定义：角形任意一边另一边的反向延长线所组成的角定理：1 2 3 6.分类锐角角形直角角形钝角角形角形的外角和等于 360° 角形的任意一个外角等于它相邻的两个内角的和角形的任意一个外角大于它相邻的任意一个内角
角形按角分类
等边角形角形按边分类等腰角形边相等——等边角形 7. 角形相关的线段角平分线：条角平分线的交点——内心中线：条中线的交点——重心高线：条高线的交点——垂心 8．周长面积两边相等
二
角的关系 1. 飞镖模型
∠D = ∠A + ∠B + ∠C
2. 8 字模型

A字型、8字模型、飞镖模型(解析版)中考数学满分突破

A 字型、8字模型、飞镖模型一、基础知识回顾三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

二、模型的概述：A 字型模型：∠1+∠2=∠A +180°(结论)证明：∵∠1=∠A +∠ACB∴∠1=∠A +180°-∠2∴∠1+∠2=∠A +180°8字模型(基础)：∠A +∠B =∠C +∠D (结论)证明：在∆ABO 中，∠A +∠B +∠AOB =180°在∆COD 中，∠C +∠D +∠COD =180°而∠AOB =∠COD∴∠A +∠B =∠C +∠D8字模型(变形)：已知线段AP 平分∠BAD ，线段CP 平分∠BCD ，则∠P =12(∠B +∠D )证明：∵线段AP 平分∠BAD ，线段CP 平分∠BCD∴∠BAP =∠PAD , ∠BCP =∠PCD∵∠BCP +∠P =∠BAP +∠B ①∠PAD +∠P =∠PCD +∠D ②①+②得2∠P =∠B +∠D ，则∠P =12(∠B +∠D )飞镖模型(基础)：∠C =∠A +∠B +∠D (结论)证明：1)延长AC 到点P2)延长BC 交AD 于点P3)连接BD飞镖模型(变形)：已知线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O=12(∠A+∠C)【基础过关练】1.如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=()．A.180°B.215°C.235°D.245°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．【详解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．2.如图，在△ABC中，∠B=90°，若按图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于()A.90°B.135°C.270°D.315°【答案】C【分析】如图，根据题意可知∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．【详解】解：如图．∵△ABC为直角三角形，∠B=90°，∴∠BNM+∠BMN=90°，∵∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，∴∠1+∠2=270°．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于得出∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN．3.如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是()A.∠B=∠DB.∠1=∠A+∠DC.∠2>∠DD.∠C=∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A+∠AOD+∠D=180°，∠C+∠COB+∠B=180°，∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴∠B=∠D，∵∠1=∠2=∠A+∠D，∴∠2>∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．4.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F =115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．5.如图所示，已知四边形ABDC，求证∠BDC=∠A+∠B+∠C．【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD，根据三角形的外角性质得到∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】方法1如图所示，连接BC.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+∠ABD+∠1+∠ACD+∠2=180°.在△BCD中，∵∠BDC+∠1+∠2=180°，∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；方法2如图所示，连接AD并延长.∵∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠1+∠ABD.同理，∠4=∠2+∠ACD.∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD.即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC=∠A+∠ABD.∵∠BDC是△DEC的外角，∴∠BDC=∠DEC+∠ACD.∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．【提高测试】1.如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=()A.240°B.280°C.360°D.540°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．2.如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为()．A.62°B.152°C.208°D.236°【答案】C【分析】如图标记∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性质得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F-28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故选C．【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．3.如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是()A.24°B.25°C.30°D.36°【答案】B【详解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=160°，∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=12∠ABC，∠ACD1=12∠ACB∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∴∠ABD2=12∠ABD1=14∠ABC，∠ACD2=12∠ACD1=14∠ACB，同理可得：∠ABD5=132∠ABC，∠ACD5=132∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=132×160°=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选：B4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=__．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图∵6边形ABCDEFK的内角和=(6-2)×180°=720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°-(∠1+∠2)，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(∠1+∠2)=720°，∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠H=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+(∠3+∠4)=900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=720°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3的整数)．5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=____________．【答案】720°##720度【分析】连接DH，利用三角形外角性质得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四边形内角和等于360°即可求解．【详解】解：如图，连接DH，∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360°∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°，∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°，∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C+∠4+∠6+∠E+∠G=720°，∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE，∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°，故答案为：720°．【点睛】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键．6.如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】(1)72°；(2)40°．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=1(38°+42°)=40°．2【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．7.(1)已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．(3)如图(3)，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________；(4)如图(4)，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________．【答案】(1)见解析；(2)26°；(3)∠P =90°+12∠B +∠D ；(4)∠P =180°-12∠B +∠D 【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；(2)设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC 解方程即可得到答案；(3)根据直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，得到∠PAB =∠PAD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠PCD 从而可以得到180°-2∠PAB +∠PCB +∠D =∠B ，再根据∠P +∠PAD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到∠P -∠B =∠PAD +∠PCB =∠PAB +∠PCB 即可求解；(4)连接PB ，PD 根据∠APB +∠PBA +∠PAB =180°，∠PCB +∠PBC +∠BPC =180°得到∠APC +∠ABC +∠PCB +∠PAB =360°，同理得到：∠APC +∠ADC +∠PCD +∠PAD =360°，再根据∠PCE +∠PCD =180°，∠PAB +∠PAF =180°，∠FAP =∠PAO ，∠PCE =∠PCB ，即可求解.【详解】解：(1)∵∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180°，∴∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ．∵∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ；(2)∵AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC ，∴∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∴∠P =12∠ABC +∠ADC =12(36°+16°)=26°(3)∵直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠PAB =∠PAD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠BCE ，∴2∠PAB +∠B =180°-2∠PCB +∠D ，∴180°-2∠PAB +∠PCB +∠D =∠B∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D ∴∠P+∠PAD-∠BAD-∠B=∠PCD-∠BCD∴∠P-∠PAB-∠B=∠PCB,∴∠P-∠B=∠PAB+∠PCB∴180°-2∠P-∠B+∠D=∠B，即∠P=90°+12∠B+∠D．(4)连接PB，PD∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°∵∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，∴∠APC=180°-12∠ABC+∠ADC【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8.阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D=∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E=∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4=180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB=180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：(1)如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　；(2)如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=　；(3)如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=　；(4)如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=　；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【答案】(1)360°；(2)540°；(3)720°；(4)1080°；过程见解析【分析】(1)连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；(2)连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；(3)连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD=∠HDE+∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；(4)连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．【详解】解：(1)连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F=360°；(2)连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°；(3)连接BH、DE，∵由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD=∠HDE+∠BED，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=五边形CDEFG的内角和+△ABH的内角和= 540°+180°=720°；(4)连接ND、NE，∵由对顶角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=六边形BCFGHM的内角和+△AND的内角和+△NDE的内角和=(6-2)×180°+360°=1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．9.模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用(1)直接应用：①如图2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，则∠BOC=__________°；②如图3，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =__________°；(2)拓展应用：①如图4，∠ABO 、∠ACO 的2等分线(即角平分线)BO 1、CO 1交于点O 1，已知∠BOC =120°，∠BAC =50°，则∠BO 1C =__________°；②如图5，BO 、CO 分别为∠ABO 、∠ACO 的10等分线(i =1,2,3,⋯,8,9)．它们的交点从上到下依次为O 1、O 2、O 3、⋯、O 9．已知∠BOC =120°，∠BAC =50°，则∠BO 7C =__________°；③如图6，∠ABO 、∠BAC 的角平分线BD 、AD 交于点D ，已知∠BOC =120°,∠C =44°，则∠ADB =__________°；④如图7，∠BAC 、∠BOC 的角平分线AD 、OD 交于点D ，则∠B 、∠C 、∠D 之同的数量关系为__________．【答案】(1)①110；②260；(2)①85；②99；③142；④∠B -∠C +2∠D =0【分析】(1)①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =∠BOC +∠DOE ，代入计算即可；(2)①同理可得∠BO 1C =∠BOC -∠OBO 1-∠OCO 1，代入计算可得；②同理可得∠BO 7C =∠BOC -17(∠BOC -∠A )，代入计算即可；③利用∠ADB =180°-(∠ABD +∠BAD )=180°-12(∠BOC -∠C )计算可得；④根据两个凹四边形ABOD 和ABOC 得到两个等式，联立可得结论．【详解】解：(1)①∠BOC =∠A +∠B +∠C =60°+20°+30°=110°；②∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =∠BOC +∠DOE =2×130°=260°；(2)①∠BO 1C =∠BOC -∠OBO 1-∠OCO 1=∠BOC -12(∠ABO +∠ACO )=∠BOC -12(∠BOC -∠A )=∠BOC -12(120°-50°)=120°-35°=85°；②∠BO 7C =∠BOC -310(∠BOC -∠A )=120°-310(120°-50°)=120°-21°=99°；③∠ADB =180°-(∠ABD +∠BAD )=180°-310(∠BOC-∠C)=180°-12(120°-44°)=142°；④∠BOD=12∠BOC=∠B+∠D+12∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，联立得：∠B-∠C+2∠D=0．【点睛】本题主要考查了新定义-箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．10.如图，ΔABC中，(1)若∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O1、O2，请用∠A表示∠BO1C、∠BO2C；(2)若∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅O n-1(O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅O n-1依次从下到上)，请用∠A表示∠BO1C，∠BO n-1C．【答案】(1)∠BO1C=120°+13∠A，∠BO2C=60°+23∠A，(2)∠BO1C=180°n-1n+1n∠A，∠BO n-1C=180°n+n-1n∠A【分析】(1)根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再由∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O1、O2，可得∠O1BC+∠O1CB=13(180°-∠A),∠O2BC+∠O2CB=23(180°-∠A),再根据三角形的内角和定理，即可求解；(2)根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再由∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅O n-1，可得∠O1BC+∠O1CB=1n(180°-∠A),∠O n-1BC+∠O n-1CB=n-1n(180°-∠A),再根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】(1)解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O1、O2，∴∠O1BC+∠O1CB=13(180°-∠A),∠O2BC+∠O2CB=23(180°-∠A),∴∠BO1C=180°-(∠O1BC+∠O1CB)=180°-13(180°-∠A)=120°+13∠A，∠BO2C=180°-(∠O2BC+∠O2CB)=180°-23(180°-∠A)=60°+23∠A；(2)解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∵∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅O n-1，∴∠O1BC+∠O1CB=1n (180°-∠A),∠O n-1BC+∠O n-1CB=n-1n(180°-∠A),∴∠BO1C=180°-∠O1BC+∠O1CB=180°-1n(180°-∠A)=180°n-1n+1n∠A，∠BO n-1C=180°-∠O n-1BC+∠O n-1CB=180°-n-1n(180°-∠A)=180°n+n-1n∠A．【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键．11.探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=_____°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，则∠DCE=_____°；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1，G2，⋯，G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度数．【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C(2)①40，②90，③70°【分析】(1)根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；(2)①由(1)的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE= 50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=1 2∠ADB+∠AEB+∠A，易得答案．③由②方法，进而可得答案．【详解】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由如下：连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∴∠BDC=∠BAD+∠B+∠C+∠CAD，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；(2)①由(1)的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=50°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°，故答案是：40；②由(1)的结论易得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠A，∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB=80°；∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC=12∠ADB，∠AEC=12∠AEB，∴∠DCE=12∠ADB+∠AEB+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C=110∠ABD+∠ACD+∠A，∵∠BG1C=77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=140°-x°，∴1 10140-x+x=77，∴x=70，∴∠A为70°．故答案是：70°．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12.如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有∠A +∠B =∠C +∠D ；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°，求∠P 的度数；(2)①在图3中，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论，无需说明理由．【答案】(1)∠P =26°(2)①∠P =12(∠B +∠D )，理由见解析；②∠P =180°-12(∠B +∠D )；③∠P =90°+12(∠B +∠D )【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P +∠3=∠1+∠ABC ，∠P +∠2=∠4+∠ADC ，相加得到2∠P +∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC +∠ADC ，继而得到2∠P =∠ABC +∠ADC ，代入数据得∠P 的值；(2)①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD +∠P =∠PCD +∠D ，∠PAB +∠P =∠4+∠B ，分别用∠2，∠3表示出∠PAD 和∠PCD ，再整理即可得解；②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP +∠P +∠4+∠B =360°，∠2+∠P +∠PCD +∠D =360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP 和∠PCD ，再整理即可得解；③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD +∠B =∠BCD +∠D ，∠2+∠P =∠PCD +∠D ，分别用∠2，∠3表示出∠BAD 、∠BCD 和∠PCD ，再整理即可得解；(1)解：∵AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，由(1)的结论得：∠P +∠3=∠1+∠ABC ①，∠P +∠2=∠4+∠ADC②，①+②，得2∠P +∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC +∠ADC ，∴2∠P =∠ABC +∠ADC ，∴∠P =12(∠ABC +∠ADC )=12(36°+16°)=26°．(2)∠P =12(∠B +∠D )，理由如下：①∵AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由(1)的结论得：∠PAD +∠P =∠PCD +∠D ③，∠PAB +∠P =∠4+∠B ④，∵∠PAB =∠1，∠1=∠2，∴∠PAB =∠2，∴∠PAD =∠PAB +∠BAD =∠2+180°-2∠2=180°-∠2，∴∠2+∠P =∠3+∠B ⑤，③+⑤得∠2+∠P +∠PAD +∠P =∠3+∠B +∠PCD +∠D ，∴∠2+∠P +180°-∠2+∠P =∠3+∠B +180°-∠3+∠D即2∠P +180°=∠B +∠D +180°，∴∠P =12(∠B +∠D )．②∠P =180°-12(∠B +∠D )，理由如下：如图4，∵AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD =180°-2∠1，∠BCD =180°-2∠3，由题干可知：∠BAD +∠B =∠BCD +∠D ，∴(180°-2∠1)+∠B =(180°-2∠3)+∠D ，在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即(180°-∠2)+∠P+∠3+∠B=360°，⑥在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+(180°-∠3)+∠D=360°，⑦⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2-∠2+∠3-∠3=360°∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°-12(∠B+∠D)；③∠P=90°+12(∠B+∠D)，理由如下：如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=(180°-2∠3)+∠D⑧，∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=(180°-∠3)+∠D⑨，⑨×2-⑧得：2∠P-∠B=180°+∠D，∴∠P=90°+12(∠B+∠D)．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．。

中考必会模型：第一章8字模型与飞镖模型.doc

结论：ZA+Z£>=ZB+ZC.第一章8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC. BO相交于点。

，连接A。

、BC.模型分析证法一：V ZAOB是△AOD 的外角，ZA+ZD=ZAOB. V ZAOB是左BOC的外角，:.ZB+ZC= ZAOB. :. ZA+ZD=ZB+ZC.证法二：V ZA+ZD+ ZAOD= 180°, A ZA+ ZD= 180°- ZAOD.・「匕3+NC+匕30C= 180。

,A ZB+ ZC= 180°- ZBOC.又V ZAOD=ZBOC, :. ZA+ZD=ZB+ZC.（1）因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型.（2） 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE=；解法一：利用角的8字模型.如图③，连接CD•.: -BOC是△BOE的外角，:.ZB+ZE=ZBOC. V ABOC是△COD 的外角，:.Zi +Z2= ZBOC.AZB+ZE=Z1 + Z2.(角的8 字模型)，...NA+匕B+NACE+匕AO8+NE =ZA+ZACE+ ZADB+ Z1 + Z2=ZA+ ZACD+ ZADC= 180°.解法二：如图④，利用三角形外角和定理.・.N1是的外角，.../l = /C+/E.•・・匕2是的外角，AZ2=ZB+ZD.・.・ ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE= ZA+Z1 + Z2=180°.(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ ZD+ Z£+ ZF=・如图①，求：ZCAD+ ZB+ZC+ ZD+ ZE=(2)解法一：如图⑤，利用角的8字模型.・・•匕AOP 是的外角，..・ZA+匕B=ZAOP ・V ZAOP 是左OPQ 的外角，:.Z1 + Z3=ZAOP. :. ZA+ZB=Z1 + Z3.①(角的 8 字模型)，同理可证：ZC+ZZ)=Z1 + Z2.②，ZE+ZF=Z2+Z3.③ 由①+②+③得：ZA+ZB+ZC+ ZD+ ZE+ ZF=2 (Z1 + Z2+Z3) =360° .解法二：利用角的8字模型.如图⑥，连接DE. yZAOE 是ZVIOB 的外角，A ZA+ZB=ZAOE. V ZAOE 是△(?时的外角，A Z1 +Z2= ZAOE.・.・ZA + ZB= Z1 + Z2.(角的8字模型)・・・ ZA+ ZB+ZC+ ZADC+ ZFEB+ ZF= Z1 + Z2+ ZC+ ZADC+ ZFEB+ ZF= 360° .(四边形内角和为360° )练习：1. (1) C解：如图，VZ1=ZB+ZD, Z2=ZC+ZCAD, .•.ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE=Z1+Z2+ZE=18O° . 故答案为：180°解法二：(1) i8(r.(2)如图②，求：ZCAD+ ZB+ ZACE+ ZD+ ZE=提示：如图.连接D 瓦Z.C*Z_G4Z>=Z.1+Z12. (8 字模型)L CXD+ Z.B+Z.C+ £ADB+ LBEC=IBXBECXBDAYI* 乙2 =180*.解：由三角形的外角性质，知ZBAC=ZE+ZACE, ZEAD=ZB+ZD,又V ZBAC+ZCAD+ZEAD=180°，ZCAD+ ZB+ ZACE+ ZD+ ZE= 180°解法二:=♦匕 BEC* 乙 BDA+AA* 乙 2 解：VZG+ZD=Z3, ZF+ZC=Z4, ZE+ZH-Z2, A ZG+ZD+ZF+ZC+ZE+ZH=Z3+Z4+Z2, VZB+Z2+Z1=18O° , Z3+Z5+ZA=180° , A ZA+ZB+Z2+Z4+Z3=360° ,・・・ ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=360°解法二：答案：360-.提示：如图，连接GH, CD.匕屈乙2. （8字模型）Z./4+Z.F= 2.3*44. （8 字模型）L4XB+匕 FCH+ LADG+ 匕 E+ ,FXDGB+ L EHC =Z. 1 + £ 2+£ 3+ 匕 4♦匕 GW+ 乙 FCH+LDGB+ 匕 EHC =36（T ・（四边形内角和360"）模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：VZ4 是的外角，AZ4=ZC+Z2（2）i8（r.提示：如图.连接DE.Z4CE+ZC4D=/L1 + Z2. （8 字模型） L CAD+ L BWCE* Z ADB^ L BEC模型分析解法一：如图①，作射线AD.=182.如图，求：ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE+ ZF+ ZG+ ZH= 图②VZ3 是△A8O 的外角，AZ3=ZB+Z1AZBDC=Z3+Z4, A ZBDC= ZB+ Z1 + Z2 + ZC, A ZBDC= ZBAC+ ZB+ ZC解法二：如图②，连接BC.VZ2+Z4+ZD=180° , :.ZD=18Q°一(Z2 + Z4)VZ1 + Z2+Z3+Z4+ZA=I8O° , A ZA+Z1 +Z3 = 180°— (Z2+Z4)AZZ)=ZA+Z1 + Z3.(1)因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.模型实例如图，在四边形ABCD中，AM. CM分别平分ZDAB和匕OCB, AM与CM交于探究匕AMC与/B、匕。

初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型

。
A B
E
C D
图1
A
B
F C
E
D
图2
典例精选
1.(1)如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
(2)如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=
.
2.如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
。
A
E
B
O
D C 图1
E A
B
O
C
图2 D
F G
H
E D
C B
A 图③
模型2 角的飞镖模型
（3）图③将（2）中的点P变为P1、P2，请比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由。
A
B
CB
P
图1
A
P CB
图2
A
P1 P2 C
图3
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD
A O
B
D C
模型4 边的飞镖模型
如图所示有结论：AB+AC>BD+CD。
A
BO C
模型实例
如图，点O为三角形内部一点。
A
求证：（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC；
（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO
O
B
C
典例精选
1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。

8字模型与飞镖模型

模型分析
模型分析
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
A
A
B
E
B F
C
D
图①
E 图②
A
E B
1O 2
C
D
图③
解法一：利用角的8字模型．如图③，连接 CD． ∵∠BOC是△BOE的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC． ∵∠BOC是△COD的外角， ∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2 ＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
E
D ①
A
B
F E
C
D 图②
A
B
O
F
123
P
Q
E 图⑤
C D
（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型． ∵∠AOP是△AOB的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP是△OPQ的外角， ∴∠1＋∠3＝∠AOP． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与 CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
A 1 D
3M B
4
2
C
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

相似之处
两种模型都是几何分析的重要工具,能帮助学生更好地理解和解决中考几何题。
应用范围
8字模型更侧重于分析三角形和四边形的相关特性, 而飞镖模型主要用于探讨角度和距离关系。
基本结构
8字模型由两个相交的圆弧组成,而飞镖模型由两条垂直交叉的线段构成,呈现不同的几何形状。
解题技巧
两种模型都需要熟练掌握绘制方法和核心特点,并灵活应用于几何问题的分析解决中。
借助AR/VR技术,学生可以在虚拟环境中更直观地操纵和理解8字模型与飞镖模型,激发创新思维。
智能辅助
结合人工智能技术,未来将有智能化几何助手,即时分析学生操作并给出针对性指导,提高解题效率。
8字模型与飞镖模型的综合评价
全面视角
8字模型和飞镖模型可以从多个角度对几何问题进行全面分析,为解决问题提供丰富视角。
灵活应用模型
在解决几何题时,善用8字模型分析图形的性质和关系,有助于找到高效的解题思路。
飞镖模型
飞镖模型是中考几何必备的另一种重要知识点。它以飞镖形状为基础,展现了一些特殊的几何关系,在解决涉及角度、距离等题目时很有帮助。掌握飞镖模型的特点和应用技巧对于提高中考成绩同样重要。
飞镖模型的定义
几何证明
飞镖模型的垂直、对角等特点,能为几何证明题提供直观的几何依据,帮助学生理解和解决这类题目。
距离计算
飞镖模型可用于计算几何图形中的距离,如点到线的距离、线段长度等,为解决相关问题提供依据。
中考应用
飞镖模型在中考几何试题中经常出现,掌握它的应用能够有效提高考试成绩,是中考必备的几何知识。
2 灵活运用
根据几何问题的实际需求,灵活选择或组合使用8 字模型和飞镖模型,提高分析和解题的效率。

模型02 飞镖、8字模型(解析版)

模型一：飞镖模型（1）角的飞镖模型结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠解答：①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证总结：利用三角形外角的性质证明（2）边的飞镖模型结论：CD BD AC AB +>+解答：延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式大的放左边，小的放在右边得证模型二：8在模型（1）角的8字模型结论：D C B A ∠+∠=∠+∠ 解答：①方法一：三角形内角和得证 ②方法二：三角形外角BOD ∠的性质得证总结：①利用三角形内角和等于180证明推出②利用三角形外角的性质证明模型介绍大招飞镖模型和8字模型（2）边的8字模型结论：BC AD CD AB +<+解答：三角形三边关系+同号不等式得证总结：①三角形两边之和大于第三边考点一：飞镖模型【例1】．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC=_______解：延长BO ，交AC 于点D ，∵∠BOC ＝∠C +∠ODC ，∠ODC ＝∠A +∠B ，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°， ∴∠BOC ＝∠C +∠A +∠B ＝20°+70°+40° ＝130° ➢变式训练【变式1-1】．如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A ＝55°，∠D ＝15°，则∠P 的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°例题精讲解：如图，延长PC交BD于E∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P∴∠1＝∠2，∠3＝∠4由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①在△PBE中，∠5＝∠2+∠P在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D∴∠P＝（∠A﹣∠D）∵∠A＝55°，∠D＝15°∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°故选：B【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（）A．80°B．50°C．100°D．130°解（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I∴∠BCI＝∠ACB∠CBI＝∠ABC∴∠BIC＝180°﹣∠BCI﹣∠CBI＝180°﹣100°＝130°故选：D【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

三角形角度计算之八字型与飞镖模型

剖析一角的 8 字模型
经典例题
解法二：利用角的8字模型如图⑥，连接DE, ∵∠AOE是△AOB的外角 ∴∠A+∠B=∠AOE ∵∠AOE是△OED的外角 ∴∠1+∠2=∠AOE ∴∠A+∠B=∠1+∠2（角的8字模型） ∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F=360°
剖析一角的 8 字模型
剖析一角的 8 字模型
经典例题
解法二：如图④，利用三角形外角和定理， ∵∠1是△FCE的外角 ∴∠1=∠C+∠E ∵∠2是△GBD的外角， ∴∠2=∠B+∠D ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =∠A+∠1+∠2=180°
剖析一角的 8 字模型
经典例题
（1）解法一：利用角的8字模型，如图⑤ ∵∠AOP是△AOB的外角 ∴∠A+∠B=∠AOP ∵∠AOP是△OPQ的外角 ∴∠1+∠3=∠AOP ∴∠A+∠B=∠1+∠3 同理可得：∠C+∠D=∠1+∠2 ∠E+∠F=∠2+∠3.
03
边的8字模型
结论1：如图所示，AC,BD相交于点O 连接AD,BC结论：AC+BD＞AD+BC
剖析三边的 8 字模型
模型分析： ∵OA+OD＞AD OB+OC＞BC 以上两式进行相加即可得到 OA+OD+OB+OC＞BC+AD 即AC+BD＞AD+BC
剖析三边的 8 字模型
经典例题
如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O 求证：（1）AB+BC+CD+AD＞AC+BD （2）AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD.

中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA模型分析证法一：∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．证法二：∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ．∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE312图⑤P O QA BFC D图⑥21EDCFOBA（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ．∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°）练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝；图图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180° 解法二：（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE ，∠EAD=∠B+∠D ，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝180°解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360° 解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．ADC图①4321AD 4321AD模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2 ∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C 解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .DE【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC．CAD模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②，由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。

中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

几何经典模型：8字模型与飞镖模型

＝360°．（四边形内角和为 360°）
练习：
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
；
E A
A
E
B
O
B
O
C
C
D
图①
D 图②
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180° 解法二：
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
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模型 1：角的 8 字模型如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
A
D
O
B
C
模型分析
证法一：
∵∠AOB 是△ AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△ BOC 的外角，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=.Dຫໍສະໝຸດ 105°AC
115°
BA
D
2
1 105°
C
115° 4 3
∵∠4 是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）
∵AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，∴ 1 BAD ， 2 BCD ，

课件人教版中考专题复习微专题1“8”字模型及飞镖模型

∴∠C+∠D=∠AOC.
∵∠AOC是△COD的外角,
练习6 如图,在△ABC中,D,E在BC边上,且BD=CE.
【解析】(1)∵AB+BC>AC,①
∴∠D=180°-(∠2+∠4).
∴∠ACE=∠FBD.
【解析】利用角的“8”字模型.
例1 观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
OA+OB+OC+OD>AB+CD,
∴∠A+∠B=∠AOC.
∵∠AOC是△COD的外角,
∴∠C+∠D=∠AOC.
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
真题特训
例1 观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】利用角的“8”字模型.
∴∠D=∠A+∠1+∠3.
例3 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
例6 如图所示,有结论:AB+AC> BD+CD.
∴∠D=180°-(∠2+∠4).
【解析】利用角的“8”字模型.
【解析】利用角的飞镖模型.
由①+②,得 AD+BC< OA+OD+OB+OC.
练习6 如图,在△ABC中,D,E在BC边上,且BD=CE.
例3 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)

三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。

二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。

由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。

下面一一推导证明。

条件：AD、BC相交于点O。

结论：∠A+∠B=∠C+∠D。

(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°条件：四边形ABDC如上左图所示。

结论：∠D=∠A+∠B+∠C。

(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。

本质为两个三角形外角和定理证明。

应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。

条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。

初一几何模型总结

模型一8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：C B D A ∠+∠=∠+∠。

模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角时用到。

模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：C B A D ∠+∠+∠=∠。

模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型3边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：BC AD BD AC +>+。

模型4边的飞镖模型如图所示，有结论：CD BD AC AB +>+。

模型二角平分线四大模型模型1角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是MON ∠的平分线上一点，过点P 作OM PA ⊥于点A ，ON PB ⊥于点B 。

结论：PAPB =模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2截取构造对称全等如图，P 是MON ∠的平分线上一点，点A 射线OM 上任意一点，在ON 上截取OA OB =，连接PB 。

结论：OPA OPB ∆≅∆。

模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是MON ∠的平分线上一点，OP AP ⊥于P 点，延长AP 于点B 。

结论：AOB ∆是等腰三角形。

模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来。

模型4角平分线+平行线如图，P 是MON ∠的平分线上一点，过点P 作ON PQ //，交OM 于点Q 。

结论：POQ ∆是等腰三角形。

模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

三角形角度计算之八字型与飞镖模型

8字型与飞镖模型
模型一：角的8字模型
证法二：∵∠A+∠D+∠AOD=180° ∴∠A+∠D=180°-∠AOD ∵∠B+∠C+∠BOC=180° ∴∠B+∠C=180°-∠BOC 又∵∠AOD=∠BOC ∴∠A+∠D=∠B+∠C. 以上两种证明方法都比较常用，因为这个图形像数字8，所以我们把这个模型称为8字模型。如图所示，AC,BD相交于点O,连接AD、BC 结论：∠A+∠D=∠B+∠C. 证法一：∵∠AOB是△AOD的外角， ∴∠A+∠D=∠AOB ∵∠AOB是△BOC的外角 ∴∠B+∠C=∠AOB ∴∠A+∠D=∠B+∠C.
解析：（1）∵AB+BC＞AC CD+AD＞AC AB+AD＞BD BC+CD＞BD 以上式子相加即可得到AB+BC+CD+AD＞AC+BD （2）∵AD＜OA+OD BC＜OB+OC 两式相加即可得到AD+BC＜OA+OD+OB+OC ∴AD+BC＜AC+BD(边的8字模型) 同理可证：AB+CD＜AC+BD ∴AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD
解法一，如图①，作射线AD ∵∠3是△ABD的外角 ∴∠3=∠B+∠1 ∵∠4是△ACD的外角 ∴∠4=∠C+∠2 ∴∠BDC=∠3+∠4 ∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
解法二：如图②，连接BC ∵∠2+∠4+∠D=180° ∴∠D=180°-（∠2+∠4） ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180° ∴∠A+∠1+∠3=180°-（∠2+∠4） ∴∠D=∠A+∠1+∠3

初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型

初中数学常见模型
8字模型与飞镖模型
模型1：角的“8”字模型
如图所示，AB、CD相交于点O，连接AD、BC。结论：∠A+∠D=∠B+∠C
A
D
O
B
C
模型分析：8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到
模型实例：
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
；
2．如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D =
。
A
E
135O
C
B
图① D
F
D
105O A
C 120O
B
图②
模型3 边的“8”字模型
A
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。
B
结论：AC+BD>AD+BC。
D O
C
典例精选
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
。
A B
E
C D
图1
A
B
F C
E
D
图2
典例精选
1.(1)如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
(2)如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=
.
2.如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=