张量分析ppt课件

AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一
组给定的i1,…,im
;
j1,…,jn值，Aj1L
、B jm
j1L
jn
都是确定的实数。
记 。则： C A B i1 im j1 jn
j1 jm j1 jn
AB C Ci1L im j1L i L jn i1 iim i j1 L i jn BA C Ci1L im j1L i L jn j1 i jn ii1 L iim
二阶张量与四阶张量的（双）点乘： （3.1-10k） A : Φ （Amnimin）（: ijkl iii jik il）（Amnijkl ) (im ii )(in i j )ik il Aijijkl ik il 由（3.1-10e）、（3.1-10f）、（3.1-10g）、（3.1-10j）、 （3.1-10k）定义单位矢量（一阶单位张量）、二阶单位张 量和四阶单位张量。即满足：
一阶张量与一阶张量的张量积：
uv (uiii ) (u ji j ) uiu jiii j Aijiii j A
;
二阶张量与一阶张量的张量积：
A P2
（3.1-10a）
Au （Aijiii j） （uk ik）（Aijuk）iii jik Φ ;
一阶张量与二阶张量的张量积：
Φ P3
（3.1-10b）
张量积：设张量 A Pm ; B Pn ；则 A和 B的张量积按：
A B AB ( Ai1L im Bj1L jn )ii1 L iim i j1 L i jn B A BA ( Ai1L im Bj1L jn )i j1 L i jn ii1 L iim
（3.1wenku.baidu.com4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般
A B （Aijiii j）（ Bmnimin）（Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjniiin
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aijiii j ) : (Bmnimin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
一阶张量与二阶张量的（一）点乘：
u A (uiii ) ( Amnimin ) (ui Amn )(i i im )in um Amnin
二阶张量与一阶张量的（一）点乘：
A u ( Amnimin ) (uiii ) (ui Amn )im (i nii ) un Amnim
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
张量分析
3.1 张量代数运算
在§1.5节中由多重线性映射给出了张量空间。且对任意同 阶张量 A ; B Pm ; F ，（1.5-7）、（1.5-8）式给出了张量 （同阶）的加法运算和张量的数乘运算。若按（1.5-9）、 （1.5-10）定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减 运算按：
A B ( Ai1L im Bi1L im )ii1 L iim Ci1L im ii1 L iim C
;
定义。而数乘运算按：
A 、B 、C Pm
A ( Ai1L im )ii1 L iim ; A Pm ; F
定义。
（3.1-1） （3.1-2）
按（3.1-1）和（3.1-2）式容易得出：
A B ( Ai1L im Bi1L im )ii1 L iim
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。
（3.1-5） （3.1-5a）
r点乘（积）：设 A Pm ; B Pn ; C Pmn2r ; r minm,
A、B张量的r点乘：
A(r )B ( Ai1L im ii1 L iim ) (r )(B j1L i L jn j1 i jn )
( A i L i i L i )( )(B i L i i L i ) r
i1L imrimr1L im i1
imr imr1
im
j1L jr jr1L jn j1
jr jr1
jn
A B i L i i L i i1L im imr1L im jr1L jn i1
imr jr1
jn
A B i L i i L i i1L imr j1L jr j1L jn i1
imr jr1
四阶张量与二阶张量的（双）点乘：
Φ : A （ijkl iii jik il）（: Amnimin）（ijkl Amn ) iii j (ik im )(il in ) ijkl Akl iii j
（3.1-10d） （3.1-10e） （3.1-10f） （3.1-10g） （3.1-10h） （3.1-10i） （3.1-10j）
uA （uk ik） （Aijiii j）（Aijuk）ik iii j Ψ
;
Ψ P3
（3.1-10c）
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB （Aijiii j（) Bmnimin）（Aij Bmn）iii jimin Φ ;
一阶张量（全）点乘：
Φ P4
u v （uiii）（ v ji j）（uivi）
（3.1-8）
A(r )B B(r ) A [ A(r )B](s )C A(r )[B(s )C]
（3.1-9）
由（3.1-4a）和（3.1-6）式给出的是任意阶张量间的张量 积和 r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时，更常 见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。
设u、v是一阶张量（矢量）。A、B、C是二阶张量。则：
jn
C ; ( r minm, n )
n 。则定义 （3.1-6）
当m = n = r时，A(r )B 称为A全点乘B。且记为：
A(
r
)B
A⊙B
（3.1-7）
由定义（3.1-6）式可知：
A(r （ ) B C） A(r )B A(r )C
（B
C）(
r
)A
B(r
)A
C (r
)A
但必须注意一般情况下：
A Pm ; B Pn ; C, C Pmn
（3.1-4a）
张量间的张量积运算有如下性质：
1．
A(B C) AB AC (B C)A BA CA B, C Pn ; A Pm
2． A(BC) (AB)C ABC A Pn ; B Pm ; C Ps
（证明由读者自行完成）