2.3 椭圆的简单几何性质-王后雄学案

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2.3 椭圆的简单几何性质

教材知识检索

考点知识清单

1.椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 上的点中,横坐标x 的取值范围是 ①,纵坐标y 的取值范围是②

2.椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 关于 ③ 、 ④ 、 ⑤ 都对称,椭圆的对称 中心叫做⑥

3.椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的四个顶点坐标为⑦ ,⑧ , ⑨ , ⑩

4.椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的

5.在椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 中,、、)0,()0,(21a A a A -),,0(),0(21b B b B -线段2121B B A A 、分别

叫做椭圆的在22F OB Rt ∆中,,||||||2

22

222

2OB F B OF -=这就是的几何意义,22F OB ∆,叫做椭圆的特殊三角形,并且22cos B OF ∠是椭圆的

6.椭圆的焦点到其上任意点距离的最大值为

最小值为 ;过焦点垂直于长轴的弦称之为椭圆的通

径,其长为

7.e 的范围是

==

a

c e ,.且e 的值越接近于1,椭圆越

要点核心解读

一、椭圆的几何性质

我们根据椭圆的标准方程)0(122

22>>=+b a b

y a x 来研究椭圆的几何性质.

1.椭圆的范围.

由标准方程可知,椭圆上点的坐标(x ,y)都适合不等式,1,12222≤≤b

y a x 即,||,,2

222a x b y a x ≤∴≤≤

b y ≤.

这说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形区域内(如图2 -3 -1所示).

[点拨] 确定了曲线的范围以后,用描点法画曲线的图形时就可以不取曲线范围以外的点了.

2.椭圆的对称性.

(1)判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据.

①若把方程中的x 换成-x ,方程不变,则曲线关于y 轴对称; ②若把方程中的y 换成-y ,方程不变,则曲线关于x 轴对称;

③若把方程中的x 、y 同时换成-x 、-y ,方程不变,则曲线关于原点对称. (2)椭圆关于x 轴、y 轴对称也关于原点对称,

对于椭圆标准方程,把x 换成-x ,或把y 换成-y ,或把x 、y 同时换成-x 、-y 方程都不变,所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的xt 称中心叫做椭圆的中心.

[点拨] 如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种,那么它一定还具有另一种对称性.

3.椭圆的顶点.

(1)椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 与坐标轴的交点.

令,0=x 得,b y ±=令,0=y 得.a x ±=

这说明)0,()0,(21a A a A -是椭圆与x 轴的两个交点,),0(),0(21b B b B 、-是椭圆与y 轴的两个交点.因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴,所以,椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.

(2)椭圆的长轴、短轴.

线段21A A 叫做椭圆的长轴,它的长为2a ,a 叫做椭圆的长半轴长, 线段21B B 叫做椭圆的短轴,它的长为2b ,b 叫做椭圆的短半轴长.

[点拨] 明确a 、b 的几何意义,a 是长半轴长,b 是短半轴长,由,2

2

2

b a

c -=可得“已知椭圆的四个顶点,求焦点”的几何作法.只要以短轴的端点)(21B B 或为圆心,以a 为半径,作弧交长轴于两点,这两点就是焦点.

4.椭圆的离心率

椭圆的焦距与长轴长的比,称为椭圆的离心率,记作=

e .10,022<<∴>>⋅=e c a a

c

a c e 越接近于1,则c 就越接近于a ,从而22c a

b -=

越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c

越接近于0,从而6越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆,当且仅当a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,此时方程即为.2

2

2

a y x =+可结合图2-3-2加强对上述说法的理解.

[点拨] 上述e的数量的变化,反映了椭圆的扁平程度,离心率的大小影响了椭圆的形状.如果两焦点与原点重合,即a=b,则c=0,图形发生质的变化就不再是椭圆,成为圆,此时,圆方程为.2

2

2a

y

x=

+ [注意] 关于椭圆的性质,还要注意如下几点:

(1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两夺端点,到中心距离最大的点是长轴的两个端点;

(2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点:

(3)设椭圆的中心为O,其中一个焦点为

2

,B

F是短轴的一个端点,则

2

2

2

2

cos

,

|

|B

OF

e

a

F

B∠

=

=

(如图2 -3 -3所示,=

=e

a

F

B,

|

|

2

2

∠)

cos

2

2

B

OF

二、椭圆的第二定义

[问题] 直角坐标平面上,到点F(-c,0)与到直线c

a

x

2

-

=的距离之比为)0

(>

>c

a

a

c

的动点P 轨迹是怎样的曲线?

[探究] 设P(x, y),则有,

|

|

)

2

2

2

a

c

c

a

x

c

x

=

+

+

化简得⋅

-

=

+

-)

(

)

(2

2

2

2

2

2

2

2c

a

a

y

a

x

c

a

令,0

2

2

2>

-

=c

a

b则有.1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

∴点P的轨迹是一个椭圆,

由于上述化简过程具有等价性,因此反过来,对于椭圆1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

上任意一点P,则有P到)0,

(c

F-

与到直线c

a

x

2

-

=的距离之比为定值

a

c

由此可得到椭圆的第二定义.

[结论] 平面内与一个定点F的距离和一条定直线L的距离之比为常数e(O

[注意] (1)由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下:

①椭圆)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

的准线方程为c

a

x

2

±

=

相关文档
最新文档