2.3 椭圆的简单几何性质-王后雄学案
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2.3 椭圆的简单几何性质
教材知识检索
考点知识清单
1.椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 上的点中,横坐标x 的取值范围是 ①,纵坐标y 的取值范围是②
2.椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 关于 ③ 、 ④ 、 ⑤ 都对称,椭圆的对称 中心叫做⑥
3.椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的四个顶点坐标为⑦ ,⑧ , ⑨ , ⑩
4.椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的
5.在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 中,、、)0,()0,(21a A a A -),,0(),0(21b B b B -线段2121B B A A 、分别
叫做椭圆的在22F OB Rt ∆中,,||||||2
22
222
2OB F B OF -=这就是的几何意义,22F OB ∆,叫做椭圆的特殊三角形,并且22cos B OF ∠是椭圆的
6.椭圆的焦点到其上任意点距离的最大值为
最小值为 ;过焦点垂直于长轴的弦称之为椭圆的通
径,其长为
7.e 的范围是
==
a
c e ,.且e 的值越接近于1,椭圆越
要点核心解读
一、椭圆的几何性质
我们根据椭圆的标准方程)0(122
22>>=+b a b
y a x 来研究椭圆的几何性质.
1.椭圆的范围.
由标准方程可知,椭圆上点的坐标(x ,y)都适合不等式,1,12222≤≤b
y a x 即,||,,2
222a x b y a x ≤∴≤≤
b y ≤.
这说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形区域内(如图2 -3 -1所示).
[点拨] 确定了曲线的范围以后,用描点法画曲线的图形时就可以不取曲线范围以外的点了.
2.椭圆的对称性.
(1)判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据.
①若把方程中的x 换成-x ,方程不变,则曲线关于y 轴对称; ②若把方程中的y 换成-y ,方程不变,则曲线关于x 轴对称;
③若把方程中的x 、y 同时换成-x 、-y ,方程不变,则曲线关于原点对称. (2)椭圆关于x 轴、y 轴对称也关于原点对称,
对于椭圆标准方程,把x 换成-x ,或把y 换成-y ,或把x 、y 同时换成-x 、-y 方程都不变,所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的xt 称中心叫做椭圆的中心.
[点拨] 如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种,那么它一定还具有另一种对称性.
3.椭圆的顶点.
(1)椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 与坐标轴的交点.
令,0=x 得,b y ±=令,0=y 得.a x ±=
这说明)0,()0,(21a A a A -是椭圆与x 轴的两个交点,),0(),0(21b B b B 、-是椭圆与y 轴的两个交点.因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴,所以,椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.
(2)椭圆的长轴、短轴.
线段21A A 叫做椭圆的长轴,它的长为2a ,a 叫做椭圆的长半轴长, 线段21B B 叫做椭圆的短轴,它的长为2b ,b 叫做椭圆的短半轴长.
[点拨] 明确a 、b 的几何意义,a 是长半轴长,b 是短半轴长,由,2
2
2
b a
c -=可得“已知椭圆的四个顶点,求焦点”的几何作法.只要以短轴的端点)(21B B 或为圆心,以a 为半径,作弧交长轴于两点,这两点就是焦点.
4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比,称为椭圆的离心率,记作=
e .10,022<<∴>>⋅=e c a a
c
a c e 越接近于1,则c 就越接近于a ,从而22c a
b -=
越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c
越接近于0,从而6越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆,当且仅当a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,此时方程即为.2
2
2
a y x =+可结合图2-3-2加强对上述说法的理解.
[点拨] 上述e的数量的变化,反映了椭圆的扁平程度,离心率的大小影响了椭圆的形状.如果两焦点与原点重合,即a=b,则c=0,图形发生质的变化就不再是椭圆,成为圆,此时,圆方程为.2
2
2a
y
x=
+ [注意] 关于椭圆的性质,还要注意如下几点:
(1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两夺端点,到中心距离最大的点是长轴的两个端点;
(2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点:
(3)设椭圆的中心为O,其中一个焦点为
2
,B
F是短轴的一个端点,则
2
2
2
2
cos
,
|
|B
OF
e
a
F
B∠
=
=
(如图2 -3 -3所示,=
=e
a
F
B,
|
|
2
2
⋅
∠)
cos
2
2
B
OF
二、椭圆的第二定义
[问题] 直角坐标平面上,到点F(-c,0)与到直线c
a
x
2
-
=的距离之比为)0
(>
>c
a
a
c
的动点P 轨迹是怎样的曲线?
[探究] 设P(x, y),则有,
|
|
)
2
2
2
a
c
c
a
x
c
x
=
+
+
+γ
(
化简得⋅
-
=
+
-)
(
)
(2
2
2
2
2
2
2
2c
a
a
y
a
x
c
a
令,0
2
2
2>
-
=c
a
b则有.1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
∴点P的轨迹是一个椭圆,
由于上述化简过程具有等价性,因此反过来,对于椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
上任意一点P,则有P到)0,
(c
F-
与到直线c
a
x
2
-
=的距离之比为定值
a
c
由此可得到椭圆的第二定义.
[结论] 平面内与一个定点F的距离和一条定直线L的距离之比为常数e(O [注意] (1)由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下: ①椭圆)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x 的准线方程为c a x 2 ± =