【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习阶段易错考点排查练(五)(含答案解析)
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：1.1集 合(含答案解析)
课时提升作业一集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列结论正确的是()A.0∈N*B.0∈∅C.{0}⊆N*D.∅⊆N*【解析】选D.集合N*表示正整数集,∅中不含任何元素,所以A,B,C都不正确,∅是任何集合的子集,故D正确.2.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3) 【解析】选A.因为A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},所以A∪B=.3.(2016·德州模拟)若集合M={x|-2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=()A.(-2,+∞)B.(-2,3)C.[1,3)D.R 【解析】选C.因为y=x2+1≥1,所以N={y|y≥1},所以M∩N={x|1≤x<3}.4.已知A={x|x2<4},B为自然数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{1} 【解析】选C.因为A={x|-2<x<2},B是自然数集,所以A∩B={0,1}.【误区警示】解答本题易误选D,出错的原因是对自然数集的定义理解不到位.【加固训练】已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},B为整数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1} 【解析】选B.因为A={x|-1≤x≤2},B为整数集,所以A∩B={-1,0,1,2}.5.(2016·滨州模拟)已知集合A={log2a,3},B={a,b},若A∩B={0},则A∪B=()A.{0,3}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3} 【解析】选B.因为A∩B={0},所以0∈A,且0∈B,即log2a=0,b=0,a=1,b=0,所以A∪B={0,1,3}.6.(2016·临沂模拟)已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},若A⊆B,则实数x的值为()A.1或-1B.1C.-1D.2 【解析】选A.验证法,当x=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=-1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=2时,A={0,2},B={4,-4,1},不满足A⊆B.故选A.【一题多解】解答本题还可采用如下方法:选A.因为A⊆B,所以0∈B,因为x≠0,所以|x|-1=0,即x=±1,经验证,易知x=±1满足题意.7.(2016·泰安模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且(A∪B)={4},B={1,2},则A∩B=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4},(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩B={3}.【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:如图,由图及已知易得A∩B={3}.【加固训练】已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(A)∩B=()A.{-2,-1}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{0,1}【解析】选A.由x+1>0⇒x>-1,所以A={x|x≤-1},故得(A)∩B={-2,-1}.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.【解析】因为A={x|-1≤x≤2016},B={x|x<m+1},A⊆B,所以m+1>2016,即m>2015.答案:(2015,+∞)9.(2014·重庆高考)设全集U=,A=,B=,则∩B=.【解析】由题意知A=,B=,故∩B=.答案:10.若集合A={x∈R|(a2-1)x2+(2a+1)x+1=0}中只有一个元素,则实数a的值构成的集合为.【解题提示】按二次项系数是否为0分类讨论.【解析】当a2-1=0,即a=1或a=-1时,方程分别为3x+1=0或-x+1=0,方程都有一个根,满足题意. 当a2-1≠0时,Δ=(2a+1)2-4(a2-1)=0,即4a+5=0,a=-.此时方程有两个等根,满足题意.故a的值构成的集合为.答案:(20分钟35分)1.(5分)(2015·浙江高考)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q= ()A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]【解析】选A.由题意得,P={x|x≥3或x≤-1},所以P∩Q=[3,4).【加固训练】某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是.【解题提示】设三个模块都选择的学生人数是x,用Venn图表示三个两两相交的集合,把每一部分的学生数用x表示出来,再根据总数为50列方程求解.【解析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:62.(5分)(2016·菏泽模拟)设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如{2,4}表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则M表示的6位字符串为.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是. 【解题提示】(1)先求出M表示的6位字符串,从而求出M表示的6位字符串.(2)由A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,求出集合B,从而得到答案.【解析】(1)M表示的6位字符串是011001;则M表示的6位字符串为100110.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,所以集合B可能是{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},共4个.答案:(1)100110(2)43.(12分)已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时,求A∪B.(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,B={x|-2<x<2},A={x|1<x<3},则A∪B={x|-2<x<3}.(2)由A⊆B知解得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].(3)由A∩B=∅,得①当2m≥1-m,即m≥时,B=∅,符合题意;②当2m<1-m,即m<时,需或得0≤m<或∅,即0≤m<.综上知m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞).【加固训练】已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0}, C={x|x2-4ax+3a2<0},若(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或x>2},A∪B={x|x<-4,或x>-2}, (A∪B)={x|-4≤x≤-2},而C={x|(x-a)(x-3a)<0}.①当a>0时,C={x|a<x<3a},显然不成立.②当a=0时,C=∅,不成立.③当a<0时,C={x|3a<x<a},要使(A∪B)⊆C,只需即-2<a<-.4.(13分)已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,所以所以a=1.(2)当B A时,有B≠∅和B=∅两种情况.①当B≠∅时,B={0}或B={-4},所以方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2- 4(a2-1)=0,所以a=-1,所以B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.。
世纪金榜高三文科数学总复习热点专题突破系列五圆锥曲线的综合问题PPT学习教案
x2
18t 27 t2
,
y2
6 t
x2
2
54 2t2 27 t2
,
18t 54 27m (2 m)t2
QN ( 27 t2 ,
27 t2
),
QM∥QN,
3
6t t
2
54
27m (2 27 t2
m)t 2
18t 27 t2
(2
m)t 2 3
6 t2
3m
0,
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y 2x2 t
y 2 x 2, t
y2 x2 1, 43
6t
2
2t2 6
x1 3 t2 , y1 t x1 2 3 t2 ,
QM
(
3
6t t2
,
(2
m)t 2 3
6 t2
3m
),
y 6x2
y2 x2 1，
t
43
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y 6 x 2, t
解得
所以
因为
所以 所以(1-m)(9+t2)=0,所 以m=1, 所以当点 P在直 线y=a2上运动 时，直 线MN 恒经过 定点Q(0 ,1).
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
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【解题提 示】(1) 借助椭 圆中a2=b2+c2的关系及两 个已知 条件即 可求解.( 2)可以 写出BP 的直线 方程, 分别联 立椭圆 方程及A D的方 程表示 出点P, M的坐 标,再利 用DP 与x轴表 示点N 的坐标, 最终把m表示 成k的 形式,就 可求出 定值;另 外也可 设点P 的坐标, 把k与m都用点 P的坐 标来表 示.
【规律方法】圆锥曲线中定点问题的 两种解 法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线 中系数 为参数 表示变 化量,再研究 变化的 量与参 数何时 没有关 系,找到 定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特 殊情况 探索出 定点,再证明 该定点 与变量 无关.
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习阶段易错考点排查练(四)(含答案解析)
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阶段易错考点排查练(四)立体几何考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 ( )A.6B.9C.12D.18【解析】选B.由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC 为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB ⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.2.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的表面积是 ( )A.4πB.4(π+1)C.5πD.6π【解析】选B.这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体,其表面积是圆柱的上、下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和,故这个几何体的表面积是2××π×12+×2π×1×2+2×2+4π×=4(π+1).3.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.64+32πB.64+64πC.256+64πD.256+128π【解析】选C.依题意,该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体,其中正四棱柱的底面边长是8,侧棱长是4,圆柱的底面半径是4,高是4,因此所求几何体的体积等于82×4+π×42×4=256+64π.4.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为V1,直径为4的球的体积为V2,则V1∶V2=.【解析】由三视图知,该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥,因此V1=8π-=,V2=×23=,V1∶V2=1∶2.答案:1∶2考点二线、面位置关系1.下列说法中,正确的是( )①一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点;③过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行;④如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.A.①②③④B.①②③C.②④D.①②④【解析】选D.由线面平行的性质定理知①④正确;由直线与平面平行的定义知②正确;③错误,因为经过一点可作一直线与已知直线平行,而经过这条直线可作无数个平面.2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若m∥l,且m∥α,则l∥α;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.易知①正确;②错误,l与α的具体关系不能确定;③错误,以墙角为例即可说明;④正确,可以以三棱柱为例说明,故选B.3.若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( )A.若α∥β,m⊥α,则m⊥βB.若m∥n,m⊥α,则n⊥αC.若m∥α,m⊥β,则α⊥βD.若α∩β=m,且n与α,β所成的角相等,则m⊥n【解析】选D.容易判断选项A,B,C都正确,对于选项D,当直线m与n平行时,直线n与两平面α,β所成的角也相等,均为0°,故D不正确.4.设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若a∥α且b∥α,则a∥b;②若a⊥α且a⊥β,则α∥β;③若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;④若α⊥β,则一定存在直线l,使得l⊥α,l∥β.上面命题中,所有真命题的序号是.【解析】①中a与b还可能相交或异面,故不正确.②垂直于同一直线的两平面平行,正确.③中存在γ,使得γ与α,β都垂直.④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以.答案:②③④5.设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊄α,a⊄β,给出下列四个结论:①若b⊂β,a∥b,则a∥β;②若a⊥β,α⊥β,则a∥α;③若a⊥b,b⊥α,则a∥α;④若α⊥β,a⊥β,b∥a,则b∥α.其中正确结论的序号是.【解析】由线面、面面平行或垂直的判定与性质定理知①②③正确;对于④,由a⊥β,b∥a可得b⊥β,又因为α⊥β,所以b⊂α或b∥α,故④错误.答案:①②③6.(2016·宣城模拟)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F分别在线段BC和AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求证:NC∥平面MFD.(2)若EC=3,求证:ND⊥FC.(3)求四面体NFEC体积的最大值.【解析】(1)因为四边形MNEF,EFDC都是矩形,所以MN∥EF∥CD,MN=EF=CD.所以四边形MNCD是平行四边形,所以NC∥MD,因为NC⊄平面MFD,MD⊂平面MFD,所以NC∥平面MFD.(2)连接ED,设ED∩FC=O,因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,所以NE⊥平面ECDF,因为FC⊂平面ECDF,所以FC⊥NE,又EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,所以FC⊥ED.所以FC⊥平面NED,因为ND⊂平面NED,所以ND⊥FC.(3)设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4.由(2)得NE⊥平面FEC,所以四面体NFEC的体积为V NFEC=S△EFC·NE=x(4-x).所以V NFEC≤=2.当且仅当x=4-x,即x=2时,四面体NFEC的体积最大.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题
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专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题1.已知直线l :y=x+1,圆O:x 2+y 2=32,直线l 被圆截得的弦长与椭圆C:2222x y a b+=1(a>b>0)的短轴长相等,椭圆的离心率. (1)求椭圆C 的方程.(2)过点1M(0,)3-的直线l 0交椭圆于A,B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l 0如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出a,b 的值,从而求得椭圆C 的方程.(2)先根据直线l 0的斜率不存在及斜率为0的情况确定T 的坐标,然后再证明以AB 为直径的圆恒过定点T 即可.【解析】(1)由题意知,圆O 的半径r=2圆O(0,0)到直线y=x+1的距离2=,则直线l 被圆截得的弦长为2==, 依题意2=2b,b=1.又椭圆的离心率c b 1e ,,a a a a======得所以椭圆C 的方程为2x 2+y 2=1.(2)假设存在定点T(x 0,y 0), 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≤x 2).当直线l 0的斜率不存在时,易知A(0,1),B(0,-1), 则圆的方程为x 2+y 2=1.当直线l 0的斜率为0时,直线l 0的方程为y=-13,代入椭圆方程可得4141A(,),B(,),3333---即圆的方程为22116x (y ).39++=易知T(0,1).下面证明,当直线l 0的斜率存在且不为0时,T(0,1)也符合. 设直线l 0的方程为y=kx-13,联立22x y 1,21y kx ,3⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得(2k 2+1)x 2-416kx 39-=0. 则()()1212224k 16x x ,x x 312k 912k -+==++. 此时,=(x 1,y 1-1),=(x 2,y 2-1),即当直线l 0的斜率存在且不为0时,以AB 为直径的圆恒过点T(0,1). 综上所述,存在定点T,其坐标为(0,1).【加固训练】已知椭圆C: 2222x y a b+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,A为上顶点,△AF 1F 2为正三角形,以AF 2为直径的圆与直线y=3x+2相切. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆交于M,N 两点,在x 轴上是否存在点P(m,0),使得=+时四边形PMQN 为菱形,且点Q 在椭圆C上?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由已知△AF 1F 2为正三角形,c 1sin30,a 2c,b 3c,a 2=︒===得即 由A(0,b),F 2(c,0),得AF 2的中点c bB(,)22, 点B 到直线3的距离为解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为22x y 43+=1.(2)由(1)可知F 2(1,0), 设直线l 的方程为y=k(x-1).联立方程,得()22y k x 1,x y 1,43⎧=-⎪⎨+=⎪⎩整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由根与系数的关系得x 1+x 2=228k 34k +,则y 1+y 2=k(x 1+x 2-2)=26k34k -+, 又=(x 1-m,y 1),=(x 2-m,y 2),所以=+=(x 1+x 2-2m,y 1+y 2)得5k 4+16k 2+12=0,因为5k 4+16k 2+12>0恒成立, 故满足条件的点P(m,0)不存在.2.过x 轴上动点A(a,0)引抛物线y=x 2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k 1和k 2,切点分别为P,Q.(1)求证:k 1·k 2为定值,并且直线PQ 过定点.(2)记S 为面积,当最小时,求·的值.【解析】(1)方法一:设过A 点的直线为:y=k(x-a),与抛物线联立得()2y k x a ,y x 1,⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得x 2-kx+ka+1=0, Δ=k 2-4ak-4=0, 所以k 1+k 2=4a, k 1·k 2=-4为定值.抛物线方程y=x 2+1,求导得y ′=2x, 设切点P,Q 的坐标分别为(x P ,y P ),(x Q ,y Q ), k 1=2x P ,k 2=2x Q ,所以x P +x Q =2a,x P ·x Q =-1. 直线PQ 的方程:y-y P =P Q P Qy y x x --(x-x P ),由y P =+1,y Q =+1,得到y=(x P +x Q )x-x P x Q +1,整理可得y=2xa+2,所以直线PQ 过定点(0,2).方法二:设切点P,Q 的坐标分别为(x P ,y P ),(x Q ,y Q ),求导得y ′=2x, 所以l AP :y=2x P (x-a),(x P ,y P )在直线上,即y P =2x P (x P -a), 由P(x P ,y P )在抛物线方程上得y P =+1,整理可得y P =2x P a+2, 同理y Q =2x Q a+2, 所以l QP :y=2xa+2,所以直线PQ过定点(0,2).联立PQ的直线方程l QP:y=2xa+2和抛物线方程y=x2+1,可得:x2-2xa-1=0.所以x P x Q=-1,x P+x Q=2a,所以k1·k2=2x P×2x Q=-4为定值.(2)设A到PQ的距离为d..当且仅当t=3时取等号,即a=±22因为·=(x P-a,y P)·(x Q-a,y Q)=x P x Q-a(x P+x Q)+a2+y P y Q,y P y Q=(2x P a+2)(2x Q a+2)=4a2x P x Q+4+4a(x P+x Q)=4a2+4,.所以·=3a2+3=923.(2015·郑州模拟)已知两点A(-2,0)和B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-.(1)求点M的轨迹方程.(2)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE,PF与圆(x-1)2+y2=r2（0<r<）相切于点E,F,又PE,PF与曲线C 的另一交点分别为Q,R.求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).【解析】(1)设点M(x,y),因为k AM k BM=-,所以·=-,整理得点M所在的曲线的方程为+=1(x≠±2).(2)由题意可得点P（1,）,因为圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数.设直线PE的方程为y=k(x-1)+,与椭圆方程联立消去y,得:(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,由于x=1是方程的一个解,所以方程的另一解为x Q=,同理x R=.故直线RQ的斜率为k RQ==把直线RQ 的方程y=x+b代入椭圆方程,消去y 整理得 x 2+bx+b 2-3=0,原点O 到直线RQ 的距离为d=,所以S △ORQ =··=≤·=. 即△OQR 的面积的最大值为. 4.(2015·西安模拟)已知椭圆C: 2222x y a b+=1(a>b>0)经过点3(1,2,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程.(2)直线y=k(x-1)(k ≠0)与椭圆C 交于A,B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点,直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P,Q,试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.【解析】(1)由题意得22c 3a 2131,a 4b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得a=2,b=1.所以椭圆C 的方程是2x 4+y 2=1.(2)以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点,由()22y k x 1,x y 14⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得(1+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有221212228k 4k 4x x ,x x .14k 14k-+==++ 又因为点M 是椭圆C 的右顶点,所以点M(2,0), 由题意可知直线AM 的方程为y=11y x 2-(x-2), 故点112y P(0,)x 2--. 直线BM 的方程为y=22y x 2-(x-2), 故点Q 222y (0,).x 2-- 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N(x 0,0),则等价于·=0恒成立,又因为(x 1-2)(x 2-2)=x 1x 2-2(x 1+x 2)+4y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]即x轴上的定点为(3,0)或(-3,0).故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(±3,0).5.(2014·平顶山模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A,B两点,与抛物线y2=4x 交于C,D两点,且=.(1)求椭圆E的方程.(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于G,H两点,设P为椭圆E上一点,且满足+=(t≠0,O为坐标原点),当|-|<时,求实数t的取值范围.【解析】(1)因为直线l过右焦点F2且与x轴垂直,所以|AB|=,|CD|=4.又椭圆E的离心率为,且=,故椭圆E的方程为:+=1.(2)由题意知直线GH的斜率不为零.设直线GH的方程为:x=my+2.联立+=1与x=my+2,消去x得:(m2+2)y2+4my-28=0.设P(x,y),G(x1,y1),H(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,x1+x2=m(y1+y2)+4=.因为+=,所以P(,-).因为P点在椭圆上,所以将P点坐标代入椭圆方程得t2=.因为|-|<,所以|GH|2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]14m 4+11m 2-25<0,所以0≤m 2<1, 所以t 2=∈(,],所以t ∈[-,-)∪(,],所以实数t 的取值范围为[-,-)∪(,].6.(2015·昆明模拟)已知F 1,F 2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆E 上的点,以F 1P 为直径的圆经过F 2,1PF u u u r ·2PF u u u r=a 2.直线l 经过F 1,与椭圆E 交于A,B 两点,F 2与A,B 两点构成△ABF 2. (1)求椭圆E 的离心率. (2)设△F 1PF 2的周长为2+,求△ABF 2的面积S 的最大值.【解析】(1)因为F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 是椭圆E 上的点,以F 1P 为直径的圆经过F 2,所以PF 2⊥x 轴. 所以|PF 2|=. 又1PF u u u r·2PF u u u r=a 2, 所以|PF 2|2=a 2,即=a,所以a 2=4b 2,即a 2=4(a 2-c 2),化简得3a 2=4c 2, 所以=,所以椭圆E 的离心率等于. (2)因为△F 1PF 2的周长为2+,所以2a+2c=2+.所以b2=,所以椭圆E的方程为x2+4y2=1.当直线l的斜率不存在时,△ABF2的面积S=××2c=. 当直线l的斜率存在时,设为k,由F2与A,B两点构成△ABF2得到k≠0.由已知得直线l的方程为y=k(x+),即2kx-2y+k=0,所以F2(,0)到直线l的距离d=.得(1+4k2)x2+4k2x+3k2-1=0,所以|AB|=·=.当且仅当k2=时等号成立.又>,所以△ABF2的面积S的最大值等于.【加固训练】如图,已知椭圆C: 2222x ya b+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其上顶点为A.已知△F1AF2是边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的方程.(2)过点Q(-4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记=λ·.若在线段MN上取一点R,使得=-λ·,当直线l运动时,点R在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.【解析】(1)因为△F1AF2是边长为2的正三角形,所以c=1,a=2,b=3,所以,椭圆C的方程为22x y43+=1.(2)由题意知,直线MN的斜率必存在,设其方程为y=k(x+4).并设M(x1,y1),N(x2,y2),由()22x y1,43y k x4⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y得(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0,()22212122232k64k1214414k0,x x,x x.34k34k--∆=->+==++g则由=λ·得-4-x1=λ(x2+4),故λ=12x 4x 4+-+. 设点R 的坐标为(x 0,y 0), 则由=-λ·得x 0-x 1=-λ(x 2-x 0),112122012x 4xx x x x 4x x 411x 4++-λ+==+-λ++g 解得故点R 在定直线x=-1上.关闭Word 文档返回原板块。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：3.5.2两角和、差及倍角公式的应用(含答案解析)
课时提升作业二十二两角和、差及倍角公式的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·济宁模拟)下列各式中,值为的是()A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos30°=.2.(2016·菏泽模拟)已知sinα=,α∈,则tan2α=()A.-B.C.-D.2【解析】选A.因为sinα=,α∈,所以cosα==,tanα==2,所以tan2α===-.3.(2016·上饶模拟)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=,则cos2α的值为()A. B.-C.±D.-【解析】选B.将sinα+cosα=两边平方,得1+sin2α=,所以sin2α=-,所以sinα>0,cosα<0,可知<α<π.又因为sinα>|cosα|,所以<α<,即π<2α<,所以cos2α=-.4.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()A. B.C.-D.-【解析】选C.两边平方,再同时除以cos2α,得3tan2α-8tanα-3=0,tanα=3或tanα=-,代入tan2α=,得到tan2α=-.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C.(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记sinα=,cosα=,这时sinα+2cosα=符合要求,此时tanα=3,代入二倍角公式得到答案C.【加固训练】若tanθ+=4,则sin2θ=()A. B.C. D.【解析】选D.方法一:因为tanθ+==4,所以4tanθ=1+tan2θ,所以sin2θ=2sinθcosθ====.方法二:因为tanθ+=+==,所以4=,故sin2θ=.5.(2016·淄博模拟)将函数f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为()A.,-B.,-C.,-D.,-【解析】选C. f(x)=×sin2x+cos2x-sin=sin2x+cos2x-=sin2x+×-=sin,所以g(x)=sin.因为x∈,所以4x+∈,所以当4x+=时,g(x)取得最大值;当4x+=时,g(x)取得最小值-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若cosxcosy+sinxsiny=,则cos(2x-2y)=.【解析】cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)=⇒cos2(x-y)=2cos2(x-y)-1=-.答案:-7.已知=,则sin2=.【解析】因为===sin2x,所以sin2x=,则sin2===.答案:8.函数y=sin cos的单调递减区间是.【解析】y=sin cos=cosx=cos2x-sin2x+=cos+.求此函数的单调递减区间应有2kπ≤2x+≤π+2kπ(k∈Z),由此可得x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)=sin2x+cos2x,x∈R.(1)求f(x)的最大值和最小正周期.(2)若f=,α是第二象限的角,求sin2α.【解析】(1)由题意得,f(x)=2=2sin,所以f(x)的最大值为2,且函数的最小正周期为T==π.(2)由(1)知,f(x)=2sin,因为f=,所以2sinα=,即sinα=,又因为α是第二象限的角,所以cosα=-=-,所以sin2α=2sinαcosα=2××=-.10.(2016·烟台模拟)已知函数f(x)=(sin2x-cos2x)+2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)设x∈,求f(x)的值域和单调递增区间.【解析】(1)因为f(x)=-(cos2x-sin2x)+2sinxcosx=sin2x-cos2x=2sin,所以ω=2,所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为x∈,所以-π≤2x-≤,所以-1≤sin≤.所以f(x)的值域为[-2,].当y=2sin递增时,-≤2x-≤,即-≤x≤.故f(x)的递增区间为.(20分钟40分)1.(5分)若tan=-3,则=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.因为tan=-3,所以=-3,所以tanθ=2,所以==tanθ=2.2.(5分)(2016·滨州模拟)设函数f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数【解析】选B.f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ)=2=2cos,因为ω=2,所以T==π,又函数图象关于直线x=0对称,所以φ-=kπ(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2cos2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得:kπ≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数的递减区间为(k∈Z),又(k∈Z),所以函数在上为减函数,则y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数,故选B.3.(5分)(2016·武汉模拟)在三角形ABC中,A,B,C是三角形ABC的内角,设函数f(A)=2sin sin+sin2-cos2,则f(A)的最大值为.【解析】函数f(A)=2sin sin+sin2-cos2=2sin sin+sin2-cos2=2sin cos-=sinA-cosA=sin,由于A是三角形的内角,所以0<A<π,-<A-<,故当A-=时,即A=时,函数f(A)的最大值为.答案:【加固训练】(2016·长春模拟)函数f(x)=2sin cos+的最大值为.【解析】因为f(x)=2sin+=sin cos-sin2+=sinx-+=sin,所以f(x)max=1.答案:14.(12分)(2016·德州模拟)已知函数f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间.(2)若函数g(x)=f(x)-f,求函数g(x)在区间上的最小值和最大值.【解析】f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1=sin2ωx-cos2ωx=sin.由于函数f(x)的最小正周期为T==π,故ω=1,即函数f(x)=sin.(1)令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即为函数f(x)图象的对称轴方程.令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z).(2)g(x)=f(x)-f=sin-sin=2sin,由于x∈,则0≤2x-≤,故当2x-=即x=时函数g(x)取得最大值2,当2x-=,即x=时函数g(x)取得最小值-2.5.(13分)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求点O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OE⊥OF,如图所示.(1)设∠BOE=α,试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域.(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知∠OFA=α,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域.(2)利用换元法求最值,要注意α的范围.【解析】(1)在Rt△BOE中,OE=,在Rt△AOF中,OF=.在Rt△OEF中,EF==,当点F在点D时,角α最小,α=,当点E在点C时,角α最大,α=,所以l=,定义域为.(2)设t=sinα+cosα,α∈,所以≤t≤,l==∈[50(+1),50(+1)],所以当α=时,l min=50(+1),总费用最低,为20000(+1)元.。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(一)(含答案解析)
单元评估检测(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列结论:①-2∈Z;②π∉Q;③N⊆N*;④Q R.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为Z,Q,N,N*,R分别表示整数集、有理数集、自然数集(包括0),正整数集,实数集,又因为-2是整数,π是无理数,所以①正确;②正确;③不正确;④正确.2.(2016·济宁模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=()A.{0}B.{-1}C.{1}D.{0,-1,1}【解析】选C.因为B={x|0<x<2},所以A∩B={1}.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.验证法:当x=0时,x(x-2)=0<0不成立;当x=-1时,x(x-2)=3<0不成立;当x=1时,x(x-2)=-1<0成立.结合答案选项可知选C.3.命题“∃x0∈∁R Q,∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁R Q,∈QB.∃x0∈∁R Q,∉QC.∀x∉∁R Q,x2∈QD.∀x∈∁R Q,x2∉Q 【解析】选D.“∃x0∈∁R Q”的否定为“∀x∈∁R Q”,“∈Q”的否定为“x2∉Q”.【加固训练】已知命题p:∃x 0>1,-1>0,那么p是()A.∀x>1,x2-1>0B.∀x>1,x2-1≤0C.∃x0>1,-1≤0D.∃x0≤1,-1≤0【解析】选B.“∃x0>1,-1>0”的否定为“∀x>1,x2-1≤0”.4.(2016·青岛模拟)设A=,B={x|x≥a}.若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a<B.a≤C.a≤1D.a<1【解析】选C.A={1,2,3,4},由A⊆B得a≤1.【误区警示】本题易误选A或B,出现错误的原因是忽视了集合A中“x∈Z”这一条件及对端点值的验证.5.(2016·临沂模拟)使x2>4成立的充分不必要条件是()A.2<x<4B.-2<x<2C.x<0D.x>2或x<-2 【解题提示】要分清谁是谁成立的充分不必要条件.【解析】选A.因为x2>4的解集为{x|x>2或x<-2},故A选项正确.6.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)【解题提示】先解不等式,化简集合M,再数形结合求解.【解析】选D.<0⇔(x+3)(x-1)<0⇔-3<x<1,即M={x|-3<x<1},由图易知{x|x≥1}=∁R(M∪N).7.(2016·聊城模拟)p:x>1,y>1,q:x+y>2,xy>1,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的结论可得p⇒q,但x=100,y=0.1,满足x+y>2,xy>1,但不满足p,故p是q的充分而不必要条件.8.设等差数列{a n}的公差为d,则a1d>0是数列{}为递增数列的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.数列{}为递增数列⇔>⇔>1⇔>1⇔>1⇔a1d>0.【加固训练】“sinα≠sinβ”是“α≠β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.α=β⇒sinα=sinβ,但sinα=sinβα=β.因此α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件,从而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必要条件.9.已知命题p:∃x 0∈R,x0<+1,命题q:∀x∈R,sin4x-cos4x≤1,则p∨q,p∧q,p∨q,p∧(q)中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为x2-x+1>0对∀x∈R恒成立,即x<x2+1恒成立,所以p真;因为sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x≤1恒成立,所以q真.故p假,q假,所以p∨q真,p∧q真,p∨q真,p∧(q)假.10.(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·合肥模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B等于__________.【解题提示】先化简集合A,B,再按新定义计算.【解析】因为A=,B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A=,A⊕B=(A-B)∪(B-A)=.答案:∪[0,+∞)12.命题:已知x∈R,若x<1,则x2<1的逆否命题是__________________________.【解析】已知x∈R是大前提,所以原命题的逆否命题是:已知x∈R,若x2≥1,则x≥1.答案:已知x∈R,若x2≥1,则x≥113.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素的个数是________.【解析】由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使log x y∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4)共4个.答案:414.(2016·枣庄模拟)下列3个命题:①“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.【解析】当φ=时,f(x)=tan==(x≠kπ,k∈Z),f(-x)===-f(x),即f(x)为奇函数,所以①为假命题;命题“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,因为x2+x-6<0⇔-3<x<2,所以②为真命题;在△ABC 中,当A=160°时,sinA=sin160°=sin20°<sin30°=.所以③为假命题.答案:②15.(2016·北京模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是____________.【解题提示】先化简集合A,再结合二次函数的图象求解.【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<.答案:【加固训练】(2015·大连模拟)若命题“∀x∈R,ax2-a2x-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,-2≤0成立,当a≠0时,由题意,得解得-2≤a<0,综上所述,a∈[-2,0].答案:[-2,0]三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|x2-1<0},B={x|x+a>0}.(1)若a=-,求A∩B.(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-1<x<1}.(1)当a=-时,B==,所以A∩B=.(2)若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|x>-a},所以-a≤-1,即a≥1.17.(12分)设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求a,b,c的值.【解析】因为A∩B={-3},所以-3∈A,且-3∈B,所以(-3)2-3a-12=0,解得a=-1,A={x|x2-x-12=0}={-3,4}.因为A∪B={-3,4},且A≠B,所以B={-3},即方程x2+bx+c=0有两个等根为-3,所以即b=6,c=9.综上a,b,c的值分别为-1,6,9.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:函数y=-(5-2a)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R得x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,a>1,由函数y=-(5-2a)x是减函数,得5-2a>1,所以a<2.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q必为一真一假,当p真q假时,所以a≥2.当p假q真时,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是a≥2或a≤1.【加固训练】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p∨q为真命题,p∧q为假命题,等价于p真q假或者p假q真.若p真q假,则实数m满足解得m≥3;若p假q真,则实数m满足解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).19.(12分)(2016·青岛模拟)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.(1)求p中对应x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,即p中对应x的取值范围为1≤x≤4.(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0.当a=2时,不等式的解为x=2,对应的解集为B={2};当a>2时,不等式的解为2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a};当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}.若p是q的必要不充分条件,则B A,当a=2时,满足条件;当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},要使B A,则满足2<a≤4;当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使B A,则满足1≤a<2.综上,1≤a≤4.20.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围.ðA)∩B.(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(R【解题提示】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.(2)先由题意确定a的值,再求解.【解析】A={y|y<a或y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.(1)当A∩B=∅时,解得≤a≤2或a≤-.即a∈(-∞,-]∪[,2].(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,依题意Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2.所以a的最小值为-2.当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.所以∁R A={y|-2≤y≤5},故(∁R A)∩B={y|2≤y≤4}.21.(14分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.【解题提示】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件,必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且<0,方程有一正一负两个根.所以充分性得证.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.当a=0时,符合条件.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1.当a<1时,若方程有且只有一负根,则所以a<0.所以必要性得证.综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(五)解析几何(含答案解析)
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阶段滚动月考卷(五)解析几何(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)设i为虚数单位,若=b-i(a,b∈R),则a+b= ( )A.1B.2C.3D.42.(滚动交汇考查)(2016·莱芜模拟)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·合肥模拟)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是( )A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]4.(滚动单独考查)(2016·邢台模拟)若a>b>c,则使+≥恒成立的最大的正整数k为( )A.2B.3C.4D.55.(滚动单独考查)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象( )A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位6.(2016·滨州模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=1上的两个点,P是线段AB上的动点,当△AOB的面积最大时,则·-的最大值是( )A.-1B.0C.D.7.(滚动交汇考查)如图,已知点D为△ABC的边BC上一点,=3,E n(n∈N*)为边AC上的一列点,满足=a n+1-(3a n+2),其中实数列{a n}中a n>0,a1=1,则数列{a n}的通项公式为( )A.a n=2·3n-1-1B.a n=2n-1C.a n=3n-2D.a n=3·2n-1-28.(2016·聊城模拟)已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是( )A.(0,-1)B.(-1,1)C.(-1,+∞)D.(-1,1)9.曲线的方程为+=2,若直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,则k的取值范围是( )A. B.C.∪[1,+∞)D.∪(1,+∞)10.(2016·南充模拟)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( ) A.-=1 B.y2-=1C.-x2=1D.-=1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)若实数x,y满足则z=x+2y的最小值是.12.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.13.(滚动单独考查)用[x]表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是.14.若对任意α∈R,直线l:xcosα+ysinα=2sin+4与圆C:(x-m)2+(y-m)2=1均无公共点,则实数m的取值范围是.15.已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足||=3||,则此双曲线的渐近线方程为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=sin+cos+2cos2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若α∈且f(α)=,求cos2α.17.(12分)(滚动单独考查)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=,PC=.点E,H分别为PA,AB的中点.(1)求证:PH⊥AC.(2)求三棱锥P-EHD的体积.18.(12分)(2016·滨州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M的另外两点P,Q.(1)求椭圆C的方程.(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.19.(12分)(2016·泰安模拟)已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60,且a6为a1与a21的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n.(2)若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N*),且b1=3,求数列的前n项和T n.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为,且a= b.(1)求椭圆C的方程.(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M,N两点,且该椭圆上存在点P,使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线l的方程.21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=ax+(1-a)lnx+(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)当a<0时,求f(x)的单调区间.(3)方程f(x)=0的根的个数能否达到3,若能,请求出此时a的范围,若不能,请说明理由.答案解析1.C 因为=b-i(a,b∈R),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,则a+b=3.2.A 当x=2且y=-1时,(x-2)2+y2=(2-2)2+(-1)2=1,满足点在圆上,当x=1,y=0时,满足(x-2)2+y2=1但x=2且y=-1不成立,即“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的充分不必要条件.【加固训练】(2016·兰州模拟)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定A 因为直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,所以圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=<2,所以a2+b2>4,所以点(a,b)在圆C的外部.3.A 因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于=5,由|5-r|<1得4<r<6.4.C 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c.又因为+=+=2++≥2+2=4,当且仅当b-c=a-b,即a+c=2b时取等号.所以k≤+,k≤4,故k的最大正整数为4.5.A 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得A=1,=·=-,求得ω=2.因为题干中图象过点,且|φ|<,所以2×+φ=π,所以φ=,f(x)=sin.故把f(x)=sin的图象向右平移个长度单位,可得y= sin=sin2x=g(x)的图象.6.C 由题意知:△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB,当∠AOB=时,S取最大值,此时⊥,如图所示,不妨取A(1,0),B(0,1),设P(x,1-x),所以·-=·(-)=·=(x-1,1-x)·(-x,x-1)=-x(x-1)+(1-x)(x-1)=(x-1)(1-2x)=-2x2+3x-1,x∈[0,1],当x=-=时,上式取最大值.7.A 因为=3,所以=+=+=+(+)=-+, 设m=,因为=a n+1-(3a n+2),-+=a n+1-(3a n+2),所以-m=a n+1,m=-(3a n+2),所以a n+1=(3a n+2),所以a n+1+1=3(a n+1),因为a1+1=2,所以{a n+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n+1=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-1.8.B 因为点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,所以F1(-c,0),F2(c,0),A,B,因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,所以<1,整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac,两边同时除以a2,并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1,或e<--1(舍),又因为0<e<1,所以椭圆的离心率e的取值范围是(-1,1).【误区警示】解答本题易出现以下错误:一是没有注意椭圆离心率的范围,而选错答案;二是运算错误得出错误选项.9.A 方程+=2表示的是动点P(x,y)到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为2,即有P的轨迹为线段AB:y=0(-1≤x≤1),直线l:y=kx+1-2k为恒过定点C(2,1)的直线,k AC==,k BC==1,直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,等价为k AC≤k≤k BC,即为≤k≤1. 【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是不能观察曲线方程,造成不会解题;二是没有注意x的取值范围,误将线段当作直线去做,造成结果错误.10.【解题提示】确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得b与a的关系,再利用抛物线的定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,可得FF1的值,从而可求双曲线的几何量,从而得出双曲线的方程.C 抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,因为抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,所以=,所以a=2b.因为P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以FF1=3,所以c2+4=9,所以c=,因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1,所以双曲线的方程为-x2=1.11.【解析】由实数x,y满足作出可行域如图:因为z=x+2y,作出直线y=-x,当直线y=-x过点O时z取得最小值,所以z=x+2y的最小值是0.答案:012.【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=-5,即焦点坐标为(-5,0),所以c=5,因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,所以=2,因为c2=a2+b2,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=113.【解题提示】先进行换元,令lgx=t,则得t2-2=[t],作y=t2-2与y=[t]的图象可得解的个数.【解析】令lgx=t,则得t2-2=[t].作y=t2-2与y=[t]的图象,知t=-1,t=2,及1<t<2内有一解.当1<t<2时,[t]=1,所以t=.故得:x=,x=100,x=1,即共有3个实根.答案:314.【解题提示】求出圆心到直线的距离大于半径,结合对任意α∈R恒成立,即可求得实数m的取值范围.【解析】由题意,圆心到直线的距离d=|mcosα+msinα-2sin-4|>1,所以|(2m-2)sin-4|>1,所以(2m-2)sin-4>1或(2m-2)sin-4<-1,所以-<m<.答案:-<m<15.【解析】根据题意由双曲线的性质:焦点到渐近线的距离等于b可得:||=b,则||=3b,||=a,||=c,cos∠F1OM=cos(π-∠MOF2)=-cos∠MOF2=-,在△MF1O中,由余弦定理可知=-,又因为c2=a2+b2,所以a2=2b2,即=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【加固训练】若点P是椭圆+y2=1上的动点,则点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是.【解析】设P(cosθ,sinθ),则点P到直线l:y=x+1的距离为= .所以点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是=.答案:16.【解析】(1)因为f(x)=sin2x-cos2x+cos2x+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin.所以函数f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(α)=,所以sin=,所以sin=,因为α∈,所以≤2α+≤,所以cos=-,所以cos2α=cos=cos cos+sin sin=-×+×=-.17.【解题提示】(1)根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,由四边形ABCD 为矩形,得BC⊥AB,从而BC⊥平面PAB,进而平面PAB⊥平面ABCD,由此能证明PH⊥平面ABCD,从而可得PH⊥AC.(2)由V P-EHD=V D-PEH,利用等积法能求出三棱锥P-EHD的体积.【解析】(1)因为PAB为正三角形,AB=2,所以PB=AB=2,因为BC=,PC=,所以PC2=BC2+PB2,所以根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,因为四边形ABCD为矩形, 所以BC⊥AB,因为PB,AB⊂平面PAB且交于点B,所以BC⊥平面PAB,因为BC⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.因为点H为AB的中点,△PAB为正三角形,所以PH⊥AB,所以PH⊥平面ABCD,因为AC⊂平面ABCD,所以PH⊥AC.(2)由(1)知DA⊥平面PEH,DA=BC=,S△PEH=S△PAB=×××2=,所以三棱锥P-EHD的体积V P-EHD=V D-PEH=×DA×S△PEH=××=.18.【解析】(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.所以+=1,①且=,②由①,②解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线PQ的斜率为定值,证明如下:由题意可得直线MP,MQ的斜率都存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2).直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,因为-2,x1是该方程的两根,所以-2x1=,即x1=.设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=.因为y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),所以k PQ====1,因此直线PQ的斜率为定值.19.【解题提示】(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意建立方程组,求得d和a1,根据等差数列的通项公式和求和公式,分别求得a n及前n 项和S n.(2)由(1)中的a n和S n,根据迭代法得:b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1,结合条件化简后求得b n,再利用裂项法求得,代入前n项和T n再相消后化简即可.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则解得所以a n=2n+3,S n==n(n+4).(2)因为b n+1-b n=a n,所以b n-b n-1=a n-1=2n+1(n≥2,n∈N*),当n≥2时,b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=a n-1+a n-2+…+a1+b1=S n-1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),对b1=3也适合,所以b n=n(n+2)(n∈N*),所以==,则T n===.20.【解析】(1)设直线AB的方程为bx+ay-ab=0,坐标原点到直线AB 的距离为=,=,又因为a=b,解得a=4,b=2,故椭圆的方程为+=1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F1(-2,0),易知直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my-2,点M(x1,y1),N(x2,y2), 因为四边形MONP为平行四边形,所以,=+=(x1+x2,y1+y2)⇒P(x1+x2,y1+y2).联立⇒(m2+2)y2-4my-8=0,则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4,所以x1+x2=,因为点P(x1+x2,y1+y2)在椭圆上,所以(x1+x2)2+2(y1+y2)2=16⇒+2=16⇒m=±,那么直线l的方程为x=±y-2.21.【解题提示】(1)代入a的值,求出定义域,求导,利用导数求出单调区间,即可求出极值.(2)直接对f(x)求导,根据a的不同取值,讨论f(x)的单调区间.(3)由第二问的结论,即函数的单调区间来讨论f(x)的零点个数.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=0时,f(x)=lnx+,f′(x)=-=.令f′(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞);所以x=1时,f(x)有极小值为f(1)=1,无极大值.(2)f′(x)=a--==(x>0),令f′(x)=0,得x=1或x=-,当-1<a<0时,1<-,令f′(x)<0,得0<x<1或x>-,令f′(x)>0,得1<x<-;当a=-1时,f′(x)=-≤0.当a<-1时,0<-<1,令f′(x)<0,得0<x<-或x>1,令f′(x)>0,得-<x<1;综上所述:当-1<a<0时,f(x)的单调递减区间是(0,1),,单调递增区间是;当a=-1时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a<-1时,f(x)的单调递减区间是,(1,+∞),单调递增区间是.(3)当a≥0时,f′(x)=(x>0),f′(x)=0(x>0)仅有1解,方程f(x)=0至多有两个不同的解.由(2)知-1<a<0时,极小值f(1)=a+1>0,方程f(x)=0至多在区间上有1个解.a=-1时f(x)单调,方程f(x)=0至多有1个解;a<-1时,f<f(1)=a+1<0,方程f(x)=0仅在区间内有1个解;故方程f(x)=0的根的个数不能达到3.关闭Word文档返回原板块。
2021版北师大版文科数学一轮复习易错考点排查练概 率 统 计含解析
2021版高考北师大版文科数学一轮复习易错考点排查练概率统计含解析温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后.关闭Word文档返回原板块.易错考点排查练概率统计1。
下列说法正确的是（)A.某厂一批产品的次品率为,则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品B。
掷一枚硬币,连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0。
5C。
某医院治疗一种疾病的治愈率为10％，那么前9个病人都没有治愈,第10个病人就一定能治愈D。
气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90％的地方要下雨,其余10％的地方不会下雨【解析】选B.A。
产品的次品率是大量的产品通过试验得到的数据,题目中的产品个数很少，故不正确；B。
掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量试验得到的准确的值,和试验次数无关,故正确;C。
解释同A选项,也不正确；D.事件的概率是大量试验后得到的结果，是准确的值,和试验次数无关,但是D选项的说法体现的不是概率的概念，故不正确.2.任意掷两枚骰子，则出现点数之和为奇数的概率和点数之和为偶数的概率分别为()A。
,B。
，C.，D。
，【解析】选B.任意掷两枚骰子,所得可能结果用（x，y)表示，其中x表示第一枚抛掷出现的点数,y表示第二枚抛掷出现的点数,则试验的所有结果为：（1,1），（1,2）,（1，3），(1,4）,(1,5），（1，6),(2，1),（2，2)，（2,3)，(2,4），（2,5），(2,6），(3，1），（3，2),（3，3）,（3，4)，（3,5）,(3,6）,(4，1）,(4，2）,(4，3），（4,4）,（4，5），(4，6)，(5，1）,(5,2),(5,3),（5，4）,（5，5），(5，6），(6，1),（6，2），（6，3),（6，4），(6,5),(6，6),共36个基本事件。
所以出现点数之和为奇数的有(1，2)，（1，4），（1,6)，(2,1）,（2，3)，（2,5)，(3,2）,（3，4),（3，6),(4，1),（4，3）,（4,5）,(5，2）,（5，4)，（5,6）,（6，1),(6，3）,(6，5），共18个,因此点数之和为奇数的概率为=。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(四)(含答案解析)
单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列命题:①0没有方向;②1是单位向量;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c(b≠0),则a∥c.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3 【解析】选C.0有方向,其方向是任意的,1是实数,不是单位向量,所以①②都假;由向量相等的意义知③真;因为b≠0,所以④真.2.(2015·福建高考)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4【解题提示】根据复数相等的含义求解.【解析】选A.由题可知3-2i=a+bi,因为a,b均为实数,所以a=3,b=-2.【加固训练】(2016·长春模拟)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】选D.由==1-yi得解得故x+yi的共轭复数为2-i.3.在平行四边形ABCD中,已知=,=3,设=a,=b,若=xa+yb,则xy= ()A. B.-C. D.-【解题提示】数形结合,利用向量的线性运算法则求解.【解析】选D.如图,因为=,=3,所以===b,===-a,=+=b-a=-a+b,又因为=xa+yb,a与b不共线,所以x=-,y=,xy=-×=-.4.(2016·烟台模拟)已知点A,B,则与向量方向相同的单位向量是()A. B.C. D.【解析】选C.=,||==,所以=.5.(2016·临沂模拟)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为()A. B.2C.-D.-2【解析】选D.由题意,得ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1), 所以-2m+4-4(3m+8)=0,即m=-2.【加固训练】已知a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b 与a+2b 垂直,则|a|=( ) A.1 B.C.D.2【解析】选B.因为a=(1,x),b=(-1,x), 所以2a-b=(3,x),a+2b=(-1,3x), 又因为2a-b 与a+2b 垂直, 所以(2a-b)·(a+2b)=-3+3x 2=0, 即x 2=1, 故|a|===.6.向量a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b 的夹角为 ( ) A. B.C.D.【解析】选B.因为(a-2b)·a=|a|2-2a ·b=0,即|a|2=2a ·b,(b-2a)·b=|b|2-2a ·b=0,即|b|2=2a ·b,所以|a|2=|b|2,即|a|=|b|, 设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=||||a ba b =221||2||a a =,因为θ∈[0,π],所以θ=.【加固训练】1.若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则a 与b 的夹角是 ( ) A. B. C.D.-【解析】选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则有(a+b)·a=0⇔a 2+b ·a=0⇔4+b ·a=0,所以b ·a=-4,那么可知a 与b 的夹角的余弦值为||||b ab a =-=-,则a 与b 的夹角是.2.若非零向量a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a 与b 夹角的余弦值为________.【解析】由|a|=|a+2b|,设a 与b 的夹角为θ,等式两边平方得a 2+4a ·b+4b 2=a 2⇒a ·b=-b 2,所以cos θ=||||a b a b =223||-b b =-.答案:-7.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E,F 分别在边BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为 ( )A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.如图,由题意可得·=||·||cos120°=2×2×=-2,在菱形ABCD中,易知=,=,所以=+=+,=+=+,·=·=+-2=1,解得λ=2.8.(2016·威海模拟)已知向量a,b 的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b 在向量a+b 上的投影是 ( ) A.-B.C.D.-3【解析】选A.由已知,向量|a-b|2=|a|2+|b|2-2a ·b=1+4+2=7,|a+b|2=|a|2+|b|2+ 2a ·b=1+4-2=3,(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=-3,则cos<a-b,a+b>=()()||||-+-+a b a b a b a b==-,向量a-b 在向量a+b 上的投影是|a-b|cos<a-b,a+b>=×=-.9.(2016·枣庄模拟)在△ABC中,=(+),若sinC·+sinA·+sinB·=0,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.设角A,B,C的对边分别是a,b,c,由=(+),可知P为BC的中点,结合题意及正弦定理可得c+a+b=0,故c(-)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为不共线向量,所以a-c=c-b=0,即a=b=c.10.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于()A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为邻边的平行四边形的面积C.以a,b为两边的三角形的面积D.以b,c为两边的三角形的面积【解题提示】数形结合,注意利用每两个向量夹角间的关系进行转化求解.【解析】选A.如图,设b与c的夹角为θ,因为a⊥c,所以a与b的夹角为-θ,因为|a|=|c|,所以|b·c|=||b||c|cosθ|=所以|b·c|是以a,b为邻边的平行四边形的面积.【加固训练】(2016·中山模拟)如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段AB交于圆内一点D,若=x+y,则()A.0<x+y<1B.x+y>1C.x+y<-1D.-1<x+y<0【解析】选 C.由于A,B,D三点共线,所以可设=α,则=+=+α=+α(-)=(1-α)+α,由于O,C,D三点共线,且点D在圆内,点C在圆上,与方向相反,则存在λ<-1,使得=λ=λ[(1-α)+α]=λ(1-α)+λα=x+y,因此x=λ(1-α),y=λα,所以x+y=λ<-1.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·四川高考)设i是虚数单位,则复数i-=________.【解题提示】利用i2=-1,对所求式子化简,便可求解.【解析】i-=i-=i+i=2i.答案:2i12.(2016·聊城模拟)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且a·c=a2,则实数m的值为________.【解析】由题意,得c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+(2m+2)×2=5m+8,a2=(12+22)=3,5m+8=3,m=-1.答案:-113.已知向量a=(m,2),b=(-1,-2),若a+b与a-b共线,则a与b的夹角为________.【解析】因为a=(m,2),b=(-1,-2),所以a+b=(m-1,0),a-b=(m+1,4),由题意得,4(m-1)-0=0,即m=1,所以a=(1,2),因为b=(-1,-2),所以b=-a,即a与b共线反向,所以其夹角为π.答案:π14.(2015·浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=__________.【解析】由题可知,不妨设e1=(1,0),e2=,设b=(x,y),则b·e1=x=1,b·e2=x+y=1,所以b=,所以|b|==,答案:【加固训练】(2016·厦门模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为________.【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2,由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=,y=1时等号成立.答案:615.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为______.【解题提示】根据e1·e2=求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,根据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的数量积,由此确定其夹角.【解析】设e1,e2的夹角为α,则e2与-e1的夹角为π-α,由题意,得|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=|e1||e2|cosα=cosα=,故α=,π-α=π,所以f(e1,e2)=e1cos-e2sin=e1-e2,f(e2,-e1)=e2cosπ-=e1-e2,f(e1,e2)·f(e2,-e1)==-e1·e2+=-=0.所以f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.答案:【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)解答下列各题(1)若z=,求|z|.(2)设复数z的共轭复数为,且z·-3iz=,求z.【解析】(1)z=====--i,所以|z|==.(2)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为z·-3iz=,所以a2+b2-3ai+3b=,即(a2+b2+3b)-3ai=1+3i,所以解得或所以z=-1或z=-1-3i.17.(12分)已知△ABC是等腰直角三角形,||=||=1.=4.(1)求·(-).(2)若点M在线段BC上,求·的最大值.【解析】(1)如图,以A点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,1),因为=4,所以==(-1,1)=,所以D,所以=,-==(1,-1),所以·(-)=-=.(2)设=x=(-x,x),所以M(-x+1,x),=(-x+1,x),=,·=(-x+1)+x=-2x2+x-=-2-=-2+.又因为x∈[0,1],所以(·)max=.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知a=,b=A(cos2φ,-sin2φ),f(x)=a·b的部分图象如图所示,P,Q分别是该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A),点R的坐标为(1,0),△PRQ的面积为.(1)求A及φ的值.(2)将f(x)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调减区间.【解析】(1)因为f(x)=a·b=Acos xcos2φ-Asin xsin2φ=Acos,所以函数f(x)的周期T==6.如图,设PQ与x轴的交点为M,则点M是函数f(x)的图象与x轴的一个交点,由题意得|RM|=T=,|PR|=A,所以S△PRQ=2·S△PRM=2×××A=,即A=,所以P(1,),f(x)=cos,f(1)=sin=,即sin=1,所以+2φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=,综上,A=,φ=.(2)由(1)得f(x)=cos,由题意得g(x)=cos=cos,由2kπ≤x+π≤2kπ+π(k∈Z),得6k-≤x≤6k+(k∈Z),即函数g(x)的单调减区间为(k∈Z).【加固训练】已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【解题提示】运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i, 所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i,=-=2+i-(1+2i)=1-i,所以=+=1-i+(4+i)=5,所以点D对应的复数为5.(2)由题知=(1,2),=(3,-1),因为·=||||cosB,所以cosB===,所以sinB=,又||=,||=,所以面积S=||||sinB=××=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.19.(12分)设a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|a-kb|=|ka+b|(k>0).(1)若f(k)=a·b,求f(k)的表达式.(2)当f(k)取最小值时,求向量a与b的夹角.【解题提示】(1)利用条件建立k与a·b的关系,由此求f(k)的表达式.(2)利用函数的思想求f(k)的最小值,并由此求向量a与b的夹角.【解析】(1)因为a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以|a|=|b|=1.由|a-kb|=|ka+b|,得3(a-kb)2=(ka+b)2,即3(1-2ka ·b+k 2)=k 2+2ka ·b+1,8ka ·b=2k 2+2,因为k>0,所以a ·b=.所以f(k)=a ·b=(k>0). (2)因为k>0,f(k)==+≥2=, 当且仅当=,即k=1时,“=”成立,此时a ·b==,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=||||a b a b =, 因为θ∈[0,π],所以θ=.【一题多解】解答本题(1)还可采用如下解法:因为a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),所以a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β),ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),(a-kb)2=(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=1+k 2-2kcos(α-β),(ka+b)2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=1+k 2+2kcos(α-β), 由|a-kb|=|ka+b|,得3(a-kb)2=(ka+b)2,即3[1+k 2-2kcos(α-β)]=1+k 2+2kcos(α-β),所以cos(α-β)=,所以f(k)=a ·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=(k>0). 20.(13分)已知m=(1,1),向量n 与m 的夹角为,且m ·n=-1. (1)求向量n 的坐标.(2)已知q=(1,0),若n ⊥q,p=,其中A,C 为△ABC 的内角,且A+C=,求|n+p|的最小值.【解题提示】(1)根据题意列方程组求向量n 的坐标.(2)根据题意转化为三角函数的最值.【解析】(1)设n=(x,y),由题意得m·n=x+y=-1.①cos=,=-,x2+y2=1.②联立①②得,或即n=(-1,0)或n=(0,-1).(2)因为q=(1,0),n⊥q,所以n=(0,-1),所以n+p==(cosA,cosC),|n+p|=,因为A+C=,所以C=-A,A∈,所以|n+p|===.因为A∈,所以2A+∈,所以当2A+=π,即A=时,|n+p|min==.21.(14分)(2016·青岛模拟)已知A,B,其中x∈.(1)求||的表达式.(2)若·=(O为坐标原点),求tanx的值.(3)若f(x)=+4λ||(λ∈R),求函数f(x)的最小值.【解题提示】(1)先求的坐标,再求模.(2)利用向量的数量积转化为三角函数的条件求值.(3)转化为关于sinx的二次函数的最值问题,注意x的取值范围.【解析】(1)||===.因为x∈,所以||=-2sinx.(2)因为·=cos cos x-sin sin x=cos2x,所以cos2x=,1-2sin2x=,sin2x=,因为x∈,所以sinx=-.进而可得cosx=,所以tanx=-.(3)f(x)=+4λ||=4sin2x-8λsinx=4(sinx-λ)2-4λ2,因为x∈,所以sinx∈[-1,0].①当-1≤λ≤0时,f(x)的最小值为-4λ2,此时sinx=λ;②当λ<-1时,f(x)的最小值为8λ+4,此时sinx=-1;③当λ>0时,f(x)的最小值为0,此时sinx=0.【加固训练】(2016·福州模拟)已知点A(2,0),B(0,2),O(0,0),C(cosα,sinα),且0<α<π.(1)若|+|=,求与的夹角.(2)若⊥,求tanα的值.【解析】(1)因为|+|=,所以(2+cosα)2+sin2α=7,所以cosα=.又因为α∈(0,π),所以α=∠AOC=, 又因为∠AOB=,所以与的夹角为.(2)=(cosα-2,sinα),=(cosα,sinα-2).因为⊥,所以·=0,所以cosα+sinα=,①所以(cosα+sinα)2=,所以2sinαcosα=-.又因为α∈(0,π),所以α∈. 因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=,cosα-sinα<0,所以cosα-sinα=-.②由①②得cosα=,sinα=, 所以tanα=-.。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(八)(含答案解析)
单元评估检测(八)第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点P(1,2)的直线l平分圆C:x2+y2+4x+6y+1=0的周长,则直线l的斜率为()A. B.1 C. D.【解析】选A.圆的方程可化为(x+2)2+(y+3)2=12.因为l平分圆C的周长,所以l过圆C的圆心(-2,-3),又因为l过点P(1,2),所以k l==.2.(2016·济宁模拟)抛物线x2=ay的准线方程是y=1,则实数a的值为()A.-4B.4C.D.-【解析】选A.由条件知-=1,所以a=-4.3.(2016·枣庄模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3【解析】选C.由条件知,=c,所以=,所以4b2=5a2,因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e==.4.点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.设点P的横坐标为x0,抛物线的准线为x=-1,根据抛物线的定义可知,P到该抛物线焦点的距离等于P到该准线的距离,即x0-(-1)=4,所以x0=3,即点P的横坐标为3.5.(2016·莱芜模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧AB 的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是()A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由已知得M,又切线斜率为1,故切线方程为y+-1=x-+1,即y=x+2-.6.(2016·泰安模拟)已知实数1,m,9成等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为()A. B.2 C.或2 D.或【解析】选C.根据条件可知m2=9,所以m=±3,当m=3时,e==,当m=-3时,e=2,所以正确选项为C.【加固训练】(2016·长春模拟)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A 是C1,C2在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是()A. B. C.或 D.【解析】选B.设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2=4,所以c=2,|AF1|-|AF2|=2,所以|AF2|=2,所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3,所以e==.7.(2016·聊城模拟)若F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,M是椭圆上的任意一点,且△MF1F2的内切圆的周长为3π,则满足条件的点M的个数为()A.2B.4C.6D.不确定【解题提示】由内切圆的周长为3π可确定内切圆的半径,然后利用面积相等确定点M的纵坐标,进而确定M点的个数.【解析】选A.由△MF1F2的内切圆的周长为3π得,内切圆的半径r=,所以△MF1F2的面积为(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r=|F1F2|×|y M|,即(10+6)×=6×|y M|,得|y M|=4,所以满足条件的点M是短轴的2个端点.【加固训练】(2016·赣州模拟)设集合A=,B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选A.指数函数y=3x的图象与椭圆+=1有两个交点,所以A∩B中有2个元素,所以其子集有22=4个.8.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.因为双曲线的离心率为2,所以e2===4,即b2=3a2,所以双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p,又因为|AF|=x A+=p+=7,所以p=6.9.(2016·烟台模拟)已知圆O:x2+y2-4=0,圆C:x2+y2+2x-15=0,若圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB面积的取值范围是()A.[2,2]B.[2,8]C.[2,2]D.[2,8]【解析】选A.圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB的面积S=AB·r,圆O:x2+y2-4=0的半径为r=2,AB是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长,圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心C(-1,0),半径为4,圆心C到AB的距离最小时,AB最大,圆心C到AB的距离最大时,AB最小,如图,AB的最小值为:2=2;AB的最大值为:2=2;所以△OAB面积的最小值为:×2×2=2.△OAB面积的最大值为:×2×2=2.所以△OAB面积的取值范围是[2,2].10.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对“相关曲线”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对“相关曲线”中双曲线的离心率是()A. B. C. D.2【解析】选A.设椭圆的长半轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,当点P看成是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,当点P看成是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=+3a2,即4c2=+3,所以+3=4,又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=,即双曲线的离心率为.【加固训练】(2016·孝感模拟)已知点F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则双曲线的离心率为()A. B. C.2D.【解析】选D.过焦点F2且垂直渐近线y=x的直线方程为:y-0=-(x-c),联立渐近线方程y=x与y-0=-(x-c),解得x=,y=,故对称中心的点坐标为,由中点坐标公式可得点F2的对称点P的坐标为,将其代入双曲线的方程可得-=1,化简可得c2=5a2,故可得e==.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·菏泽模拟)直线kx+y+k+1=0与圆x2+y2+2x-2y-2=0相切,则k=.【解析】圆心到直线的距离为d==2,解得k=0.答案:012.以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线-=1的两条渐近线都相切的圆的方程为.【解析】由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为(5,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,则所求圆的圆心为(5,0),利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r,则有r==3,故圆的方程为(x-5)2+y2=9.答案:(x-5)2+y2=913.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题提示】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:【加固训练】已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=.【解析】如图,设MN的中点为P,由题意可知,PF1,PF2分别为△AMN,△BMN的中位线,所以|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|)=2×4=8.答案:814.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.【解析】设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的中垂线上,又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1,又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以+p2=36,所以p=8.答案:815.若方程+=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)【解析】若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-t≠t-1,解得1<t<4且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示为圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.答案:②三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·青岛模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(4,0).(1)设Q是抛物线C上的动点,求|PQ|的最小值.(2)过点P的直线l与抛物线C交于M,N两点,若△FMN的面积为6,求直线l的方程.【解题提示】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,利用单调性即可得出.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立可得根与系数的关系,再利用△FMN 的面积为6即可求出.【解析】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,当x=2时,|PQ|min=2.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),焦点F(1,0).联立消去x得y2-4my-16=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-16,所以S△FMN=|PF|·|y1-y2|=×3×=×=6=6,所以m=±1,所以直线l的方程为:x+y-4=0或x-y-4=0.17.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程.(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.【解题提示】(1)求出过两点(0,0)和(-1,1)的直线的垂直平分线方程,得到其与x轴的交点坐标,即圆C的圆心坐标,进一步求得半径,代入圆的标准方程即可.(2)设出P点坐标,然后求出切线方程,得到切线在y轴上的截距,利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围.【解析】(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为:y-=1×,整理得:y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为:(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线PA方程为=,整理得:(y0-a)x-yx0+ax0=0.因为直线PA与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0,同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|===2·,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2·,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.18.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0),离心率e=,且过点.(1)求椭圆方程.(2)Rt△ABC以A(0,b)为直角顶点,边AB,BC与椭圆交于B,C两点,求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)由e=,即=,又a2-b2=c2,得a=3b,把点代入椭圆方程可得:+=1⇒b=1,所以椭圆方程为:+y2=1.(2)不妨设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程为y=-x+1,由得(1+9k2)x2+18kx=0⇒x B=,把k用-代换,可得x C=,从而有|AB|=,|AC|=,于是S△ABC=|AB||AC|=162=162.令t=k+≥2,有S△ABC==≤,当且仅当t=>2时,(S△ABC)max=.19.(12分)(2016·烟台模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,右顶点A 在圆F:(x-1)2+y2=r2(r>0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l,使点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得=,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为+=1,所以椭圆C的右顶点为A(2,0),代入圆F的方程,可得r2=1,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k≠0)满足条件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1,y1),则2+x1=,可得中点P,由点P在圆F上可得+=1,化简整理得k2=0,又因为k≠0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得OA是圆F的直径,所以OP⊥AB.由点P是AB的中点,可得|OB|=|OA|=2.设点B(x1,y1),则由题意可得+=1.又因为直线l的斜率不为0,所以<4,所以|OB|2=+=+3=3+<4,这与|OA|=|OB|矛盾,所以不存在满足条件的直线l.20.(13分)(2015·湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D 两点,且与同向.(1)求C2的方程.(2)若︱AC︱=︱BD︱,求直线l的斜率.【解题提示】(1)由题意可得F的坐标为(0,1),又因为F也是椭圆C2的一个焦点,可得a2-b2=1,根据C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称可得+=1,然后得到对应曲线方程即可.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)根据=,可得(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用根与系数的关系进行计算即可得到结果.【解析】(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1①;又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为:x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x3-x4=x1-x2,于是(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2③,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由得x2-4kx-4=0,由x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4④,由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-,⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+.即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN 通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D 在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点,AB 所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程.(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立;同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P,同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.。
【世纪金榜】高考数学(文科)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数(含答案解析)
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阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q=,则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2016·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2016·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(8)的值为( )A. B.64 C.2 D.4.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2016·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极小值点,以下结论一定正确的是( )A. x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2016·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2016·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2016·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2016·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-,且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是. 15.(2016·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若AðB,求实数m的取值范围.R17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值. 18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为万元,桥面每1米长的平均造价为万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2016·济宁模拟)已知函数f(x)=--ax(a∈R).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=lnx+-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线互相平行,证明x1+x2>2.21.(14分)(2016·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-ax2+x,a∈R.(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥.答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=x2-1∈,故Q=,故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,注意运用指数函数的单调性解不等式,再根据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-≦,-2].3.A 因为函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,因为其图象过点,所以=4α,解得α=-,所以f(x)=,所以f(8)==.4.A 函数f(x)=|x-a|=则f(x)的单调增区间是[a,+≦).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+≦)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+≦)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-,因为g(1)=-1<0,g(2)=ln2-=ln2-ln>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 因为x0是f(x)的极小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 因为x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又因为1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3,切线方程为y-(3x0-)=(3-3)(x-x0),又因为点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-)=(3-3)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a=( ) A.-2 B.2 C.- D.A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)〓=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x≤0时,f′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f′(x)=0,得x=-4或x=-1.因为x∈(-≦,-4)时,f′(x)<0;x∈(-4,-1)时,f′(x)>0;x∈(-1,0)时,f′(x)>0,则f(x)在区间x∈(-≦,-4)上单调递减,在区间x∈(-4,0)上单调递增.又因为f(x)是定义域为R的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+≦)上单调递增,所以函数f(x)在x=〒4或x=0处取得极值.11.【解析】y′=3x2+m,由题意知所以所以m+n+c=5.答案:512.【解析】由f(x+2)=-可得,f(x+4)=-=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,f=f=f=.答案:13.【解析】由x∈(-≦,0)可得a2-3a<0,得0<a<3,所以y=(a2-3a)x在(-≦,0)上是减函数,又f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-≦,0)上是减函数,所以2a>1,故<a<3.答案:14.【解析】由于f(x+1)=-,则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则有当x∈[0,1]时,f(x)=x2,故当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么当x∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a(x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a(3+2),解得a≥5.答案:[5,+≦)15.【解析】因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0,在上式中令x=x0,有f(x0)-+x0=x0,又因为f(x0)=x0,所以x0-=0,故x0=0或x0=1,若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0,若x0=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1,此时f(x)=x有且仅有一个实数1,综上,x0=1.答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)因为A∩B=[0,3],所以所以所以m=2.(2)ðB={x|x<m-2或x>m+2}.R因为AðB,所以m-2>3或m+2<-1,R所以m>5或m<-3,所以m的取值范围为(-≦,-3)∪(5,+≦).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f′(x),最后分别令f′(x)>0和f′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a的值.【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).从而f(-x)+f(x)=0,即log a+log a=0,于是,(b2-1)x2=0,由x的任意性知b2-1=0,解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1.(2)由(1)得f(x)=log a,(x<-1或x>1),f′(x)=.当0<a<1时,f′(x)>0,即f(x)的增区间为(-≦,-1),(1,+≦);当a>1时,f′(x)<0,即f(x)的减区间为(-≦,-1),(1,+≦).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a=1,又a>3,得a=2+.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x米,知中间共有个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640++100,即f(x)=+-+1380=+-+1380(64<x<100).(2)由(1)可求f′(x)=--,整理得f′(x)=(9x2-80x-640〓80),由f′(x)=0,解得x1=80,x2=-(舍去),又当x∈(64,80)时,f′(x)<0;当x∈(80,100)时,f′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为-1=7.19.【解析】(1)当a=时,f(x)=--x,f′(x)=[(e x)2-3e x+2]=(e x-1)(e x-2),令f′(x)=0,得e x=1或e x=2,即x=0或x=ln2,令f′(x)>0,则x<0或x>ln2,令f′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-≦,0],[ln2,+≦)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减.(2)f′(x)=+-a,令e x=t,由于x∈[-1,1],所以t∈.令h(t)=+,h′(t)=-=,所以当t∈时h′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t∈(,e]时h′(t)>0,函数h(t)为单调增函数,所以≤h(t)≤e+.因为函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增,则a≤+对t∈恒成立,所以a≤;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a≥+对t∈恒成立,所以a ≥e+,综上可得a≤或a≥e+.20.【解析】(1)f′(x)=--1=-=-(x>0).当a>1时,0<<a,f(x)的单调递减区间是,(a,+≦),单调递增区间是.f(x)极小值=f=ln+a-=-lna+a-,f(x)极大值=f(a)=lna-a+.当a=1时,f′(x)=-≤0,f(x)无极值.当0<a<1时,0<a<,f(x)的单调递减区间是(0,a),,单调递增区间是.f(x)极大值=f=-lna+a-,f(x)极小值=f(a)=lna-a+.(2)依题意知,f′(x1)=--1=f′(x2)=--1,故a+=+=.由x1+x2>2得x1x2<,故>,故存在x1,x2使a+=>,即x1+x2>.当a>0时,a+≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x1+x2>=2.即x1+x2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-ax2+(1-a)x+1,所以g′(x)=-ax+(1-a)=,当a≤0时,因为x>0,所以g′(x)>0,所以g(x)在(0,+≦)上是递增函数,又因为g(1)=ln1-a〓12+(1-a)+1=-a+2>0,所以关于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时,g′(x)==-,令g′(x)=0,得x=.所以当x∈时,g′(x)>0;当x∈时,g′(x)<0, 因此函数g(x)在x∈是增函数,在x∈是减函数.故函数g(x)的最大值为g=ln-a〓+(1-a)〓+1=-lna.令h(a)=-lna,因为h(1)=>0,h(2)=-ln2<0,又因为h(a)在a∈(0,+≦)是减函数,所以当a≥2时,h(a)<0,所以整数a的最小值为2.【一题多解】本题还可以采用以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-ax2+x≤ax-1在(0,+≦)上恒成立,问题等价于a≥在(0,+≦)上恒成立.令g(x)=,只要a≥g(x)max,因为g′(x)=.令g′(x)=0,得-x-lnx=0.设h(x)=-x-lnx,因为h′(x)=--<0,所以h(x)在(0,+≦)上单调递减,不妨设-x-lnx=0的根为x0.当x∈(0,x0)时,g′(x)>0;当x∈(x0,+≦)时,g′(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)上是增函数;在x∈(x0,+≦)上是减函数.所以g(x)max=g(x0)===,因为h=ln2->0,h(1)=-<0,所以<x0<1,此时1<<2,即g(x)max∈(1,2).所以a≥2,即整数a的最小值为2.(2)当a=-2时,f(x)=lnx+x2+x,x>0,由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即lnx1++x1+lnx2++x2+x1x2=0,从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1·x2-ln(x1·x2)令t=x1·x2,则由φ(t)=t-lnt得,φ′(t)=,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+≦)上单调递增.所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,因此x1+x2≥成立.关闭Word文档返回原板块。
2021版北师大版文科数学一轮复习易错考点排查练立 体 几 何含解析
2021版高考北师大版文科数学一轮复习易错考点排查练立体几何含解析温馨提示：此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
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α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α和β平行的是（）A。
α和β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l，m是α平面内的直线且l∥β，m∥βD。
l,m是两条异面直线且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β【解析】选D.对于A,α，β可平行也可相交；对于B三个点可在β平面同侧或异侧，对于C,l,m在平面α内可平行，可相交.对于D 正确证明如下：过直线l，m分别作平面与平面α,β相交,设交线分别为l1,m1与l2,m2，由已知l∥α,l∥β得l∥l1,l∥l2，从而l1∥l2,则l1∥β，同理m1∥β，所以α∥β。
2.给出下列命题：①有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱;②底面为正多边形的棱柱为正棱柱;③顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱锥是正棱锥;④A,B为球面上相异的两点，则通过A，B的大圆有且只有一个.其中正确说法的个数是(）A.0个B。
1个 C.2个 D.3个【解析】选A。
若侧棱与底面两条平行的两边垂直,则侧棱与底面不一定垂直，此时的棱柱不一定是直棱柱，故①错误；底面为正多边形的直棱柱为正棱柱,故②错误；顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱锥，表示顶点在底面的射影落在底面的外心上，不一定是正棱锥，故③错误；当A，B为球的直径的两个端点时，通过A,B的大圆有无数个,故④错误.3.如图，在下列四个正方体中,P,R，Q,M,N，G,H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R,Q所在平面平行的是（）【解析】选A。
A中，因为PQ∥AC∥A1C1,所以可得PQ∥平面A1BC1,又RQ∥A1B，可得RQ∥平面A1BC1,从而平面PQR∥平面A1BC1;B中,作截面可得P，Q，R所在平面∩平面A1BN=HN（H 为C1D1中点）,如图C中,作截面可得P，Q，R所在平面∩平面HGN=HN（H为C1D1中点）,如图：D中，作截面可得QN，C1M为两条相交直线,因此P,Q，R所在平面与平面A1MC1不平行,如图：4。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：5.4数列求和(含答案解析)
课时提升作业三十二数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{a n},{b n}都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则{a n+b n}的前20项的和为()A.600B.610C.620D.630【解析】选 A.由题意知{a n+b n}也为等差数列,所以{a n+b n}的前20项和为:S20===600.2.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为S n,则S2016的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为f′(x)=2x+b,所以f′(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以==-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.3.(2016·日照模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=,若前n项和为10,则项数n为()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为a n==-,所以S n=a1+a2+…+a n=(-1)+(-)+…+(-)=-1.令-1=10,得n=120.4.(2016·枣庄模拟)数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-【解析】选 A.该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.5.(2016·广州模拟)已知数列{a n}中,a n+1+(-1)n a n=2n-1,则数列{a n}的前12项和S12=()A.76B.78C.80D.82【解题提示】计算出a n+2+a n的值后,再求解.【解析】选 B.由已知得a n+2+a n=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·滨州模拟)等比数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则++…+=.【解析】当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,又因为a1=1适合上式,所以a n=2n-1,所以=4n-1.所以数列{}是以=1为首项,以4为公比的等比数列.所以++…+==(4n-1).答案:(4n-1)7.(2016·泰安模拟)若S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S100=.【解析】S100=1-2+3-4+5-6+…+99-100=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(99-100)=-50.答案:-508.数列{a n}的通项公式则这个数列的前2m项的和是. 【解析】数列{a n}的奇数项组成首项为6,公差为10的等差数列,偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列,则S2m=6m+×10+=5m2+m+2m+1-2.答案:5m2+m+2m+1-2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·临沂模拟)已知等比数列满足a n+1+a n=4×3n-1.(1)求数列的通项公式.(2)若b n=log3a n,T n=b1-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1,求T n.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a n+1+a n=4×3n-1,得解得所以a n=3n-1.(2)由(1)得b n=log33n-1=n-1,则b2n-1b2n-b2n b2n+1=b2n(b2n-1-b2n+1)=(2n-1)·(-2)=2-4n,所以T n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2n b2n+1)=(2-4×1)+(2-4×2)+…+(2-4n)==-2n2.10.(2015·天津高考)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求和的通项公式.(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列的前n项和.【解题提示】(1)设出公差d和公比q,列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项.(2)用错位相减法求和.【解析】(1)设的公比为q,的公差为d,由题意q>0,由已知,有消去d得q4-2q2-8=0,解得q=2,d=2,所以的通项公式为a n=2n-1,n∈N*,的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=2n-1,设的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+×2n,两式相减得-S n=1+22+23+…+2n-×2n=-×2n-3,所以S n=2n+3,n∈N*.【易错警示】解答本题会出现以下错误:在用“错位相减”求和时对相减后的项处理不当,导致漏掉项或添加项.【加固训练】设数列{b n}的前n项和为S n,且b n=2-2S n;数列{a n}为等差数列,且a5=14,a7=20(n ∈N*).(1)求数列{b n}的通项公式.(2)若c n=a n·b n(n=1,2,3…),T n为数列{c n}的前n项和,求T n.【解析】(1)由b n=2-2S n,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=,当n≥2时,由b n=2-2S n,可得b n-b n-1=-2(S n-S n-1)=-2b n,即=,所以{b n}是以b1=为首项,为公比的等比数列,于是b n=2·.(2)数列{a n}为等差数列,公差d=(a7-a5)=3,因为a5=a1+4d,所以a1=2.所以a n=3n-1.从而c n=a n·b n=2(3n-1)·,所以T n=2,T n=2,T n=--.(20分钟40分)1.(5分)(2016·威海模拟)已知数列{a n}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{b n}=的前10项和S10=()A. B.C. D.【解析】选B.由已知条件可得数列{a n}的通项公式为a n==,所以b n===4.S10=4=4=.2.(5分)(2016·汕头模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n 等于()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.因为a n==1-,所以S n=++…+=n-=n-=n-=n-1+.所以n-1+==4+,解得n=5.【加固训练】S n=1+++…+=. 【解析】1+++…+==2=2-,S n=1+++…+=2-+2-+2-+ (2)=2n-=2n-2+.答案:2n-2+3.(5分)(2016·烟台模拟)对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:数列{x n}满足x1=1,且对于任意n∈N*,点(x n,x n+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+ (x50)值为.【解析】由题意可知x n+1=f(x n),又x1=1,所以x2=f(1)=3,x3=f(3)=5,x4=f(5)=6,x5=f(6)=1,x6=f(1)=3.因此数列{x n}是周期为4的数列,又x1+x2+x3+x4=1+3+5+6=15,所以x1+x2+…+x50=15×12+1+3=184.答案:1844.(12分)(2015·浙江高考)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n.(2)记数列{a n·b n}的前n项和为T n,求T n.【解题提示】(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式.(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.【解析】(1)由a1=2,a n+1=2a n,得a n=2n.当n=1时,b1=b2-1,所以b2=2;当n≥2时,b n=b n+1-b n,整理得=,所以b n=n.(2)由(1)知,a n b n=n·2n,所以T n=2+2·22+3·23+…+n·2n,2T n=22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,所以T n-2T n=-T n=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1=(1-n)2n+1-2,所以T n=(n-1)2n+1+2.【加固训练】(2016·怀化模拟)已知等差数列的前n项和为S n,且a2=8,S4=40.数列的前n项和为T n且T n-2b n+3=0,n∈N*.(1)求数列,的通项公式.(2)设c n=求数列的前2n+1项和P2n+1.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由题意,得所以a n=4n.因为T n-2b n+3=0,所以当n=1时,b1=3,当n≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n=2b n-1(n≥2),数列为等比数列,所以b n=3·2n-1.(2)c n=P2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(b2+b4+…+b2n)=·(n+1)+=22n+1+4n2+8n+2.5.(13分)(2016·郑州模拟)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11,则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n;当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=【加固训练】1.(2016·邯郸模拟)等差数列{a n}是递增数列,前n项和为S n,且a1,a3,a9成等比数列,S5=.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项的和.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d(d>0),因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1a9,所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),所以d2=a1d,因为d>0,所以a1=d,①因为S5=,所以5a1+·d=(a1+4d)2,②由①②得a1=,d=,所以a n=+(n-1)×=n(n∈N*).(2)b n==·=,所以b1+b2+b3+…+b n===.2.正项数列{a n}的前n项和S n满足:-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n.证明:对于任意的n∈N*,都有T n<.【解析】(1)由-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0,得[S n-(n2+n)](S n+1)=0.由于数列{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项公式a n=2n.(2)由于a n=2n,b n=,则b n==.T n==<=.。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(三)(含答案解析)
单元评估检测(三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;③若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;④若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选 A.由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;②正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故③错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故④错.综上可知只有②正确.2.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点P,则cosα+sinα=()A. B.- C. D.-【解析】选B.由三角函数的定义,得sinα=,又α是第二象限的角,所以cosα=-=-=-,故cosα+sinα=-.【加固训练】已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A. B. C. D.【解析】选D.由sin>0,cos<0知角θ在第四象限,因为tanθ==-1,θ∈[0,2π),所以θ=.3.(2015·泰安模拟)函数f(x)=sin2x+cos2x图象的一条对称轴方程是()A.x=-B.x=C.x=D.x=【解析】选D.依题意得f(x)=2sin,且f=2sin=-2,因此其图象关于直线x=对称.4.设函数f(x)=(x∈R),则f(x)()A.在区间上是增函数B.在区间上是减函数C.在区间上是增函数D.在区间上是减函数【解析】选A.先画出y=的图象,再向左平移个单位长度,就得到y=的图象,如图,所以选A.5.(2016·菏泽模拟)在不等边△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角A的取值范围为()A. B.C. D.【解析】选D.因为B+C=π-A.所以sin2(B+C)=sin2A,所以sin2A<sin2B+sin2C,由正弦定理,得a2<b2+c2,cosA=>0.所以A为锐角,即0<A<,又a为最大边,所以△ABC是锐角三角形,又△ABC为不等边三角形,所以A>B,A>C,A+B+C<3A,所以3A>π,即A>,故<A<.【加固训练】在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是()A. B.C. D.【解析】选C.由正弦定理得a2≤b2+c2-bc,所以由余弦定理得cosA=≥,因为0<A<π,所以0<A≤.6.(2016·枣庄模拟)在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=,则最大角的余弦值是()A.-B.-C.-D.-【解析】选C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cosA===-.【加固训练】锐角三角形ABC中,若C=2B,则的范围是()A.(0,2)B.(,2)C.(,)D.(,2)【解析】选C.由正弦定理得===2cosB,因为三角形ABC为锐角三角形,所以C=2B∈,A=π-C-B=π-3B∈,所以B∈,所以2cosB∈.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.依题意,由a=2bcosC及正弦定理,得sinA=2sinBcosC,sin(B+C)-2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=sin(C-B)=0,C=B,△ABC是等腰三角形;反过来,由△ABC是等腰三角形不能得知C=B,a=2bcosC.因此,“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件.8.若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos=() A. B.- C. D.-【解析】选C.对于cos=cos=cos cos+sin sin,而+α∈,-∈,因此sin=,sin=,则cos=×+×=.9.将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移个单位长度后,再作关于x轴对称变换,得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)可以是()A.sinxB.cosxC.2sinxD.2cosx【解析】选D.逆向变换,函数y=1-2sin2x=cos2x作关于x轴对称变换,得y=-cos2x,再向左平移个单位长度得y=-cos2=sin2x=2sinxcosx,所以f(x)=2cosx.10.设运算a⊕b=对于函数f=sinx⊕cosx,x∈R.下列命题正确的是()A.该函数的值域是[-1,1]B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1C.该函数是以π为周期的周期函数D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0【解析】选D.根据题意得f=所以根据在上的正弦曲线和余弦曲线,如图(实线部分),得该函数的值域是,所以A错误;该函数在x=2kπ,以及x=2kπ+,k∈Z时取得最大值,所以B错误;该函数的最小正周期为2π,所以C错误;当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0.所以D正确.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·长沙模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+=,则C=__________.【解题提示】切化弦化简已知条件求A,由正弦定理求sinC,进而求C.【解析】因为1+=,所以1+=,所以===,所以=,即cosA=,所以A=,因为a=2,c=2,由正弦定理,得sinC===,因为c<a,所以C<A=,故C=.答案:12.若将函数f=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是__________.【解题提示】平移后的函数是余弦函数.【解析】将函数f=sin的图象向右平移φ个单位,所得函数为f(x)=sin=sin,其图象关于y轴对称,则f(x)=±cos2x,所以-2φ=+kπ(k∈Z),当k=-1时φ的最小正值是.答案:13.(2016·临沂模拟)在△ABC中,A=60°,最大边与最小边是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC长为__________.【解析】因为A=60°,所以可设最大边与最小边分别为b,c.又b+c=9,bc=8,所以BC2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=92-2×8-2×8×cos60°=57,所以BC=.答案:【加固训练】已知△ABC中,AC=2,BC=3,AB边上的中线CD=2,则AB的长为________. 【解析】根据平行四边形的对角线的平方和等于它的四条边的平方和得AB2+=2,所以AB2=10,AB=.答案:14.(2016·莱芜模拟)如图,某城市的电视台发射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC为35米,在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米,从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°,则这座电视台发射塔的高度CD为__________.【解析】AB==84,tan∠CAB===,由=tan(45°+∠CAB)==,得CD=169(米).答案:169米15.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanα·tanβ=__________.【解析】由题意得cosαcosβ-sinαsinβ=,cosαcosβ+sinαsinβ=,两个式子相加得2cosαcosβ=,两个式子相减得2sinαsinβ=,相除得tanαtanβ=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·青岛模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小.(2)若sinA=,求△ABC的面积.【解题提示】(1)先利用三角恒等变换公式化简已知的表达式,再利用三角函数的性质得到方程,解方程求解.(2)先利用正弦定理求a,再利用三角恒等变换公式,求sinB,最后求面积.【解析】(1)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sinA=,=,得a=.由a<c,得A<C,从而cosA=,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,所以,△ABC的面积为S=acsinB=.17.(12分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)=sin sinx-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【解题提示】(1)化简函数f(x)的解析式即可求出函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)利用正弦函数的图象和性质求解即可.【解析】(1)由题意知f(x)=sin sinx-cos2x=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当<2x-≤π,即<x≤时,f(x)单调递减,综上可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减.18.(12分)(2015·安徽高考)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题提示】应用三角函数的有关公式和性质化简求值.【解析】(1)因为f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)当x∈时,2x+∈,所以sin∈,所以f(x)在区间上的最大值为1+,最小值为0.19.(12分)设函数f=2cos2+sin-1.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合.(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到. 【解题提示】将函数y=f(x)化成一个角的三角函数的形式,根据三角函数的图象及性质与三角函数图象的变换解答.【解析】(1)因为f=2cos2+sin-1=cos2+sin=sin2x+sin2x+cos2x=sin,所以当2x+=2kπ-,k∈Z,即当x=kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值-,此时x的取值集合为.(2)先将y=sinx图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得y=sinx的图象,再将y=sinx的图象向左平移个单位,得y=sin的图象;最后把y=sin图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,就得到y=f(x)的图象.20.(13分)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且,,成等差数列.(1)求角A的值.(2)若a=,b+c=5,求△ABC的面积.【解析】(1)由已知2×=+,===,cosA=,A=60°.(2)a2=10=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=52-3bc,所以bc=5,所以S△ABC=bcsinA=.21.(14分)(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若α是第二象限角,f=cos cos2α,求tanα的值.【解题提示】(1)由3x+“占”正弦函数的增区间,解不等式求解.(2)利用三角恒等变换公式解方程求解.【解析】(1)因为函数y=sinx的增区间为,k∈Z,由2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z)⇒-≤x≤+(k∈Z),所以f(x)的单调增区间为(k∈Z). (2)由已知,有sin=cos cos2α所以sinαcos+cosαsin=即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(cosα+sinα),当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知tanα=-1.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=,由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,所以cosα-sinα=-.代入平方关系得+sin2α=1,解得sinα=或sinα=,所以tanα=-4-或tanα=-4+综上所述tanα的值为-1,-4-,-4+.【加固训练】(2016·常熟模拟)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间上的单调性.【解析】(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin+,因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以有=π,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin+,若0≤x≤,则≤2x+≤,当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上所述f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：9.3用样本估计总体(含答案解析)
课时提升作业五十五用样本估计总体(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20,那么这组数据落在8.5～11.5内的频率为()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.2【解析】选B.样本的总数为20个,数据落在8.5～11.5内的个数为8,故频率为=0.4.【加固训练】一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下表(其中x,y∈N*):则样本在区间[10,50)上的频率为.【解析】由样本容量为20,得x+y=9,则==0.7.答案:0.72.(2016·济宁模拟)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是()A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,53【解析】选A.茎叶图中共有30个数据,所以中位数是第15个和第16个数据的平均数,即(45+47)=46,排除C,D;再计算极差,最小数据是12,最大数据是68,所以68-12=56.【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:(1)中位数计算时中间两数找不准.(2)极差与方差概念混淆导致错误.3.(2016·滨州模拟)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布,则网民年龄在[35,40)的频率为()A.0.04B.0.06C.0.2D.0.3【解析】选C.由已知得网民年龄在[20,25)的频率为0.01×5=0.05,在[25,30)的频率为0.07×5=0.35.因为年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布,所以其频率也呈递减的等差数列分布,又年龄在[30,45]的频率为1-0.05-0.35=0.6,所以年龄在[35,40)的频率为0.2.【加固训练】在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的,且样本容量为160,则这组的频数为()A.32B.0.2C.40D.0.25【解析】选A.频率等于长方形的面积,所有长方形的面积等于1,设中间长方形的面积等于S,则S=(1-S),S=,设该组的频数为x,则=,得x=32.4.(2016·聊城模拟)一次选拔运动员,测得7名选手的身高(单位:cm)分布茎叶图如图,记录的平均身高为177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x,那么x的值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选D.由茎叶图可知=7,解得x=8.5.(2015·山东高考)为比较甲、乙两地14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A.①③B.①④C.②③D.②④【解题提示】由=和s=求解.【解析】选B.==29,==30,s甲==,s乙==.【加固训练】从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,其茎叶图如图.根据茎叶图,下列描述正确的是()A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【解析】选D.根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27,而乙种树苗的平均高度为30,但乙种树苗高度的分布不如甲种树苗高度的分布集中.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·广东高考)已知样本数据x1,x2,…,x n的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2x n+1的均值为.【解析】因为样本数据x1,x2,…,x n的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2x n+1的均值为2+1=2×5+1=11.答案:117.(2016·菏泽模拟)如图是某市某小区100户居民2015年月平均用水量(单位:t)的频率分布直方图的一部分,则该小区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为.【解析】由频率分布直方图知,前4部分小矩形的面积和为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49,设中位数的估计值为x,则(x-2)×0.5=0.01,所以x=2.02,即该小区月平均用水量的中位数的估计值为2.02.答案:2.02【加固训练】(2016·淄博模拟)如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数为.【解析】前3组的频率之和等于1-(0.0125+0.0375)×5=0.75,第2小组的频率是0.75×=0.25,设样本容量为n,则=0.25,即n=40.答案:408.已知一组数据:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7构成公差为d的等差数列,且这组数据的方差等于1,则公差d等于.【解析】这组数据的平均数为==a4,又因为这组数据的方差等于1,所以[(a1-a4)2+(a2-a4)2+(a3-a4)2+(a4-a4)2+(a5-a4)2+(a6-a4)2+(a7-a4)2]==1,即4d2=1,解得d=±.答案:±三、解答题9.(10分)(2016·淄博模拟)某校为了选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A,B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试,他俩各加工10个零件的相关数据依次如图所示:(单位:mm)根据测试的有关数据,试解答下列问题:(1)考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为谁的成绩好些.(2)计算出A,B二人的方差,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好些.(3)考虑图中折线走势及竞赛加工零件的个数远远超过10个的实际情况,你认为派谁去合适?简述理由.【解题提示】(1)由图可以发现:符合要求的零件个数B的多于A.(2)计算出,再比较两人的成绩.(3)根据图哪个越来越接近标准直径,则派哪个去.【解析】(1)因为两人的平均数相同,而符合要求的零件个数B的多于A,所以B的成绩好些.(2)因为=[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,又=0.026,所以>,在平均数相同的情况下,B的波动性小,所以B的成绩好些.(3)从折线走势看,A的成绩越来越接近20mm,并趋于稳定,所以派A去更合适.【加固训练】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.33.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.61.3 1.4 1.60.5 1.80.62.1 1.12.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?【解析】(1)设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为.由观测结果可得=(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)= 2.3,=(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.由以上计算结果可得>,因此可以看出A药的疗效更好.(2)由观测结果可绘制如图茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”,“3.”上,而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”,“1.”上,由此可以看出A药的疗效更好.(20分钟40分)1.(5分)为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为()A.64B.54C.48D.27【解析】选B.前两组中的频数为100×(0.05+0.11)=16.因为后五组频数和为62,所以前三组为38.所以第三组频数为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100=32.所以a=22+32=54.2.(5分)(2016·菏泽模拟)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为m e,众数为m0,平均值为,则()A.m e=m0=B.m e=m0<C.m e<m0<D.m0<m e<【解析】选D.由图可知,30名学生的得分情况依次为:2个人得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分,3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数即m e=5.5,5出现次数最多,故m0=5,=≈5.97.于是得m0<m e<.3.(5分)样本(x1,x2,…,x n)的平均数为,样本(y1,y2,…,y m)的平均数为(≠).若样本(x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y m)的平均数=a+(1-a),其中0<a<,则n,m的大小关系为()A.n<mB.n>mC.n=mD.不能确定【解析】选A.由已知得x1+x2+…+x n =n,y1+y2+…+y m =m,===a +(1-a),整理得(-)[am+(a-1)n]=0,因为≠,所以am+(a-1)n=0,即=,又a ∈,所以0<<1,所以<1,所以n<m.4.(12分)(2016·临沂模拟)寒假期间,很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动,下表是今年某个档口某种精品的销售数据.已知摊位租金900元/档,剩余精品可以以进货价退回厂家.(1)画出表中10个销售数据的茎叶图,并求出这组数据的中位数.(2)明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品,其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售,承包时间段内销售所获利润归承包者所有.如果其他条件不变,以今年的数据为依据,甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理?【解析】(1)以十位数为茎,个位数为叶,画出茎叶图,如图所示:这组数据的中位数是=44.5,平均数是=45.(2)由题意,今年花市期间该摊位所售精品的销售量与时间段有关,明年合租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今年的平均销售量按比例分担,因为今年白天的平均销售量为=40(件/天),今年晚上的平均销售量为=50(件/天),所以甲同学应分担的租金为900×=400(元),乙同学应分担的租金为900×=500(元).5.(13分)今年西南一地区遭遇严重干旱,某乡计划向上级申请支援,为上报需水量,乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量,得到这100户村民月均用水量的频率分布表如下表:(月均用水量的单位:吨)(1)请完成该频率分布表,并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图.(2)估计样本的中位数是多少?(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水,若该乡共有1200户,请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨?【解题提示】(1)由各频率之和为1,各频数之和为100求解.(2)根据中位数前的频率之和为0.5求解.(3)先求出样本中的月用水量的平均值,再估计上级支援该乡的月调水量.【解析】(1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下:(2)设中位数为x,因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是(0.06+0.12)×2=0.36,月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是(0.06+0.12+0.20)×2=0.76,所以x∈[4.5,6.5),则(x-4.5)×0.2=0.5-0.36,解得x=5.2.故中位数是5.2.(3)该乡每户平均月均用水量估计为1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14.又5.14×1200=6168.答:上级支援该乡的月调水量是6168吨.【加固训练】某中学一个高三数学教师对其所教的两个文科班(每班各50名学生)的学生的一次数学成绩进行了统计,高三年级文科数学平均分是100分,两个班数学成绩的频率分布直方图如下(总分:150分):(1)文1班数学平均分是否超过校平均分?(2)从文1班中任取一人,其数学成绩达到或超过校平均分的概率是多少?(3)文1班一个学生对文2班一个学生说:“我的数学成绩在我班是中位数,从你班任抽一人的数学成绩不低于我的成绩的概率是0.60”,则文2班数学成绩在[100,110)范围内的人数是多少?【解析】(1)文1班数学平均分至少是=100 .4,文1班数学平均分超过校平均分.(2)文1班在[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分数段共有人数是33,从文1班中任取一人,其数学成绩达到或超过校平均分的概率是P=0.66.(3)设文1班这个学生的数学成绩是x,则x∈[100,110),文2班数学成绩在[80,90),[90,100),[100,110)范围内的人数分别是b,c,y,如果x=100,则=0.60,y=15,即文2班数学成绩在[100,110)范围内的人数至少是15人;又因为所以由②得:所以4+12+y≤35=b+c+y≤10+y-1+y⇒13≤y≤19,则文2班数学成绩在[100,110)范围内的人数是15或16或17或18或19人.。
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阶段易错考点排查练(五)
解析几何
考点一直线的倾斜角、斜率及两直线的位置关系
1.直线y=-xtanα+2,α∈的倾斜角是( )
A.α
B.α-
C.-α
D.π-α
【解析】选D.由题意得:k=-tanα=tan(π-α),
因为α∈,所以π-α∈,
因为在[0,π]内正切值为k的角唯一,
所以倾斜角为π-α.
2.已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是
( ) A.-1或2 B.0或1
C.-1
D.2
【解析】选 C.因为两直线至少有一条斜率存在,又因为两直线平行,所以两直线的斜率存在且相等,所以-=-,解得:a=-1或2;又因为当a=2时两直线重合,所以a=-1.
3.直线l过点(-4,-1),横截距是纵截距的两倍,则直线l的方程是.
【解析】当直线过原点时,方程为y=kx,
又因为该直线过点(-4,-1),
所以k=,此时,直线方程为y=x;
当直线不过原点时,设直线方程为+=1,
因为直线l过点(-4,-1),所以+=1,解得a=-3,所以直线l的方程为x+2y+6=0.
答案:y=x或x+2y+6=0
4.过点P(1,1)作直线l,设l与两坐标轴围成的三角形的面积为10,这样的直线有
条.
【解析】由题意可得直线l的斜率存在.
设直线方程为y-1=k(x-1),
则在x,y轴上的截距分别为,1-k,所以S=·=10,k有4解,故有4条.
答案:4
考点二圆的方程、抛物线的标准方程
1.过定点(1,2)作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则k的取值范围
是( )
A.k>2
B.-3<k<2
C.k<-3或k>2
D.以上皆不对
【解析】选D.依题意得:
解得:-<k<-3或2<k<.
2.已知抛物线的方程为y=2ax2(a<0),则它的焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.方程y=2ax2可化为x2=y,p=,焦点坐标为. 考点三忽略一元二次方程的判别式
1.双曲线-=1中,被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是( )
A.8x-9y=7
B.8x+9y=25
C.4x-9y=16
D.不存在
【解析】选D.当直线的斜率k不存在时,直线方程为x=2,直线与双曲线无交点,不符合题意舍去.
设直线与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),把A,B代入到曲线方程且
相减可得
,
-=0,由题意可
得,x1+x2=4,y1+y2=2,所以k AB ==.因此直线的方程为y-1=(x-2), 联立可得28x2-112x+373=0,此时Δ<0即方程没有实数解,所以所求直线与已知曲线没有交点.
2.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为.
【解析】设直线MN的方程为y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>0,所以b>-.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2
=-1,
=-+b=+b,
由在直线y=x+3上,得+b=-+3,解得b=2, 联立解得
答案:(-2,4),(1,1)
考点四直线与圆锥曲线的交点问题
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
【解析】选A.由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.
2.已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( )
A. B.(-,)
C. D.[-,]
【解析】选C.双曲线-=1的渐近线方程是y=〒x,右焦点F(4,0),过右焦点F(4,0)分别作两条渐近线的平行线l1和l2,由图形可知,符合条件的直线的斜率的范围是.
3.直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是.
【解析】直线y=kx+1过定点(0,1),
由题意知所以m≥1且m≠5.
答案:m≥1且m≠5
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