圆的极坐标方程
常见的极坐标方程
常见的极坐标方程引言极坐标是一种用于描述平面上点的坐标系统，它不同于直角坐标系，而是使用极径和极角来确定点的位置。
在物理学、工程学和数学等领域，极坐标方程广泛应用于各种问题的建模和解决。
本文将详细介绍常见的极坐标方程，包括圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、螺线的极坐标方程等内容。
圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程是常见的极坐标方程之一。
假设圆心位于坐标原点，半径为r，则圆的极坐标方程为：r = a其中a为常数，表示圆的半径。
根据该方程，可以得到不同半径的圆。
直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程是另一种常见的极坐标方程。
对于经过坐标原点的直线，其极坐标方程为：θ = α其中α为常数，表示直线与极轴的夹角。
通过改变α的取值，可以得到不同夹角的直线。
螺线的极坐标方程螺线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为：r = aθ其中a为常数。
根据该方程，当θ取不同的值时，可以得到不同形状的螺线。
阿基米德螺线阿基米德螺线是最常见的螺线之一，其极坐标方程为：r = a + bθ其中a和b为常数。
阿基米德螺线呈现出均匀的螺旋形状，可以在多个领域中找到应用，如建筑设计和机械工程。
对数螺线对数螺线是另一种常见的螺线，其极坐标方程为：r = a * e^(bθ)其中a和b为常数。
对数螺线在自然界中广泛存在，如蜗牛的壳的形状就类似于对数螺线。
超越螺线超越螺线是一类特殊的螺线，其极坐标方程为：r = a * exp(θ)其中a为常数。
超越螺线在数学研究中具有一定的重要性，它们通常具有无理数的特性。
总结本文介绍了常见的极坐标方程，包括圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、螺线的极坐标方程等内容。
通过了解这些方程，可以更好地理解和应用极坐标系，从而解决各种实际问题。
同时，不同的极坐标方程也反映了曲线的不同特性和形状，对于数学和物理等学科的研究具有一定的意义。
在实际应用中，极坐标方程常常用于描述旋转对称的问题，如涡旋运动、天体运动等。
通过将问题转化为极坐标方程，可以简化计算和分析过程，得到更加直观和具体的结果。
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法可以用来解析表示圆锥曲线的方程。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
下面将分别介绍极坐标法在解析这些曲线方程中的应用。
1.圆：圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 为圆的半径。
在极坐
标系下，圆心位于原点，以原点为中心半径为 a 的圆。
2.椭圆：椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e*cosθ)，其中 a 为长
轴的一半，e 为离心率，θ 为极角。
通常情况下，取e < 1，这样才能得到椭圆。
如果 e = 0，则表示一个圆。
3.抛物线：抛物线的极坐标方程为r^2 = 2a*p，其中a 为焦
点到抛物线顶点的距离，p 为焦距的一半。
抛物线沿着对
称轴对称。
4.双曲线：双曲线的极坐标方程为 r^2 = 2a p cosθ，其中 a 为
焦点到双曲线顶点的距离，p 为焦距的一半。
双曲线有两
个分支，分别向外延伸。
对于给定的圆锥曲线方程，你可以将其转化为极坐标方程进行分析和绘制。
通过改变参数 a、e 和 p 的值，可以调整曲线的尺寸、形状和位置。
请注意，极坐标法的应用需要对极坐标系和常见曲线方程有一定的数学理解。
在进行计算和绘制时，确保使用正确的公式和技巧，以获得准确的结果。
直线与圆的极坐标方程公式
直线与圆的极坐标方程公式在数学中，直线和圆是非常常见的几何图形。
通过极坐标系，我们可以更加简洁地表示直线和圆的方程，使得问题的解析更加方便和直观。
本文将介绍直线和圆在极坐标系下的方程公式。
直线的极坐标方程在极坐标系下，直线的方程通常被表示为极坐标参数等于常数的形式。
一个通用的直线方程为：r = p·cos(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，p 表示直线到原点的距离，θ 表示角度，α 表示直线的偏转角度。
具体地，当直线与极坐标系的x 轴的交点不在原点时，直线的方程可以表示为：r = p·cos(θ − α) + d·sin(θ − α)·cot(α)其中，d 表示直线与极坐标系的 x 轴的交点到原点的距离。
圆的极坐标方程在极坐标系下，圆的方程可以表示为极坐标径向距离等于常数的形式。
一个通用的圆方程为：r = a + b·sin(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，a 表示圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离，b表示圆的半径，θ 表示角度，α 表示圆的旋转角度。
需要注意的是，当圆心位于极坐标系的 x 轴上时，圆的方程可以简化为：r = a + b·sin(θ)应用示例现在我们来看一些直线和圆的极坐标方程的应用示例。
直线的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一条直线，该直线与极坐标系的x 轴的交点到原点的距离为4，直线的方向与极坐标系的 x 轴的正方向呈45度角。
那么，直线的极坐标方程可以表示为：r = 4·cos(θ − 45°) + 4·sin(θ − 45°)·cot(45°)圆的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一个圆，该圆的圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离为3，圆的半径为2，圆的旋转角度为30度。
那么，圆的极坐标方程可以表示为：r = 3 + 2·sin(θ − 30°)通过这些示例，我们可以更好地理解直线和圆在极坐标系下的方程公式的应用。
圆的极坐标方程转化为普通方程
圆的极坐标方程转化为普通方程圆是几何学中的基本图形之一，它无论在数学上还是在生活中都有着重要的应用。
在数学中，我们可以用不同的方式来表示一个圆，其中一种方式就是使用极坐标方程来描述圆的特征。
然而，有时候我们需要将极坐标方程转化为普通方程，以便更方便地进行计算和分析。
本文将介绍如何将圆的极坐标方程转化为普通方程。
圆的极坐标方程表示为：r = a其中，r是圆点到原点的距离，a是圆的半径。
这个方程告诉我们，圆上的每个点到原点的距离都是a，这是圆的特征之一。
要将极坐标方程转化为普通方程，我们需要使用一些基本的几何知识。
首先，我们知道圆是由一组点组成的，这些点到圆心的距离都相等。
所以，我们可以将圆的极坐标方程表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2其中，(h, k)是圆心的坐标。
这个普通方程告诉我们，圆上的每个点到圆心的距离都是a，这也是圆的特征之一。
通过比较两个方程，我们可以看到它们的形式是相似的。
唯一的区别在于，极坐标方程使用了极坐标系下的坐标表示，而普通方程使用了直角坐标系下的坐标表示。
通过将极坐标方程转化为普通方程，我们可以更方便地进行计算和分析。
例如，假设我们有一个圆的极坐标方程为r = 3。
我们可以将这个方程转化为普通方程：(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2其中，a = 3。
由于极坐标方程没有给出圆心的坐标，我们可以任意选择一个圆心。
假设我们选择圆心的坐标为(0, 0)，那么普通方程变为：x^2 + y^2 = 3^2简化后得到：x^2 + y^2 = 9这就是圆的普通方程，它告诉我们，圆上的每个点到圆心的距离都是3。
通过这个方程，我们可以方便地计算圆上的点，进行进一步的分析和计算。
总结起来，将圆的极坐标方程转化为普通方程可以使我们更方便地进行计算和分析。
通过比较两个方程，我们可以看到它们的形式是相似的，只是使用了不同的坐标系表示。
通过选择合适的圆心坐标，我们可以将极坐标方程转化为普通方程，并方便地进行进一步的计算和分析。
圆的方程怎么转化为极坐标方程
圆的方程怎么转化为极坐标方程圆是一种常见的几何形状，它可以用各种方式来描述和表示。
在直角坐标系下，圆的方程通常表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
然而，有时候我们也希望能够用极坐标方程来描述圆。
极坐标系是一种与直角坐标系不同的坐标系，它以极径和极角来表示点的位置。
在极坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ)，其中r表示点到坐标原点的距离，θ表示点与正极轴的夹角。
现在我们来探讨如何将圆的方程转化为极坐标方程。
首先，我们需要明确一个基本事实：在极坐标系下，圆心位于坐标原点的圆的方程可以简化为r = r0，其中r0表示圆的半径。
对于一般情况下的圆，我们可以通过一些数学推理来将其转化为极坐标方程。
假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，我们可以通过使用三角函数来表示x和y。
首先，我们将x表示为r cos(θ)，y表示为r sin(θ)。
带入圆的方程中得到(r cos(θ)-a)^2 + (r sin(θ)-b)^2 = r^2。
接下来，我们展开方程并进行一些简化。
将方程展开得到r^2cos^2(θ) -2a r cos(θ) + a^2 + r^2sin^2(θ) - 2b r sin(θ) + b^2 = r^2。
化简方程，可以得到r^2(cos^2(θ) + sin^2(θ)) - 2a r cos(θ) - 2b r*sin(θ) + a^2 +b^2 = r^2。
根据三角恒等式cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1，化简方程得到r^2 - 2a r cos(θ) -2b r sin(θ) + a^2 + b^2 = r^2。
移项并合并r的系数，得到r^2 - 2a r cos(θ) - 2b r sin(θ) = a^2 + b^2。
进一步化简得到r^2 - 2a r cos(θ) - 2b r sin(θ) - a^2 - b^2 = 0。
直线和圆的极坐标方程
直线和圆的极坐标方程在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述直线和圆。
直线可以通过极坐标系中两个特殊点之间的连线来定义，而圆则可以由一个特定的中心点和半径来确定。
本文将介绍直线和圆在极坐标系中的极坐标方程表示方法。
直线的极坐标方程在直角坐标系中，我们可以用一般形式的线性方程 y = mx + b 来表示直线，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
然而，在极坐标系中，直线的方程表达形式有所不同。
考虑极坐标系中两点之间的连线，我们可以使用直角坐标系中的斜率来找到直线的极坐标方程。
记直线的斜率为 m，两点的极坐标为(r₁, θ₁) 和(r₂, θ₂)。
则直线的极坐标方程可以表示为：θ = arctan((r₂ * sin(θ₂) - r₁ * sin(θ₁)) / (r₂ * cos(θ₂) - r₁ * cos (θ₁)))在上述方程中，θ 表示直线的极角。
通过计算两点之间的差分，我们可以得出直线在极坐标系中的方程。
圆的极坐标方程圆是极坐标系中的一种特殊情况，它由一个中心点和一个半径确定。
在直角坐标系中，我们可以用标准形式的方程 x² + y² = r²来表示圆，其中 (x, y) 是圆上的一个点，r 是半径。
然而，在极坐标系中，圆的方程要更加简洁。
对于以极点为中心的圆，设圆的半径为 r，圆心的极坐标为(r₀, θ₀)。
则圆的极坐标方程可以表示为：r = r₀在上述方程中，r 表示圆上任意一点的极径。
这意味着，对于以极点为中心的圆，其极径始终等于圆的半径r₀。
对于以极点外的任意一点为圆心的圆，设圆的半径为 r，圆心的极坐标为(r₀,θ₀)。
则圆的极坐标方程可以表示为：r = 2d - r₀在上述方程中，r 表示圆上任意一点的极径，d 表示该点到圆心的距离。
这意味着，对于以极点为中心的圆外的任意一点，其极径与该点到圆心的距离之差等于圆的半径r₀。
总结在极坐标系中，直线的极坐标方程可以通过计算两点之间的角度来表示。
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。
对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。
2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。
3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。
4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。
5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。
对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。
例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。
又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。
极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表圆心位置 极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cosθ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sinθ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( )A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆．2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C.3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆解析：选D.ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，所以ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ， 即x 2＋y 2＝22x ＋22y . 化简整理得⎝⎛⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －242＝14，表示圆．选D.4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________．解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2＝π. 答案：π圆的极坐标方程求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．[解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ， 所以ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式． 所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 因为sin5π6＝12， 所以ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，所以点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程的五个步骤(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)．[注意] 求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为1的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得 |OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2，即ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2±1，π4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y2＝4x； (2)x2＋y2－2x－1＝0； (3)ρ＝12－cos θ.[解] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简，得ρsin2θ＝4cos θ.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1.所以2x2＋y2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)y＝3x；(2)x2－y2＝1.解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π3.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝1cos 2θ.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝1.(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.求相关动点的极坐标方程从极点O 作圆C ：ρ＝2a cos θ的任意一条弦ON ，求各弦的中点M 的极坐标方程．[解] 法一：如图所示，圆C 的圆心C (a ，0)，半径r ＝|OC |＝a ，因为M 为弦ON 的中点，连接CM .所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上， 所以动点M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ. 法二：设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． 因为N 点在圆ρ＝2a cos θ上， 所以ρ1＝2a cos θ1.① 因为M 是ON 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将它代入①式得2ρ＝2a cos θ，故M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ.将本例中所求得的中点M 的极坐标方程化为直角坐标方程．解：因为ρ＝a cos θ，所以ρ2＝a ·ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝ax ，所以中点M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－ax ＝0.本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点的轨迹方程．求解时找出等量关系，代入化简即可．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形？解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)，则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，所以ρ0＝25ρ，因为ρ0＝2cos θ0.所以25ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，它表示一个圆．1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化．3．求曲线的极坐标方程求解步骤与直角坐标系中求曲线方程的步骤基本相同．较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化．4．极坐标方程表示的曲线形状的判断方法极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程后再分析形状．1．极坐标方程ρ＝1表示( )A ．直线B ．射线C ．圆D ．半圆解析：选C.因为ρ＝1，所以ρ2＝1，所以x 2＋y 2＝1.所以表示圆． 2．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )解析：选C.如图所示．设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，即ρ＝2r sin θ＝a sin θ.3．把圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ转化为直角坐标方程为______________，圆心的直角坐标为________．解析：因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入得直角坐标方程为x2＋y2＝2x，其圆心坐标为(1，0)．答案：x2＋y2＝2x(1，0)4．写出圆心在(1，－1)处，且过原点的圆的极坐标方程．解：圆的半径为r＝2，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.变形得x2＋y2＝2(x－y)，用坐标互化公式得ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2cos θ－2sin θ.[A 基础达标]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( )A．ρ＝22cos θ B．ρ＝－22cos θC．ρ＝22sin θ D．ρ＝－22sin θ解析：选B.如图所示，P(2，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP 与圆交于点Q ，则∠OMQ ＝90°，在Rt △OMQ 中， |OM |＝|OQ |·cos ∠QOM ， 所以ρ＝22cos (π－θ)， 即ρ＝－22cos θ.选B.2．x 2＋y 2－4x ＝0的极坐标方程为( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝4cos θD ．ρ＝4sin θ 解析：选C.把x ＝ρ·cos θ，y ＝ρ·sin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入得ρ2－4·ρ·cos θ＝0，所以ρ＝0或ρ＝4cos θ.又极点也在ρ＝4cos θ上，故选C.3．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫5，－2π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3解析：选D.因为ρ＝5cos θ－5 3 sin θ， 所以ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝5x －53y ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋5322＝25，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，ρ＝254＋754＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π3，所以圆心C 的极坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3. 4．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．22解析：选D.两圆的直角坐标方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14， 圆心分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 圆心距d ＝14＋14＝22， 故选D.5．极坐标方程ρ＝cos(π4－θ)表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 解析：选D.因为ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，即ρ＝22(cos θ＋sin θ)， 所以ρ2＝22(ρcos θ＋ρsin θ)， 所以x 2＋y 2＝22x ＋22y ，即⎝⎛⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －242＝14.6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．解析：因为 ρ＝2sin θ，所以 ρ2＝2ρsin θ，所以 x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋y 2－2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2y ＝07．圆心在点(3，π)处，半径为3的圆的极坐标方程为____________．解析：如图所示C (3，π)，A (6，π)，设M (ρ，θ)为圆上异于O 、A 的任一点，连接OM ，AM ，则OM ⊥AM ，|OA |＝6为圆C 的直径，在Rt △OMA 中，∠AOM ＝π－θ或θ－π，因为|OM |＝|OA |cos (π－θ)， 所以ρ＝6cos (π－θ)，即ρ＝－6cos θ，验证知O 、A 也适合， 所以所求圆的极坐标方程为ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π2)． 答案：ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π2)8．在极坐标系中，若过点A (3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．解析：由题意知，直线方程为x ＝3， 曲线方程为(x －2)2＋y 2＝4， 将x ＝3代入圆的方程， 得y ＝±3，则|AB |＝2 3. 答案：2 39．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． (1)x 2＋y 2－2x ＝0；(2)ρ＝cos θ－2sin θ； (3)ρ2＝cos 2θ.解：(1)因为x 2＋y 2－2x ＝0， 所以ρ2－2ρcos θ＝0. 所以ρ＝2cos θ.(2)因为ρ＝cos θ－2sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. 所以x 2＋y 2＝x －2y ， 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0. (3)因为ρ2＝cos 2θ，所以ρ4＝ρ2cos 2θ＝(ρcos θ)2. 所以(x 2＋y 2)2＝x 2， 即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程； (2)关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程．解：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求． (2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，即ρ＝－2a cos θ为所求．[B 能力提升]11．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 B ．ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 C ．ρ＝2cos(θ－1) D ．ρ＝2sin(θ－1)解析：选C.在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为：r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．12．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 上的动点，则|PQ |的最小值是________．解析：已知圆的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53π，半径为1，将点P ，C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. 由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径，即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322－1＝3－1＝2. 答案：213．设点M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，过M 作MP ⊥MA 交OA 于点P ，求P 点的极坐标方程．解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图．设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点．因为MP ⊥MA ，所以|MA |2＋|MP |2＝|PA |2.由余弦定理，可知|MA |2＝a 2＋r 2－2ar cos θ，|MP |2＝a 2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA |＝r －ρ，由此可得a 2＋r 2－2ar cos θ＋a 2＋ρ2－2aρcos θ＝(r －ρ)2.整理化简，得ρ＝a (a －r cos θ)a cos θ－r. 14．(选做题)在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，半径为3，点Q 在圆周上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点P 是OQ 的中点，求点P 的轨迹． 解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，OD 为直径，连接DQ ，OQ ，则|OD |＝6，∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π3，因为∠DQO ＝π2. 所以在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)若P 的极坐标为(ρ，θ)，则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)．所以2ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以ρ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.所以P 的轨迹是圆．。
圆的极坐标方程
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
例1: 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ
＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习： 1、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标 方程
将下列直角坐标转化为极坐标 （1） （-1，3） （2） （-2，-2）
简单曲线的极坐标方程
圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (1)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (2)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
＝r
＝2acos
＝2asin
＝２a cos( 0 )
圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ＝２cos( (2) (3)
4
)
＝cos( - )
3
＝3 sin (4) ＝６
练习
经过极点的圆的极坐标方程
经过极点的圆的极坐标方程在极坐标系中，描述一个圆的方程通常采用极坐标方程。
本文将探讨经过极点的圆的极坐标方程。
首先，我们需要了解极坐标系的基本知识。
极坐标系是一种二维坐标系，由极点O和极轴组成。
极点O通常位于坐标系的中心，而极轴是从极点O伸出的射线。
极坐标系中，每个点都可以用极径r和极角θ唯一地表示。
一个经过极点的圆可以用极径r的方程表示。
设该圆的半径为R，我们可以得到以下极坐标方程：r = R上述方程描述了经过极点的圆的极坐标方程。
该方程表示，从极点出发到圆上任意一点的距离都等于该圆的半径R。
此外，我们还可以通过极角θ落在一个特定区间来限制圆的位置。
假设我们限定圆的极角范围为[θ₁, θ₂]，其中θ₁和θ₂为给定的角度值，那么可以得到以下极坐标方程：r = R, θ₁ ≤ θ ≤ θ₂上述方程表示，在给定的极角范围内，从极点出发到圆上任意一点的距离都等于该圆的半径R。
需要注意的是，由于极坐标系的特点，上述方程描述的是一个扇形，而不是一个完整的圆。
如果想要描述一个完整的圆，在极角范围上需要覆盖所有的角度。
让我们来看一个具体的例子。
假设我们要描述一个半径为5的圆，限定极角范围为[0, 2π]，可以得到下面的极坐标方程：r = 5, 0 ≤ θ ≤ 2π这个方程描述了一个半径为5的圆，它经过极点O，并且覆盖了0到2π的所有角度。
在极坐标系中，所有满足上述方程的点都属于这个圆。
总结一下，经过极点的圆可以通过极坐标方程来描述。
极坐标方程中，通过设置极径r的值来定义圆的半径，通过限定极角θ的范围来限制圆的位置。
通过合理选择极径和极角范围，我们可以描述出各种不同的圆。
希望本文能给读者带来对经过极点的圆的极坐标方程的理解和应用启示。
通过深入研究和实践，读者可以进一步探索极坐标系的应用，以及使用极坐标方程描述其他有趣的几何形状。
圆的极坐标方程公式
圆的极坐标方程公式圆是一个在平面上距离中心点相等的所有点的集合。
在数学中，描述圆的一种方程形式是极坐标方程。
极坐标系极坐标系是一种坐标系统，它不同于常见的直角坐标系。
在极坐标系中，每个点的位置由它到原点的距离和与正向极坐标轴的夹角来确定。
这两个值分别称为径向距离和极角。
在极坐标系中，正向径向距离沿着极角增加的方向增加，极角从原点指向正的x轴方向逆时针旋转。
当极角为0度时，对应x轴正向；当极角为90度时，对应y轴正向。
圆的极坐标方程在极坐标系中，圆的方程可以用极坐标方程进行表示。
圆的极坐标方程形式如下：r = a其中，r代表径向距离，也就是圆心到某一点的距离，a是一个常数，代表圆的半径。
在极坐标系中，圆心坐标为(0,0)，则任意一点的坐标可以表示为(r, θ)，其中r是点到圆心的距离，θ是点与正向极坐标轴的夹角。
圆的极坐标方程说明了半径为a的圆上的所有点满足这一方程。
也就是说，任意一点到圆心的距离都等于a。
圆的极坐标方程的使用圆的极坐标方程可以用于描述圆的几何特性以及解决与圆相关的问题。
描述圆的几何特性圆的极坐标方程使用极坐标系来描述圆的几何特性。
通过改变常数a的值，可以得到不同半径的圆。
当a为正值时，代表圆的半径；当a为0时，圆退化成一个点，即圆心；当a为负值时，图像为从圆心向外延伸的线段。
解决与圆相关的问题圆的极坐标方程可以在解决与圆相关的问题中发挥重要作用。
例如，可以使用圆的极坐标方程来计算圆的弧长、面积等。
也可以使用极坐标方程来描述和解决与圆相交、圆内外点的关系等几何问题。
小结圆的极坐标方程为r = a，其中r代表径向距离，a是圆的半径。
圆的极坐标方程可以用来描述圆的几何特性，并在解决与圆相关的问题中发挥重要作用。
通过改变常数a的值，可以得到不同半径的圆。
圆的极坐标方程
三者的形状和性质不同。圆的形状是固定的，而椭圆和双曲线的形状随离心率 e 的变化而变化。此外 ，三者在直角坐标系下的方程也不同。
感谢您的观看
THANKS
圆心与半径在极坐标中表示
圆心表示
在极坐标系中，如果一个圆的圆心不 在极点，而是位于一个已知的点(r0, θ0)，那么这个圆的位置可以由r0和 θ0来确定。
半径表示
半径a是圆心到圆上任意一点的距离， 在极坐标中可以通过比较r和r0来得出 。具体来说，对于圆上的任意一点P(r, θ)，有|r - r0| = a。
实例演示推导过程
以$(0,0)$为圆心、半径为2的圆为例
其直角坐标方程为$x^2 + y^2 = 4$。
转换到极坐标系
将$x = rhocostheta$和$y = rhosintheta$代入直角坐标方程，得到$rho^2 = 4$，即 $rho = 2$（$rho geq 0$）。
结论
以$(0,0)$为圆心、半径为2的圆的极坐标方程为$rho = 2$。
05
求解圆的极坐标方程方法 总结
代数法求解
方程形式：在极坐标系下，圆的方程通 常表示为 $r = acos(theta) + bsin(theta) + c$，其中 $a, b, c$ 为常 数。
利用二次方程的求解公式或配方法，求 解该方程得到圆心的坐标和半径。
求解步骤
将转换后的直角坐标方程代入圆的方程 ，得到一个关于 $x$ 和 $y$ 的二次方程 。
02
双曲线极坐标方程推导
通过双曲线的直角坐标方程和极坐标与直角坐标的转换关系，可以推导
出双曲线的极坐标方程。
03
双曲线极坐标方程特点
圆极坐标方程形式
圆极坐标方程形式
圆的极坐标方程有三种形式，具体如下：
1.圆心在原点：r=a。
2.圆心在x轴上：r=a⋅cosθ。
3.圆心在y轴上：r=a⋅sinθ。
其中，a为圆的半径，θ为圆心与圆上的点的连线的极角。
圆极坐标方程的形式是ρ=a，其中a是圆的半径。
例如，以原点为圆心，半径为3的圆的极坐标方程为ρ=3。
另外，圆心在x轴上的圆极坐标方程形式是ρ=a cosθ，其中a 是圆的半径，θ是圆心与圆上的点的连线的极角。
例如，圆心在(3,0)，半径为2的圆的极坐标方程为ρ=2cosθ。
圆心在y轴上的圆极坐标方程形式是ρ=a sinθ，其中a是圆的半径，θ是圆心与圆上的点的连线的极角。
例如，圆心在(0,3)，半径为2的圆的极坐标方程为ρ=2sinθ。
经过原点的圆的极坐标方程
经过原点的圆的极坐标方程在极坐标系中，我们可以用极径 r 和极角θ 来描述一个点的位置。
对于经过原点的圆，也可以用极坐标方程来表示它的形状。
下面我们将详细介绍经过原点的圆的极坐标方程。
对于经过原点的圆，其任意一点到原点的距离都是相等的，假设这个距离为r，那么我们可以得出以下关系：r = const这是因为对于圆上的任意一点，它到原点的距离都是r，所以r 是一个恒定值，即距离圆心的距离是固定的。
在极坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ)，其中 r 表示到原点的距离，θ表示与极轴的夹角。
对于经过原点的圆，它的每一个点到原点的距离都是相等的，所以它的极坐标方程可以表示为：r = a （其中 a 为一个常数）这个常数 a 就是圆的半径，在极坐标系中表示到原点的距离。
所以经过原点的圆的极坐标方程可以简化为：r = a例如，当 a = 1 时，极坐标方程就变成了 r = 1，表示了一个半径为 1 的圆。
在极坐标方程中，我们可以通过改变常数 a 的值来控制圆的半径，从而改变圆的大小。
当 a 的值增大时，圆的半径也增大，反之亦然。
当 a 的值等于 0 时，极坐标方程就变成了 r = 0，表示了一个点，也就是原点。
除了极坐标方程，我们还可以使用直角坐标系中的方程来描述经过原点的圆。
直角坐标系中的圆方程为：x^2 + y^2 = a^2在直角坐标系中，经过原点的圆的方程是通过 x 轴和 y 轴上的点到原点的距离相等来描述的。
当 a 的值增大时，圆的半径也增大，反之亦然。
当 a 的值等于 0 时，直角坐标系中的圆方程就变成了 x^2 + y^2 = 0，表示了一个点，也就是原点。
总结起来，经过原点的圆的极坐标方程简化为 r = a，其中 a 为圆的半径，表示了每一个点到原点的距离，也可以使用直角坐标系中的方程 x^2 + y^2 = a^2 来描述。
通过改变常数 a 的值，我们可以控制圆的大小。
这就是经过原点的圆的极坐标方程的详细解释和表达方式。
圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5
练习： 1、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标
2 2 方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
圆的极坐标方程： M(, )
2a cos
O θ C(a,0) x
思路分析： （1）任取一点，标出与 （2）找出边角共存的三角形 （3）列出三角形的边角关系式 （4）对特殊点作检验
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
.O
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
2 2 2
y
极化直： x cos , y sin
M
ห้องสมุดไป่ตู้
(x，y)
0
y
x
N
x
例2：将点M的直角坐标（ 3， 1 ）化成极坐标。
解： （ 3） （ 1） 3 1 2，
圆的极坐标方程和参数方程
圆的极坐标方程和参数方程圆是一个几何图形，由一个固定点（圆心）和到该点的距离（半径）相等的所有点组成。
圆在数学中有不同的表达方式，包括极坐标方程和参数方程。
极坐标方程是一种用极坐标表示的圆的方程。
在极坐标系中，每个点由两个坐标确定：极径和极角。
对于一个固定的圆心，半径为r的圆，极坐标方程可以表示为(r,θ)。
其中r是到圆心的距离，θ是该点与参考轴的夹角。
对于圆来说，极坐标方程可以写为r=a，其中a是固定的半径。
这意味着对于所有的θ值，r的取值都是相等的。
这样的极坐标方程表示一个以圆心为极点、半径为a的圆。
参数方程是一种使用参数变量来表示的圆的方程。
参数方程中，圆上的每个点都由参数t确定，而不是由坐标确定。
参数方程可以写成x = a cos t，y = a sin t。
在这里，a是半径，t是参数变量。
参数方程可以理解为将圆的运动视为在直角坐标系中的点按照特定的速率进行移动。
通过改变参数t的值，可以沿着圆的周长控制点的位置。
极坐标方程和参数方程都是用于描述圆的方程，并且它们之间存在着等价的关系。
通过将极坐标方程中的r替换为a，θ替换为t，可以将极坐标方程转换为参数方程。
例如，对于极坐标方程r = a，可以将其转换为参数方程x = a cos t，y = a sin t。
这两种形式本质上是等价的，可以通过参数t将一个圆上的点的位置转换到另一个坐标系中。
总结起来，圆的极坐标方程表示为r = a，其中a是固定的半径；圆的参数方程表示为x = a cos t，y = a sin t，其中a是半径，t是参数变量。
这两种方程用于描述圆的形状和位置，它们之间可以通过转换相关的变量相互转换。
高考数学专题讲解：圆的极坐标方程与参数方程
高考数学专题讲解：圆的极坐标方程与参数方程第一部分：圆的极坐标方程第一部分：把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程。
总原理：①222y x +=ρ；②x =θρcos ；③y =θρsin 。
第一类圆的极坐标方程：a =ρ。
22a a =⇒=ρρ，⇒=+⇒+=222222a y x y x ρ圆心：)0,0(，半径：a r =。
第二类圆的极坐标方程：①θρsin a =；②θρcos a =。
①θρsin a =：θρρθρρρθρsin sin sin 2a a a =⇒⋅=⋅⇒=，222y x +=ρ，y =θρsin ayy x =+⇒22⇒=-+⇒=+⋅⋅-+⇒=-+⇒42(44220222222222a a y x a a y a y x ay y x 圆心：)2,0(a ，半径：2||a r =。
②θρcos a =：θρρθρρρθρcos cos cos 2a a a =⇒⋅=⋅⇒=，222y x +=ρ，x =θρcos axy x =+⇒22⇒=+-⇒=++⋅⋅-⇒=+-⇒(20222222222a y a x a y a x a x y ax x 圆心：)0,2(a ，半径：2||a r =。
第三类圆的极坐标方程：θθρcos sin b a +=。
θρθρρθρθρρρθθρcos sin cos sin cos sin 2b a b a b a +=⇒⋅+⋅=⋅⇒+=，222y x +=ρ，x =θρcos ，θρcos a =444224*********2222b a a y a y b x b x ay y bx x bx ay y x +=+⋅⋅-++⋅⋅-⇒=-+-⇒+=+⇒⇒+=-+-⇒4)2()2(2222b a a y b x 圆心：)2,2(a b ，半径：222b a r +=。
第四类圆的极坐标方程：①)sin(αθρ+=a ；②)cos(αθρ+=a 。
用极坐标表示圆
用极坐标表示圆
极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它使用极径和极角来表示点的位置。
而圆，作为几何图形中最基本的形状之一，也可以用极坐标来表示。
在极坐标系中，圆心为原点，极径表示点到圆心的距离，而极角表示点与正极轴的夹角。
在极坐标系中，圆的方程可以表示为r = a，其中a为圆的半径。
这个方程可以解释为，圆上的每个点到圆心的距离都等于圆的半径。
通过对极径和极角的变化，我们可以描述圆上的任意一个点。
极坐标系中的极径可以是正数、零或负数。
当极径为正数时，表示点在圆上；当极径为零时，表示点在圆心；当极径为负数时，表示点在圆的内部。
而极角的取值范围通常为[0, 2π)，表示点与正极轴的夹角。
使用极坐标来表示圆，可以使我们更加直观地理解圆的性质和特点。
例如，在极坐标系中，圆的方程r = a可以表示为一个简单的数学形式，而不需要使用复杂的代数表达式。
此外，极坐标系还可以方便地描述圆的对称性和变换。
除了圆，极坐标还可以用来表示其他几何图形，如椭圆、双曲线等。
在极坐标系中，这些图形的方程可以表示为不同的形式，从而展示它们的特点和性质。
通过学习极坐标系，我们可以更深入地理解几何图形的本质和变化。
极坐标可以用来表示圆和其他几何图形，通过极径和极角的变化来描述点的位置。
使用极坐标系，我们可以更加直观地理解圆的性质和特点，同时也可以方便地描述其他几何图形。
通过学习极坐标系，我们能够加深对几何学的理解，并应用于实际问题的解决中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
θ x
练习2
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
例3： 求圆心坐标和半径。 解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
1.3简单曲线的极坐标方程
复习回顾
（1）建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位 和它的正方向. （2）极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个. (3)一点的极坐标有否统一的表达式？ 有.（ρ，2kπ+θ）
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5
4：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ＝２cos( (2) (3)
解：如图所示，
P(ρ,θ)
设P（ρ，θ）为圆上除点O、A外 的任意一点，由于OP⊥AP |OA|=2a，∠POA＝θ则 |OP|＝|OA|cos∠POA
O θ
ρ A(2r,0) C(r,0) x
即
可以验证，点O 0, , A 2a, 0 的坐标也满足上式。 2
所以 所求圆的极坐标方程为 ρ＝2acosθ
y x y , tan ( x 0 ) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
探 究
求圆心在C（a，0）(a>0)，半径为 a 的圆的极 坐标方程。
ρ＝2acosθ
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐 标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
0 -2 0 cos( - ０)=
2 r
圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等
例2：求圆心在C（r,π/2)、半径为r的圆的 极坐标方程？
解： 如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于 极轴上方的射线上，而圆周经过极点。
设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为 （２r, π /2)。
4
)
＝cos( - )
3
＝3 sin (4) ＝６
作业：
14
15
设圆上除点O、A外任意一点为P（ρ，θ），连结PA ，则 ｜OP｜＝ρ，∠POx＝θ
A(2r, ) 2 P(ρ,θ)
在Rt△POA中，cos∠POA=|OP|/|OA|， C(r, ) 2 所以 cos( ) / 2r , 即 sin / 2r, 2 可以验证，点O 0, 0 , A 2r , 的坐标也满足上式。 O 2 所以 ρ＝2rsinθ为所求圆的极坐标方程。
M ,
r
O
x
题组练习1
求下列圆的极坐标方程 (１)圆心在极点，半径为r；
＝r
(２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a； (３)圆心在(a,/2)，半径为a； (４)圆心在Ｃ(a,０)，半径为a
＝2acos ＝2asin
＝２a cos( 0 )
2+
2
( 5 ) 中心在Ｃ(0,０)，半径为r