一个完全非弹性碰撞的实用推论

一个完全非弹性碰撞的实用推论

一、

在动量守恒模块的学习中，高中阶段主要分为完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞这两种基本题型，解题用到的规律是动量守恒和能量守恒，完全弹性碰撞中，对于运动物体碰静止物体的模型，我们可以把v 1=2121m m m m +-v 0 v 2=2

112m m m +v 0， 作为推论，由此避免动量守恒和能量守恒方程组的联立，从而减小了运算量，那么在完全非弹性碰撞中，我们是否也能导出一个结论性的推论从而避免联立方程组，简化计算呢？

二、结论推导

在处理可以等效成“完全非弹性碰撞”模型的问题时，我们发现：动能的损失是连接已知量和待求量的桥梁。如果通过动量守恒和能量守恒这两大基本规律推导出动能损失的一般表达式，作为处理完全非弹性碰撞模型的一个实用推论，那么此推论便可以对我们的解题有所帮助。

推导过程如下：

在光滑水平面上，滑块A 、B 发生完全非弹性碰撞，滑块A 质量为m 1，速度为v 1,滑块Ｂ质量为m 2,速度为v 2， v 1 v 2方向相同且在一条直线上，v1＞v2 。

动量守恒：m 1 v 1 +m 2 v 2= (m 1+ m 2）v ① 能量守恒：21m 1 v 12 +21m 2 v 22=2

1 (m 1+ m 2）v 2+ΔE ② 将①式代入②式ΔE=

21m 1 v 12 +21m 2 v 22-)(2)(21221m m m m v ++ 上式合并同类项得（读者可自行推导）

ΔE=)2()(2212221212

1v v v v m m m m -++

动能损失ΔE=221212

1)()(2v v m m m m -+

上式中，“v 1-v 2”表示碰前两滑块的相对速度，

212

1m m m m +是两质量的调合平均值，我们把它

叫做折合质量。

三、结论应用 从此结论中可以看出，当两物体发生完全非弹性碰撞时，动能的损失可以写成ΔE=21

212

1m m m m +u 2， 其中u 2

是两滑块相对速度绝对值的平方。这个损失的动能可以转化为焦耳热，也可以转化为弹性势能，重力势能。当题目可以等效成“完全非弹性碰撞”模型（当题目中出现“弹簧达到最大压缩量时” “求物块上升的最大高度” “物块恰好不从木板上掉下”，“两物体恰好共速”“两物块粘连在一起运动”时一般等效成完全非弹性碰撞模型）时，一般可利用此结论求解或者简化运算。

例一、结论的简单应用

物块A 以初速度v 滑到小车B 上运动，A 质量为m 1,B 质量为m 2

，

两者的动摩擦因数为u ，水平面光滑，问B 至少多长才能使A 物块不从B 上滑落？

解：不滑落的临界情况是A 相对静止在B 的最右侧，未状态AB 共速，可以看成完全非弹性碰撞应用结论。212121m m m m +v 相2=umgl ⇒ l=ug

m m v m )(22122+ 此时的相对速度就是A 的初速度v 。

附动量观点的一般解法：

由动量守恒m 1 v 1 = (m 1+ m 2）v

21m 1 v 12 =2

1(m 1+ m 2）v 2+umgl 两式联立解得l=ug m m v m )(22122+ 此题也可由运动学公式利用匀变速运动的规律处理，但动量能量的解法与运动学解法相比明显的优势就是思维量小，过程简洁，但计算仍然比繁琐，如果应用动能损失的表达式，就可以快速准确的得出答案，简化了计算。

当题目中涉及多个物体时需要注意，真正发生“碰撞”的是哪两个物体，这样才能正确写出折合质量的表达式。具体分析看下面的例题。

例二、 多过程问题结论的应用方法

物块A 和物块B 用轻弹簧相连，它们质量均为m ，初始

时刻A 和B 均以速度v 在光滑水平面上向右匀速运动，质量

为2m 的C 静止在A 、B 的正前方，B 和C 发生完全非弹性碰撞，求此后弹簧的最大弹性势能。 分析：从B 、C 碰撞后的瞬间到A 与BC 共速时，可视为A 与BC 发生了一次完全非弹性碰撞，损失的动能全部转化为弹簧弹性势能。

解：B 和C 碰撞前后由动量守恒， mv=(m+2m) v 1 ⇒ v 1=

31v 此时A 和BC 的相对速度为v v v 3

231

=- ΔE=21m m m m 33+⨯（v 32）2=183mv 2 由ΔEp=ΔE 得最大弹性势能为18

3mv 2。 反思：需要注意此题的折合质量BC A BC A m m m m +∙，是A 和BC 两物块的整体发生了“碰撞”。而真

正发生完全非弹性碰撞的B 碰C 过程我们却没有研究。因而能否正确选定应用结论的过程并表示其相对速度和折合质量是能否正确解决问题的关键。

如果题目已知最大压缩量△x 还可以求劲度系数。由21k Δx 2=183mv 2 ⇒k=2

293x m v ∆从这里就可以体会到动能损失是连接已知量和待求量的桥梁。

四、结论拓展

在反冲过程中，分离前两部分是一个整体，换句话说分离前两部分相对静止。如果我们把反冲看做完全非弹性碰撞的逆过程，那么反冲后两部分的相对速度就是结论中的相对速度，两部分的折合质量也是完全非弹性碰撞中两物体的折合质量。反冲增加的机械能就可以等效成完全非弹性碰撞里的动能损失。由此我们将结论拓展到类反冲问题中。（此类问题一般情况下重力势能或弹性势能是动能增加的来源）

例三、

质量分别为M1和M2的A 和B ，高度相同，放在光滑水平面上，

AB 的倾斜面是光滑的曲面，曲面下端与水平面相切，如图所示，

物块m 位于A 上，距水平面高度h ，物块由静止滑下，然后滑上B ，求物块在B 上达到的最大高度。

分析:m 从A 上滑下的过程可以看成水平方向的反冲，m 的重力势能转化为m 和M1的动能，再利用动量守恒可由相对速度求出m 的脱离速度，m 滑上B 的过程则看成完全非弹性碰撞处理，从而求出上升的最大高度

解：设m 脱离A 时m 和A 的相对速度为u ，m 脱离A 的速度为v 1 mgh=21m m m m +11u 2 得u=gh m m m 21

1+ 由 mv 1+m 1v A =0 及u= v 1 –v A 得 v 1=11m m m +u=gh m m m 21

1+ ① 第二阶段 mgh ’=21m m mm +22 u ,2② 相对速度u ,=m 脱离速度v 1将①代入②得h ’=h m m v m m m m )

()(121+++ 反思：结合此方法不仅避免了两次直接求解方程组的繁琐，其得出答案的过程更形象，更直观，从不同的角度得出答案有助于我们真正理解物理规律。

五、小结

我们可以发现此结论比完全弹性碰撞的运动碰静止的推论拥有了更广泛的适用性。不但可以用于处理完全非弹性碰撞问题，对于多种可以转化为完全非弹性碰撞的模型及反冲模型都有普遍适用性。因此当我们掌握了此类方法的实质并灵活的进行应用时，不仅仅能够提高解题速度，也伴随着我们的物理素养更上一层楼。