正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

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1.4正弦、余弦函数的图象

正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2

正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
余弦函数的图象
y
(0,1) 1
3 ( ,0) 2
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲线
5 6
-4
-3
-2
（1） y
x
(3) 当x∈[0，2π ]时，求不等式
1 的解集. cos x ³ y 2
1
y =
O -1
2
π
2
1 2
2π
x
p 5p [0, ] U [ , 2p ] 3 3
课堂小结 1. 正、余弦函数的图象每相隔 2π 个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π ]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线. 2. 作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
例如正弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z,k≠0)都
1.4 .1 正弦、余弦函数的图象
D
正弦、余弦函数的图象
三角函数正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y P
-1

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(解析版)

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法． 2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象．3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象时，关键的五点是：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-【注意】（1）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象．（2）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到．二、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点 (0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π (0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π正（余）弦曲线正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线三、用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．题型一五点法作三角函数的图象【例1】用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象，首先描出的五个点的横坐标是（） A ．30,,,,222ππππ B ． 30,,,,424ππππ C ．0,,2,3,4ππππD ．20,,,,6323ππππ【答案】B【解析】由“五点法”作图知：令2x ＝0，2π，π，32π，2π，解得x ＝0，4π，2π，34π，π，即为五个关键点的横坐标，故选：B.【变式1-1】用“五点法”作函数cos 1y x =-，[]0,2x π∈的大致图像，所取的五点是______．【答案】(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π【解析】由“五点法”作函数cos 1y x =-，[0x ∈，2]π的图象时的五个点分别是(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π．【变式1-2】用“五点法”画出下列函数的简图：（1）cos 1y x =-，[],x ππ∈-；（2）sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）sin y x =-，[]0,2x π∈．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）按五个关键点列表xπ-2π-2ππcos x1-0 11cos 1x -2- 1- 01- 2-（2）按五个关键点列表x2π-0 2ππ32πsin x1- 011-描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图（3）按五个关键点列表x0 2ππ32π2πsin x11-sin x -0 1-0 1 0【变式1-3】用“五点法”作下列函数的简图. （1）2sin ([0,2])y x x π=∈；（2）5sin()([,])222y x x πππ=-∈. （3）2sin(2)3y x π=-(x ∈R ).【答案】（1）图象答案见解析；（2）图象答案见解析；（3）图象答案见解析. 【解析】（1）列表如下：x2ππ 32π2π 2sin x 02 0 -2 0描点连线如图：（2）列表如下：x2ππ 32π2π 52πsin()2x π-0 1 0 -1 0（3）函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长为一个周期π的区间上的图象，列表如下：x6π512π23π1112π76π23x π-0 2ππ32π2πy 02 0 -2 0再向左右两边扩展，其图象如下：题型二含绝对值的三角函数【例2】函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0，π]C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像根据各选项判断只有D 选项正确. 故选：D.【变式2-1】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．【答案】图见解析【解析】函数[][]3sin ,0,2sin sin sin ,,0x x y x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩，其图如下所示：【变式2-2】作出函数sin ||,[2,2]=∈-y x x ππ的大致图像. 【答案】图象见解析【解析】列表x0 2ππ32π2πsin ||y x =1 0 -1 0作图：先作出(]0,2π的图像，又原函数是偶函数,图像关于y 轴对称，即可作出[)2,0π-的图像.【变式2-3】作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【答案】图象见解析.【解析】3sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ cos 22,Z 223cos 22,Z 22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图题型三三角函数识图问题【例3】函数1sin =+y x x的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数1sin =+y x x是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数∴其图象关于原点对称，排除选项D ；当(0,)x π∈时，sin 0x >，此时1sin 0x x+>，∴当(0,)x π∈时，()f x 的图象在x 轴上方，排除选项B ；当32x π=时，322sin 10233πππ+=-+<，()f x 的图象在x 轴下方，排除选项C ；综上所述，函数1sin =+y x x的大致图象为选项A .故选：A .【变式3-1】函数2sin 2xy x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令1x =-，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B.故选：A【变式3-2】已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．()sin ln ||f x x x =⋅B ．()sin ln ||f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()|sin ln |f x x x =⋅ 【答案】A【解析】图象关于原点对称，为奇函数，CD 中定义域是0x >，不合，排除，AB 都是奇函数，当(0,1)x ∈时，A 中函数值为负，B 中函数值为正，排除B ．故选：A ．【变式3-3】已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =- 【答案】B【解析】对于A ，()()sin πsin π()f x x x x x f x -=--==，所以函数()sin πf x x x =为偶函数，故排除A ；对于D ，()010f =-≠，故排除D ；对于C ，[]()cos π(1)cos πf x x x x x =+=-，则()()cos πf x x x f x -==-，所以函数[]()cos π(1)f x x x =+为奇函数，故排除C.故选：B.题型四利用图象解三角不等式【例4】不等式2sin ,(0,2)2xx π∈的解集为（） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】2sin ,(0,2)2xx π∈ sin y x =函数图象如下所示：∴344ππ≤≤x ，∴不等式的解集为：3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．【变式4-1】在()0,2x π∈上，满足cos sin x x >的x 的取值范围（）A ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】作出sin y x =和cos y x =在()0,2x π∈的函数图象，根据函数图象可得满足cos sin x x >的x 的取值范围为50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式4-2】在[]0,2π内，不等式3sin x < ） A ．(0，π) B ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】画出y ＝sin x ，[]0,2x π∈的草图如下．[]0,2x π∈内，令3sin x =43x π=或53x π=，结合图象可知不等式3sin x <的解集为45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式4-3】若函数()2sin13f x x π=- ）A ．56,622k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．56,644k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．156,644k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）【答案】B【解析】要使函数有意义，则2sin103x π-≥，即1sin32x π≥，即522636k x k πππππ+≤≤+，k ∈Z ，得156622k x k +≤≤+，k ∈Z ，即函数的定义域为156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.故选：B【变式4-4】已知()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，则(sin 2)f x 的定义域为（） A ．2,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．22,236k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．2,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A 【解析】()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，故由31sin 2x -≤≤解得()422233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ()236k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ 因此，函数(sin 2)f x 的定义域为()22,236k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.【变式4-5】函数y 12log sin x________．【答案】{}22,x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】由1122log sin 0log 1x ≥=知，0sin 1x <≤，由正弦函数图象特征知，22,k x k k Z πππ<<+∈．故定义域为{}22,x k x k k Z πππ<<+∈. 故答案为：{}22,x k x k k Z πππ<<+∈.题型五与正余弦函数有关的零点【例5】函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像与直线23y =-的交点的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像，再画直线23y =-，可知所求交点的个数为2．故选：C ．【变式5-1】已知函数f (x )=12x⎛⎫⎪⎝⎭-sin x ，则f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】令sin 01()2xf x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭= ，则1()sin 2x x =，在同一坐标系中，作出1(),sin 2xy y x ==，如下图所示：由图知，f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B.【变式5-2】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x -=+，[]1,0x ∈-时，()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()()e x g x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为（）A ．2021B ．4043C ．2020D ．4044 【答案】B 【解析】(1)(1)f x f x -=+，()(2)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为2，当[]1,0x ∈-时，()sin()sin()22f x x x πππ=+=-，则当[]0,1x ∈时，()()sin()sin()22f x f x x x ππ=-=--=，由此可作出函数()f x 与函数e -=xy 的大致图象如下，由图象可知，每个周期内有两个交点，所以函数((e))xg x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为2021214043⨯+=个．故选：B ．【变式5-3】函数()sin 3|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（）A ．[2,2]-B ．(1,0)(0,3)-C ．(2,4)D ．(1,4) 【答案】C【解析】当[0,]x π∈时，()sin 3sin 4sin f x x x x =+=，当(],2x ππ∈时，()sin 3sin 2sin f x x x x =+=-，所以函数()f x 的图像如图所示，所以函数()f x 的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点时，(2,4)k ∈.故选：C【变式5-4】已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（）A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-，所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π，所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B。

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象[学习目标]1•了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. -=知识梳理自主学习知识点一正弦曲线正弦函数y = sin x(x€ R)的图象叫正弦曲线.利用几何法作正弦函数y= sin x, x€ [0,2 n]图象的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0, £ n，扌，…，2n等角的正弦线.6 3 2③找横坐标：把x轴上从0到2 n (2 6.28一段分成12等份.④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合.⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y= sin x, x€ [0,2 n]的图象.在精度要求不太高时,y= sin x, x € [0,2 诃以通过找出(0,0),(寸，1), ( n 0) , (# —1),(2 n 0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图.思考在所给的坐标系中如何画出y= sin x, x€ [0,2 7的图象？如何得到y= sin x, x€ R的图象？只要将函数y= sin x, x€ [0,2 n的图象向左、向右平行移动（每次2n个单位长度），就可以得到正弦函数y= sin x, x€ R的图象.知识点二余弦曲线余弦函数y= cos x（x€ R）的图象叫余弦曲线.n n 根据诱导公式sin x+ 2 = cos x, x€ R.只需把正弦函数y= sin x, x€ R的图象向左平移-个单位长度即可得到余弦函数图象（如图）.n 3要画出y = cos x, x€ [0,2従的图象，可以通过描出（0,1）,勺，0，（n - 1）, 0 , （2 n 1）五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y= cos x, x€ [0,2的图象.思考在下面所给的坐标系中如何画出y= cos x, x€ [0,2品的图象？答案题型探究重点突破题型一五点法”作图的应用例1利用五点法”作出函数y= 1-sin x（0 * 2曲）简图. 解（1）取值列表:⑵描点连线，如图所示:跟踪训练1作函数y = sin x , x € [0,2 n 与函数y =— 1 + sin x , x € [0,2冗的简图，并研究它们之间的关系. 解按五个关键点列表：x 0 n2 n3 n ~22 n sin x1 0—1 0—1 + sin x—1 0—1 —2—1利用正弦函数的性质描点作图:x € [0,2 的图象.题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域例2 求函数f(x)= lg sin x +寸16 — x 2的定义域. sin x>0,解由题意得，x 满足不等式组216 — x 2 >0,—4 w x W 4,即作出y = sin x 的图象，如图所示.sin x>0,y =— 1 + sin x , 由图象可以发现，把结合图象可得定义域：x€ [ —4，—nU (0, n)跟踪训练2 求函数f(x)= lg cos x+ 25-x2的定义域.cos x>0解由题意得，x满足不等式组25—"0，cos x>0即—5W迄5，作出y= C0S x的图象，如图所示.结合图象可得定义域:x € —5,—3 nU题型三利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3在同一坐标系中，作函数y= sin x和y= lg x的图象，根据图象判断出方程sin x = lg x 的解的个数.解建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y= sin x, x€ [0,2冗的图象，再依次向左、右连续平移2 n个单位，得到y= sin x的图象.描出点(1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y= lg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin x= lg x的解有3个.跟踪训练3方程x2—cos x = 0的实数解的个数是___________答案2解析作函数y= cos x与y= x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.思韻方法数形结合思想在三角函数中的应用例4函数f(x) = sin x+ 2|sin x|, x€ [0,2冗的图象与直线y= k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.3sin x, x € [0 , n,解f(x)= sin x+ 2|sin x|=—sin x, x€ n 2 n ].图象如图,F当堂检测自查自纠1.函数y= sin x (x€ R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C.直线y= x D .直线x = 22.用五点法画y= sin x, x€ [0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()1 A.(6，2)% 八B.(2, 1)C. ( , 0)D. (2 , 0)3.函数y= sin x, x€ [0,21 亠的图象与直线y= —2的交点为A(X1, y1), B(x2, y2),贝U X1 + x24. 利用五点法”画出函数y= 2-sin x, x€ [0,2的简图.5. 已知O w x< 2 n^试探索sin x与cos x的大小关系.若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范围是(1,3).A'课时精练、选择题n 3 n1函数y= —sin x, x€ —2, y 的简图是()2. 在同一平面直角坐标系内，函数y= sin x, x€ [0,2 与y= sin x, x€ [2 n 4 n的图象（）A .重合B .形状相同，位置不同C.关于y轴对称sin x= 10的根的个数是3.方程4.D .形状不同，位置不同B. 8C. 9D. 10函数A'3 n n5.如图所示，函数y= cos x阳n x|（0且x③的图象是（）D6. 若函数y= 2cos x(0< x< 2 n的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A . 4B . 8C . 2 nD . 4 n二、填空题7. __________________________________________________ 函数y= ” . log^sin x的定义域是_________________________________________________________ .&函数y= _ 2cos x+ 1的定义域是 ___________ .___ 19. 函数f(x) = >,'sin 或为 ---------------- .10. _______________________________________________________________ 设0<x< 2 n,且|cos x—sin x|= sin x—cos x，贝U x 的取值范围为 ______________________ .三、解答题111. 用“五点法”画出函数y = 2 + sin x, x€ [0,2 n的简图.12. 根据y= cos x的图象解不等式:-于三cos x< 2, x€ [0,2 n]13. 分别作出下列函数的图象.(1) y= |sin x|, x€ R；(2) y= sin|x|, x€ R.当堂检测答案1答案 D 2. 答案 A 3. 答案 3n 解析如图所示， _ 3 nx i + X 2= 2 = 3 n. 4.解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3n~22 n sin x 0 1 0 —i 0 y = 2— sin x21232⑵描点连线，图象如图所示:由图象可知 ①当x =m 或x = 5n时，sin x = cos x ；44③当 O W x <n或5n<x< 2 n时，sin x <cos x. 课时精炼答案一、选择题 1•答案 D 2.答案 B5 •解用“五点法”作出sin x>cos x ;解析根据正弦曲线的作法可知函数y= sin x, x€ [0,2 n与y= sin x, x€ [2 n 4n的图象只是位置不同，形状相同.3. 答案Ax解析在同一坐标系内画出y= 10和y= sin x的图象如图所示:¥=血JT根据图象可知方程有7个根.4. 答案D解析由题意得n 32cos x, 0或2 n 炸2,c 冗30, 2<x<2 n.显然只有D合适.5. 答案C解析当冗当2<x< n时，y= cos x • |tan| =—sin x;当n<<3n寸，y= cos x |tax|= sin x,故其图象为C.6. 答案D解析作出函数y = 2cos x, x€ [0,2 n]图象，函数y = 2cos x,x€ [0,2 n的图象与直线y = 2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又••• OA= 2, OC= 2n,S阴影部分=S矩形OABC = 2 X 2 n= 4 n.、填空题7. 答案{x|2k n<<2k n+ n k€ Z}1解析由log2sin x> 0知0<sin x< 1,由正弦函数图象知2kn«2k n+n k€乙… 2 2& 答案2k n—3冗，2k n+ k€ Z1 2 2解析2cos x+ 1> 0 , cos x>—2,结合图象知x€ 2k n— " n, 2k n+" n , k€ Z.9.答案（一4,— nU [0 , n]sin x > 0, 2kx < 2k n+ n,解析2?16— x 2>0 — 4<x<4? — 4<x W — n 或 0 < x W n. 解析由题意知sin x — cos x >0, 即卩cos x W sin x ,在同一坐标系画出 y = sin x , x € [0,2 n 与三、解答题11•解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3 2n 2 n sin x 0 1 0 —1 0 1 ,. 1 3 1 1 1 -+ sin x222222⑵描点、连线，如图所示.12.解函数y = cos x , x € [0,2 n 的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为n, ,5 n 7 n, , 5 n{x|—W x < 或一W x < }3 6 63,.10.答案n 5 n 4，~4y = cos x , x € [0,2n 观察图象知x € 4, 5 n~4 .n 的图象,sin x 2k x< 2k n+n, 13.解(1)y= |sin x|=—sin x 2k n+n<W 2k n+ 2 n(k€ Z).其图象如图所示,sin x x>0 ,(2)y= sin |x| =—sin x x<0 .其图象如图所示,。

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)

第一章三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。

专题50 高中数学正弦函数、余弦函数的图象(解析版)

专题50 正弦函数、余弦函数的图象1．正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．2．正弦函数图象的画法(1)几何法①利用正弦线画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法：①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．3．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．4．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．(2)用“五点法”画余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0， (π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．题型一用“五点法”作三角函数的图象1．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3[解析]依据“五点法”作图规则可知选A.2．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．[解析]x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0)． 3．用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，32π，2πB ．0，π4，π2，34π，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3[解析]由五点作图法，令2x ＝0，π2，π，32π，2π，解得x ＝0，π4，π2，34π，π.4．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )[解析]将x ＝－π2代入y ＝－sin x 中，得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝sin π2＝1.故排除A 、B 、C ，故选D. 5．用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－1＋cos x (0≤x ≤2π)． [解析] (1)①取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121②描点连线，如图所示.(2)①取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1＋cos x－1－2－1②6．用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]；(2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]． [解析] (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x －1－1－1－2－1(2)列表：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x321237．利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． [解析] (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x131－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，3，(π，1)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．(2)列表：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121在直角坐标系中，描出五点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．8．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．[解析]取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)9．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． [解析]列表：x 0 π2 π 3π2 2π －2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x ＋313531描点、10．用“五点法”作下列函数的简图．(1)y ＝2sin x (x ∈[0,2π])；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2. [解析] (1)列表如下：xπ2 π3π2 2π2sin x0 20 －2描点连线如图：(2)列表如下：x π2π 3π22π5π2sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 0 1 0 －1 0描点连线如图：11．用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，11π6的图象． [解析]找出五个关键点，列表如下：u ＝x ＋π60 π2 π 3π2 2π x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 y ＝cos u1－1112．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|sin x |，x ∈R ；(2)y ＝sin|x |，x ∈R.[解析] (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－sin x ，2k π＋π<x ≤2k π＋2π，k ∈Z.其图象如图所示．(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，其图象如图所示．13．作出函数y ＝－sin|x |的图象．[解析] y ＝－sin|x |＝⎩⎨⎧－sin x (x ≥0)，sin x (x <0).其图象如图所示：14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x （－π≤x <0）sin x （0≤x ≤π）.(1)作出该函数的图象；(2)若f (x )＝12，求x 的值．[解析] (1)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x （－π≤x <0）sin x （0≤x ≤π）的图象，如图①所示．(2)因为f (x )＝12，所以在图①基础上再作直线y ＝12，如图②所示，则当－π≤x <0时，由图象知x ＝－π3，当0≤x ≤π时，x ＝π6或x ＝5π6.综上，可知x 的值为－π3或π6或5π6.题型二正弦(余弦)函数图象的应用1．利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合．(1)sin x ≥12；(2)cos x ≤12.[解析] (1)作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z.(2)作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z.2．求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )；(2)y ＝2sin x － 2.[解析] (1)为使函数有意义，则需要满足－cos x >0，即cos x <0.由余弦函数图象可知满足条件的x 为π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z.所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z .(2)为使函数有意义，则需要满足2sin x －2≥0，即sin x ≥22. 由正弦函数图象可知满足条件的x 为π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z.所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .3．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________． [解析]由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝22，由图象可知cos x ＜22的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z . 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π [解析]画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 由图可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. 5．使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z [解析]∵2－2sin x ≥0，∴sin x ≤22，作出y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－3π2，π2内的图象，如图所示，则满足条件的x ∈⎣⎡⎦⎤－5π4，π4.∴使不等式成立的x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .6．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______．[解析]在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0,2π)与y ＝cosx ，x ∈(0,2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4时，sin x >cos x ． 7．利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．[解析]首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以12<sin x ≤32的解集为{x |π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z}．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是________．[解析]在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12图象(略)，由图易得：－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N.9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＜0，π2≤x ≤5的解集是________．[解析]当π2≤x ≤π时0≤sin x ≤1，当π＜x ≤5时sin x ＜0，所以原不等式的解集为(π，5]．10．求函数y ＝sin x －12＋cos x 的定义域．[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧sin x －12≥0，cos x ≥0，得⎩⎨⎧sin x ≥12，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z.所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝sin x －12＋cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋π2(k ∈Z)． 11．已知f (x )是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f (x )·cos x ＜0的解集是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫π2，3C ．(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 [解析]当0＜x ＜1时，f (x )＜0，而此时cos x ＞0，满足f (x )·cos x ＜0；当1＜x ＜3时，f (x )＞0，由cos x ＜0(x ∈(0,3))，解得π2＜x ＜3，故x ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3. 12．函数y ＝2cos 2x ＋1的定义域是( )A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤k π＋π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π3≤x ≤k π＋π3，k ∈Z [解析]依题意得2cos 2x ＋1≥0，即cos 2x ≥－12.作出y ＝cos x 的图象如图所示．由图象得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故选D.13．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝ [解析]根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x 的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．14．画出函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y ＝32的交点个数．[解析]在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.15．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.] 16．在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． [解析]建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个． 17．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 [解析]在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根． 18．方程x ＋sin x ＝0的根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[解析] 设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x ，在同一直角坐标系中画出f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点，则方程x ＋sin x ＝0仅有一个根．19．若方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．[解析]由正弦函数的图象，知当x ∈[0，2π]时，sin x ∈[－1，1]，要使得方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0，2π]上有解，则－1≤4m ＋1≤1，故－12≤m ≤0.20．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数解，求a 的取值范围．[解析]设h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，g (x )＝1－a 2. 作出h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象如图所示．由图可知，当32≤1－a2＜1，即－1＜a ≤1－3时，h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与g (x )＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数解，所以a 的取值范围是(－1,1－ 3 ]．21．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解析]f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3). 22．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根[解析]求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题． f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．故选C.23．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝________.[解析] 解法一：y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点坐标为⎝⎛⎭⎫7π6，－12和⎝⎛⎭⎫11π6，－12，故x 1＋x 2＝7π6＋11π6＝18π6＝3π.解法二：∵A 、B 两点关于x ＝3π2对称，∴x 1＋x 2＝2×3π2＝3π.24．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y＞1；②y＜1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．[解析]列表如下：x －π－π20π2πsin x 0－10101－2sin x 131－1 1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1，所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．25．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解析]观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4.因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴所求封闭图形的面积为4π.题型三正弦函数、余弦函数图象的认识1．下列叙述正确的是()①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．A．0B．1个C．2个D．3个[解析]分别画出函数y＝s i n x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．2．函数y ＝sin|x |的图象是( )[解析]y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x ＜0，结合选项可知选B.3．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] 如图所示为y ＝cos x 的图象．可知三项描述均正确．[答案] D 4．关于三角函数的图象，有下列说法：①y ＝sin x ＋1.1的图象与x 轴有无限多个公共点； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos |x |的图象相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确的序号是________．[解析]对②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos |x |＝cos x ，故其图象相同；对④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称；作图(略)可知①③均不正确． 5．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )[解析]由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2＜x ＜32π.显然只有D 合适．6．如图所示，函数y ＝cos x ·|tan x |0≤x ＜3π2且x ≠π2的图象是( )[解析]当0≤x ＜π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2＜x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ；当π＜x ＜3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C.7．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象 D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象[解析]f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象．8．函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的大致图象是( )[解析] 由余弦函数的图象，可知当－π2<x <π2时，0<cos x ≤1，所以y ＝ln cos x ≤0，故选A.。

正弦函数、余弦函数的图象_优质课件

3) y 3sin(1 x ), x R 一般
35
结论：
函数y Asin(x )及y Acos(x ), x R
( A,,为常数, A 0, 0)的周期T 2
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性（复习）
一般地, •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数
小结回顾
正切函数的基本性质
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有（）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
2
2
y=cosx
y cos x : 定义域为R，值域[1,1]
1
最-6大值1,此-5时 x
2-k4; 最小值-3-1,
此时x
-2
2k
-;
-1
2 3 2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
(2) y sin x, y cosx与y Asin(x ), y Acos(x )间的换元思想

正弦函数余弦函数的图象完整版课件

正弦曲线 y s in x（ x R ）
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx，x∈R的图象在
4,2 ,2,0, 0,2, 2,4,…与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
正弦曲线：ysinx xRy
1
-1
x
-cosx -1 0
1
0 -1
y
y=-cosx x[0,2 ]
1
●
o
●
3●
2
x
2
2
-1 ●
●
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
y 2
y=1+sinx x[0, 2]
1
o
3
2
-1
2
2
x
y=sinx x[0, 2]
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
2 0
2 5
●
11
6 32 3 6
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
y
ysinx x [0 ,2 ]
1-
-
-1
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3
5
2
3
11 6
2
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三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)

三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案－π6考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。

1[1].4.1正弦、余弦函数图像

余弦曲线
y
1
-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
-1 -
o
2π
-
4π
-
6π
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以的图象在……，因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在的图象在， [−4π,−2π] ,[− 2π,0], [0,2π ], [2π ,4π ], …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同与 ∈ 的图象相同
(π , − 1)
π
2 , 0)
3π ( , 0) 2
轴的交点：与x轴的交点： ( 轴的交点
正弦、正弦、余弦函数的图象
画出函数y=1+sinx，x∈[0, 2π]的简图：的简图：例1 画出函数， ∈ π 的简图
x
sinx 1+sinx
y 2 1
0 0 1
π
2
π 0 1
3π 2
2π 0 1 步骤：步骤： 1.列表列表 2.描点描点 3.连线连线
9π −4π − 7π −3π 2 2
5π−2π 3π − 2 2
x∈R
−π
−
π 2
y
1
−
−
-1
π 2
π
3π 2π 5π 2 2
3π
7π 4π 9π 2 2
5π x
y 余弦曲线：余弦曲线： = cos x
−
9π −4π 7π −3π 5π −2π 3π − − − 2 2 2 2
x∈R
−π
−
π 2
y
1
-1
π 2
π
3π 2π 5π 2 2

正弦函数、余弦函数地图像(附问题详解)

正弦函数、余弦函数的图象[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．知识点一正弦曲线正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线．利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象．在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图．思考在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．知识点二余弦曲线余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．根据诱导公式sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．思考在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？答案题型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．解 (1)取值列表：(2)描点连线，如图所示：跟踪训练1 作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系．解按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点作图：由图象可以发现，把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解由题意得，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得定义域：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．解由题意得，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >025－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得定义域：x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤32π，5.题型三利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．解建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．跟踪训练3 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是．答案 2解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．数形结合思想在三角函数中的应用例4 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图可得k 的取值范围是(1,3)．1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A ．(π6，12)B ．(π2，1)C ．(π，0)D ．(2π，0)3．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝ .4．利用“五点法”画出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图．5．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系．一、选择题1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同3．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 4．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )5．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )6．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 二、填空题 7．函数y ＝log 12sin x 的定义域是． 8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是． 9．函数f (x )＝sin x ＋116－x 2的定义域为． 10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为．三、解答题11．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图．12．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]．13．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R .当堂检测答案1．答案 D 2．答案 A 3．答案 3π解析如图所示， x 1＋x 2＝2×3π2＝3π.4．解 (1)取值列表如下：(2)描点连线，图象如图所示：5．解用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .课时精炼答案一、选择题 1．答案 D 2．答案 B解析根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．3．答案 A解析在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．4．答案 D 解析由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.显然只有D 合适．5．答案 C解析当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ；当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C. 6．答案 D解析作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π，∴S 阴影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 二、填空题7．答案 {x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z }解析由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .8．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z .9．答案 (－4，－π]∪[0，π]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，16－x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，－4<x <4 ⇒－4<x ≤－π或0≤x ≤π. 10．答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4. 三、解答题11．解 (1)取值列表如下：(2)描点、连线，如图所示．12．解函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为 {x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}．实用文档文案大全 13．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (x ≥0)，－sin x (x <0). 其图象如图所示，。

正弦函数、余弦函数的图像(基础知识+基本题型)(含解析)

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（基础知识+基本题型）知识点一正弦函数的图象 1.正弦曲线的几何作法正弦函数sin ,y x x R 的图象如图，我们把正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图，在直角坐标系的x 轴上取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆，从圆1O 与x 轴的交点A 起，把圆1O 分成12等份（份数越多，画出的图象越精确）.过圆1O 上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0,,,,,2632等角的正弦线，相应地，再把x 轴上从0到2这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑曲线连接起来，即得sin ,[0,2]y x x 的图象.2.用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的简图在函数sin ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点有五个：(0,0)，(,1)2，(,0)，3(,1)2，(2,0). 一般地，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到正弦函数在[0,2]上的简图.这种方法叫“五点法”.【提示】（1）“五点法”作三角函数图象的实质是分别找到函数图象的最高点、最低点及三个平衡点，这五个点大致确定了函数图象的位置与形状.（2）用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的图象后，将其向左右平移(每次2个单位长度)，可得出sin ,y x x R 的图象.知识点二余弦函数的图象 1.利用图象变换作余弦函数的图象由诱导公式六，有cos sin()2y x x .因此，将正弦函数sin ,y x x R 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数sin()cos ,2y x x x R 的图象. 我们把余弦函数cos ,y x x R 的图象叫做余弦曲线，如图所示.2.用“五点法”作cos ,[0,2]y x x 的简图在函数cos ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点是它与x 轴的交点、函数图象的最高点和最低点，它们的坐标依次为：(0,1)，(,0)2，(,1)，3(,0)2，(2,1).用光滑的曲线将它们连接起来，就得到余弦函数在[0,2]上的简图.【提示】（1）作余弦函数图象时，可通过正弦函数的图象平移得到，但要注意平移的单位长度. （2）作x R 的余弦函数图象，可由cos ,[0,2]y x x 的图象左右平移得到，也可由 sin ,y x x R 的图象向左平移2个单位长度得到.考点一通过图象变换作函数的图象【例1】作函数32sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 解：3sin |cos |2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos 22,Z 22,3cos 22,Z .22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象实际就是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图由于余弦函数的图象是利用诱导公式依据图象变换画出的，故掌握利用诱导公式化简三角函数式也是画三角函数图象的切入点。

正弦函数、余弦函数的图像课件

2．余弦函数的图像 (1)余弦曲线：余弦函数y＝cos x，x∈R的图像叫做余弦曲线．
(2)余弦函数图像的画法：
①要得到 y＝cos x 的图像，只须把 y＝sin x 的图像向左平移 π2个单位长度便可，这是由于 cos x＝ sin(x＋π2)．
②用“五点法”画余弦曲线 y＝cos x 在[0,2π]上的图像时，所取
()
A．y＝sin x
B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x|
D．y＝－|sin x| 解析：由 y＝sin x 的图像知 A 不正确，D 中图像都在 x 轴下方
不正确，当 x＝π2时，由图像知 y<0，故排除 B. 答案：C
[研一题]
[例 3] 在[0,2π]内，使 sin x>cos x 成立的 x 值的取值范围
[悟一法] 1．把y＝sin x的图像在x轴上方的部分保留，x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sin x|的图像． 2．把y＝sin x图像在y轴右侧的部分保留，去掉y轴左侧的图像，再把y轴右侧的图像沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y ＝sin |x|的图像．
[通一类]
2．与图中曲线对应的函数是
是
()
A．(π4，π2)∪(π，54π)
B．(π4，π)
C．(π4，54π)
D．(π4，π)∪(54π，32π)
[自主解答] 用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图．
由图像可知(1)当 x＝π4或 x＝54π时，sin x＝cos x. (2)当π4<x<54π时，sin x>cos x. (3)当 0≤x＜π4或54π＜x≤2π 时，sin x＜cos x.

第四讲正弦、余弦、正切函数的图象与性质(解析版)

第四讲正弦、余弦和正切函数的图像与性质知识提要1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1][－1,1]R单调性[-π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减 [-π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减(-π2＋k π，π2＋k π) (k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ※ 学习评价1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( × )(4)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × )2、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 3、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.例1 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．解析：y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z)．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π；令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π. 令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；∵－4π≤x ≤4π，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为 [－4π，－52π]，[－π2，32π]，[72π，4π]．变式：（1）已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]（2）已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：（1）由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.解析：由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 故选C. 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解析：由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．例3 求下列函数的周期．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)； (2)y ＝cos(1－πx )(x ∈R)； (3)y ＝|sin x | (x ∈R)．解析：(1)方法一令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数f (z )＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (z )＝sin z (z ∈R)的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)的周期是π..方法二 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R)的周期为2π2＝π. (2)设f (x )＝cos(1－πx )，则f (x )＝cos(πx －1)．∵cos[(πx －1)＋2π]＝cos[(πx ＋2π)－1]＝cos[π(x ＋2)－1]＝co s(πx －1)． ∴f (x ＋2)＝f (x )，从而函数y ＝cos(1－πx )(x ∈R)的周期是2. (3)作出y ＝|sin x |(x ∈R)的图象．由图象可知，y ＝|sin x |(x ∈R)的周期为π.例4 (1) 求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域. (2) 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．解（1）∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32(2)设t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，f (t )＝t 2－t ＋1. ∵f (t )＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. ∵－1≤t ≤1， ∴当t ＝－1，即sin x ＝－1时，y max ＝f (t )max ＝3；当t ＝12，即sin x ＝12时，y min ＝f (t )min ＝34.∴函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.巩固提高※夯实基础1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( A )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)2、函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．[0,2]3、求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心．解析：①由π3x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠3k ＋34，k ∈Z .∴ 函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠3k ＋34，k ∈Z }．②T ＝ππ3＝3，∴函数的周期为3.③由k π－π2<π3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z . 解得3k －94<x <3k ＋34，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫3k －94，3k ＋34，k ∈Z . ④由π3x ＋π4＝k π2，k ∈Z . 解得x ＝3k 2－34，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫3k 2－34，0，k ∈Z . 4. 设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．解析：f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22.5. 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .※能力提高6、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2解析：根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 7、函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )解析：|sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．8、已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是 ( ) (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 解析：∵|)6(|)(πf x f ≤， ∴)6(πf 为)(x f 的最小值或最大值，∴ 1)62sin()6(±=+⨯=ϕππf ， ∴ Z k k ∈+=+,23ππϕπ，∴ Z k k ∈+=,6ππϕ.当6πϕ=时，2167sin )622sin()2(-==+⨯=ππππf ，216sin )62sin()(==+=ππππf . 这与)()2(ππf f >矛盾，舍去。

2024年新高一数学初升高衔接《正弦函数、余弦函数的图像》含答案解析

第26讲正弦函数、余弦函数的图象模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象；2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.知识点 1 正弦曲线与余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．【要点诠释】（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质；（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题．2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线．知识点 2 正（余）弦函数的图象1、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤（1）确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；（2）列表：将五个关键点列成表格形式；（3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；（4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；（5）平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。

知识点 3 用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．考点一：“五点法”画正（余）弦函数的图象例1．用“五点法”作出下列函数sin 1y x =-，[0,2π]x ∈的简图：【变式1-1】（22-23高一下·河南·月考）用五点法作出函数π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图象【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·期末）用五点作图法画出cos 2y x =的图象．【变式1-3】用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =-，[]0,2πx ∈；(2)πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．(3)πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦考点二：含绝对值的三角函数图象例2. 当[]2π,2πx ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？(1)sin y x =；(2)sin y x =.【变式2-1】（23-24高一上·四川绵阳·期末）函数()sin f x x =-在区间[]π,π-上的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【变式2-2】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．【变式2-3】（23-24高一上·云南昆明·期末）函数1(cos cos ),[0,2π]2y x x x =-∈的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．考点三：用正（余）弦函数的图象解不等式例3. （22-23高一下·四川南充·月考）不等式1si n ,2x <-[0,2]x πÎ的解集是（）A ．711,66ππ（）B ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．57,66ππ（）D ．25,33ππ（）【变式3-1】（22-23高一下·上海嘉定·期中）不等式[]()1cos π,π2x x ≥∈-的解集为 .【变式3-2】（23-24高一下·广东江门·月考）在()0,2π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围为（）A ．π,π4⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ5π,π,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ3π5π4244⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,【变式3-3】（23-24高一上·江苏淮安·月考）在[]0,2π内函数()ln sin x f x ⎛= ⎝⎭的定义域是（）A ．ππ,43⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3π5π,43⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π3π,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,3π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点四：正（余）弦函数的图象辨识例4. （23-24高一下·北京·期中）设a 是实数，则函数()sin 1axf x a=+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【变式4-1】（22-23高一下·辽宁·月考）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数()sin cos 2f x x x=+的部分图像可能是（）A．B．C．D．【变式4-2】（23-24高一下·重庆·月考）函数()3sin 2x x xf x-=的图象大致为（）A．B．C．D．【变式4-3】（22-23高一下·湖南长沙·期末）函数()1 sin ln1xf x xx -=⋅+的大致图象为（）A．B．C．D．考点五：与正（余）弦函数有关的交点例5. （23-24高一下·陕西·月考）（多选）函数πsin2π3y x x⎛⎫=<<⎪⎝⎭图象与直线y t=（t为常数）公共点的个数可能是（）A．0B．1C．2D．3【变式5-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数()sin f x x =与()cos g x x =的图象在区间[]2π,π-的交点个数为.【变式5-2】（23-24高一下·辽宁盘锦·月考）若函数()sin 3sin f x x x =+在[]0,2πx ∈的图象与直线2y a =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【变式5-3】（23-24高一上·广东江门·期末复习）在同一坐标系中，作函数sin y x =和lg y x =的图像，根据图像判断出方程sin lg x x =的解的个数为．一、单选题1．用“五点法”作2cos 2y x =的图象，首先描出的五个点的横坐标是（）A ．π3π0,,π,,2π22B ．ππ3π0,,,,π424C ．0,π,2π,3π,4πD ．πππ2π0,,,,63232．（23-24高二上·福建福州·月考）函数()cos 0y x x =-≥ 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（）A ．π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()π,1C ．()0,1D ．()2π,13．（22-23高一下·山西朔州·期中）函数()cos f x x =，ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为（）A ．BC ．12-D ．124．（23-24高一上·浙江温州·月考）设a 为常数，且满足sin 1a x =+，且[]π,πx ∈-的x 的值只有一个，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．1或2D ．0或25．（23-24高一上·山东青岛·期末）当(0,2π)x ∈时，函数()sin f x x =与()|cos |g x x =的图象所有交点横坐标之和为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．（22-23高一上·江苏淮安·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数cos ()2sin ||x xf x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题7．函数()sin 2sin f x x x =+，[]0,2πx ∈的图象与直线y k =的交点个数可能是（）A ．1B ．2C ．4D ．68．（22-23高一下·江西抚州·期中）函数cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =（t 为常数，R t ∈）的交点可能有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、填空题9．已知函数()32cos f x x =-+的图象经过点π,3b ⎛⎫⎪⎝⎭，则b =．10．（23-24高一下·山东威海·月考）方程sin tan x x =在区间3π3π,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上解的个数是．11．（23-24高一上·湖南长沙·月考）若()5533cos sin 3sin cos θθθθ-<-且[)0,2πθ∈，则θ的取值范围为 .四、解答题12．用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =，[]0,2πx ∈；(2)πsin 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x ，π5π[,33x ∈-.(3)1πsin()23y x =-在一个周期（4πT =）内的图像．13．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数()sin y x α=+，其中α为三角形的内角且满足1cos 2α=.(1)求出角α.（用弧度制表示）(2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数()sin y x α=+，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中x 轴上每格的长度为π,6y 轴上每格的长度为1）x α+02πxy第26讲正弦函数、余弦函数的图象模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象；2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.知识点 1 正弦曲线与余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．【要点诠释】（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质；（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题．2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线．知识点 2 正（余）弦函数的图象1、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤（1）确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；（2）列表：将五个关键点列成表格形式；（3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；（4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；（5）平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。

正弦函数、余弦函数的图象课件

正弦函数、余弦函数的图像
正弦曲线与余弦曲线及其画法
函数
y＝sinx
y＝cosx
图象
图象画法
五点法
五点法
关键五点
(0,0)，π2，1 ，(π，0)，32π，－1 ，(0,1)，π2，0 ，(π，－1)，32π，0 ，
(2π，0)
(2π，1)
1．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象的优缺点 (1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线做出正、余弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为烦琐． (2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法，要切实掌握好．与五点法作图有关的问题经常出现在高考试题中．
类型一用“五点法”作三角函数的图象 [例 1] 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx＋12，x∈[0,2π]； (2)y＝1－cosx，x∈[0,2π]．
【解】 (1)按五个关键点列表：
x
0
π －1 0
12＋sinx
1 2
3 2
1 2
－12
1 2
1．正弦曲线和余弦曲线的关系
2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象的优缺点 (1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为烦琐． (2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
1．用“五点法”画 y＝sinx，x∈[－2π，0]的简图时，正确的五个点应为( )
|自我尝试| 1．下列对函数 y＝cosx 的图象描述错误的是( ) A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线 y＝1 与直线 y＝－1 之间 C．关于 x 轴对称 D．与 y 轴只有一个交点

正余弦函数图像(推荐完整)

x
小结
体会推导新知识时的数形结合思想；理解解决类三角函数图像的整体思想；对比理解正弦函数和余弦函数的异同。
x0
sinx
,
π 2
x∈[0，2 π
]的简图
3π 2
2π
0
1
0
-1 0
1sinx
1
2
1
01
2 y . y 1 sinx,x [0,2π]
1.
.
.
o -1
.
π 2

3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
课堂练习：画出y=-cosx , x∈[0，2]的简图
x
0
π
π 3π 2π
y cosx cos(x) sin[π(x)]
sin(π x)
2
2
注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线
π
向左平移 2个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。
正弦、余弦曲线
y 1
y = sin x, x∈R
-2
-
o
x

2
3
4
-1
y = cos x, x∈R
例1：画出y=1+sinx
正弦函数、余弦函数的图像
引入：sin a ,cos a ,tan a 的几何意义是什么?
y
T
1P
A
oM 1 x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
一. 用几何方法作正弦函数y=sinx，x[0，2] 的图象：
2
32
5
6

7
6
4
3
3
2
y
3
y=sinx ( x [0, 2] )

专题36正弦函数、余弦函数的图像(解析版)

专题36 正弦函数、余弦函数的图像考点1 正弦函数的图像1.函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是()A．B．C．D．【答案】B【解析】按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示：2.用“五点法”画y＝sin x，x∈[－2π，0]的简图时，正确的五个点应为()A．(0,0)，(π2,1)，(π，0)，(3π2,−1)，(2π，0)B．(0,0)，(−π2,−1)，(－π，0)，(−32π,1)，(－2π，0)C．(0,1)，(π2,0)，(π，1)，(32π,0)，(2π，－1)D．(0，－1)，(−π2,0)，(－π，1)，(−32π,0)，(－2π，－1)【答案】B【解析】由五点法作图的概念可知B正确．3.函数y＝sin(2x－π3)在区间[－π2，π]的简图是()A．B．C．D．【答案】B【解析】当x＝－π2时，y＝sin[(2×(－π2)－π3]＝－sin(π＋π3)＝sinπ3＝√32＞0，故排除A，D；当x＝π3时，y＝sin(2×π3－π3)＝sin0＝0，故排除C，故选B.4.给出下列说法：①作正弦函数的图象时，单位圆的半径与x轴的单位长度要一致；②y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)对称；③y＝sin x，x∈[π2，5π2]的图象关于直线x＝3π2对称；④正弦函数y＝sin x的图象不超出直线y＝1和y＝－1所夹的区域．其中，正确说法的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】作出正弦函数y＝sin x的图象，可知①②③④均正确．5.已知函数f(x)＝|sin x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝12的所有根的和等于() A．0B．πC ．－πD ．－2π【答案】A【解析】若f (x )＝12，即|sin x |＝12，∴sin x ＝12或sin x ＝－12，∵x ∈[－2π，2π]，∴方程sin x ＝12的4个根关于x ＝－π2对称，则对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π.由对称性可得sin x ＝－12的四个根之和为2π.故选A.6.如下图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧⌒AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】如下图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2sin θ，l ＝2θR ＝2θ， ∴d ＝2sin l 2，根据正弦函数的图象知，C 中的图象符合解析式.7.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是()A．[－1,1]B．(1,3)C．(－1,0)∪(0,3)D．[1,3]【答案】B【解析】由题意知，f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]＝{3sinx，x∈[0，π)－sinx，x∈[π，2π],在坐标系中画出函数图象：由其图象可知当直线y＝k，k∈(1,3)时，与f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，故选B.8.求函数f(x)＝lgsin x＋√16−x2的定义域.【答案】由题意，知x满足不等式组{sinx＞0，16−x2≥0,即{－4≤x≤4，sinx＞0，作出y＝sin x的图象，如图所示：结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).考点2 余弦函数的图像8.对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：①向左向右无限伸展；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图所示为y＝cos x的图象.可知三项描述均正确.9.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A．4B．8C．2D．4π【答案】D【解析】作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，其与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.10.若方程|cos x|＝ax＋1恰有两个解，则实数a的取值集合为()A．(－2π，－23π)∪(23π，2π)B．(－2π，0)∪(0，2π)C．[－2π，2π]D．{－2π，2π}【答案】D【解析】作出函数y＝|cos x|和y＝ax＋1的图象，由图象可知当直线经过点(π2，0)或(－π2，0)时，两个图象有两个交点，此时a ＝－2π或2π，故实数a 的取值集合为{－2π，2π}.11.利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图.【答案】(1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示：12.根据y ＝cos x 的图象解不等式：－√32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]. 【答案】函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为{x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}.考点3 正弦函数和余弦函数的综合应用13.在(0,2π)内使sin x＞|cos x|的x的取值范围是()A．(π4,3π4)B．(π4,π2]∪(5π4,3π2]C．(π4,π2 )D．(5π4,7π4)【答案】A【解析】∵sin x＞|cos x|，∴sin x＞0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈(π4,3π4).14.函数f(x)＝sin x的图象与g(x)＝cos x的图象关于某条直线对称，这条直线可以是()A．x＝3π4B．x＝3π2C．x＝－7π2D．x＝－7π4【答案】D【解析】设这条直线是x＝a，∵函数f(x)＝sin x的图象与g(x)＝cos x的图象关于x＝a对称，∴sin(2a－x)＝cos x，即有cos[π－(2a－x)]＝cos x，2∴可解得π－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，2故有a＝π－kπ，k∈Z，4.∴当k＝2时，a＝－7π415.若0＜x＜π，则2x与πsin x的大小关系是()2A．2x＞πsin xB．2x＜πsin xC．2x＝πsin xD．与x的取值有关【答案】B【解析】在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsin x的图象，如图所示：观察图象易知：当x＝0时，2x＝πsin x＝0；时，2x＝πsin x＝π；当x＝π2)时，函数y＝2x是直线段，而曲线y＝πsin x是上凸的.所以2x＜πsin x，故选当x∈(0,π2B.16.已知a是实数，则函数f(x)＝a cos ax的图象可能是()A．B．C．D．【答案】C【解析】函数f(x)＝a cos ax，因为函数f(－x)＝a cos(－ax)＝a cos ax＝f(x)，所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为π，所以a＝2，所以B错误，C正确.17.在同一坐标系中，曲线y＝sin x与y＝cos x的图象的交点是()A．(2kπ+π2,1)B．(kπ+π4k √2)C．(kπ+π2,(−1)k)D．(kπ，0)k∈Z【答案】B【解析】在同一坐标系中，画出曲线y＝sin x与y＝cos x的图象，观察图形可知选项B正确，18.若函数f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a－1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个零点x1，x2(x1≠x2)，则x 1＋x 2－a 的取值范围是( ) A ．(π3−1,π3+1)B ．[π3,π3+1)C ．(2π3−1,2π3+1)D ．[2π3,2π3+1)【答案】B【解析】函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a －1的周期为π，令2x ＋π6＝π2，求得x ＝π6，可得函数在y 轴右侧的第一条对称轴方程为x ＝π6. 由于函数的两个零点为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝2×π6＝π3.由函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a －1(a ∈R )在区间[0，π2]上有两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)，可得y ＝2sin(2x ＋π6)的图象和直线y ＝1－a 在区间[0，π2]上有两个交点. 由x ∈[0，π2]，可得2x ＋π6∈[π6，7π6]，2sin(2x ＋π6)∈[－1,2]，∴1≤1－a ＜2，求得－1＜a ≤0，故0≤－a ＜1， ∴π3≤x 1＋x 2－a ＜π3＋1.19.如图是函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，|φ|≤π2)图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝√3，则φ的值为( )A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】D【解析】根据函数f(x)＝A sin(2x＋φ)(A＞0，|φ|≤π2)图象的一部分，可得A＝2，周期为2π2＝π，∴b－a＝π2.由f(x1)＝f(x2)，可得函数的图象关于直线x＝x1x22＝a+b2对称，故a＋b＝x1＋x2.由五点法作图可得2a＋φ＝0,2b＋φ＝π，∴a＋b＝π2－φ.结合f(a＋b)＝f(π2－φ)＝2sin(π－2φ＋φ)＝2sinφ＝f(x1＋x2)＝√3，可得sinφ＝√32，∴φ＝π3.20.函数y＝x－2sin x在区间[－π2，π2]上的图象大致为()A．B．C．D．【答案】D【解析】f(－x)＝－x＋2sin x＝－f(x)，∴函数为奇函数，故排除A，B，f(π3)＝π3－√3，f(π6)＝π6－1，f(π6)＞f(π3)，即在x＝π3时，取到最小值，排除C，故选D.21.已知函数f(x)＝sinπx和函数g(x)＝cosπx在区间[0,2]上的图象交于A，B两点，则△OAB的面积是()A．3√28B．√22C．5√28D．3√24【答案】A【解析】如图所示，∵sinπx ＝cosπx ＝sin(π2－πx )，x ∈[0,2]，∴解得πx ＝π－(π2－πx )＋2k π，k ∈Z (无解)或πx ＝π2－πx ＋2k π，k ∈Z ， ∴解得x ＝14＋k ，k ∈Z ，且x ∈[0,2]，∴x ＝14或54，∴解得坐标A (14，√22)，B (54，－√22).∴解得直线AB 所在的方程为y －√22＝－√2(x －14)，联立方程y ＝0，可解得，x ＝34，OC＝34.∴S △OAB ＝S △OAC ＋S △COB ＝12×OC ×√22＋12×OC ×√22＝3√28.故选A.22.函数f (x )＝2sin πx －11−x ，x ∈[－2,4]的所有零点之和为________. 【答案】8【解析】设t ＝1－x ，则x ＝1－t ，原函数可化为g (t )＝2sin(π－πt )－1t ＝2sinπt －1t ，其中，t ∈[－3,3]，因g (－t )＝－g (t )，故g (t )是奇函数，观察函数y ＝2sin πt 与曲线y ＝1t 的图象可知，在t ∈[－3,3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 7＋t 8＝0，从而x1＋x2＋…＋x7＋x8＝8.23.设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________.【答案】[π4,5π4]【解析】由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系内画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，观察图象知x∈[π4,5π4].24.若函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为____.【答案】π2【解析】由题意可得，函数的周期为2×2＝2πω，求得ω＝π2.25.已知0≤x≤2π，试探索sin x与cos x的大小关系.【答案】用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图.由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ； ②当π4＜x ＜5π4时，sin x ＞cos x ；③当0≤x ＜π4或5π4＜x ≤2π时，sin x ＜cos x .。

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