高三专题—概率复习(一)

一、离散型随机变量及其分布列

1.离散型随机变量: 若随机变量的取值能够一一列举出来，这

样的随机变量称为离散随机变量.

随机变量的线性组合Y aX b =+(,a b 是常数)也是随机变量 2.离散型随机变量X 的的分布列 设离散型随机变量X 的取值为12,,,n a a a ，X 取i a 的

概率为(1,2,

,)i p i n =，记作：

()(1,2,

,)i i P X a p i n === 把上式列成表：

X 1a 2a … ()i P X a =

1p

2p

…

则上表称为离散型随机变量X 的的分布列

3.分布列的两个性质： ⑴i p ≥0，,,i =12；

⑵p p ++

=121．

4.求随机变量X 的分布列的步骤： (1)确定X 的可能取值(,,)12i a i =…； (2)求出相应的概率()i i P X x p ==； (3)列成表格的形式。

说明： 在写出X 的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．

二、条件概率与独立事件

1. B 发生时A 发生的条件概率： ()(|)()

P A B P A B P B =

（其中A

B 也可以记成AB ）.条件概率可以依照定义在压

缩的样本空间中计算；条件概率也可以按公式计算.

2. 相互独立事件的概率：

(1)对两个事件,A B ，如果事件B 发生与否不影响事件A 发生的概率，则称,A B 相互独立，即有()()()P AB P A P B =. (2)若事件A 与B 独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立．

(3)对多个事件，如果,,

,n A A A 12相互独立，则有

()()()

()n n P A A A P A P A P A =1212

三、两个重要的分布

1.超几何分布：

一般地，设有N 件产品，其中有M ()M N ≤件次品，从中任取n ()n N ≤件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的

件数，那么()k n k

M M N n N

C C P X k C --==

.〔其中k 为非负整数〕.如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为

N ，M ，n 的超几何分布.

2、二项分布

进行n 次试验，如果满足下列条件：

(1)每次试验只有两种相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；

(2)每次试验“成功”的概率均为p ，“失败” 的概率均为

1p -；

(3)各次试验是相互独立的.

用X 表示这n 次试验中成功的次数，则

()(1)k k

n k n P X k C p p -==-(0,1,2,

,)k n =

若一个随机变量X 的分布列如上所示，称X 服从参数为

,n p 的二项分布，记作X B n p ~(,).

四、数学期望与方差.

1、均值：

一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为

()(,,)i i P X a p i ===12

则称r r EX a p a p a p =+++1122为X 的均值或数学期望

(简称期望).

数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 2、方差、标准差的定义：

()()()r r

DX a EX p a EX p a EX p =-+-+

+-2221122称为X 的方差. 显然DX ≥0，

故X DX =

σ，

X σ为X 的标准差.

随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量X 取值的稳

定与波动，集中与离散的程度.DX 越小，稳定性越高，波动．．．．．．．．．．．越小．．.． 均值EX 、标准差X σ具有与随机变量X 相同的单位. 3、期望、方差的性质

(1)随机变量Y aX b =+(a b ,均为常数)的数学期望、方差：

EY E aX b aEX b =+=+()；

DY D aX b a DX =+=2()

(2)二项分布X B n p ~(,)：EX np =，DX np p =-(1)

(3)X 服从参数为N M n ,,的超几何分布：M EX n

N

= BST 金牌数学高三专题系列之 概率复习（一）

例1.【福建理科】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．

拓展变式练习

【福建理科】如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2

f x x = ，若在矩形ABCD 内随机

取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．

例2.【江苏理科】（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）

端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。 （1）求三种粽子各取到1个的概率；

（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望

拓展变式练习

【江苏理科】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.