湖南省长沙市长郡中学2021届高三上学期第三次月考数学试题
湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高三上学期月考(三)数学试题
(2)已知 是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.如图,在 中,内角 、 、 的对边分别为 、 、 .已知 , , ,且 为 边上的中线, 为 的角平分线.
(1)求 及线段 的长;
(2)求 的面积.
19.如图①,在菱形 中, 且 , 为 的中点,将 沿 折起使 ,得到如图②所示的四棱锥 .
过点P,M,Q的平面截正四棱锥 得等腰 ,截球O1,球O2,…得对应球的截面大圆,如图:
显然 , , ,令N为圆 与PM相切的切点,
则 ,设球 的半径为 ,即 ,因为 ,则
显然, ,解得 , ,
设球 与球 相切于点T,则 ,设球 的半径为 ,同理可得 ,即 ,
设球 的半径为 ,同理可得 ,即球 ,球 , ,球 的半径依次排成一列构成以 为首项, 为公比的等比数列 ,
【详解】
由图可知, ,故 ,故 ,故排除A B;
又函数 关于 对称,由图象可知, ,故C错,D正确;
故选:D.
4.A
由 可得 ,进而将条件代入求解即可.
【详解】
, ,
故选:A
【点睛】
本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.
5.B
由直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系判断即可.
【详解】
设 , ,则 为实数,A选项正确.
设 , ,则 ,正确.
,其共轭复数是 ,C选项错误.
设 是方程的实根,
则 , , .D选项正确.
故选:ABD.
11.ABC
选项A,取 的中点 ,利用三角形知识得垂直关系,再利用线面垂直的判定定理证明 平面 ;选项B,利用 平面 ,可得 ;选项C,先作出并证明所求的二面角为 ,再利用直角三角形知识求解;选项D,利用反证法,假设 平面 ,再证明 平面 ,得到 ,与 与 的夹角为 矛盾来说明.
湖南省长郡中学2021届高三数学第三次适应性考试试题 理.doc
湖南省长郡中学2021届高三数学第三次适应性考试试题理本试题卷共8页,全卷满分150分。
注意事项:1.答题前,考生可能需要输入信息。
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2.选择题的作答:请直接在选择题页面内作答并提交。
写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内或空白纸张上,按规定上传。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑,或者在空白纸张上注明所写题目,然后开始作答。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合{x∈N*|12x∈Z}中含有的元素个数为A.4B.6C.8D.122.设a,b∈R,i是虚数单位,则“复数z=a+bi为纯虚数”是“ab=0”的A.充要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3.2021年10月1日上午,庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行。
这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量,更是让世界感受到了中国的日新月异。
今年的阅兵方阵有一个很抢眼,他们就是院校科研方阵。
他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校,学历分别有学士、硕士、博士学位。
现知道:①甲不是军事科学院的;②来自军事科学院的不是博士;③乙不是军事科学院的;④乙不是博士学位;⑤国防科技大学的是研究生。
则丙是来自哪个院校的,学位是什么A.国防大学,博士B.国防科技大学,研究生C.国防大学,研究生D.军事科学院,学士4.(1x+x+y2)8的展开式中x-1y2的系数为A.160B.240C.280D.3205.已知a=ln3,b=log3e,c=logπe(注:e为自然对数的底数),则下列关系正确的是A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a6.函数()()2ln1x xe ef xx--=+,在[-3,3]的图象大致为7.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是A.828πB.8216π+ C.1628π D.16216π8.已知a∈(0,2π),β∈(-2π,0),且cos(4π+α)=13,cos(4π-2β)3,则cos(α+2β)=3353D.69.已知F1,F2是双曲线C:2221(0)xy aa-=>的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C 相交于A,B两点,若|AB|2,则△ABF2的内切圆的半径为23222310.已知数列{a n}的通项公式为a n==2n+2,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题
长郡中学2021届高三月考试卷(一)数学本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给田的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22A x x =-≤≤∣,{}lg(1)B x y x ==-∣.则A B =( ) A. {}2x x ≥-∣ B. {}12x x <<∣ C. {}12x x <≤∣ D. {}2xx ≥∣ C根据对数函数的定义域化简{}lg(1)B x y x ==-∣,再利用交集的运算求解即可. 由题意得,{}{}lg(1)1B x y x x x ==-=>∣∣, 因为{}22A xx =-≤≤∣, 所以{}12A B xx =<≤∣,故选:C. 本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算,属于基础题.2. 已知复数z 满足()3425z i -=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限D化简复数z ,进而可得出复数z 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.()()()25342534343434i z i i i i +===+--+,则34z i =-, 复数z 在复平面内对应的点是()3,4-,在第四象限,故选:D.本题考查复数对应的点所在象限的确定,考查了复数的除法法则以及共轭复数的应用,属于基础题.3. 已知a b c <<且0a b c ++=,则下列不等式恒成立的是 A. 222a b c << B. 22ab cb <C. ac bc <D. ab ac <C∵0a b c ++=且a b c <<,∴0,0a c <>. ∴ac bc <. 选C .4. 在ABC 中,2BD DC =,AE ED =,则BE =( ) A.1536AC AB - B. 1536AC AB -+C. 1136AC AB -+D. 1136AC AB --A根据2BD DC =,AE ED =,结合平面向量的加法和减法运算,利用平面向量的基本定理求解. 【详解】如图所示:因为AE ED =,2BD DC =, 所以()12BE BA BD =+, ()1223BA AC AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 1536AC AB =-,故选:A 5. 设函数2()log f x x x m =+-,则“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是(1,6)m ∈的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B由函数基本初等函数的单调判断函数()f x 的单调性,由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点,则102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,(4)0f >,即可求出参数的取值范围,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可; 解:函数2()log f x x x m =+-在区间()0,∞+上单调递增,由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点,则11022f m ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭,(4)60f m =->,解得162m -<<,故“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是“(1,6)m ∈”的必要不分条件.故选:B.本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断,属于基础题.6. 已知实数a ,b ,c 满足1lg 10b a c==,则下列关系式中不可能成立的是( )A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>D设1lg 10ba t c ===,分别表示出,,a b c ,构造函数,利用函数图象比较大小. 设1lg 10ba t c ===,0t >,则10t a =,lgb t =,1c t=,在同一坐标系中分别画出函数10x y =,lg y x =,1y x=的图象,如图,当3t x =时,a b c >>;当2t x =时,a c b >>;当1t x =时,c a b >>.故选:D. 本题考查利用函数的图象比较大小,构造函数,画出图象是关键. 7. 已知3sin cos 72sin 3cos αααα+=-,则函数2()sin 2tan |cos |6f x x x α=+-的最小值为( )A. -5B. -3C. 2-D. -1A由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-可求出tan α值,再将()f x 化为关于cos x 的二次函数,即可根据二次函数的性质求出最小值. 由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-,有3tan 172tan 3αα+=-,解得tan 2α=,故222()sin 2tan |cos |6cos 4|cos |5(|cos |2)1f x x x x x x α=+-=-+-=---, 故当|cos |0x =时,()f x 取最小值5-.故选:A.本题考查分式型三角函数的化简,以及关于二次型三角函数的最值问题,属于基础题.8. 设函数2()2f x x xlnx =-+,若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,使()f x 在[a ,]b 上的值域为[(2)k a +,(2)]k b +,则k 的取值范围是( ) A. 9221,4ln +⎛⎫⎪⎝⎭B. 9221,4ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 9221,10ln +⎛⎤⎥⎝⎦D. 9221,10ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C判断()f x 的单调性得出()(2)f x k x =+在1[2,)+∞上有两解,作出函数图象,利用导数的意义求出k 的范围.解:()'21f x x lnx =--,1()2f x x''=-,∴当12x时,()0f x '', ()f x ∴'在1[2,)+∞上单调递增,11()()2022f x f ln ∴''=->,()f x ∴在1[2,)+∞上单调递增,[a ,1][2b ⊆,)+∞,()f x ∴在[a ,]b 上单调递增,()f x 在[a ,]b 上的值域为[(2)k a +,(2)]k b +,∴()(2)()(2)f a k a f b k b =+⎧⎨=+⎩, ∴方程()(2)f x k x =+在1[2,)+∞上有两解a ,b .作出()y f x =与直线(2)y k x =+的函数图象,则两图象有两交点.若直线(2)y k x =+过点1(2,912)42ln +, 则92210ln k +=, 若直线(2)y k x =+与()y f x =的图象相切,设切点为0(x ,0)y ,则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪-+=⎩,解得1k =. 922110ln k+∴<,故选:C . 本题考查了函数的单调性,导数的几何意义,零点个数与函数图象的关系,属于中档题. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分.部分选对的得3分. 9. (多选题)下列命题中正确的是( ) A. ()0,x ∃∈+∞,23x x >B. ()0,1x ∃∈,23log log x x <C. ()0,x ∀∈+∞,131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭BD本题可通过当(0,)x ∈+∞时213x⎛⎫< ⎪⎝⎭判断出A 错误,然后通过当(0,1)x ∈时2log 0x <、3log 0x <以及223log log 31log xx =>判断出B 正确,再然后可通过取12x =判断出C 错误,最后可通过当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭判断出D 正确.A 项:当(0,)x ∈+∞时,22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,即23x x<恒成立,A 错误;B 项:当(0,1)x ∈时,2log 0x <且3log 0x <,因为3322333log log 2log 1log 31log log log 2xx x x ===>,所以23log log x x <恒成立,B 正确;C 项:当12x =时,122x⎛⎫= ⎪⎝⎭,13log 1x =,此时131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭,C 错误;D 项:由对数函数与指数函数的性质可知,当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭恒成立,D 正确,故选:BD.关键点点睛:本题考查全称命题和特称命题的真假判断,主要考查学生对指数函数和对数函数的性质的理解,解题时全称命题为真与存在命题为假需要证明,而全称命题为假和存在命题为真只要举一例即可,考查推理能力,是中档题.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1a p =,122n n S S p --=(2n ≥,p 为非零常数),则下列结论正确的是( ) A. {}n a 是等比数列B. 当1p =时,4158S =C. 当12p =时,m n m n a a a +⋅=D. 3856a a a a +=+ABC由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义,判断出A 正确;利用等比数列的求和公式判断B 正确;利用等比数列的通项公式计算得出C 正确,D 不正确. 由122(2)n n S S p n --=≥,得22p a =. 3n ≥时,1222n n S S p ---=,相减可得120n n a a --=, 又2112a a =,数列{}n a 为首项为p ,公比为12的等比数列,故A 正确; 由A 可得1p =时,44111521812S -==-,故B 正确; 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m nm np p ++⋅=⋅,可得12p =,故C 正确;38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭, 则3856a a a a +>+,即D 不正确;故选:ABC. 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力.11. 已知函数()f x 满足:对于定义域中任意x ,在定义域中总存在t ,使得()()f t f x =-成立.下列函数中,满足上述条件的函数是( ) A. ()1f x x B. 4()f x x = C. 1()2f x x =+ D. ()ln(21)f x x =-ACD由题意转化条件为函数()f x 的值域关于原点对称,逐项判断即可得解. 由题意可得函数()f x 的值域关于原点对称, 对于A ,函数()1f x x 的值域为R ,关于原点对称,符合题意;对于B ,函数4y x =的值域为[0,)+∞,不关于原点对称,不符合题意; 对于C ,函数1()2f x x =+的值域为(,0)(0,)-∞+∞, 关于原点对称,符合题意; 对于D ,函数()()ln 21f x x =-的值域为R ,关于原点对称,符合题意;故选:ACD . 本题考查了常见函数值域的求解,考查了转化化归思想,属于基础题.12. 下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >,0>ω,0||x ϕ<<)部分图象,下列结论正确的是( )A. 函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π ABD根据函数图象求出()f x 的解析式,根据正弦型函数的性质判断选项正误. 由已知,2A =,2543124T πππ=-=,因此T π=, ∴22πωπ==,所以()2sin(2)f x x ϕ=+,过点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因此43232k ππϕπ+=+,k ∈Z ,又0||ϕπ<<, 所以6π=ϕ,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对A ,2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于原点对称,故A 正确;对B ,当12x π=-时,012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,故B 正确; 对C ,由222262k x k πππππ-≤+≤+,有36k x k ππππ-≤≤+,k ∈Z 故C 不正确;对D ,当231212x ππ-≤≤时,2[0,4]6x ππ+∈,所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ,2x ,3x ,4x ,12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=,故D 正确.故选:ABD.本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式,以及分析正弦型函数的性质,属于基础题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若向量2a =,2b =,()a b a -⊥,则向量a 与b 的夹角等于_________.4π 先利用垂直关系得到2a b ⋅=,再利用数量积求夹角的余弦值,根据范围即求得夹角. 因为向量2a =,2b =,()a b a -⊥,故2()0a b a a a b -⋅=-⋅=,即22a b a ⋅==.设向量a 与b 的夹角为θ,则[]0,θπ∈,[]cos 0,22a b a b θθπ⋅===∈⋅,故4πθ=.故答案为:4π.14. 若42log (4)log a b +=+a b 的最小值是___________.94根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简,结合基本不等式利用1的代换进行转化求解即可.解:424log (4)log log (4)a b ab +==,44a b ab ∴+=,4040a b ab +>⎧⎨>⎩得00a b >⎧⎨>⎩,得414a bab+=, 即1114b a+=, 则111559()()1214444444a b a a b a b b a b ab a +=++=++++=+=, 当且仅当4a bb a=,即2a b =时取等号, 即+a b 的最小值为94,故答案为:94.本题主要考查不等式的应用,结合对数的运算法则得到等式条件,结合1的代换是解决本题的关键.15. 《易经》中记载着一种几何图形一一八封图,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习,去测量当地八卦田的面积如图,现测得正八边形的边长为8m ,代表阴阳太极图的圆的半径为2m ,则每块八卦田的面积为___________2m .162162π+-由图可知,正八边形分割成8个全等的等腰三角形,顶角为45︒,设等腰三角形的腰长为a ,利用正弦定理可求出a 的值,再利用三角形的面积公式求解即可. 由图可知,正八边形分割成8个全等的等腰三角形, 顶角为360458︒=︒, 设等腰三角形的腰长为a ,由正弦定理可得8135sin 45sin2a =︒︒, 解得13582sin 2a ︒=,所以三角形的面积211351cos13582sin sin 4532216(21)222S ︒-︒⎛⎫=︒=⋅=+ ⎪⎝⎭, 则每块八卦田的面积为()22116(21)216216m 82ππ+-⨯⨯=+-.故答案为:162162π-.本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式.属于较易题.16. 已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{}n a 前48项之和为___________.1176先写出前几项与1a 的关系,观察找规律发现相邻奇数项的和为2,偶数项中,每隔一项构成公差为8的等差数列,由等差数列的求和公式计算即可得到所求值,代入求解{}n a 前48项之和即可.由1(1)21nn n a a n ++-=-,则211a a =+,32132a a a =-=-, 431 57a a a =+=-,5417a a a =-=,65199a a a =+=+,761112a a a =-=-, 8711315a a a =+=-,…可知相邻奇数项的和为2,偶数项中,每隔一项构成公差为8的等差数列,由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.因()()()1357451721224a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=⨯=,()()246816482610464818a a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+, 而()()()2610461111198954012a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+,()()()484811117159561212a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-, 所以数列{}n a 前48项之和为()()112454012612121176a a +++-=. 故答案为:1176.本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题 ①2252b c +=;②ABC 的面积为;③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .在已知2b c -=,A 为钝角,sin A =(1)求边a 的长;(2)求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.选择条件见解析;(1)8a =;(2)1764. (1)方案一:选择条件①,结合向量数量积的性质可求bc ,进而可求b ,c ,然后结合余弦定理可求;方案二:选择条件②:由已知即可直接求出b ,c ,然后结合余弦定理可求;方案三:选择条件③,由已知结合三角形的面积公式可求bc ,进而可求b ,c ,然后结合余弦定理可求.(2)由余弦定理可求cos C ,然后结合同角平方关系及二倍角公式,和差角公式即可求解. 方案一:选择条件①(1)由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩,解得64b c =⎧⎨=⎩,A 为钝角,sin A =1cos 4A =-,则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,故8a =;(2)2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯,∴sin 8C ==,∴217cos 22cos 132C C =-=,sin 22sin cos C C C ==, ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=; 方案二:选择条件②(1)sin A =1sin 28ABC S bc A bc ===△∴24bc =, 由242bc b c =⎧⎨-=⎩,解得64b c =⎧⎨=⎩, 则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,故8a =;(2)2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯,∴sin 8C ==,∴217cos 22cos 132C C =-=,sin 22sin cos C C C ==,∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=; 方案三:选择条件③:(1)A 为钝角,sin A =1cos 4A =-,2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-,24bc =, 由242bc b c =⎧⎨-=⎩,解得6b =,4c =,则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,故8a =;(2)2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯,∴sin C ==,∴217cos 22cos 132C C =-=,sin 22sin cos 32C C C ==, ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式,和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用,属于中档试题. 18. 已知()x x mf x e e-=+是偶函数. (1)求实数m 的值;(2)解不等式(2)(1)f x f x ≥+;(3)记{}()ln (3)()1ln 32xg x a f x e a x -⎡⎤=--+--⎣⎦,若()0g x ≤对任意的[0,)x ∈+∞成立,求实数a 的取值范围.(1)1m =;(2){1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭;(3)[]1,3.(1)利用偶函数的定义求解;(2)先分析原函数的单调性,再结合奇偶性解不等式(2)(1)f x f x ≥+;(3)先写出函数()g ln (3)1ln32xx a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦,然后将()0g x ≤转化为ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦,即23(3)10x x ae a e +--≥恒成立,转化为二次不等式恒成立问题求解.(1)因为()x x mf x e e=+是偶函数,则()()f x f x =-对任意实数x 恒成立, 即xxx xm m e e e e --+=+, 1(1)0x x m e e ⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意实数x 恒成立,则1m =;(2)()1xxf x e e =+,1()xx f x e e '=-,当0x >时,()0f x '>,()f x 在[0,)+∞上是增函数, 又因为()f x 是偶函数,∴(2)(1)(|2|)(|1|)|2||1|f x f x f x f x x x ≥+⇔≥+⇔≥+,两边平方可得23210x x --≥,解得1≥x 或13x ≤-;故不等式的解集为{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭;(3)()ln (3)1ln32x g x a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦,问题即为ln (3)1ln32xa e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立,显然0a >,首先(3)10x a e -+>对任意[0,)x ∈+∞成立,即130xa e a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩,因为[0,)x ∈+∞,则1334xe <+≤,所以03a <≤, 其次,ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦,即为ln32(3)1x a xa e e+-+≤, 即23(3)10x x ae a e +--≥成立,亦即()()3110x xe ae +-≥成立,因为310x e +>,所以10x ae -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立,即max1x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭所以1a ≥,综上,实数a 的取值范围为[]1,3.本题考查函数的单调性、奇偶性的综合运用,考查不等式的恒成立问题,其中函数与不等式的结合求参问题是难点,考查学生分析转化问题的能力.19. 已知正项等差数列{}n a 中,12a =,且12,1a a -,3a 成等比数列,数列{}n b 的前n 项和为112n S b ⋅=,()*122n n n S S b n N +=+∈. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)设11n n n n c b a a +=+,求数列{}n c 的前n 项和n T . (1)31n a n =-;12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭;(2)711623(32)n n ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(1)根据题意,结合等差数列的通项公式,求得3d =,即可求得数列{}n a 的通项公式,再由122n n n S S b +=+,化简得到112n n b b +=,结合等比数列的定义,即可求解; (2)由(1)可得1111233132nn c n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭,结合等比数列的求和公式和“裂项法”求得n T 即可.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 由12a =,且12,1a a -,3a 成等比数列, ∴2(1)2(22)d d +=+, 即2(1)4(1)d d +=+, 由已知0d >, ∴14d +=, ∴3d =,∴31n a n =-; 由122n n n S S b +=+得:11222n n n n S S b b ++-==, ∴()112g n n b n N b +=∈ 数列{}n b 是首项为12,公比为12的等比数列,则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭;(2)111111112(31)(32)233132n nn n n n c b a a n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴21111111111222325583132nn T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112211171113232623(32)12nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 本题主要考查等差、等比数列的通项公式的应用、以及“裂项法”求和的应用,此类题目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,属于中档题.20. 已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数,且相邻同对称轴间的距离为2π. (1)当,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的单调递减区间;(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数()g x 的值域. (1)单调递减区间为,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦;(2)[-.(1)利用三角恒等变换化简()f x 的解析式,根据条件,可求出周期T 和ω,结合奇函数性质,求出ϕ,再用整体代入法求出,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内的递减区间;(2)利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律,求出()g x 的解析式,再利用正弦函数定义域,即可求出,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域.(1)())cos()2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭,因为相邻两对称轴间的距离为2π,所以T π=,2ω=, 因为函数为奇函数,所以6k πϕπ-=,6k πϕπ=+,k Z ∈, 因为0ϕπ<<,所以6π=ϕ,函数为()2sin 2f x x =, ,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,22x ππ-≤≤,()f x 单调递减,需满足22x ππ-≤≤-,∴24x ππ-≤≤-,所以函数()f x 的单调递减区间为,24x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦;(2)由题意可得:()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴24333x πππ-≤-≤,∴1sin 43x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,()[g x ∈-,即函数()g x 值域为[-.本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域,包括周期性,奇偶性,单调性和最值,还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.21. 倡导环保意识、生态意识,构建全社会共同参与的环境治理体系,让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ,首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ,设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r 可由函数模型()()0.5*0015,n pn r r r r p R n N +=--∈∈给出,其中n 是指改良工艺的次数.(1)试求改良后n r 的函数模型;(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m .试问:至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标?(参考数据:取lg 20.3=)(1)()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ;(2)6. (1)根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ,首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ,得到02r =,1 1.94r =,然后再令1n =求解. (2)根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m ,得到0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤求解.(1)由题意得02r =,1 1.94r =, 所以当1n =时,()0.510015pr r r r +=--⋅,即()0.51.9422 1.945p+=--⋅,解得0.5p =-,所以()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . (2)由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-, 取lg 20.3=代入,得5lg 2302115.31lg 27⨯+=+-, 又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.方法点睛:在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y =N (1+p )x (其中N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.22. 已知点,1x e P x ⎛⎫⎪⎝⎭,(,sin )Q x mx x +,O 为坐标原点,设函数()()f x OP OQ m R =⋅∈.(1)当2m =-时,判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性; (2)若0x ≥时,不等式()1f x ≥恒成立,求实数m 的取值范围. (1)函数()f x 在(,0)-∞上单调递减;(2)[2,)-+∞.(1)由题意结合平面向量的数量积运算可得()2sin x f x e x x =-+,求导后可得()0f x '<,即可得解;(2)当0x =时,易得()1f x ≥恒成立;当0x >时,求导得()cos x f x e m x '=++,设()cos x g x e m x =++,求导可得()2g x m >+,按照2m ≥-、2m <-分类,结合函数()f x 的单调性、(0)1f =即可得解.(1)由已知(),1(,sin )sin x xe f x OP OQ x mx x e mx x x ⎛⎫=⋅=⋅+=++ ⎪⎝⎭,当2m =-时,()2sin x f x e x x =-+,()2cos x f x e x '=-+, 当0x <时,1x e <,又cos 1≤x ,则()2cos 0x f x e x '=-+<, 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减;(2)①当0x =时,()11f x =≥,对于m R ∈,()1f x ≥恒成立; ②当0x >时,()cos x f x e m x '=++, 设()cos x g x e m x =++,则()sin x g x e x '=-, 因为e 1x >,sin 1x ≤,所以()sin 0x g x e x '=->,()g x 在(0,)+∞上单调递增, 又(0)2g m =+,所以()2g x m >+,所以()'f x 在(0,)+∞上单调递增,且()2f x m '>+, (ⅰ)当2m ≥-时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增, 因为(0)1f =,所以()1f x >恒成立,符合题意; (ⅱ)当2m <-时,(0)20f m '=+<, 因为()'f x 在(0,)+∞上单调递增,又当ln(2)x m =-时,ln(2)()cos 2cos 0m f x e m x x -'=++=+>, 则存在0(0,)x ∈+∞,对于()00,x x ∈,()0f x '<恒成立, 故()f x 在()00,x 上单调递减,所以,当()00,x x ∈时,()(0)1f x f <=,不合题意. 综上,所求m 的取值范围为[2,)-+∞.本题考查了导数的应用,考查了运算求解能力及逻辑推理能力,合理转化条件是解题关键,属于中档题.。
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷(三)
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷(三)一、单选题1.设集合{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,4A B C ===,则()A .AB =∅B .A B C= C .A C C= D .A C B= 2.在复平面内,复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称,则12z z =()A .34i-+B .34i--C .5D3.已知向量a ,b 满足3a = ,b = 且()a ab ⊥+ ,则b 在a方向上的投影向量为()A .3B .3-C .3a- D .a-r 4.已知函数()f x 的定义域为R ,()54f =,()3f x +是偶函数,[)12,3,x x ∀∈+∞,有()()12120f x f x x x ->-,则()A .()04f <B .()14f =C .()24f >D .()30f <5.若正四棱锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上,则该正四棱锥的侧面积为()A .24B .32C .96D .1286.已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切,则实数a 的值为()A .1B .2C .3D .47.在直角坐标系中,绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π(0)2αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ()42ββ<<交单位圆于B 点,若A 点的纵坐标为1213,且OAB △的面积为4,则B 点的纵坐标为()A .2-B .C .D .8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为()0,,A F c 是双曲线C 的右焦点,点P 在直线2x c =上,且tan APF ∠C 的离心率是()A .B .2C .D .4+二、多选题9.函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则下列选项中正确的有()A .()f x 的最小正周期为2πB .2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C .()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .把函数=的图象上所有点向右平移π12个单位长度,可得到函数3sin 2y x =的图象10.在长方体1111ABCD A B C D -中,1222AB AA AD ===,点P 满足AP AB AD λμ=+,其中[0,1]λ∈,[0,1]μ∈,则()A .若1B P 与平面ABCD 所成角为π4,则点P 的轨迹长度为π4B .当λμ=时,1//B P 面11ACD C .当12λ=时,有且仅有一个点,使得1A P BP ⊥D .当2μλ=时,1A P DP +11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中,中国队以69.800分的成绩夺得金牌,这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案,它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 、、后所得三条曲线与C 围成的(如图阴影区域),,A B 为C 与其中两条曲线的交点,若1p =,则()A .开口向上的抛物线的方程为212y x =B .A =4C .直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D .阴影区域的面积大于4三、填空题12.若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则2a =.13.已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩,若函数()2y f x =-有3个零点,则实数a 的取值范围是.14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积,若n n T a m +=,其中常数0m >,数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则m =.四、解答题15.记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()b c a b c a bc +-++=.(1)求A ;(2)若D 为BC 边上一点,3,4,BAD CAD AC AD ∠∠==,求sin B .16.如图,三棱柱111ABC A B C -中,160A AC ∠=︒,AC BC ⊥,1A C AB ⊥,1AC =,12AA =.(1)求证:1A C ⊥平面ABC ;(2)直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4,求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值.17.人工智能(AI )是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人,参与一场答题挑战.若开始基础分值为m (*m ∈N )分,每轮答2题,都答对得1分,仅答对1题得0分,都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12,每轮答题相互独立,每轮结束后机器人累计得分为X ,当2X m =时,答题结束,机器人挑战成功,当X 0=时,答题也结束,机器人挑战失败.(1)当3m =时,求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望;(2)当4m =时,求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.18.已知椭圆G22+22=1>>0的长轴是短轴的3倍,且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,,A B 是椭圆左右顶点,过,A B 做椭圆的切线,取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q (P 在Q 的左侧),并过,P Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点,直线RP 交点A 的切线于I ,直线RQ 交点B 的切线于J ,过R 作AB 的垂线交IJ 于K .(1)求椭圆的标准方程.(2)若()1,2R ,直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ,求12k k 的值.(3)求证:IK IA JKJB=19.对于函数()f x ,若实数0x 满足00()f x x =,则称0x 为()f x 的不动点.已知0a ≥,且21()ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A .以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素.(1)若0a =,求A 的元素个数及max A ;(2)当A 恰有一个元素时,a 的取值集合记为B .(i )求B ;(ii )若min a B =,数列{}n a 满足12a =,1()n n n f a a a +=,集合141,3nn k k C a =⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑,*N n ∈.求证:*N n ∀∈,4max 3n C =.。
湖南省长郡中学2021届高三月考试卷(二)数学(Word版)
长郡中学2021届高三月考试卷(二)数 学本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={}{}2340=28x x x x B x --≤>, ,那么集合AB=A. (3,)+∞B. [1,)-+∞C. [3,4]D. (3,4] 2.设i 是虚数单位,若cos sin z i θθ=+,且其对应的点位于复平面的第二 象限,则θ位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则点P 的坐标为 A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,3)和(-1,3) D. (1,-3)4.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为A.83 B. 43C. 3D. 35.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+ C. sin 2cos 2y x x =+ D. sin cos y x x =+6.已知直三棱柱ABC- A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为 A.3172 B. 10 C. 132D. 3107.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1 cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率π的近似值为A.41p - B. 11p - C. 114p - D. 14(1)p - 8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足212n n n a a S +=.且0n a >,则10S =A.10B. 11C. 10311-D.11二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.已知函数2()lg(1)f x x ax a =+--,给出下述论述,其中正确的是 A.当a =0时, ()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B. ()f x 一定有最小值;C.当a =0时, ()f x 的值域为R;D.若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是{}4a a ≥ 10.已知02παβ<<<,且tan ,tan αβ是方程220x kx -+=的两不等实根, 则下列结论正确的是A. tan tan k αβ+=-B. tan()k αβ+=-C. 22k >D. tan 4k α+≥ 11.正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 、G 分别 为BC ,,CC 1,BB 1的中点.则 A.直线D 1D 与直线AF 垂直 B.直线A 1G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等12.已知函数3()sin f x x x ax =+-,则下列结论正确的是A. ()f x 是奇函数B.若()f x 是增函数,则a ≤1C.当3a =-时,函数()f x 恰有两个零点D.当3a =时,函数()f x 恰有两个极值点 三、填空题:本题共4小题.每小题5分,共20分. 13.在71(3)x x-的展开式中,41x 的系数是_______ 14.已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF,则AF BC ⋅的值为_______15.已知函数()sin(33)cos(22)f x x x ϕϕ=++,其中ϕπ<,若()f x 在区间2(,)63ππ上单调递减,则ϕ的最大值为___________。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
B
ABFP
轴的垂线交抛物线于点,记
P
,则的值为(
)
2
4
8
A.
B.
C.6
D.
二、多项选择题(本题共小题,每小题分,共分)
4520
9.针对当下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查,其中被调查的男
4
3
女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢抖音的人数占女生人数的,若有
10
当进行到第次时,即停止抽球;记停止抽球时已抽球总次数为X,求X的数学期望.(精确到小数点后1
位)
9
4
9
4
11
k1
k1
k
k
9
10
1.80
2.05
,
参考数据:
,
10
5
10
5
k2
k2
11
9
4
11
9
4
k
k
k
k
9
10
10.79
13.32.
k
k
,
10
5
10
5
k2
k2
一、选择题(本题共小题,每题分,共分)
8540
n
2a12a13
n
a
n
n
n
C,D
19.在如图所示的圆柱OO
中,为圆O的直径,
AB
是AB
的两个三等分点,,,都是圆柱
EAFCGB
1
1
2
OO
1
的母线.
2
的
FO//
(1)求证:
平面ADE;
1
(2)设BC=1,已知直线
(解析版)湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考数学(理科)
长郡中学2021届高三月测试卷〔数学〔理科〕第I卷〔共60分〕一、选择题:本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合{y E N|y = -/十6〕E M}的真子集的个数是〔〕A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】二函数y =-工之l•3KE^^ x = 0. 1,2时,y分别等于63 2在[0,十面上是减函数,,*二3 时,y <0, J. {y EN¥=-/+0K EN}={工5,6}一,该集合的所有真子集为@闭,⑸,⑹:口5}#2,6*5⑹,,该集合的真子集个数为7,应选C.2 .变量X?■成负相关,且由观测数据算得样本平均数",y =3.5,那么由该观测数据算得的线性回归方程可能是〔〕A. y .1三B. .:,-'C. V - ;:D. ■■』■!【答案】C【解析】由变量x、y负相关,知A, B不正确,把代入C, D方程只有C满足,应选C.3.命题P:% E 〔y,0〕, 2%工3%,命题卬队E 〔o,|j, tanx >或ux,那么以下命题为真命题的个数是〔〕①口*q;②pv「q〕;③④pZF.A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案】B2 靠【解析】•「当x<.时,总有〔广1 ,即八命题P为假,从而不为真,■■■当匹吟|时,tanx-sinx --- ---------------- >.,即面ix>Wnx.又命题q为真,二〔¥〕八9, pVq为真,真命题的个数cosx是工应选B.4 .复数工满足小1 = ।十]〔:为虚数单位〕,那么工的共轲复数工A. । - -B.C. T 十D. ।【解析】由于Z7 = l十],所以(1+1)(-1) , gPz= 1-1, E的共轲复数』=1十i,应选A.5 .执行如下图的程序框图,那么输出的结果是( )A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C2 2 3【解析】第一次循环,S = log^,口= 2 ;第二次循环,S = log3- + = 3 ;第三次循环,J 3 45 = log3- ।匕g%- log2-Ji = <..,第n次需环,.234 , n , 2 2.一一.S = 10g3- + l0g2-卜iQg广1-- + ——一= ------ 浦=n + 1 ,令Wgr ------ < 一己,解得口> 1 5,八输出M 5 F + 1 F + 1 n- 1的结果是n十1 = 16,应选C.6 .f(x)为奇函数,函数[(X)与虱K)的图象关于直线丫=工十1对称,假设2⑴=4,那么£(-3)=( )A. -2B. 2C. -1D. 4【解析】解析:由题意设P〔1冉关于y = x+I的对称点Mo,那么,解之得二;那么}』〔32〕在函数y = f〔x〕的图像上,故f〔3〕= 2,那么f〔-3〕= -2,应选答案B.7 .实数x;y满足|x| < y + I ,且T M y M I ,那么z = 2x十y的最大值〔〕A. 2B. 4C. 5D. 6jn11* ■:c、f y > X-1 T x > 0根据题意,约束条件为:y<-x-Lx<0 约束条件围成的图形如图 A.ABC ,,-1 <y< 1z = 2x + >化为y =-2x+z,平移予=-2x十乙当二;时,y =-六+ z在Y轴上的截距m取得最大值,z = 2x + y = 2x2+ 1 = 5,应选C.【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞:〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕;〔2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解〕;〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.8 .某空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为〔〕【解析】解析:由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉以半圆锥的组合体,其体积 型=,2小2E 应选答案B . 3 3 3「 3兀9 .假设函数 f(x) = sinsx 斗小CQSSK R E R),又®) = -2 , f(p)=.,且o.-fJ|的最小值为一,那么正数m 的 值是()A. B. C. D.3 2 3 3【答案】D/ 7C\ 乳 7T 二(冗 5jt 【解析】f(x) = 2洞ox 4,由 f(o) = -2,得切口 । - =的兀一出 E Z ,口 = ------------- ,由 f(p) =.,3/ 3 2 co 6o) 3.工 2时,|a-p 取得最小值—,那么—=一,解得团=-,应选D.2<0 4 310.如图,正三棱柱AB .A[Bgi 的各条棱长均相等,D 为AA1的中点,M,N 分别是线段口蜕和 线段CJ 上的动点(含端点),且满足BM = gN .当M,N 运动时,以下结论中不正确的选项是()A.平面DMN 1平面BCCBB. 三棱锥A 】DMS 的体积为定值C. ADMN 可能为直角三角形D. 平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,三【答案】C如图,当M,N 分别在上运动时,假设满足BM = C[N,那么线段MN 必过正方形BCCiE .的中央.,而D0 1平面BCCiB]/平面DMN1平面BCC|B 「A 正确;当MN 分别在 BBpCC]上运动时,AA 】DM 的面积不变,N 到平面A 】DM 的距离不变,的棱锥N-AQM 的体积不..,了 : . . ; .|, 那么 a B _ 2<k r k ^ ,八」dR --------------- co71 2©4(k 「kr)兀 f2<o、kWZ ,变,即三棱维A 「DMN 的体积为定值,E 正确;假设为直角三角形,那么必是以 AfDN 为直 角的直角三角形,但的最大值为BG ,而此时DMDX 的长大于BBp 二Z\DMN 不可能为直角三角形,C 错误;当M,N 分别为BBpCC ]中点时,平面DMN 与平面ABC 所成的角为0,当M 与B 重 7E合,N 与G 重合时,平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角最大,为 ,C|BC 等于j, ,•.平面DMN 与n 7Txf-1) sin ----- 1- 2dx E [组2tl + l\(nEN),假设数列{4}满足11 .i- i . 7CX(—1)“+ 2n + 2,x E [2n + l,2n - 2),a m = ^mXmEN*〕,数列{鼠〔的前加项的和为兀,那么瓦通一与小 〔 〕A. 909B. 910C. 911D. 912 【答案】A7tx1(-l)nsin — + 2ax E [2n,2n + 1)【解析】函数f(x)=」,n E N ,数列k J 满足(—I/1 siny - 2口 ▼ 2,x E [2n 十[,2n 十 2)斗u = f ⑹(m EN"),二斯/一蹑二的7十%吕+…十%5 二.4M , 49JF . 52?c .. . “、人. sin,— । 2 x 48 + 2-sm ----- + 2 x 49 । ... । sm — । 2 乂 52 4 2 = 909 ,应选 A.2 2 2 12.函数f(、) = x + /F , g(x) = iMx 十2)-4 ,其中1c 为自然对数的底数,假设存在实数 4,使口与)-虱飞)=3成立,那么实数a 的值为( )A.B. In...C. .D. .【答案】B_ ___ , 一 , 1 K + 1 ,, 【解析】令 Rx 〕-g 〔K 〕=x-i e - ln 〔x -I 2〕'I 4e ,令丁 = x- ln 〔x + 2〕 y 1 = l -- -- ----- ,故x + 2 x + 2y =x-ln 〔x +2〕在上是减函数,〔-1,十◎上是增函数,故当K = T 时,y 有最小值-1-0 =-1 , 由根本不等式得『一〞十命一〞之4〔当且仅当= 4/一",即x = a 十足之时,等号成立〕;故f 〔x 〕-g〔x 〕=3〔当且仅当等号同时成立时,等号成立〕,故x=a 十ln2=-1,即a = Tn2-1,应选B.【方法点睛】此题主要考查利用导数求最值、根本不等式求最值以及转化与划归思想的应用, 属于难题.利用根本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正, 二定,三相等〞的内涵:平面ABC 所成的锐二面角范围为〔0,: D 正确,应选C.11.函数Rx 〕一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值〔和定积最大,积定和最小〕;三相等是,最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是屡次用3或•工时等号能否同时成立〕第n卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分,总分值20分,将答案填在做题纸上〕13.抹展开式的常数项为15,贝।sin2x〕dx =., -a【答案】23 -—1 十_j- q【解析】由题意得:T _] = 〔96-『,〔_火〕『=〔_]〕『.产,c:• x之,令3i;r = 0,即r = X D a C「15,,a - --7=15, /.a4= 1. ■■ a> 0, = 1 ,2 乂1H 1 I I 1'JG1 + sin2x〕dx = Jjl -x2d x + J sin2xdx = 法,根据定积分的几何意义可得Jjl—x?dK-a -1 -1 -1 -1表示半径为I的半圆的面积,【方法点晴】此题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及定积分的几何意义,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比拟明确,主要从以下几个方面命题:〔1〕考查二项展开式的通项公式T『+i = C/LE ;〔可以考查某一项,也可考查某一项的系数〕〔2〕考查各项系数和和各项的二项式系数和;〔3〕二项展开式定理的应用.14 .向量满足:|a| = |b| = I ,且「E = L 假设c = xa十yl 其中x>0 , y >0且x+y = 2 ,那么|c 的最小值是.【答案】忑【解析】v|a| =|b| =1 ,且a -〔? = -,当c = xa 十?后时,c2= x2a3I 2xya - b I y气,,= x2+xy +/=〔x + y〕2-xy,又x>0,y > 0 且x i y = 2, - xy r< | = 1 ,当且仅当x = y = I 时取“=",二/ > 〔x r广笥丫= 231 = 3-、向的最小值是后,故答案为忑.15 .将正整数12分解成两个正整数的乘积有I第12, 2 乂6, 3三种,其中3,4是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称3丈4为12的最正确分解.当P'q 〔PWq且p,qEN* 〕是正整数口的最正确分解时,我们定义函数f〔n〕= q—p,例如f〔12〕= 4-3 = I .数列/⑨?的前100项和为【解析】当口为偶数时,耳片=0;当n 为奇数时,丁〞、,' ' f(3n ) = 3 2 一3 二S1翼=2(3°-31+…十3勺=2 x --------- = 3,0-1,故答案为产7.3_1 16 .如图,正方体ABCD-AjBgiD]的棱长为3,在面对角线A 】D 上取点M,在面对角线CD 】上取点N ,使得MN II 平面AAgg ,当线段YN 长度取到最小值时,三棱锥 AI-MND]的体积为【答案】1【解析】试题分析:如以下图所示,建立空间直角坐标系,从而可设,Y(m0m) , NB ,n,3-n),• - XdN = (-m,n n 3_n m),而面•工CC-看 的■个法向量是 n=( 1,1,0) , •1- XIN ■ n = O^m = n , 「• xfrj2 = 十 n* 十(3一口-m)* = 2m* 十I 9 = 6(m -])1 + 3 > 3 , 当且仅当m = 1时,等号成立,此时%%/加]=V N -AM D]乂 2" = ],故填:। .考点:立体几何中的最值问题.【思路点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题,处理时常用如下两种方法:1 .结合条件与 图形恰当分析取得最值的条件;2 .直接建系后,表示出最值函数,转化为求最值问题.三、解做题 (本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)n-1 n-1口=2x3?,17.某高校在今年的自主招生测试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为 5组制出频率分布直方图如下图〔1〕求4d 的值;〔2〕该校决定在成绩较好的 3、4、5组用分层抽样抽取 6名学生进行面试,那么每组应各抽多 少名学生?〔3〕在〔2〕的前提下,面试有 4位考官,被抽到的 6名学生中有两名被指定甲考官面试,其余4名那么随机分配给3位考官中的一位对其进行面试,求这 4名学生分配到的考官个 数X 的分布列和期望.【答案】〔1〕前,03, 20, 0.2; 〔2〕第三组应抽3人,第四组应抽2人,第五组应抽I 人;〔3〕 65 . 27【解析】试题分析:〔1〕由频率分布直方图,求出成绩有 [85,90〕中的频率,由此根据频率与频数的关系能求出abc 的值;〔2〕组的学生数分别为3d20,10 ,由此能求出用分层抽样抽取6名学生进行面试,每组应各抽多少名学生;〔3〕由得X 的可能取值为123,分别求出相应的概率,由此能求出这 4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望. 试题解析:〔1〕由题意知 b = o.oe X 5 = 0.3 , a = 100 x 0.3 = 30 , d = I -0.05-035 -03-0.1 =0.2 c= 100x0.2=20 ..30〔2〕三个组共60人,所以第三组应抽人, 20 10第四组应抽6、二=1人,第五组应抽6乂二=1人.60 60 (3) X 的所有可以取的值分别为 1,2,3叱=】)=#=万/+ 14 -P(X = 2) =-------- ----- =—(或 P(X = 2) =27组号分组;粮教 频率1 [75,80) 产30.05 2 [80,85) 350,353 [85,90) a4 [90,95) r d5[95JOO)100, 1C ■设一 2) 144 一P(X = 3)=——=-(或 P(X = 3) = IT 9 所以X 的分布列为:14 27所以X 的数学期望E 〔X 〕 = 1【方法点睛】此题主要考查直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中 档题.求解该类问题,首项要正确理解问题,其次要准确无误的随机变量的所以可能值,计 算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要 过三关:〔1〕阅读理解关;〔2〕概率计算关;〔3〕公式应用关.就18.在3ABe 1中,内角A,B,C 所对的边分别为 电b,c,.=2,〔3 = §. 〔1〕当 2sin2A ++ C 〕 = siriC 时,求 AABC 的面积;〔2〕求.AABC 周长的最大值.【答案】〔1〕亍;〔2〕6.【解析】试题分析:〔1〕由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式化简可得23mAeosA = sinBcosA ,分类讨论先分别求出 久,B ,再求出a,b 的值,利用三角形面积公式即可计 算得解;〔2〕由余弦定理及条件可得:/十产rb = 4,利用根本不等式可得〔a + b 〕3 = 4 । 3册玉4 + 3史型-,解得a 『bW4,从而可求周长的最大值.由 2sm2A + sin(2B + C) = sinC得 241nAe 口SA = sinBeosA ,当时,sinB = 2sinA ,由正弦定理b = 2日,联立 2点4小解得b=?T,, 一,―…1 2小故二角形的面积为试题解析:a -+b - - ab = 4b = 2a〔2〕由余弦定理及条件可得:.由〔g+= 4十3处三4十3〔a;b〕得& ± b < 4 ,故AABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到 .19.如下图,直三棱柱ABC-中,AB=AC = 2, 0为-G的中点,E为的中点.B 民〔1〕求证:C^ill 面ARD;〔2〕假设AB[J-面A]DB,求二面角B %D瓦的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析;〔2〕—.4【解析】试题分析:〔1〕设AB1与AR交于F,连接DF.EF, •••EFIIBBJICC],那么EF与CQ平行且相等..♦・四边形EgDF为平行四边形,由线面平行的判定定理可得结果;〔2〕以BC的中点口为原点,分别以OE. OA方向为x轴和工轴正方向,以方向为y轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果 ^试题解析:〔1〕设居1与交于F,连接DF、EF,••• EFII BB仲CC1?那么EF与C]D平行且相等..•・四边形EC]DF为平行四边形..CjE IDF,又DF 匚面A]DB, C】E仁面ARB ,,C]E II 面ARD.〔2〕以BC的中点.为原点,分别以OB、OA方向为x轴和工轴正方向,以CC]方向为y轴正方向, 建系如图,设8=K, AAj = y,那么有H〔xaO〕, A〔0A^4^'〕, E]〔xy0〕, 一冬〔.邛<777〕, D卜.•・班= 〔-2x:0〕,..叫=〔-居媪匚♦,,赢1 =〔x,y-J4.x方由AB[,面A]DB ,那么H;A ■ BAj = 0,E;A liD = 0.那么1尸.、解得门.所以面ARD的法向量为_0]=〔12.我,又设面ARD的法向量为S =〔a,b,c〕, 口云「QI.〕,A自=〔】.,我,A1B1n = O, DB1 n = O,所以隹.二;,令a =收那么s瑜」〕,J7.、下-5出击..•",•.・■1 - .S ,尽44所以二面角的余弦值为—.4【方法点晴】此题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角,属于难题.证实线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证实两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.此题〔1〕是就是利用方法①证实的.20.数列kn}满足为7, %+]=相1卜产1-4口〔武短〕.〔1〕是否能找到一个定义在因’的函数Rn〕=A,2n T I 〔4B、C1是常数〕使得数列{日口一出口〕}是公比为3的等比数列,假设存在,求出{%}的通项公式;假设不存在,说明理由;〔2〕ifiS1]=a l i-a2 iq 一। %,假设不等式'r?>p x非对任意“ E N〞都成立,求实数p的取值范围.【解析】试题分析:1「由即+1 = 3a n + 2n 1- 4n可得(n + 1) - 3f(n) = 2n-1 - 4n ,纪合f(n 4- 1) - 3f(n) = - A ' 2n 1 - 2Bn + (B - 20 ,对应项系数相等列不等式组求解即可;⑶ 先利用分组求和法求得£门二2n + r? + 2rv化简5n -n2> px 3rl可得p < \ ." +工口= 1,中II I 11 I ■3n试题解析:(1) 8n(口 + l)=地1r氏项,•.•%+[= 3% । Rn 7)-3f(n),所以只需.,■, i,■,二二匕1 '二,•二? ?.即::二T.‘‘」:・; 1 ・3〞一.:一•.7 ,,1 - 一.二"'' 「二n .(2 ::.二:i- 3.•一:1:・;I ・二•••二:・二. ・n • .「' + ..:二,2 + 2n 2 - 2n=. ________2n-2n 2n- 4n + 2 2n-2(2n- I)当n"时,/=〔I + 1广十u/] 一…十黑;十C:;三2十五n- l〕= 2n>2n- I 二.n"时,% + 产%.容易验证,当15W3时,% + ]三,,73一 ,O 1・•.p的取值范围为〔-叫\ 81 /21 .f(x) = e'(ax,- x 十]).〔1〕当aWO时,求证:f〔x〕< I ;〔2〕当a >0时,试讨论方程f〔x〕=]的解的个数.【答案】〔1〕证实见解析;〔2〕林」时,方程一个解;当林J且4.时,方程两个解.2 , 2【解析】试题分析:〔1〕f〔x〕三l=e*〞〔ax,十x十】〕01等价于e x - ax3 - X - I > 0 ,令h㈤= 利用导数研究函数的单调性求出h〔x〕En = h〔0〕= 0 ,即可得结论;〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x- ax2- x - 1的零点个数,通过两次求导,讨论三种情况,分别判断函数Mx〕单调性及最值情况,从而可得方程解的个数试题解析:〔1〕要证Rx〕三l=e*'〔ax"十犬十】〕三1 ,只要证e x- ax2- x - I > 0 (* )令h(x) =,- ax" - x - 1 ,贝U h(K)=/- - 1 ,而h"〔*〕=£-%>.,所以h&l在〔-8,十⑼上单调递增,又4〔0〕= 口, 所以Mx〕在上单调递减,在〔0,十⑼上单调递增,,h〔K〕min , h〔0〕= 0 ,即hg 至.,〔* 〕式成立所以原不等式成立.〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x-ax2-x - 1的零点个数.而h (x)=它*= 2ax - 1 , h (x) = e x- 2a.令h"(x) = O,解得x = ln2n所以h'〔x〕在「8血㈤上单调递减,在包十⑼上单调递增.所以h(x)mg = h (ln2a) = 2a - 2aln2a - 1 ,设m = 2a,, g(m) = m - mlnm - 1 ,而, 那么g〔x〕在〔L十刈上单调递减,在〔0,D上单调递增,所以虱m%«= gQ〕= Q,即成刈讪不.〔当m = l即l,时取等〕.1 1 ,1°当/=寸寸,h〔乂〕Mn =.,那么h〔x〕3.恒成立.所以Mx〕在R上单调递增,又h〔o〕= o,那么Mx〕有一个零点;2当时,ln2a > 0 , h(x) = h(In2a.) <0,、* n ■ LIIIJ, /有在। - 上单调递减,在(ln2a,十W上单调递增,且XT+ 馍时,h (x)=已、=2ax - 1 > 0那么存在乂1,()使得h(Kj = 0,又h"(0) = D这时M2在(-皿0)上单调递增,在(0明)上单调递减,h(x)在㈤)上单调递增所以卜的)之履0) = 0,又XT +M时,岭)=金一/.工.]>Q, h(0) = 0所以这时Mx)有两个零点;3 当时,hi2a <0, h(x)mjl]= h(ln2a)<0.有h&)在।-81n*i)上单调递减,在(In知十田上单调递增,且XT - 8时,h(x) =/- 2ax - 1 > 0,那么存在x z -「,)使得h(x2) = 0.又h(0) = 0 ,这时Mx)在(-qxj上单调递增,在(■与⑼上单调递减,Mx)在◎十⑼上单调递增.所以h(xj > h(0} = 0.又XT - 9时,h(x) = e x - ax^ - x - 1, < 0, h(0) = 0.所以这时h(x)有两个零点;,一 1 ,〜, 1 一 ,〜、〜〜…综上:H =-时,原方程一个斛;当:af-且时,原方程两个斛. 2 2请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题记分.选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .直线仃匕祟二(L为参数),圆黑e为参数),兀(1)当u=,时,求C]与%的交点坐标;(2)过坐标原点.作J的垂线,垂足为A, P为.A的中点,当M变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【答案】(1) (Z0);(2) ! x = giiTs 圆心为(I.]半径为’的圆.[y = -cosasina \2 / 2【解析】试题分析:(I )求得Ci. G的普通方程, 联立方程组堂]?,解之得正解;(x y(n)求得Cj的普通方程n A点坐标为Qsin%, - 2coscisina)P点轨迹的参数方程为[)]皿" (口为参数)=P点轨迹的普通方程为仅二『卜y2:=故P点是圆心为&口),半(y=- cos as in ci 2 4 2径为I的圆.2试题解析:(I)当Q =:时,Ci的普通方程为丫二击仅一),G的普通方程为xJ『= 4.联立方程组F;后厂2)解得%与Q的交点为口,一回,Q0)J [ x —v1 = 4(II) %的普通方程为xsma - ycosa -左inct= 0. A点坐标为Q出i%, - 2cosasina),故当以变化时, P点轨迹的参数方程为[x-suAi (也为参数)ly = - cosasmaP点轨迹的普通方程为(x ;故P点是圆心为?.),半径为;的圆.选彳4- 4-5 :不等式选讲23. (1)函数R X)=|K/1|十|x-2|-旨-冽.假设函数f(x)的图象恒在x轴上方,求实数n的取值范围.(2)f(x} = J]十长,a#b,求证:f(b)| < |Ei-b|.【答案】(1) sE(-lJ) ; (2)证实见解析.【解析】试题分析:(1)求出f(x)的最小值,根据函数f(x)的图象恒在x轴上方,可得3-方炉0,|a-b||a + b|即可求实数a的取值范围;(2)不等式的左边化简为一/=;,利用忖十b|W|a|十|b和Jl 十a - Jl + b右品乒3舟后,即可证得不等式成立.试题解析:(1) fM的最小值为3-|『-冽,由题设,得力卜3,解得aE(-IJ).(2)证实:.「.,|a2|a- b||a i-b|।Jl +) Jl + H 1Jl +b2又. ■..|a I b| 一, . ----------------------------- --- 1 ----------------------------- ----- ।v11 + a + J ।b 'a^b, ..|a-b|>0.。
湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一学期月考数学试题(三)
长郡中学2021届高三月考试卷(三)
数学
一、选择题:本题共8小题,共40分。
1.集合A=,B=且A∪B=,则实数a的可能取值组成的集合是()
A. B. C. D.
2.已知a+3i=2+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则实数a+b的值为()
A. 3
B. 5
C. 6
D. 8
3.在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在坐标原点O,以x轴的正半轴为始边,其终边与单位圆
交点为P,P的坐标是P(x,y),若x=-,则cos 2α=()
A. B. - C. D. -
4.在的展开式中,若常数项为-40,则正实数a=()
A. B. 2 C. 3 D. 4
5.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2.它表示:在受噪声干扰的信道
中,最大信息传递速率C(单位:bit/s)取决于信道带宽W(单位:HZ)、信道内信号的平均功率S(单位:dB)、信道内部的高斯噪声功率N(单位:dB)的大小,其中叫做信噪比.按照香农公式,若不改变
带宽W,而将信噪比从1000提升至2000,则C大约增加了()
A. 10%
B. 30%
C. 50%
D. 100%
6.若平面向量,满足==·=2,则对于任意实数λ,|λ+(1-λ)|的最小值
是()
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2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
A.数列 为等比数列B. 时,
C.当 时, D.
答案:AC
解:由 和等比数列的定义,判断出A正确;利用等比数列的求和公式判断B错误;利用等比数列的通项公式计算得出C正确,D不正确.
解:
由 ,得 .
时, ,相减可得 ,
又 ,数列 为首项为 ,公比为 的等比数列,故A正确;
因 ,
,
而 ,
,
所以数列 前48项之和为 .
故答案为:1176.
点评:
本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.
四、解答题
17.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题
① ;② 的面积为 ;③ .
在 中,角 , , 所对的边分别为 , , .在已知 , 为钝角, .
(1)求边 的长;
解:
由已知, , ,因此 ,
∴ ,
所以 ,过点 ,
因此 , ,又 ,
所以 ,∴ ,
对A, 图象关于原点对称,故A正确;
对B,当 时, ,故B正确;
对C,由 ,有 , 故C不正确;
对D,当 时, ,所以 与函数 有4个交点令横坐标为 , , , , ,故D正确.
故选:ABD.
点评:
本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式,以及分析正弦型函数的性质,属于基础题.
解:
由 ,有 ,解得 ,
故 ,
故当 时, 取最小值 .
故选:A.
点评:
本题考查分式型三角函数的化简,以及关于二次型三角函数的最值问题,属于基础题.
8.设函数 ,若存在区间 ,使 在 , 上的值域为 , ,则 的取值范围是
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学参考答案
炎德·英才大联考长郡中学2023届高三月考试卷(三)数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACDDBDCD1.A 【解析】∵{}{}2422M x x x x x =>=<->或,{}{}24004N x x x x x =-≤=≤≤,所以{}24M N x x ⋂=<≤.故选A .2.C 【解析】用“x -”代替“x ”,得()()()()321f x g x x x ---=-+-+,化简得()()321f x g x x x +=-++,令1x =,得()()111f g +=.故选C .3.D 【解析】由AB a ∥ 知,存在实数λ,使(),2AB a λλλ==-,又AB =22495λλ+=⨯,即3λ=或3λ=-,所以()3,6AB =-或()3,6-.又点()2,1A -,所以()1,5OB OA AB =+=-或()5,7-.故选D .4.D 【解析】若l m ∥,且m α⊂,则l α∥或l α⊂,即“l m ∥”¿“l α∥”;若l α∥,且m α⊂,则l m ∥或l ,m 异面,则“l m ∥”¿“l α∥”.因此,“l m ∥”是“l α∥”的既不充分也不必要条件.故选D .5.B 【解析】易知四面体A EFD '的三条侧棱A E ',A F ',A D '两两垂直,且1A E '=,1A F '=,2A D '=,把四面体A EFD '补成从顶点A '出发的三条棱长分别为1,1,2的一个长方体,则长方体的外接球即为四面体A EFD '的外接球,球的半径为62r ==.故选B .6.D 【解析】()sin 7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<,所以122a <<,所以21142a <<;因为2xy =在R 1222a=<<;因为2log y x =在()0,+∞上为增函数,且1222a <<,所以2221log log log 22a <<,即211log 2a -<<-;所以22log 2aa a <<.故选D .7.C 【解析】依题意,()cos cos 66g x A x A x πωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故2A =,又()g x 的周期T 满足4312T ππ=-,得T π=,所以2ω=,所以()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又23g π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得2233k ππϕπ⨯-+=,k ∈Z ,又0πϕ-<<,所以3πϕ=-,所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以()02cos 2cos 2333f f πππ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C .8.D 【解析】∵()2,0A -,()2,0B ,()0,2C ,∴直线BC 的方程为20x y +-=,直线AC 的方程为20x y -+=,如图,作F 关于BC 的对称点P ,∵()1,0F ,∴()2,1P ,再作P 关于AC 的对称点M ,则()1,4M -,连接MA ,ME ,且ME 交AC 于点N ,则直线ME 的方程为1x =-,∴()1,1N -,连接PN ,PA ,分别交BC 于点G ,H ,则直线PN 的方程为1y =,直线PA 的方程为420x y -+=,∴()1,1G ,64,55H ⎛⎫⎪⎝⎭.连接GF ,HF ,则G ,H 之间即为点D 的变动范围.∵直线FG 的方程为1x =,直线FH 的斜率为454615=-,∴直线FD 斜率的取值范围为()4,+∞.故选D .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.题号9101112答案ABDBCDABDAD9.ABD 【解析】因为0a b -≥,所以a b ≥.根据不等式的性质可知A ,B 正确;因为a ,b 的符号不确定,所以C 不正确;2222110a b ab ba a b --=≥,可得2211ab ba ≥,所以D 正确.故选ABD .10.BCD 【解析】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=--⎪⎝⎭,令6x k πωπ-=,解得6k x ππωω=+,∵0ω>,取0k =,∴062ππω<≤,即13ω≥.故选BCD .11.ABD 【解析】根据题意可得纸板n P 相交于纸板()12n P n -≥剪掉了半径为112n -的半圆,故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯,即112122n n n n L L π----=-,故12L π=+,2110122L L π-=-,3221122L L π-=-,4332122L L π-=-,…,112122n n n n L L π----=-,累加可得2n L π=+11121012121111111112222211222222221122n n n n n n ππππππ------⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++-+++=++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ,所以321117122242L ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭,故A 正确,C 错误;又2111122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故1212n n n S S π---=-,即1212n n n S S π++=-,故D 正确;又12S π=,2132S S π-=-,3252S S π-=-,…,1212n n n S S π---=-,累加可得13521211118411222223214n n n n S πππππππ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=----=-=+ ⎪⎝⎭- ,故31132S π=,故B 正确.故选ABD .12.AD 【解析】∵e e 1.01011a b a b ==>++,∴1a >-,1b >-,令()()e 11xf x x x=>-+,则()()2e 1xx f x x '=+,所以()f x 在()1,0-上单调递减,在()0,+∞上单调递增,且()01f =,故0a >,10b -<<.令()()()()()ln ln 2ln 1ln 1h x f x f x x x x =--=-++-+,()1,1x ∈-,则()2112220111h x x x x-'=-+=-<+-+-,所以()h x 在()1,1-上单调递减,且()00h =,∵()1,0b ∈-,∴()()ln ln 0f b f b -->,∴()()f b f b >-,∴()()f a f b >-,∴a b >-,即0a b +>,故选项A 正确;∵()()1e 1e 0.990cdc d -=-=>,∴1c <,1d <,令()()()1e1xg x x x =-<,则()e xg x x '=-,所以()g x 在(),0-∞上单调递增,在()0,1上单调递减,且()01g =,故01c <<,0d <.令()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1m x g x g x x x x h x =--=-++-+=,()1,1x ∈-,所以()m x 在()1,1-上单调递减,且()00m =,∵()0,1c ∈,∴()()ln ln 0g c g c --<,∴()()g c g c <-,∴()()g d g c <-,∴d c <-,即0c d +<,故选项B 错误;∵()()1f x g x =-,∴()()11000.99101g a f a -==>,()1,0a ∈-,∴()()g a g d ->,又∵()g x 在(),0上单调递增,∴a d ->,∴0a d +<,故选项C 错误;由C 可知,()()g b g c ->,()0,1b -∈,又∵()g x 在()0,1上单调递减,∴b c -<,∴0b c +>,故选项D 正确.故选AD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.2i --【解析】由题图可知,112i z =-+,由21i z z =,得()21i 12i i 2i z z ==-+=--.14【解析】建立如图所示坐标系,其中O 为BC的中点,所以(A ,()3,0B -,()3,0C .设(),P x y,则()PA x y =-,()3,PB x y =--- ,()3,PC x y =-- ,又因为320PA PB PC ++=,所以()()()323,3,0x y x y x y --+---+--=,()3623320x x x y y y ---+---=,即630x --=,60y -=,所以133,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以PA ==15.311,44⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由()1132n n n n S a n =-++-,得134a =-;当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()()()()111111113113111222n n n nn n n n n n n a n a n a a ----=-++------+=-+--+,若n 为偶数,则1112n n a -=-,∴1112n n a +=-(n 为正奇数);若n 为奇数,则11111112121132222n n n n n n a a -+-⎛⎫=--+=---+=- ⎪⎝⎭,∴132n n a =-(n 为正偶数).函数1112n n a -=-(n 为正奇数)为减函数,最大值为134a =-,函数132n n a =-(n 为正偶数)为增函数,最小值为2114a =.若()()10n n a p a p +--<恒成立,则12a p a <<,即31144p -<<.故答案为311,44⎛⎫-⎪⎝⎭.16.①③④【解析】对①:当H 为DE 的中点时,取EA 中点为M ,连接MH ,MB ,如下图所示:因为H ,M 分别为ED ,EA 的中点,故可得MH AD ∥,12MH AD =,根据已知条件可知:BG AD ∥,12BG AD =,故MH BG ∥,MH BG =,故四边形HMBG 为平行四边形,则HG MB ∥,又MB ⊂平面ABE ,HG ⊄平面ABE ,故HG ∥平面ABE ,故①正确;对②:因为ED ⊥平面ABCD ,DA ,DC ⊂平面ABCD ,故DE DA ⊥,DE DC ⊥,又四边形ABCD 为正方形,故DA DC ⊥,则DE ,DA ,DC 两两垂直,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系如下图所示:则()2,0,0A ,()0,0,2E ,()1,2,0G ,设()0,0,H m ,[]0,2m ∈,若GH AE ⊥,则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=,即220m +=,解得1m =-,不满足题意,故②错误;对③:B GFH H BGF V V --=,因为B ,F ,G 均为定点,故BGF S △为定值,又DE CF ∥,CF ⊂平面BGF ,DE ⊄平面BGF ,故DE ∥平面BGF ,又点H 在DE 上运动,故点H 到平面BGF 的距离是定值,故三棱锥B GFH -的体积为定值,则③正确;对④:取EFC △的外心为1O ,过1O 作平面EFC 的垂线1O N ,则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上,因为1OO ⊥平面EFC ,FC ⊥平面ABCD ,CB ⊂平面ABCD ,则CF CB ⊥,又CB CD ⊥,CF CD C ⋂=,CF ,CD ⊂平面EFCD ,故CB ⊥平面EFCD ,即BC ⊥平面EFC ,则1OO CB ∥,故1OO ,BC 在同一个平面,则过O 作OP BC ⊥,连接OB ,OC 如图所示.在EFC △中,容易知EF =,EC =1FC =,则由余弦定理可得cos5EFC ∠=-,故25sin 5EFC ∠=,则由正弦定理可得12sin 2EC O C OP EFC ===∠;设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ,则OC OB R ==,在OBP △中,OB R =,102OP =,又12222BP PC OO =-=-==,故由勾股定理可知:222OB OP BP =+,即2255422R R =++--,解得:272R =,则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==,故④正确.故答案为①③④.四、解答题:本题共6小题,共17.【解析】(1)设公差为d ,则依题意得23a =-,则13a d =--,33a d =-+,∴()()()33315d d ----+=-,得24d =,2d =±,∴21n a n =-+或27n a n =-.(2)由题意得27n a n =-,所以72,3,27,4,n n n a n n -≤⎧=⎨-≥⎩①3n ≤时,()()21257262n n n S a a a n n +-=-+++==- ;②4n ≥时,()()21234123122186n n n S a a a a a a a a a a a n n =---+++=-++++++=-+ .综上,数列{}n a 的前n 项和226,3,618, 4.n n n n S n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩18.【解析】(1)由正弦定理2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =得:cos B C A C =-,即()cos B C B C C =+-,即cos C B C =,因为sin 0C ≠,化简得1cos 2B =,∵()0,B π∈,∴60B =︒.(2)设AC 边上的中线为BD ,则()12BD BA BC =+ ,所以()222124BD BA BC BA BC =++⋅,()22212cos 4BD BA BC BA BC B =++⋅ ,即有()2225144a c ac =++,①又2sin 3b R B ==,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+-,②由①②得8ac =,所以1sin 2ABC S ac B ==△.19.【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,()3213121110C 33339P X ⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()222421181C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()2224212162C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()23232122163C 333327P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以X 的分布列为X123P1988116811627所以数学期望()1816161840123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)记“甲、乙两队比赛两场后,两队积分相等”为事件A ,设第i 场甲、乙两队积分分别为i X 、i Y ,则3i i X Y =-,1i =,2,因两队积分相等,所以1212X X Y Y +=+,即()()121233X X X X +=-+-,则123X X +=,所以()()()()()()()121212031221P A P X P X P X P X P X P X ===+==+==()()12116816168161112030927818181812796561P X P X +===⨯+⨯+⨯+⨯=.20.【解析】(1)过点D 作DO AC ⊥交AC 与点O ,∵平面ABC ⊥平面ACD ,且两平面的交线为AC ,∴DO ⊥平面ABC ,又∵DE ∥平面ABC ,∴DO DE ⊥,又∵AD DE ⊥且AD DO D ⋂=,∴DE ⊥平面ACD .(2)过点E 作EN BC ⊥交BC 与点N ,连接ON ,∵平面ABC ⊥平面BCE ,且两平面的交线为BC ,∴EN ⊥平面ABC ,又∵DE ∥平面ABC ,∴D ,E 到平面ABC 的距离相等,∴DO EN ∥且DO EN =,ON ⊥平面ACD ,∴CO ON =,DE ON =,∴()11111133333ABCDE E ABC E ACD ABC ACD V V V EN S DE S EN DE DO DO DE --=+=⋅+⋅=+⋅=+△△,又222221DO DE DO CO CD +=+==,令()01DE x x =≤≤,则()())11133ABCDEx V f x DO DE +==+=,())12f x x '=-.所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,即1324ABCDE V f ⎛⎫≤=⎪⎝⎭,当且仅当12DE =时取得最大值.如图所示,以点O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,则3,0,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭,1,1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,130,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,0,02C ⎛⎫⎪⎝⎭,30,0,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以13,,444M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,53,,444AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,1,0,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .设AM 与CD 所成角为α,则37cos 37AM CD AM CDα⋅==⋅ ,则tan 6α=,即当几何体ABCDE 体积最大时,AM 与CD 所成角的正切值为6.21.【解析】(1)由题意知()0,3P ,过点P 与椭圆相切的直线斜率存在,设切线方程为3y kx =+,联立223,26,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得()222112120k x kx +++=,(*)由()()22214448214810k k k ∆=-+=-=,可得1k =±,即切线方程为3y x =±+,所以,PA PB ⊥,将1k =代入方程(*)可得2440x x ++=,可得2x =-,此时1y =,不妨设点()2,1A -,同理可得点(),PA PB ===因此,142S PA PB =⋅=.(2)证明:先证明出椭圆22163x y +=在其上一点()00,M x y 处的切线方程为00163x x y y+=,因为点()00,M x y 在椭圆22163x y +=上,则220026x y +=,联立00221,631,63x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 可得()222200002103633x y x x x y +-+-=,整理得220020x x x x -+=,即()200x x -=,解得0x x =,因此,椭圆22163x y +=在其上一点()00,M x y 处的切线方程为00163x x y y +=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则切线PA 的方程为11136x x y y +=,切线PB 的方程为22136x x y y+=.设(),P m n ,则11221,631,63mx ny mx ny ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以,点A ,B 的坐标满足方程260mx ny +-=,所以,直线AB 的方程为260mx ny +-=,因为点(),P m n 在直线163x y+=上,则26m n +=,则26n m =-,所以,直线AB 的方程可表示为()660mx m y +--=,即()()610m x y y -+-=,由0,10,x y y -=⎧⎨-=⎩可得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线AB 过定点()1,1T ,因为OD AB ⊥,所以,点D 在以OT 为直径的圆上,当点Q 为线段OT 的中点时,1222DQ OT ==,此时点Q 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭.故存在点11,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭,使得DQ 为定值22.22.【解析】(1)令()0f x =,得e 0nx x nx -=.所以0x =或e nx n =.即0x =或ln nx n=.因为点P 在点Q 的左侧,所以()0,0P ,ln ,0n Q n ⎛⎫⎪⎝⎭因为()()1e nxf x nx n '=+-,所以()01f n '=-,得点P 处的切线方程为()1y n x =-,即()()1g x n x =-.当0x ≥时,()()()()e 1e 1nxnxf xg x x nx n x x -=---=-,因为0x ≥,*n ∈N 且2n ≥,所以0nx ≥,所以e 1nx ≥,即e 10nx -≥.所以()e 10nx x -≥,所以()()f xg x ≥.(2)不妨设12x x ≤,且只考虑x 的情形.因为()()1e nxf x nx n '=+-,所以()ln ln ln 1e ln 1ln nn n f nn n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫'=+-=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以点Q 处的切线方程为()2ln ln ln ln n y n n x n n x n n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,记()()2ln ln h x n n x n =-,令()()()()()22e ln ln e ln ln nx nx F xf x h x x nx n n x n x n n n x n ⎡⎤=-=---=-++⎣⎦,0x ≥,设()()()()1e ln nx G x F x nx n n n '==+-+,则()()2e0nxG x n nx '=+>.所以()F x '单调递增.又因为()ln ln ln 1e ln 0nn n F nn n n n ⎛⎫⎛⎫'=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,当ln 0,n x n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0F x '<;当ln ,n x n ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0F x '>.所以()F x 在ln 0,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在ln ,n n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()F x 在ln n x n =时有极小值,也是最小值,即()()ln 2ln ln ln e ln ln 0nn nn n nF x F n n n n n n n⋅⎛⎫≥=-++= ⎪⎝⎭,所以当0x ≥时,()()f x h x ≥.设方程()h x t =的根为2x ',则22ln ln t nx n n+'=.易知()h x 单调递增,由()()()222h x f x t h x '≤==,所以22x x '≤.对于(1)中()()1g x n x =-,设方程()g x t =的根为1x ',则11tx n'=-.易知()g x 单调递减,由(1)知()()()111g x f x t g x '≤==,所以11x x '≤.所以22121ln 11ln ln 1ln 1t n t n x x x x t n n n n n n n+⎛⎫''-≤-=-=++⎪--⎝⎭.因为()()ln 1ln 11n n n n n --=-+,易知3n ≥时,ln 10n ->,故()()ln 1103n n n -+>≥;当2n =时,()2ln 211ln 410-+=->,所以ln 10n n n >->,所以110ln 1n n n <<-,所以112ln 1ln n n n n n+>-.记()()()1e nxx f x nx n ϕ'==+-,0x ≥,则()()2e0nxx n nx ϕ'=+>恒成立.所以()()1e nxf x nx n '=+-单调递增,因为()010f n '=-<,ln ln 0n f n n n ⎛⎫'=>⎪⎝⎭,所以存在0ln 0,n x n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=.所以,当()00,x x ∈时.()0f x '<;当()0,x x ∈+∞时,()0f x '>.所以()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增.因为()00f =,ln 0n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由函数图象知当方程()f x t =(t 为实数)有两个正实根1x ,2x 时,0t <,所以112ln 1ln t t n n n n n ⎛⎫+<⎪-⎝⎭.所以21212ln ln t n x x x x n n n ''-≤-<+,即212ln ln t n x x n n n -<+.。
2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(二)数学试题
绝密★启用前2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(二)数学试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.已知集合{}2340A x x x =--≤,{}28xB x =>,那么集合A B =()A .()3,+∞B .[)1,-+∞C .[3,4]D .(]3,4答案:D解题思路:解不等式确定集合,A B 后再由交集定义计算. 解:{}2340{|14}A x x x x x =--≤=-≤≤,{}{}283x B x x x =>=,∴{|34}AB x x =<≤.故选:D . 点评:本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式和指数不等式,掌握指数函数性质是解题关键. 2.设i 是虚数单位,若cos sin z i θθ=+,且其对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于() A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案:B解题思路:根据复数的几何意义列出不等式,求出θ的范围,可得结论. 解:∵cos sin z i θθ=+对应的点位于复平面的第二象限,∴cos 0sin 0θθ<⎧⎨>⎩,∴θ在第二象限.故选:B . 点评:本题考查复数的几何意义,考查三角函数的定义,属于基础题.3.曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则P 点的坐标为()A .()1,3B .()1,3-C .()1,3和()1,3-D .()1,3-答案:C解题思路:求导,令()'2f x =,故23121x x -=⇒=或1-,经检验可得P 点的坐标. 解:因()2'31f x x =-,令()'2f x =,故23121x x -=⇒=或1-,所以()1,3P 或()1,3-,经检验,点()1,3,()1,3-均不在直线21y x =-上,故选C . 点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,考查两直线平行的条件:斜率相等,属于基础题.4.如图,网格上纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为()A .43B .43C .83D .23答案:C 解题思路:解:【分析】试题分析:该棱锥如图,E ABCD -,它可以看作是从正方体中截出的一部分,其体积为3111822222323V =⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选C .【考点】三视图,体积.【名师点睛】象这种画在方格纸中的三视图,常常可以看作是由基本几何体(如正方体、长方体)切割出的几何体的三视图,因此由这样的三视图作直观图时,可以画出正方体(或长方体),在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图.5.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是() A .cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B .sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C .sin2cos2y x x =+D .sin cos y x x =+答案:A解题思路:求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可. 解:解:y =cos (2x 2π+)=﹣sin2x ,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以A 正确 y =sin (2x 2π+)=cos2x ,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以B 不正确;y =sin2x+cos2x =(2x 4π+),函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C 不正确;y =sinx+cosx =(x 4π+),函数是非奇非偶函数,周期为2π,所以D 不正确;故选A .【考点】三角函数的性质. 6.已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若,,,AB AC ⊥112AA O =,则球的半径为()A B .C .132D .答案:C解题思路:因为直三棱柱中,AB =3,AC =4,AA 1=12,AB ⊥AC ,所以BC =5,且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径.取BC 中点D ,则OD ⊥底面ABC ,则O 在侧面BCC 1B 1内,矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径,所以2R =13,即R =1327.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm ,正方形的边长为1cm ,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ,则圆周率π的近似值为( )A .14(1)p -B .11p- C .114p-D .41p- 答案:A解题思路:根据几何概型的方法分析阴影部分占总面积的比值,列式求解π的表达式即可. 解:圆形钱币的半径为2cm,面积为S 圆=π•22=4π;正方形边长为1cm,面积为S =12=1.在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是P =114π-,则14(1)p π=-.故选:A . 点评:本题主要考查了几何概型的方法,需要求解阴影部分面积占总面积的比值,属于基础题型.8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足212n n n a a S +=,且0n a >,则100S =()A .10B .311C .10311-D .11答案:A解题思路:根据和项与通项关系将条件转化为2211n n S S --=,再根据等差数列定义以及通项公式解得2n S ,即可得到结果.解:222111111212101n n n n a a S a a S a a a +=∴+=∴=>∴= 221112()12(),(2)n n n n n n n n a a S S S S S S n --+=∴-+=-≥2211,(2)n n S S n -∴-=≥因此数列2{}n S 为等差数列,首项为1,公差为1,即21(1)100n n n n S n na S S n =+-⋅=>∴>∴=10010S ∴=故选:A点评:本题考查和项与通项关系、等差数列定义以及通项公式,考查综合分析判断与求解能力,属中档题. 二、多选题9.已知函数()2()lg 1f x x ax a =+--,给出下述论述,其中正确的是() A .当0a =时,()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B .()f x 一定有最小值;C .当0a =时,()f x 的值域为R ;D .若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是{4}∣aa ≥- 答案:AC解题思路:对A ,当0a =时,求出函数()f x 的定义域,可判选项A ;当0a =时,函数()f x 的值域为R ,可判选项B ,C ;根据复合函数单调性可知,内函数21y x ax a =+--递增且0y >可求出a 的取值范围,可判断选项D. 解:对A ,当0a =时,解210x ->有(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞,故A 正确;对B ,当0a =时,2()lg(1)f x x =-,此时(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞,21(0,)x -∈+∞,此时2()lg(1)f x x =-值域为R ,故B 错误; 对C ,同B ,故C 正确;对D ,若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增,此时21y x ax a =+--在[2,)+∞上单调递增,所以对称轴22ax =-≤,解得4a ≥-,但当4a =-时,2()lg(43)f x x x =-+在2x =处无定义,故D 错误. 故选:AC 点评:本题主要考查了对数型复合函数的定义域、值域、最值、单调性,对于复合函数的单调性问题,可先将函数(())y f g x =分解成()y f t =和()t g x =,再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断或求解. 10.已知02παβ<<<,且tan α,tan β是方程220x kx -+=的两不等实根,则下列结论正确的是()A .tan tan k αβ+=-B .tan()k αβ+=-C .22k >D .tan 4k α+≥答案:BCD解题思路:根据题意可得tan tan k αβ+=,tan tan 2αβ⋅=,再利用两角和的正切公式可判断B ,利用基本不等式可判断C 、D 解:由tan α,tan β是方程220x kx -+=的两不等实根, 所以tan tan k αβ+=,tan tan 2αβ⋅=,tan tan tan()1tan tan 1kk αβαβαβ++===--⋅-,由02παβ<<<,tan α,tan β均为正数,则tan tan 2tan tan 22k αβαβ+=≥⋅=,当且仅当tan α=tan β取等号,等号不成立tan 2tan tan 22tan tan 4k ααβαβ+=+≥⋅=,当且仅当2tan α=tan β取等号,故选:BCD 点评:本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用,注意验证等号成立的条件,属于基础题.11.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,1CC ,1BB 的中点,则()A .直线1DD 与直线AF 垂直B .直线1A G 与平面AEF 平行C .点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D .平面AEF 截正方体所得的截面面积为98答案:BD解题思路:取1DD 中点M ,通过AM 与1DD 不垂直可判断选项A ;取11B C 中点N ,连接1A N ,GN ,通过平面1//A GN 平面AEF 可判断选项B ;利用反证法可判断选项C ;根据平面性质得出截面图形,计算出面积可判断选项D. 解:对于A ,取1DD 中点M ,则AM 为AF 在平面11AA D D 上的射影,AM 与1DD 不垂直,AF ∴与1DD 不垂直,故A 错;对于B ,取11B C 中点N ,连接1A N ,GN ,在正方体1111ABCD A B C D -中,1//,//A N AE NG EF ,1A N ⊄平面AEF ,AE ⊂平面AEF ,所以1//A N 平面AEF ,同理可证//NG 平面AEF ,1A N NG N =,所以平面1//A GN 平面AEF ,1AG ⊂平面1A GN ,所以1//AG 平面AEF ,故B 正确; 对于C ,假设C 与G 到平面AEF 的距离相等,即平面AEF 将CG 平分, 则平面AEF 必过CG 的中点,连接CG 交EF 于H ,而H 不是CG 中点, 则假设不成立,故C 错;对于D ,在正方体1111ABCD A B C D -中,1//AD EF , 把截面AEF 补形为四边形1AEFD , 由等腰梯形计算其面积98S =,故D 正确.故选:BD. 点评:本题考查空间中的位置关系的判断,考查平面的性质,属于中档题. 12.已知函数()3sin f x x x ax =+-,则下列结论正确的是()A .()f x 是奇函数B .若()f x 是增函数,则1a ≤C .当3a =-时,函数()f x 恰有两个零点D .当3a =时,函数()f x 恰有两个极值点 答案:ABD解题思路:对A,根据奇函数的定义判定即可. 对B,求导后利用恒成立问题分析即可. 对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可. 解:对A,()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B,()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-, 因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有2个零点.故C 错误.对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选:ABD 点评:本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题. 三、填空题13.在713⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式中,41x 的系数是______. 答案:189-解题思路:由二项式定理得出二项展开式的通项公式,令x 的指数为4-求得项数后可得所求系数. 解:展开式通项公式为737721771(3)(1)3rrrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 令7342r-=-,得=5r . ∴41x的系数为5257(1)3189C -⨯=-. 故答案为:189- 点评:本题考查二项式定理,掌握二项展开式通项公式是解题关键.14.如图,已知ABC ∆是边长为1的等边三角形,点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,连结DE 并延长到点F ,使得2DE EF =,则AF BC ⋅的值为________答案:18解题思路:先由题意,得到3324DF DE AC ==,推出1324=+=+AF AD DF AB AC ,再由BC AC AB =-,根据向量的数量积运算,结合题中条件,直接计算,即可得出结果.解:因为2DE EF =,点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,所以3324DF DE AC ==, 因此1324=+=+AF AD DF AB AC ,又BC AC AB =-,ABC ∆是边长为1的等边三角形,所以()221313124244⎛⎫⋅=+⋅-=-+-⋅ ⎪⎝⎭AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB 1311311cos602442488︒=-+-⋅=-+-=AC AB .故答案为:18点评:本题主要考查向量的数量积运算,熟记向量数量积的运算法则,以及平面向量基本定理即可,属于常考题型.15.已知函数()()()()sin 332sin cos 22f x x x x ϕϕϕ=+-++,其中ϕπ<,若()f x 在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则ϕ的最大值为__________. 答案:56π 解题思路:()()()()()()sin 222sin cos 22sin f x x x x x x ϕϕϕϕϕ⎡⎤=+++-++=+⎣⎦,由π3π2π2π22k x k ϕ+≤+≤+,解得π3π2π2π22k x k ϕϕ+-≤≤+-,π2π63x <<是其子集,故ππ2π26{3π2π2π23k k ϕϕ+-≤+-≥,解得π2π3{5π2π6k k ϕϕ+≤+≥,由于πϕ<,故令0k =可求得ϕ的最大值为5π6.16.已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵,记n b 为数阵从左至右的n 列,从上到下的n 行共2n 个数的和,则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为______.123234134521221nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 答案:10102021解题思路:每行都是等差数列,分别求和(注意用第一行的n S 表示),然后求出n b ,对nnb 裂项后可求得和2020S . 解:由题意,设数列{}n a 的前n 项和为n S . ∵数列{}n a 的通项公式为22n a n =+,∴数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列. ∴第1行的所有项的和即为:()21214232n n n n a a a S n n n -++⋅⋅⋅+==+⋅=+. 则第2行的所有项的和为:()()()23112n n n a a a a d a d a d S nd +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+;第3行的所有项的和为:()()()342122222n n n a a a a d a d a d S nd +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+;…第n 行的所有项的和为:()()1211211n n n a a a a n d a n d +-++⋅⋅⋅+=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()11n n a n d S n nd +⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦;∴()()12231n n n b a a a a a a +=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()342121n n n n a a a a a a ++-+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()()21n n n n S S nd S nd S n nd =+++++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦ ()121n nS n nd =+++⋅⋅⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦()()21322n n n n n n -=++⋅⋅()221n n =+.()()21111212121n n n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭. ∴数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为12202012202011111111122223220202021b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111=122232020202122021⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1010=2021. 故答案为:10102021. 点评:本题考查等差数列的前n 项和,考查裂项相消法求和.解题关键是正确认识n b ,计算出n b . 四、解答题17.在递增的等比数列{}n a 中,1632a a ⋅=,2518a a +=,其中*N n ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记21log n n n b a a +=+,求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案:(1)12n na ;(2)2212nn n+-+.解题思路:试题分析:(1)由251632a a a a ⋅=⋅=及2518a a +=得22a =,516a =,进而的q ,可得通项公式;(2)12n n b n -=+利用分组求和即可,一个等差数列和一个等比数列.试题解析:(1)设数列{}n a 的公比为q , 则251632a a a a ⋅=⋅=,又2518a a +=,∴22a =,516a =或216a =,52a =(舍). ∴3528a q a ==,即2q =. 故2122n n n a a q--==(*N n ∈). (2)由(1)得,12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++()()211222123n n -=+++++++++()112122n n n+-=+- 2212nn n+=-+.18.现在给出三个条件:①a =2;②B 4π=;③c =试从中选出两个条件,补充在下面的问题中,使其能够确定△ABC ,并以此为依据,求△ABC 的面积.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且满足2b cosA =(),求△ABC 的面积(选出一种可行的方案解答,若选出多个方案分别解答,则按第一个解答记分)答案:选①③;S △ABC =解题思路:由题目条件,化边为角即可求出3A π=,再根据解三角形“知三求三”(至少知一边),所以搭配①③或①②,都可确定三角形△ABC ,求得其面积. 解: 如选①③因为(2)b cosA =,由正弦定理可得,2sinBcosA ==,因为sinB ≠0,所以cosA =又因为a =2,c =,由余弦定理可得,22323b=, 解得,b =2,c =23, 故S △ABC 1112233222bcsinA ==⨯⨯⨯=. 点评:本题主要考查补全题目条件解三角形,涉及正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题. 19.某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1: 年份x20112012 2013 20142015储蓄存款y (千亿元)567810为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,2010,5t x z y =-=-得到下表2: 时间代号t 1 2 3 4 5 z1235(Ⅰ)求z 关于t 的线性回归方程;(Ⅱ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?(附:对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+,其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑) 答案:(Ⅰ) 1.2 1.4=-z t (Ⅱ)预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达15.6千亿元 解题思路:试题分析:(Ⅰ)由表中的数据分别计算x ,y 的平均数,利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程;(Ⅱ)t=x ﹣2010,z=y ﹣5,代入z=1.2t ﹣1.4得到:y ﹣5=1.2(x ﹣2010)﹣1.4,即y=1.2x ﹣2408.4,计算x=2020时,的值即可. 试题解析: (Ⅰ)4553 2.2 1.255ˆ59b -⨯⨯==-⨯, 2.23 1.21ˆ.4a z bt =-=-⨯=-(Ⅱ)2010,5t x z y =-=-,代入得到:()5 1.22010 1.4y x -=--,即 1.22408.4y x =-1.220202408.415.6y ∴=⨯-=,∴预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达15.6千亿元点睛:求解回归方程问题的三个易误点:(1)易混淆相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.(2)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过(x ,y )点,可能所有的样本数据点都不在直线上.(3)利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为准确值,而实质上是预测值(期望值).20.已知四棱柱ABCD A B C D '='''中,底面ABCD 为菱形,2460AB AA BAD '==∠=,,,E 为BC 中点,C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点.(1)求证:BD A H '⊥;(2)求二面角D BB C '-'-的正弦值. 答案:(1)证明见详解 (2)45解题思路:(1)连接',',A C AC A B BH ',,先证明''A C BH 为平行四边形,因此'A B ⊥平面ABCD ,继而证明BD ⊥平面',A BH 即得证.(2)如图建立空间直角坐标系,计算平面''D BB ,平面'CBB 的法向量,利用二面角的向量计算公式,即得解. 解: (1)连接',',A C AC A B BH ',,由于E 为BC 中点,且//HC AB ,故E 为AH 中点,CHE ABE CH AB ∴∆≅∆∴= 故四边形CBHA 为平行四边形,//AC BH由于四棱柱'//'ABCD A B C D AA CC =∴''''且''AA CC = 故四边形''A C AC 为平行四边形,//''//AC A C AC BH ∴由于底面ABCD 为菱形,故BD AC ⊥,且//AC BH ,BD BH ∴⊥由于''//,''A C BH A C BH =,故四边形''A C BH 为平行四边形,所以'//'BA HC 故:'A B ∴⊥平面ABCD 'A B BD ∴⊥ 又'A B ⊂平面',A BH BH ⊂平面',A BH 故BD ⊥平面',A BH 'A H ⊂平面',A BHBD A H ∴⊥'(2)由(1)BH ,BD ,'BA 两两垂直,以B 为原点如图建立空间直角坐标系.(0,0,0),3,1,0),'(3,1,3),3,1,3)B C D B ∴-''(0,2,0),'(3,1,23),'(0,2,23),(3,1,0)D B D B CB CB ∴==---=-=--设平面''D BB 的法向量为(,,)n x y z =,故''20'30n D B y n D B y ⎧⋅==⎪⎨⋅=---=⎪⎩,令21x z =∴=-,故(2,0,1)n =- 设平面'CBB 的法向量为(,,)m x y z =,故'2030n CBy n CB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩,令1,1y x z ==-=,故(m =- 由图像得二面角D BB C '-'-为锐角,故3cos |cos ,|||5||||D C m n m n n BB m -⋅''<>=<>=-=故4sin 5D BB C ''-<>=- 点评:本题考查了立体几何和空间向量综合,考查了学生空间想象,逻辑推理,数学运算能力,属于中档题.21.已知函数()ln (1)1x af x ex x a x -=----,R a ∈,e 2.718=为自然对数的底数.(1)若1a =,证明:(1)()0x f x -≥; (2)讨论()f x 的极值点个数.答案:(1)证明见解析;(2)答案见解析.解题思路:(1)由1a =,则1()ln 1x f x e x x -=--,1()ln 1x f x e x -'=--(0)x >,令1()x g x e x -=-,用导数法得到1x e x -≥,从而得到()f x 在(0)+∞,上单调递增,结合(1)0f =,得到(0,1)x ∈时,()0f x <;(1,)x ∈+∞时,()0f x >证明; (2)求导()ln x af x e x a -'=--(0)x >,令()()h x f x '=,分1a ≤和1a >结合零点存在定理求解. 解:(1)若1a =,则1()ln 1x f x e x x -=--,1()ln 1x f x e x -'=--(0)x >令1()x g x ex -=-,则1()1x g x e -'=-当(0,1)x ∈时,()0g x '<,()g x 在(0,1)上单调递减; 当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 在(1,)+∞上单调递增; 因此()(1)0g x g ≥=,即1x e x -≥;也有1ln (0)x x x -≥>,所以当1a =时,1()ln 1(1)10x f x e x x x -'=--≥---=,所以()f x 在(0)+∞,上单调递增; 又因为(1)0f =,所以,当(0,1)x ∈时,()0f x <;当(1,)x ∈+∞时,()0f x >; 所以(1)()0x f x -≥.(2)由题意知()ln x af x e x a -'=--(0)x >,令()()h x f x '=,则1()x ah x e x-'=-, 当1a ≤时,11()()ln ln ln 10x ax x h x f x ex a e x a e x ---'==--≥--≥--≥,所以()f x 在(0)+∞,上单调递增,()f x 无极值点; 当1a >时,11(1)10,()10ah eh a a-''=-<=->,且()h x '在(0)+∞,上单调递增, 故存在0(1,)x a ∈满足0001()0x ah x ex -'=-=, 因此00001ln x aea x x x -==+;, 当0(0,)x x ∈时,()0h x '<,所以()h x 在0(0,)x 上单调递减; 当0(,)x x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在0(,)x +∞上单调递增;所以0000001()()ln 2ln x ah x h x ex a x x x -≥=--=--, 再令000001()2ln ,(1,)x x x x a x ϕ=--∈,020012()10x x x ϕ'=---<, 所以0()x ϕ在(1,)a 上单调递减,且()(1)0a ϕϕ<=,即0()0h x <, 因为()0aa e ah e e ---=>,又知1x e x -≥,1ln (0)x x x -≥>,所以2(3)ln 321ln 31ln ln 32ln 30ah a ea a a a a a a =-->+--=+-->->,所以存在10(,)ax e x -∈,20(,3)x x a ∈满足12()()0h x h x ==,所以当1(0,)x x ∈时,()()0f x h x '=>,()f x 在1(0,)x 上单调递增; 当12(,)x x x ∈时,()()0f x h x '=<,()f x 在12(,)x x 上单调递减;当2(,)x x ∈+∞时,()()0f x h x '=>,()f x 在2(,)x +∞上单调递增; 所以,当1a >时,()f x 存在两个极值点12,x x 综上可知:当1a ≤时,()f x 不存在极值点; 当1a >时,()f x 存在两个极值点, 点评:本题主要考查导数与不等式的证明,导数与函数极值点,还考查了分类讨论的思想、转化化归思想和运算求解的能力,属于难题.22.随着5G 商用进程的不断加快,手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈,5G 手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场,计划先在公司进行“抽奖免费送5G 手机”优惠活动方案的内部测试,测试成功后将在全市进行推广.(1)公司内部测试的活动方案设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的名额为32i +,抽中的用户退出活动,同时补充新的用户,补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖,剩余全部用户均中奖,则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人,甲、乙均在其中. ①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少? ②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利,现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有20万用户,该公司设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的概率为()9140iip +-=,每次中奖的用户退出活动,同时补充相同人数的新用户,抽奖活动共进行()2n n N +∈次.已知用户丙参加了第一次抽奖,并在这2n 次抽奖活动中中奖了,在此条件下,求证:用户丙参加抽奖活动次数的均值小于92. 答案:(1)①甲在第一次中奖的概率为13,乙在第二次中奖的概率为1639;②分布列见解析,()25=13E X ;(2)证明见解析. 解题思路:(1)①确定参与抽奖人数和中奖人数,可得概率,其中乙第二次中奖,是在第一次不中奖的基础上才能第二次抽中奖,由条件概率公式计算;②设甲参加抽奖活动的次数为X ,则1,2,3X =,注意第2次中奖是在第一次未中奖的条件下才发生,同样第3次中奖是在前2次都未中奖的条件下才可能发生.由条件概率公式计算出概率得分布列,由期望公式可计算期望;(2)丙在第奇数次中奖的概率为15,在第偶数次中奖的概率为14.“丙中奖”为事件A ,则()43311545nnP A ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设丙参加抽奖活动的次数为Y ,求出丙在第2m 和21m -次中奖的概率(2)P Y m =和(21)P Y m =-,这两个概率相等,这样在丙中奖这个条件下可得第21m -次和第2m 次中奖的概率(21)()P Y m P A =-和(2)()P Y m P A =,由期望公式计算出期望()E Y ,用错位相减法求得分子的和,得()E Y 化简后可证结论. 解:(1)①甲在第一次中奖的概率为151153p ==, 乙在第二次中奖的概率为210816151339p =⨯=. ②设甲参加抽奖活动的次数为X ,则1,2,3X =,()511P X ===;()108162P X ==⨯=;()1051031P X ==⨯⨯=, ∴()1233393913E X =⨯+⨯+⨯=. (2)证明:丙在第奇数次中奖的概率为15,在第偶数次中奖的概率为14.设丙参加抽奖活动的次数为Y ,“丙中奖”为事件A ,则()43311545n nP A ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令*,m n m N ≤∈,则丙在第21m -次中奖的概率()1312155m P Y m -⎛⎫=-=⨯ ⎪⎝⎭ 在第2m 次中奖的概率()1134131255455m m P Y m --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即()()13121255m P Y m P Y m -⎛⎫=-===⨯ ⎪⎝⎭, 在丙中奖的条件下,在第21m -,2m 次中奖的概率为()11355m P A -⎛⎫⎪⎝⎭,则丙参加活动次数的均值为()()()()()()2113331234562125555n E Y n n P A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 设()21333371141555n S n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()()213333337454155555n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴()2123333344155555n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 14512273225n n S -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭,所以()145122732253515n n n E Y -+⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭453331102255995223315155nn n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-<⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评: 本题考查条件概率,考查随机事件的概率分布列和数学期望,难点是理解中奖规则,得出(21)P Y m =-和(2)P Y m =,考查了数据处理能力,运算求解能力,属于难题.。
高三数学文科第三次月考试卷试题_1
长郡中学2021届高三数学文科第三次月考试卷制卷人:歐陽文化、歐陽理複;制卷時間:二O 二二年二月七日时量120分钟. 满分是150分第一卷〔选择题一共50分〕一、选择题:〔本大题一一共10小题,每一小题5分,一共50分,在每一小题给出的四个选项里面有且只有一项是哪一项符合题目要求的.〕1.83cos sin =αα,且ααπαπsin cos 24-<<则的值是〔 〕 A .21 B .21- C .41 D .41-2.在等差数列{}n a 中,假设4681012120a a a a a ++++=,那么91113a a -的值是 ( )A .14B .15C .16D .173.假设c b a 、、是常数,那么“0402<->c a b a 且〞是“对任意R ∈x ,有02>++c x b x a 〞的 ( )A .充分不必要条件.B .必要不充分条件.C .充要条件.D .既不充分也不必要条件. 4.把函数πϕωϕω<>+=||,0)((x f y 〕的图象向左平移6π个单位,再将图象上所有点的 横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕,得到函数)(x f y =的图象,那么 〔 〕A .6,2πϕω==B .3,2πϕω-==C .6,21πϕω==D .12,21πϕω-==5.P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点,假设21PF PF ⋅=0,21tan F PF ∠=2,那么椭圆的离心率为〔 〕A .21B .32 C .31 D .35 6.假如函数)]2()2(lg[2++++=m x m mx y 的值域为R ,那么常数m 的取值范围是〔 〕 A .]32,2[- B .]32,0[C .)320(D .),32(+∞7.如图,函数)(x f y =的图象是中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的两段弧,那么不等式x x f x f +-<)()(的解集为 〔 〕A.{}22,02|≤<<<-x x x 或B.{}22,22|≤<-<≤-x x x 或C.⎭⎬⎫≤<⎩⎨⎧-<≤-222,222|x x x 或D.{}0,22|≠<<-x x x 且8设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,那么双曲线的渐近线的斜率为〔 〕A .2±B .34±C .21±D .43±9.向量a=〔-2,2〕,b=〔5,k 〕.假设|a+b|不超过5,那么k 的取值范围是 〔 〕 A .[-4,6]B .[-6,4]C .[-6,2]D .[-2,6]10.⎩⎨⎧=≠=)0(,0)0(||,|ln |)(x x x x f ,那么方程0)()(2=-x f x f 不相等的实根一共有 〔 〕A .5个B .6个C .7个D .8个第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题:〔本大题一一共5小题,每一小题4分,一共20分〕,11、假设椭圆13422=+y x 上一点P 到右焦点)0,1(F 的间隔 为25,那么点P 到x 轴的间隔 为 。
2021四大名校立体几何教师
【长郡中学2021届高三第3次月考】 19.(本小题满分12分)在如图所示的圆柱12O O 中,AB 为圆1O 的直径,C 、D 是AB 的两个三等分点,EA 、FC 、GB 都是圆柱12O O 的母线.(1)求证:1FO //平面ADE ;(2)设1=BC ,已知直线AF 平面ACB 所成的角为30︒,求二面角--A FB C 的余弦值.19.【解析】(1)连接1O C ,1O D ,因为C ,D 是半圆AB 的两个三等分点所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=︒ 又1111O A O B O C O D ===所以1AO D △,1CO D △,1BO C △均为等边三角形 所以11O A AD DC CO === 所以四边形1ADCO 是平行四边形 所以1CO //AD又因为1CO ⊂/平面ADE ,AD ⊂平面ADE 所以1CO //平面ADE因为EA ,FC 都是圆柱12O O 的母线 所以EA//FC又因为FC ⊄平面ADE ,EA ⊂平面ADE 所以FC//平面ADE又1,CO FC ⊂平面1FCO 且1CO FC C =所以平面1FCO //平面ADE 又1FO ⊂平面1FCO 所以1FO //平面ADE(2)方法一:连接AC ,由AB 为圆1O 的直径,可得90ACB ∠=︒ 因为FC 是圆柱12O O 的母线 所以FC ⊥圆柱12O O 的底面所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角 即30FAC ∠=︒在Rt ABC △中,60ABC ∠=︒,1BC =所以tan 60AC BC =⋅︒=所以在Rt FAC △中,tan301FC AC =︒=以C 为原点,CA 、CB 、CF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则()0,0,0C,)A,()0,1,0B ,()0,0,1F则()AB =-,()AF =- 设平面ABF 的法向量(),,x y z =n所以00AB y AF z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n即y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 令1x =得(=n又平面BCF 的法向量为()1,0,0=m则cos ,⋅===n m n m n m所以二面角A FB C --的余弦值为77方法二:连接AC ,因为FC 是圆柱12O O 的母线 所以FC ⊥圆柱12O O 的底面所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角 即30FAC ∠=︒ 因为AB 为圆1O 的直径 所以90ACB ∠=︒在Rt ABC △中,60ABC ∠=︒,1BC = 所以tan 603AC BC =⋅︒=所以在Rt FAC △中,tan301FC AC =︒= 因为AC BC ⊥ 又因为AC FC ⊥ 所以AC ⊥平面FBC 又FB ⊂平面FBC 所以AC FB ⊥在FBC △内,作CH FB ⊥于点H ,连接AH 因为ACCH C =,,AC CH ⊂平面ACH 所以FB ⊥平面ACH又AH ⊂平面ACH 所以FB AH ⊥所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角 在Rt FBC △中,22FC BC CH FB ⋅==,在Rt ACH △中,90ACH ∠=︒ 所以22142AH AC CH =+=所以7cos 7CH AHC AH ∠== 所以二面角A FB C --的余弦值为77【长郡中学2021届高三第5次月考】 19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//AB CD ,且22CD AB ==,22BC =,90ABC ∠=︒,M 为BC 的中点.(1)求证:平面PDM ⊥平面PAM ;(2)若二面角P DM A --为30︒,求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.19.【解析】(1)在直角梯形ABCD 中,由已知可得,1AB =,2CD =,2BM CM ==,可得23AM =,26DM =,过A 作AE CD ⊥,垂足为E ,则1DE =,22AE =,求得29AD =,则222AD AM DM =+,∴DM AM ⊥. ∵PA ⊥平面ABCD , ∴DM PA ⊥, 又PAAM A =,∴DM ⊥平面PAM , ∵DM ⊂平面PDM , ∴平面PDM ⊥平面PAM .(2)由(1)知,PM DM ⊥,AM DM ⊥,则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30︒, 则tan301PA AM =⋅︒=.以A 为坐标原点,分别以AE ,AB ,AP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则()0,0,1P,()1,0D -,()C,)M ,设平面PDM 的一个法向量为(),,x y z =n ,由22020PD y z PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩n n ,取1x =,得⎛=⎝⎭n . ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为:cos ,30PC PC PC ⋅===⋅n n n.19.(本小题满分12分)在四棱锥-P ABCD 中,底面ABCD 是边长为22的正方形,平面⊥PAC 底面ABCD ,22==PA PC .(1)求证:=PB PD ;(2)点M ,N 分别在棱PA ,PC 上,=PM AM ,=PN CN ,求直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)如图1,矩形ABCD =BC ,将矩形ABCD 折起,使点A 与点C 重合,折痕为EF ,连接AF 、CE ,以AF 和EF 为折痕,将四边形ABFE 折起,使点B 落在线段FC 上,将△CDE 向上折起,使平面⊥DEC 平面FEC ,如图2.(1)证明:平面⊥ABE 平面EFC ;(2)连接BE 、BD ,求锐二面角--A BE D 的正弦值.20.【解析】(1)证明:在平面ABCD 中,=AF FC ,+=BF FC ,设=AB ,则3=BC a ,设=BF x ,在△BAF 中,()22233+=-x a a x ,解得=x a ,则2==AF FC a , 因为点B 落在线段FC 上,所以==BC DE a ,所以⊥BE FC , 又⊥AB BF 即⊥AB CF ,=AB BE B ,,⊂AB BE 平面ABE ,所以⊥CF 平面ABE ,由⊂CF 平面EFC 可得平面⊥ABE 平面EFC .(2)以F 为原点,FC 为x 轴,过点F 平行BE 的方向作为y 轴,过点F 垂直于平面EFC 的方向作为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则()2,0,0C a ,()0,0,0F,(),0E a ,(),0,0B a,(),0=BE , 易得平面ABE 的一个法向量为()2,0,0=FC a ,作⊥DG EC 于G ,因为平面⊥DEC 平面FEC ,所以⊥DG 平面EFC ,则5,,044⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭G a,5,442⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D a,1,,442⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭BD a , 设平面DBE 的一个法向量为(),,=n x y z ,则3010442⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩n BE ay n BD ax y z ,令=z (=-n , 因为cos ,132⋅--===⋅nFC n FC an FC,所以锐二面角--A BE D13=.【长郡中学2021届十五校第一次联考】 20.(本小题满分12分)在多面体ABCDE 中,平面⊥ACDE 平面ABC ,四边形ACDE 为直角梯形,CD//AE ,⊥AC AE ,⊥AB BC ,1=CD ,2==AE AC ,F 为DE 的中点,且点G 满足4=EB EG .(1)证明:GF //平面ABC ;(2)当多面体ABCDE 的体积最大时,求二面角--A BE D 的余弦值.20.【解析】(1)分别取AB ,EB 中点M ,N ,连接CM ,MN ,ND .在梯形ACDE 中,DC//EA 且12=DC EA ,且M ,N 分别为BA ,BE 中点, ∴MN //EA ,12=MN EA , ∴MN //CD ,=MN CD , ∴四边形CDNM 是平行四边形, ∴CM //DN . 又14=EG EB ,N 为EB 中点,∴G 为EN 中点,又F 为ED 中点, ∴GF //DN , ∴GF //CM ,又⊂CM 平面ABC ,⊄GF 平面ABC , ∴GE//平面ABC .(2)在平面ABC 内,过B 作⊥BH AC 交AC 于H . ∵平面⊥ACDE 平面ABC ,平面ACDE平面=ABC AC ,⊂BH 平面ABC ,⊥BH AC ,∴⊥BH 平面ACDE .∴BH 即为四棱锥-B ACDE 的高,又底面ACDE 面积确定,所以要使多面体ABCDE 体积最大,即BH最大,此时==AB BC H 为AC 中点,连接HF ,易知HB ,HC ,HF 两两垂直,以{},,HB HC HF 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系-H xyz , 则()0,1,0-A ,()1,0,0B ,()0,1,2-E ,()0,1,1D .()1,1,0=AB ,()1,1,2=--BE ,()0,2,1=-DE ,设()1111,,=x y z n 为平面ABE 的一个法向量,则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AB BE n n ,所以11111020+=⎧⎨--+=⎩x y x y z , 取()11,1,0=-n .设()2222,,=x y z n 为平面DBE 的一个法向量,则220⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩DE BE n n ,所以222222020-+=⎧⎨--+=⎩y z x y z ,取()23,1,2=n .所以121212cos ,7⋅==⋅n n n n n n ,由图,二面角--A BE D 为钝二面角,所以二面角--A BE D的余弦值为7-.【长郡中学2021届十五校第二次联考】19.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,侧面PBC △是等边三角形,2AD AB =,45BCD ∠=︒,面PBC ⊥面ABCD ,E 、F 分别为BC 、CD的中点.(1)证明:面PEF ⊥面PAB ;(2)求面PEF 与面PAD 所成锐二面角的余弦值.19.【解析】(1)设2AB =,则22AD =,∴1CF =,2CE =,∴12212cos451EF =+-⨯⨯⨯︒=, ∴222CF EF CE +=, ∴EF CF ⊥.在等边三角形PBC 中,E 为BC 的中点,∴PE BC ⊥, ∵面PBC ⊥面ABCD ,PE ⊂面PBC ,面PBC 面ABCD BC =,∴PE ⊥面ABCD .∵CD ⊂面ABCD ,∴PE CD ⊥. ∵EF CD ⊥,EF PE E =,∴CD ⊥面PEF . ∵AB//CD , ∴AB ⊥面PEF , ∵AB ⊂面PAB , ∴面PEF ⊥面PAB .(2)由(1)知2BD =,DE BC ⊥,以E 为坐标原点,ED 、EC 、EP 分别为x 、y 、z轴建立直角坐标系,则(P,)D,()C,)A-,22F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.AD =,(DP =-.设面PAD 的法向量为(),,x y z =m,⎧=⎪⎨+=⎪⎩,取1z=,得x =0y=,)=m .面PEF的法向量为()2,CD =,∴6cos ,CD ==m , ∴面PEF 与面PAD 所成锐二面角的余弦值为4.【长郡中学2021届一模】19.(12分)如图1,在等边ABC △中,点D 、E 分别为边AB 、AC 上的动点且满足//DE BC ,记DEBCλ=.将ADE △沿DE 翻折到MDE △的位置并使得平面MDE ⊥平面DECB ,连接MB ,MC 得到图2,点N 为MC 的中点.(1)当//EN 平面MBD 时,求λ的值;(2)试探究:随着λ值的变化,二面角B MD E --的大小是否改变?如果是,请说明理由;如果不是,请求出二面角B MD E --的正弦值大小.19.【解析】(1)证明:取MB 的中点为P ,连接DP ,PN ,因为MN CN =,MP BP =, 所以//NP BC , 又//DE BC ,所以//NP DE ,即N ,E ,D ,P 四点共面, 又//EN 面BMD ,EN ⊂面NEDP , 平面NEDP平面MBD DP =,所以//EN PD ,即NEDP 为平行四边形, 所以//NP DE ,且NP DE =, 即12DE BC =,即12λ=. (2)取DE 的中点O ,由平面MDE ⊥平面DECB ,且MO DE ⊥, 所以MO ⊥平面DECB ,如图建立空间直角坐标系,不妨设2BC =,则()0,0,3M λ,(),0,0D λ,()()1,31,0B λ-, 所以(),0,3MD λλ=-,()()1,31,0DB λλ=--.设平面BMD 的法向量为(),,x y z =m ,则())0110MD x z DB x y λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩m m ,即x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,令x =)1,1=-m ,又平面EMD 的法向量()0,1,0=n ,所以cos ,5⋅===-m n m n m n , 即随着λ值的变化,二面角B MD E --的大小不变.且sin ,5==m n , 所以二面角B MD E --.【长郡中学2021届二模】20.(12分)直角三角形ABC 中,90C ∠=︒,4AC =,2BC =,E 是AC 的中点,F 是线段AB 上一个动点,且()01AF AB λλ=<<,如图所示,沿BE 将CEB △翻折至DEB △,使得平面DEB ⊥平面ABE .(1)当13λ=时,证明:BD ⊥平面DEF ; (2)是否存在λ,使得DF 与平面ADE 所成的角的正弦值是23?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.20.【解析】(1)在ABC △中,90C ∠=︒,即AC BC ⊥,BD DE ⊥,取BF 的中点N ,连接CN 交BE 于M , 当13λ=时,F 是AN 的中点,而E 是AC 的中点, ∴EF 是ANC △的中位线, ∴EF //CN .在BEF △中,N 是BF 的中点, ∴M 是BE 的中点.在Rt BCE △中,2EC BC ==, ∴CM BE ⊥,则EF BE ⊥. 又平面DBE ⊥平面ABC ,平面DBE 平面ABC BE =,∴EF ⊥平面DBE . 又BD ⊂平面BDE , ∴EF BD ⊥.而EF DE E =,∴BD ⊥平面 DEF .(2)以C 为原点,CA 所在直线为x 轴,CB 所在直线为y 轴,建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ,()4,0,0A ,()0,2,0B ,()2,0,0E ,设M 是BE 的中点,则有DM BE ⊥,而平面DBE ⊥平面ABC . ∴DM ⊥平面ABC,则(D . 假设存在满足题意的λ,则由AF AB λ=. 可得()44,2,0F λλ-,则(34,21,DF λλ=--.设平面ADE 的一个法向量为(),,x y z =n ,则00AE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n,即2030x x y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩,令y =0x =,1z =-,即()1=-n .∴DF 与平面ADE 所成的角的正弦值sin cos ,DF DF DF θ⋅===n n n3=. 解得12λ=(3λ=舍去). 综上,存在12λ=,使得DF 与平面ADE .【雅礼中学2021届高三第1次月考】19.(本小题满分12分)如图,已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,13B BA π∠=.(1)证明:11B C AC ⊥;(2)若平面11ABB A ⊥平面ABC ,M 为11AC 的中点,求1B C 与平面1AB M 所成角的正弦值.19.【证明】(Ⅰ)取AB 中点D ,连接1B D ,CD ,1BC .∵三棱柱的所有棱长均为2,13B BA π∠=∴ABC △和1ABB △是边长为2的等边三角形,且11B C BC ⊥. ∴1B D AB ⊥,CD AB ⊥ ∵1B D ,CD ⊂平面1B CD ,1B D CD D =∴AB ⊥平面1B CD∵1B C ⊂平面1B CD ,∴1AB B C ⊥ ∵AB ,1BC ⊂平面1ABC ,1AB BC B =∴1B C ⊥平面1ABC ∴11B C AC ⊥.(Ⅱ)∵平面11ABB A ⊥平面ABC ,且交线为AB 由(Ⅰ)知1B D AB ⊥,∴1B D ⊥平面ABC .则DB ,1DB ,DC 两两垂直,则以D 为原点,DB 为x 轴,DC 为y 轴,1DB 为z 轴,建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ,()1,0,0A -,(1B,()C,(1C -,(1A -.∵M 为11A C的中点,∴32M ⎛- ⎝∴(10,B C =,(1AB=,1,22AM ⎛=- ⎝ 设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =则1301022AB n x z AM n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩,取1z =,得()3,3,1n =--. 设1B C 与平面1AB M 所成的角为α,则1143sin 613B C n BC nα⋅===⋅⋅∴1B C 与平面1AB M .【雅礼中学2021届高三第3次月考】18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,ABD △是边长为2的正三角形,PC ⊥底面ABCD ,AB BP ⊥,233BC =. (1)求证:PA BD ⊥;(2)若PC BC =,求二面角A BP D --的正弦值.18.【解析】(1)证明:连接AC 交BD 于O∵PC ⊥底面ABCD ,∴PC AB ⊥ ∵AB BP ⊥,BP CP P =,∴AB ⊥平面PBC ,则AB BC ⊥∵233BC =,∴3tan 3BAC ∠=,即30BAC ∠=︒ ∵60ABD ∠=︒,∴90AOB ∠=︒即AC BD ⊥,∵PC BD ⊥,∴BD ⊥平面ACP ,∴PA BD ⊥(2)由(1)知O 是BD 的中点,过O 作OF //PC 交AP 于F ,以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 则()0,1,0B ,()0,1,0D -,3,0,03C ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,323,0,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 则()0,2,0DB =,323,1,33PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的一个法向量(),,x y z =n则00DB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即20323033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则2x =,∴()2,0,1=n 取PB 的中点313,,623E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,连接CE∵PC BC =,∴CE PB ⊥,则CE ⊥平面ABP ∴向量313,,623CE ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭是平面ABP 一个法向量 ∴23103cos ,5253CE CE CE⋅〈〉===⨯n n n ∴二面角A BP D --的正弦值为155【雅礼中学2021届高三第4次月考】 19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,E 为线段PB 的中点.(1)证明:点F 在线段BC 上移动时,AEF △为直角三角形; (2)若F 为线段BC 的中点,求二面角A EF D --的余弦值.19.【解析】(1)证明:因为PA ⊥底面ABCD ,BC ⊂平面ABCD所以PA BC ⊥.因为四边形ABCD 为正方形,所以AB BC ⊥ 又因为PAAB=A ,所以BC ⊥平面PAB因为AE ⊂平面PAB ,所以AE BC ⊥因为PA AB =,E 为线段PB 的中点,所以AE PB ⊥ 又为PBBC B =,所以AE ⊥平面PBC又因为EF ⊂平面PBC ,所以AE EF ⊥.以点F 在线段BC 上移动时AEF △为以AEF ∠为直角的直角三角形(2)因为PA ⊥底面ABCD ,AB AD ⊥,以A 为坐标原点 分别以AB ,AD ,AP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz - 设正方形ABCD 的边长为2则()0,0,0A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()0,0,2P ,()1,0,1E ,()2,1,0F 所以()1,0,1AE =,()2,1,0AF =,()1,2,1DE =-,()2,1,0DF =- 设()111,,x y z =n 平面AEF 的法向量则00AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,所以1111020x z x y +=⎧⎨+=⎩取11z =,则()1,2,1=-n设()222,,x y z =m 为平面DEF 的法向量则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,所以222222020x y z x y -+=⎧⎨-=⎩取21x =,则()1,2,3=m所以cos ,7⋅==m n m n m n 所以二面角A EF D --的余弦值为7.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,1PA AB ==,2BC CD ==,//AB CD ,2ADC π∠=.(1)求证:PD AB ⊥;(2)求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.19.【解析】(1)由PA ⊥平面ABCD ,得PA AB ⊥,由2ADC π∠=,得AD CD ⊥,∵//AB CD , ∴AD AB ⊥, ∵ADPA A =,∴AB ⊥平面PAD , ∵PD ⊂平面PAD , ∴PD AB ⊥.(2)以射线AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 则()0,0,0A ,()1,0,0B ,()0,3,0D ,()0,0,1P ,()2,3,0C ,()2,3,0AC =,()1,0,1PB =-,()2,3,1PC =-设平面PBC 的法向量(),,x y z =n .则由0,0,PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,230.x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 取31,,13⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ,则3cos ,7AC AC AC ⋅〈〉==⋅n n n . 故直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值为37.18.(本小题满分12分)如图,四棱雉P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,223AB DC ==,AC BD F =,且PAD △与ABD △均为正三角形,G 为PAD △的重心.(1)求证://GF 平面PDC ;(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.18.【解析】(1)设PD 的中点为E ,连接AE ,CE ,GF .∵//AB CD ,223AB DC ==,AC BD F =,∴2AF ABFC CD==. 又∵G 为PAD △的重心G ,∴2AGGE=,∴//GF CE . 又∵GF ⊄面PDC ,CE ⊂面PDC , ∴//GF 平面PDC .(2)设O 为AD 的中点,PAD △为正三角形,则PO AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,∴PO ⊥平面ABCD .过O 分别作BC ,AB 的平行线,建系如图.∵()0,0,3P ,333,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,333,,022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,易知平面PAD 的法向量()11,3,0=n . 设平面PBC 的法向量为()2222,,x y z =n ,∴333,,322PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()3,0,0BC =-,∴2222223302230PB x y z BC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩n n ,得232⎛⎫= ⎪⎝⎭n,121212cos ,⋅===n n n n n n 从而,平面PAD 与平面PBC.【雅礼中学2021届高三第8次月考】18.(本题满分12分)在三棱锥S ABC -中,AB ⊥平面SAC ,AS SC ⊥,1AB =,2AC =,E 为AB 的中点,M 为CE 的中点.(1)在线段SB 上是否存在一点N ,使MN //平面SAC ?若存在,指出点N 的位置并给出证明,若不存在,说明理由;(2)若30SCA ∠=︒,求二面角S CE B --的大小.18.【解析】(1)存在点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即14SN SB =,MN //平面SAC ,证明如下:取AE 的中点F ,连接FN ,FM ,则MF //AC , 因为AC ⊂平面SAC ,MF ⊄平面SAC ,所以MF //平面SAC , 因为1124AF AE AB ==,14SN SB =, 所以FN //SA ,又SA ⊂平面SAC ,FN ⊄平面SAC , 所以FN //平面SAC , 又MFFN F =,,MF FN ⊂平面MNF ,所以平面MNF //平面SAC ,又MN ⊂平面MNF ,所以MN //平面SAC .(2)作SO AC ⊥于O ,过O 作AB 的平行线为x 轴,OC 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由30SCA ∠=︒,AS SC ⊥,得22AS =,24AO =, 362cos30222SC =︒=⋅=,64OS =,324OC =,12AE =,故21,,04B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,12,,024E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,320,,04C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,60,0,4S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 1,2,02CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,3260,,44SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 设平面SEC 的法向量为(),,x y z =m ,由1202326044CE x y SC y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩m m , 得()22,1,3=m ,平面BEC 的法向量为()0,0,1=n , 由31cos ,212==m n , 因为二面角S CE B --为钝角,故所求二面角为120︒.【雅礼中学2021届一模】 17.(本题满分10分)如图,在正方体1111-ABCD A B D C 的上底面内有一点E ,点F 为线段1AA 的中点.(1)经过点E 在上底面画出一条线l 与CE 垂直,并说明画出这条线的理由; (2)若点E 为线段11AC 靠近1C 的三等分点,求CE 与平面11FB D 所成角的正切值.17.【解析】(1)如图所示,连接1C E ,在上底面过点E 作直线1⊥l C E 即可,因为1⊥CC 平面1111A B C D , 所以1⊥CC l .根据作法知1⊥l C E , 又因为111=C EC C C ,所以⊥l 平面1CC E , 所以⊥l CE .(2)以D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴,如图建立空间直角坐标系,设2=DA ,平面11FB D 的法向量为()x, y, z =m ,()112,2,0=D B ,()12,0,1=-D F ,则11122020⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩D B x y D F x z m m . 令1=x ,则1=-y ,2=z ,所以平面11FB D 的一个法向量为()1,1,2=-m .22,,233⎛⎫=- ⎪⎝⎭CE ,(2)设CE 与平面11FB D 所成角的大小为θ,则224sin cos ,1++⋅====CE CE CEθm m m 所以CE 与平面11FB D 所成角的正切值为【雅礼中学2021届二模】20.(本题满分12分)在空间直角坐标系O xyz -中,以坐标原点O 为圆心,r 为半径的球体上任意一点(),,P x y z ,它到坐标原点O 的距离d r =≤,知以坐标原点为球心,r 为半径的球体可用不等式2222y r x z ++≤表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示,记1P 满足的不等式组222160z z x y ⎧≤≥++⎨⎩,表示的几何体为1W .(1)当z h =表示的图形截1W 所得的截面面积为12π时,求实数h 的值;(2)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.记2P 满足的不等式组2221604x y z z ⎧≤≤⎨≤≤+⎩所表示的几何体为2W .请运用祖暅原理求证2W 与1W 的体积相等,并求出体积的大小.20.【解析】(1)22216x y z z ≤⎧++⎨≥⎩,则几何体1W 表示上半球,球半径为4.当z h =时,22216x y h ≤+-,截面为圆面,21612h -=,解得2h =±. 又0h ≥,所以2h =.(2)设(),,P x y z ,则点P 到z 轴的距离为d ,由2216x y +≤, 即2222216OP z x y d -=+≤=, 即点P 到z 轴的距离为4d≤.所以221604x y z ≤≤⎧+⎨≤⎩,所表示的几何体为圆柱体.由222z x y ≤+,即点P 到z 轴的距离为d z ≥,当d z =时,点P 在以一直角边在z 轴上的等腰直角三角形绕z 轴旋转而成的倒圆锥面上.所以2221604z x y z ⎧+⎨≤≤≤≤⎩,所表示的几何体2W 为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥. 且该圆锥的对称轴与母线的夹角为45︒.在1W 中,平面x h =所截的截面为圆,其面积为()216hπ-, 在2W 中,平面z h =所截的截面为圆环,在圆柱中的截面圆面积为16π, 在圆锥中的截面圆面积为2h π,所以在2W 中截面面积为()216hπ-,即z h =截1W ,2W 所得面积均相等,从而由祖原理知,1W ,2W 体积相等, 由1W 为半球知其体积3141284233V ππ=⨯⨯=.【雅礼中学2022届第1次月考】19.(12分)如图,在四棱台1111ABCD A B C D -中,底面四边形ABCD 为菱形,111112AA A B AB ===,60ABC ∠=︒,1AA ⊥平面ABCD . (1)若点M 是AD 的中点,求证:11C M AC ⊥; (2)棱BC 上是否存在一点E ,使得二面角1E AD D --的余弦值为13?若存在,求线段CE 的长;若不存在,请说明理由.19.【解析】(1)取BC 中点Q ,连接AQ ,1A C ,AC ,因为四边形ABCD 为菱形,则AB BC =, ∵60ABC ∠=︒, ∴ABC △为等边三角形,∵Q 为BC 的中点,则AQ BC ⊥, ∵//AD BC , ∴AQ AD ⊥,由于1AA ⊥平面ABCD ,以点A 为坐标原点,以AQ ,AD ,1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图.则()0,0,0A ,()10,0,1A ,()10,1,1D ,()3,0,0Q ,()3,1,0C,131,,122C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,()0,1,0M ,131,,122C M ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()13,1,1C A =-,∴()211311022C M AC ⋅=-++-=, ∴11C M AC ⊥; (2)假设点E 存在,设点E的坐标为),0λ,其中11λ-≤≤,()3,,0AE λ=,()10,1,1AD =,设平面1AD E 的法向量为(),,x y z =n ,则10,0,AE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,y y z λ+=+=⎪⎩取y =xλ=,z=所以,(,λ=n ,平面1ADD 的一个法向量为()1,0,0=m ,所以,1cos ,3⋅===⋅m n m n m n,解得2λ=±, 又由于二面角1E AD D --为锐角,由图可知,点E 在线段QC上, 所以2λ=,即1CE =-.因此,棱BC 上存在一点E ,使得二面角1E AD D --的余弦值为13,此时1CE =-.【师大附中2021届第1次月考】 19.(本小题满分12分)如图,在五面体ABCDE 中,平面BCD ⊥平面ABC ,AC BC ⊥,ED//AC ,且22AC BC ED ===,3DC DB ==.(1)求证:平面ABE ⊥平面ABC ;(2)线段BC 上是否存在一点F ,使得二面角F AE B --的余弦值等于539,若存在,求BFBC的值;若不存在,说明理由.18.【解析】(1)证明:设BC 中点为M∵DC DB =,∴DM BC ⊥又∵面BCD ⊥面ABC ,∴DM ⊥面ABC 设AB 中点为N ,连接MN ,∴MN BC ⊥以M 为原点,MN ,MB ,MD 方向为x ,y ,z 正半轴建 立如图所示空间直角坐标系 面ABC 法向量()0,0,1n =()2,2,0AB =-,()1,1,2AE =-,面ABE 法向量()1,1,0m =, ∵0m n ⋅=, ∴面ABE ⊥面ABC .DEABCF(2)设()0,,0F m面FAE ,()2,1,0AF m =-+,(AE =-. ∴面FAE法向量n m ⎛=+ ⎝.cos ,9m n 〈〉== ∴13m =,2m =舍. ∴21323BF BC ==.【师大附中2021届第3次月考】19.(本小题满分12分)已知,如图四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,60ABC ∠=︒,2AB PA ==,PA ⊥平面ABCD ,E ,M 分别是BC ,PD 中点,点F 在棱PC 上移动.(1)证明:无论点F 在PC 上如何移动,都有平面AEF ⊥平面PAD ; (2)当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时,确定点F 的位置.19.【解析】(1)证明:连接AC ,∵底面ABCD 为菱形,60ABC ∠=︒, ∴ABC △为正三角形, ∵E 是BC 的中点, ∴AE BC ⊥,又AD//BC , ∴AE AD ⊥,∵PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD , ∴PA AE ⊥, ∵PAAD A =,PA AD ⊂、平面PAD ,∴AE ⊥平面PAD , ∵AE ⊂平面AEF , ∴平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知,AE 、AD 、AP 两两垂直,故以AE 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0A ,()3,1,0B-,()3,1,0C,()0,2,0D ,()0,0,2P ,()0,1,1M ,()3,0,0E,∴()3,1,2PC =-,()0,2,2PD =-,()0,0,2AP =.设()3,,2PF PC λλλ==-,()3,,22AF AP PF λλ=+=-.设平面PCD 的法向量为()111,,x y z =m ,则11111320220PC x y z PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m,令1z =11x =,1y = ∴(=m .设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ,则sin cos ,AF AF AF θ⋅====⋅m m m,当12λ=时,sin θ最大,此时F 为PC 的中点.【师大附中2021届第5次月考】 19.(本小题满分12分)如图,在梯形ABCD 中,//AB CD ,1AD DC CB ===,60ABC ∠=︒,四边形ACFE 为矩形,平面ACFE ⊥平面ABCD ,1CF =.(1)求证:BC ⊥平面ACFE ;(2)在线段EF 上是否存在点M ,使得平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的平面角为θ,且满足cos θ=?若不存在,请说明理由;若存在,求出FM 的长度.【师大附中2021届第6次月考】 19.(本小题满分12分)如图,已知直三棱柱111ABC A B C -,90ACB ∠=︒,E 是棱1CC 上动点,F 是AB 中点,2AC BC ==,14AA =.(1)当E 是棱1CC 中点时,求证:CF //平面1AEB ;(2)在棱1CC 上是否存在点E ,使得二面角1A EB B --的大小是45︒?若存在,求CE 的长;若不存在,请说明理由.19.【解析】(1)取1AB 的中点G ,联结EG ,FG ,∵F 、G 分别是AB 、1AB 中点, ∴1FG //BB ,112FG BB =, 又∵FG//EC ,FG EC =, ∴四边形FGEC 是平行四边形, ∴CF //EG .∵CF ⊄平面1AEB ,EG ⊂平面1AEB , ∴CF //平面1AEB .(2)以C 为坐标原点,射线CA ,CB ,1CC 为x ,y ,z 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 则()0,0,0C ,()2,0,0A ,()10,2,4B .设()0,0,E m ,平面1AEB 的法向量(),,x y z =n , 则()12,2,4AB =-,()2,0,AE m =-, 且1AB ⊥n ,AE ⊥n ,于是12240200AB x y z AE x y mz ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ,所以242mz x mz z y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,取2z =,则(),4,2m m =-n , 三棱柱111ABC A B C -是直棱柱, ∴1BB ⊥平面ABC , 又∵AC ⊂平面ABC , ∴1AC BB ⊥, ∵90ACB ∠=︒, ∴AC BC ⊥, ∵1BB BC B =,∴AC ⊥平面1ECBB , ∴CA 是平面1EBB 的法向量,()2,0,0CA =,二面角1A EB B --的大小是45︒,则cos4522CA n CA nm ⋅︒===⋅⨯,解得52m =.∴在棱1CC 上存在点E ,使得二面角1A EB B --的大小是45︒,此时52CE =.【师大附中2021届第7次月考】18.(本小题满分12分)如图,C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ,B 的点,平面PAC ⊥平面ABC ,PAC △中,PA PC =2AC ==,4BC =,E ,F 分别是PC ,PB 的中点.(1)求证:BC ⊥平面PAC ;(2)记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ,点Q 为直线l 上动点.求直线PQ 与平面AEF 所成的角的取值范围.18.【解析】(1)证明:∵BC AC ⊥,平面PAC平面ABC AC =,平面PAC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴BC ⊥平面PAC .(2)由已知,BC//EF ,又EF ⊂平面EFA ,BC ⊄平面EFA ,∴BC//平面EFA , 又BC ⊂平面ABC ,平面EFA平面ABC l =,∴BC//l ,以C 为坐标原点,CA ,CB 所在直线分别为x 轴,y 轴,过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系()2,0,0A ,()0,4,0B,(P ,∴122E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,12F ⎛ ⎝⎭,∴32AE ⎛=- ⎝⎭,()0,2,0EF =, ∵BC//l ,∴可设()2,,0Q y ,平面AEF 的一个法向量为(),,x y z =m ,则30220x AE EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩m m,取z =(=m ,又()1,,3PQ y =-,则211cos ,0,24PQ y ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+m .∴直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围为0,6π⎛⎤⎥⎝⎦. 【长郡、附中、一中2021届12月联考】 19.(本题满分12分)四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,120BAD ∠=︒,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,E ,F 分别是PC ,PD 的中点.(1)已知BG BC λ=,若平面EFG//平面PAB ,求λ的值; (2)在(1)的条件下,求平面EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值.19.【解析】(1)若平面EFG//平面PAB ,平面PAB 平面=PBC PB ,平面EFG平面=PBC EG由面面平行的性质定理可知:PB//EG 于是=CG CEGB EP,由E 为PC 的中点知:G 为BC 的中点,故12=BG BC 所以12=λ (2)由平面EFG//平面PAB 知,平面EFG 与平面PCD 所成二 面角即为平面PAB 与平面PCD 所成二面角,连接BD ,交AC 于点O ,因为四边形ABCD 为菱形,则⊥AC BD ,以点O 为 坐标原点,以OB 、OC 所在的直线分别为x 轴,y 轴,过点O 与底面ABCD 垂直的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系则()0,1,0-A,)B,()0,1,0C,()D,(0,-P于是(=AP ,()3,1,0=AB,(0,=-CP,()1,0=--CD ,设平面PAB 的法向量为()1,,=x y z n ,由1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AP AB n n,得0⎧=⎪+=y取1=x,则=y 0=z ,于是()11,=n 同理可求得平面PCD 的一个法向量为()2=-n则121212c os ,5⋅===-n n n n n n 所以二面角的正弦值为5.【附中2021届高三六校联考】 20.(本小题满分12分)某建筑工地上有一个旗杆CF (与地面垂直),其正南、正西方向各有一标杆BE ,DG (均与地面垂直,B ,D 在地面上),长度分别为1m ,4m ,在地面上有一基点A (点A 在B 点的正西方向,也在D 点的正南方向上),且2m BA BC ==,且A ,E ,F ,G 四点共面.(Ⅰ)求基点A 观测旗杆顶端F 的距离及仰角θ的正切值; (Ⅱ)若旗杆上有一点M ,使得直线BM 与地面ABCD 所成的角为4π,试求平面ABM 与平面AEFG 所成锐二面角的正弦值.20.【解析】(Ⅰ)易知平面//ABE 平面CDGF ,且A 、E 、F 、G 四点共面于平面AEFG ,故//AE GF ,同理//AG EF ,故AEFG 为平行四边形,故AE FG =,过点G 作CF 的垂线,垂足为N ,则ABE GNF ≌△△,1FN BE ==,415FC =+=,22AC =,2233AF AC FC =+=,552tan 422FC AC θ===. (Ⅱ)以A 为原点,AB 、AD 为x ,y 轴建立直角坐标系,2MC =,()2,0,0B ,()2,2,2M ,()2,0,0AB =,()2,2,2AM =.设平面ABM 的法向量(),,x y z =m ,则202220AB x AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩m m , 设1y =,1z =-,取()0,1,1=-m ,又()2,0,1E ,()2,2,5F ,()2,0,1AE =,()2,2,5AF =,设平面AEFG 的法向量(),,x y z =n ,则202250AE x z AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩n n , 设1x =,则2z =-,4y =,取()1,2,4=-n , 则24cos ,7-+-〈〉==-m n , 设平面ABM 与平面AEFG 所成锐二面角为α,则sin 7α==为所求.【师大附中2021届一模】 18.(本小题满分12分)如图,在ABC △中,4AB BC ==,90ABC ∠=︒,E 、F 分别为AB 、AC 边的中点,以EF 为折痕把AEF △折起,使点A 到达点P 的位置,且PB BE =.(1)求证:BC ⊥平面PBE ;(2)求平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值.18.【解析】(1)因为E 、F 分别为AB 、AC 边的中点,所以//EF BC , 因为90ABC ∠=︒, 所以EF BE ⊥,EF PE ⊥. 又因为BEPE E =,BE 、PEC ⊂平面PBE ,所以EP ⊥平面PBE , 所以BC ⊥平面PBE .(2)如图,取BE 的中点O ,连接PO , 由(1)知BC ⊥平面PBE ,BC ⊂平面BCFE , 所以平面PBE ⊥平面BCFE , 因为PB BE PE =-, 所以PO BE ⊥,又因为PO ⊂平面PBE ,平面PBE平面BCFE BE =,所以PO ⊥平面BCFE ,如图,过点O 作//OM BC 交CF 于点M ,分别以OB ,OM ,OP 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,则(P ,()1,4,0C ,()1,2,0F -,(1,4,PC =,(1,2,PF =-, 设平面PCF 的法向量为(),,x y z =m ,由00PC PF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m,得4020x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩, 令1x =-,可得平面PCF的一个法向量为(=-m , 易知()0,1,0=n 为平面PBE 的一个法向量,则cos ,==m n .所以平面PBE 与平面PCF【师大附中2021届三模】18.(本小题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是正方形,122AA AB ==,E 是1DD 上的一点且12DE =. (1)求证:平面11A B D ⊥平面AEC ;(2)求直线1A D 与平面AEC 所成角的正弦值.18.【解析】(1)证明:在长方体1111ABCD A B C D -中,有11A B ⊥平面11AA D D ,又因为AE ⊂平面11AA D D , 所以11A B AE ⊥.在ADE △与1A AD △中,1ADE A AD ∠=∠,又12A A ADAD DE==, 所以1ADE A AD △∽△. 所以1DAE AA D ∠=∠,所以1112DAE A AD AA D A AD π∠+∠=∠+∠=,所以1AE A D ⊥. 又因为1111A DA B A =,所以AE ⊥平面11A B D , 因为AE ⊂平面AEC , 所以平面11A B D ⊥平面AEC .(2)在长方体1111ABCD A B C D -中,DA ,DC ,1DD 两两垂直,故以D 为原点,DA ,DC ,1DD 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. 依题意,有()1,0,0A ,()0,1,0C ,10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()11,0,2A , 所以()11,0,2DA =,()1,1,0AC =-,11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 设平面AEC 的法向量为(),,x y z n ,则00AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n , 所以0102x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,取()1,1,2=n . 设直线1A D 与平面AEC 所成角为θ,则1115sin cos ,30DA DA DA θ⋅====n n n .【长沙一中2021届高三第2次月考】 19.(本小题满分12分)如图所示的四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,2PA AD ==,M ,N 分别是AB ,PC 的中点.(1)求证:MN ⊥平面PCD ;(2)若直线PB 与平面ABCD 所成角的余弦值为255,求二面角N M C --的余弦值.。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题
【答案】(1)
(2)
【19题答案】
【答案】(1)分布列答案见解析,
(2)
【20题答案】
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【21题答案】
【答案】(1) ;
(2)证明见解析.
【22题答案】
【答案】(1) ,证明见解析
(2)证明见解析
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知a,b,c为非零实数,且 ,则下列结论正确的有()
A. B. C. D.
10.设 ,函数 在区间 上有零点,则 的值可以是()
A. B. C. D.
11.如图, 是一块半径为1的圆形纸板,在 的左下端前去一个半径为 的半圆后得到图形 ,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个前掉半圆的半径)得图形 , ,记纸板 的周长为 面积为 ,则下列说法正确的是()
【12题答案】
【答案】AD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】①③④
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【17题答案】
【答案】(1)an=-2n+1或an=2n-7;(2)Sn=
其中正确 结论序号为________.(填写所有正确结论的序号)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{an} 前三项的和为-9,前三项的积为-15.