圆的极坐标方程

设圆上除点O、A外任意一点为P（ρ，θ），连结PA ，则 ｜OP｜＝ρ，∠POx＝θ
A(2r, ) 2 P(ρ,θ)
在Rt△POA中，cos∠POA=|OP|/|OA|， C(r, ) 2 所以 cos( ) / 2r , 即 sin / 2r, 2 可以验证，点O 0, 0 , A 2r , 的坐标也满足上式。 O 2 所以 ρ＝2rsinθ为所求圆的极坐标方程。
y x y , tan ( x 0 ) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
探 究
求圆心在C（a，0）(a>0)，半径为 a 的圆的极 坐标方程。
θ x
练习2
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
例3： 求圆心坐标和半径。 解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
M ,
r
Байду номын сангаас
O
x
题组练习1
求下列圆的极坐标方程 (１)圆心在极点，半径为r；
＝r
(２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a； (３)圆心在(a,/2)，半径为a； (４)圆心在Ｃ(a,０)，半径为a
＝2acos ＝2asin
＝２a cos( 0 )
2+
2
( 5 ) 中心在Ｃ(0,０)，半径为r
ρ＝2acosθ
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐 标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5
4：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ＝２cos( (2) (3)

4
)
＝cos( - )
3

＝3 sin (4) ＝６
作业：
14
15
1.3简单曲线的极坐标方程
复习回顾
（1）建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位 和它的正方向. （2）极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个. (3)一点的极坐标有否统一的表达式？ 有.（ρ，2kπ+θ）
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
解：如图所示，
P(ρ,θ)
设P（ρ，θ）为圆上除点O、A外 的任意一点，由于OP⊥AP |OA|=2a，∠POA＝θ则 |OP|＝|OA|cos∠POA
O θ
ρ A(2r,0) C(r,0) x
即
可以验证，点O 0, , A 2a, 0 的坐标也满足上式。 2
所以 所求圆的极坐标方程为 ρ＝2acosθ
0 -2 0 cos( - ０)=
2 r
圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等
例2：求圆心在C（r,π/2)、半径为r的圆的 极坐标方程？
解： 如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于 极轴上方的射线上，而圆周经过极点。
设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为 （２r, π /2)。