北航应用数理统计考试题及参考解答
北航2015级硕士研究生数理统计参考答案(B层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。
（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
北航数理统计答案
北航数理统计答案【篇一：北航数理统计考试题】术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?,?2)的样本，令t?x?x)，试证明t服从t-分布t（2）二、（6分，b班不做）统计量f-f(n,m)分布，证明1f的?（0?1）的分位点x?是1f1??(n,m)。
三、（8分）设总体x的密度函数为?(1??)x?,0?x?1p(x;?)??0,其他?其中???1，是位置参数。
x1，x2，…，xn是来自总体试求参数?的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体x的密度函数为?1?x???exp???，x???p(x;?)??????，??0,其它其中???????,?已知，??0,?是未知参数。
x1，x2，…，xn是来自总?体x的简单样本。
（1）试求参数?的一致最小方差无偏估计?；（2）?是否为?的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体n(?两样本相互独立，其中?设h0:?1??2,h1:?1??2,1221?,?1)2的,?2)的简单样本，且21,?1,?2,?222是未知参数，???22。
为检验假可令zi?xi?yi, i?1,2,...,n ,???1??2 ,则上述假设检验问题等价于h0:?1?0,h1:?1?0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平?下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，b班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，?0已知，?2未知，试求假设检验问题h0:?2,?)02的??0,h1:?22??02的水平为?的umpt。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、（6分）设方差分析模型为?xij????i??j??ij?2??ij服从正态总体分布n(0,?)且?ij相互独立??i?1,2,...,p;j?1,...,q?pq??和?满足??i?0,??j?0.j?ii?1j?1?总离差平方和pst?sa?sb?se中sa?q?(xi??x),x?i?1x??pqi?1j?11pqij,xi??1qijx?qj?1,且e(se)=(p-1)(q-1)?.?...??p?0的拒绝2试求e(sa)，并根据直观分析给出检验假设h0:?1??2域形式。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。
三、（8分）设总体X 的密度函数为其中1α>-，是位置参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。
（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧； （2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。
为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。
2010新版北航研究生应用数理统计习题参考答案
n
xi 1
2
1
n
2n
e
2
(1 x )
， 1 xi （ i ）
由 2 0 ，则似然函数为 1 的单调递增函数，且 - 1 xi （ i ） ，由极大似
ˆ min{x } 。 然估计定义可知， 1 的极大似然估计为 1 i
i
对 2 ， ln L(1， 2 ) -n ln 2
- 2 ， x1 ，x 2 ，…，x n 为来自总体的简单样本，求参数 1 及 2 的极大似然估计。
解：由 f ( x;1 , 2 ) 为概率密度函数可知， 2 0 。 似然函数为 L(1 , 2 ; x1 , x2 ,, xn )
1
2n
e
i 1
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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
ˆ 0 min{xi } 。 x 0 的极大似然估计为 x
i
12. （ P81.11） ）设总体 X 的概率密度函数为 f ( x;1 , 2 )
1
2
e
x 1
2
， - 1 x ，
2 1m
2
2 (n 1) S 2 n
2
( x 1 ) ( y 2 )
2 (m 1) S12m (n 1) S 2 n mn2
2
m
2
n
~ t (m n 2) 。
6． （ P80.1）设总体 X 服从两点分布 B(1, ) ， 0 1 ， x1 ， x 2 ，…， x n 为简单随机样 本，⑴ 求 q( ) Var ( x ) ；⑵ 求 q( ) 的频率估计。
应用数理统计期末试卷 (2)
应用数理统计期末试卷题目一一位医生想要调查 COVID-19 病例在抵达医院时的体温情况，他随机抽查了50 名确诊患者，记录了他们入院时的体温（单位：摄氏度），得到以下数据：37.1 37.2 38.5 37.8 38.138.2 38.4 37.9 38.3 37.638.0 38.2 37.4 38.5 38.637.3 37.9 38.9 37.8 37.538.6 37.7 38.4 37.1 38.137.4 38.3 37.9 37.7 37.638.0 38.2 38.8 37.5 38.338.1 38.5 37.8 37.9 38.737.6 37.7 37.9 38.3 38.0请根据这份数据回答以下问题：1.请计算这 50 名患者的平均体温并进行解释。
2.请建立适当的直方图并解释。
3.请计算这批数据的标准差并解释。
题目二一项关于发动机寿命的研究显示，在正常使用情况下，某型号航空发动机寿命服从均值为 1200 小时、标准差为 100 小时的正态分布。
为了确保安全，该型号发动机的安全寿命必须在 1000 小时以上。
在一架飞机上，该型号的 5 台发动机已经工作了 895、1020、1140、1260 和1375 小时。
请回答以下问题：1.五台发动机的寿命各是多少，哪台发动机应该先更换？2.如果该型号发动机的标准差为 80 小时，五台发动机的寿命各是多少，哪台发动机应该先更换？题目三在某公司的管理培训课程中，有 120 名学员参加了一次考试，总分为 100 分。
以下是这 120 名学员的成绩：49 59 63 86 71 62 75 71 82 7259 51 58 64 57 27 68 76 80 4671 67 48 64 65 45 57 69 90 5261 51 29 41 77 57 65 58 72 4150 63 73 51 55 61 83 84 92 6491 69 60 72 70 88 89 86 77 5980 80 34 52 59 73 60 69 37 4634 66 67 86 56 41 65 93 73 8958 62 54 47 83 64 44 53 40 8571 67 35 45 73 73 59 81 56 7368 55 49 65 79 69 96 47 60 34请回答以下问题：1.请计算这批成绩的平均分、中位数、众数、极差、四分位数并进行解释。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011 年12 月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。
F F1 (n,m) 。
三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。
x1，x2，⋯，x n是来自总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。
x1，x2，⋯，x n 是来自总体X 的简单样本。
1)试求参数的一致最小方差无偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。
五、(6分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，⋯，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。
为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，⋯，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。
七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、(6 分)设方差分析模型为总离差平方和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。
北航2011《应用数理统计》试题及参考答案
北航2011《应用数理统计》考试题及参考解答一、填空题（每小题3分，共9分）1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 二、单项选择题（每小题3分，共9分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)X N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他,似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦． 另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．。
专业学位研究生应用数理统计期末试题
专业学位研究⽣应⽤数理统计期末试题航天学院2019-2020学年第⼀学期专业学位研究⽣《应⽤数理统计》课程考试卷（A卷）考核形式：开卷部门：班级：姓名：说明：下列试题均可⽤SPSS软件计算，所有问题均要求提供纸质答案及电⼦答案。
最后⼀题要求提供数据⽂件.sav和输出⽂件.spv.⽤两种软件提供答案的试卷可适当加分。
2章参数估计⼀、随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：）设测试数据分别服从正态分布，在下列两种情况下讨论两总体均值差的区间估计。
（1）两总体⽅差相等；（2）两总体⽅差不等。
3章假设检验⼆、为研究长跑运动对增强普通⾼校学⽣⼼脏功能的效果,对某⾼校15名男⽣进⾏测试,经过5个⽉的长跑训练后看其晨脉是否减少。
锻炼前后的晨脉数据如下表所⽰。
试问锻炼前后的晨脉在显著性⽔平0.05下有⽆显著性差别。
4章⽅差分析三、为了研究⽕箭燃料和推进器对⽕箭射程的影响，选⽤了4种不同燃料和3种不同推进器，将他们相互搭配并在每⼀种搭配下做了两次试验，得到⽕箭射程（海⾥）数据如下表。
在显著性⽔平0.05下，试分析燃料、推进器以及燃料和推进器这两种因素的交互作⽤对⽕箭射程的影响是否显著？6章回归分析四、国家需要⼤⼒发展国际旅游⾏业以增加国家的外汇收⼊，外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 之间构成什么样的统计关系呢？根据2004年的中国统计年鉴，得到1985—2002年间的统计数据如下表：（1）试根据上述数据建⽴外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 之间的回归模型，并进⾏回归分析，对2003年和2004年的外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 进⾏预测。
（2）试查找2005-2016年间连续6年的国家的外汇收⼊与接待的旅游⼈数的相关统计数据，分析其是否符合（1）中的模型，如不符合，试建⽴新的回归模型。
（3）利⽤（2）中的回归模型对我国2017年（可验证）和2019年（预测）的外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 进⾏预测。
《应用数理统计》习题解答
2214243.(1)[||]0.140(2)[||]0.144(,4),(,),(0,)[||]20.1800255(3){||0.1}2(10.9521.9615372tnE a D nnE aN a N a t a NnnE t t dtnP t Pnξξξξξξπ-+∞-==≤⇒=-≤=-==≤==≤=≤=Φ-≥=⇒≥⎰《应用数理统计》参考答案习题一0.51.(,0.5)(,){||0.1}0.9972.97442N a N anP a Pnξξξξ⇒-<=<==⇒=2242.(,4)(,)100||(1)(||)()0.90,0.330.20.2(2):P(||)N a N aa UP a U P Uaξξξξσξεε⇒--<=<==-≥≤挈比学夫不等式(5)(5)125515(3){15}1{15}1{15,15,,15}1215121[{}]221[1(1.5)]0.292P P P P ξξξξξξ>=-≤=-≤≤≤--=->=--Φ=1121212111()(1){}{,,,}{1,1,,1}()()(1)(1)k n n nn m nm n m n m ni i P k pq P M m P m m m P m m m pqpq q q ξξξξξξξ----======≤≤≤-≤-≤-≤-=-=---∑∑4.5. 6. 13.0)25(1}8.012138.012{}13{)54,12(~)1()4,12(~=Φ-=->-=>ξξξξP P N N (1)(1)1255511515(2){10}1{10}1{10,10,,10}1[{10}]1[1{10}]1210121[1{}]221[11(1)]0.579P P P P P P ξξξξξξξξ<=-≥=->>>=->=--≤--=--≤=--+Φ=6(1)0.001567.2800~(0.0015)(1){800}[{800}][0.0015]x E P P e dx e ξξξ∞-->=>==⎰6(6)30000.00156 4.56(2){3000}[{3000}][0.0015](1)x P P e dx e ξξ--<=<==-⎰1212(2){}{,,,}{1,1,,1}n n nn P K k P k k k P k k k ξξξξξξ==≥≥≥-≥+≥+≥+7．8.均值的和（差）等于和的均值，方差的和差都等于方差的和9.由中心极限定理：10.11.22222(1)(1)(1)()222~()()()[()](,)it itit n e n n e n e it i t t tn it it n n nn p t e t t ee n e e e N n λξλλξξλλλλλξλϕϕϕλξλ---+--∴=∴======∴12121233~(20,3),~(20,),~(20,)10151~(0,)2{||0.3}1220.67N N N N P P ξξξξξξξξξ-∴->=->=-Φ=2(),(),E a D ξξσ==121(0,1)(0,1)~(,)n n i i i ni i na a n N N N a n nξξσξσξ==--∴∴=∑∑∑22222222,(),()()(),(),(),(,)k k k k k k k k k k k k k kk k E a E a D E E a a a a E A a D A n a a A N a nξξξξξ===-=--∴==-∴22121212222(),()(),()0,()()()2,()()()2,i i E E a D D E D D D E E D ξξξξσξξξξξξσξξξξξξσ====∴-=-=+=∴-=-+-=13.14.15.16.2212221221,(),(),()()0,()()()(1),11[()](1)1niii ii i iniiniiE a E a D DnE D D DnDn D nDES n Dn nE ES Dn n nσξξξσξξξξξξξσξξξξξξξ=======∴-=-=+--===--==--∑∑∑222222222424222(1),11()(1)()2(1)21 ()2(1)() nsnns nE n Es On nns nD n Ds On n n χσσσσσσσ--=-⇒==+-=-⇒==+112323''' '2(121)(1)()()()()5231()(121)23023021AD E E E EA E E A AVar Aξξξξξξηξηηηηηξξξξξ⎛⎫⎪-+=-==⎪⎪⎝⎭=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11223''''110(2)(,)111()()()()5231()(121)23023021BE E E EB E E B BVar Bξηηηξξξηηηηξξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11222211()2822121(2)||2241128116xx xxe dx dxπ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭-∞-∞-=∑-⎛⎫⎛⎫∑==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰17.18.21.22.()11223'122'111110(,),211151,1101221111111100130111100310110N A A AAA Aξηξηξηηθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭‘＝，由引理1.2.3，则－的联合分布为－－11223''12111111~(,),1011111432111111121301111210.2N A A AA Aξηξξηξηθρρρρρρρρρηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∴∑⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴--=⇒=-＝=A，－－时与独立2''44''22'''''' 44224(0,)(,)()()2()()()()()cov(,)(,)()() ()()2()()()2()nN IE A B tr A tr B tr ABE A E B tr A tr BA B E A B E A E Btr A tr B tr AB tr A tr B tr AB ζσζζζζσσζζζζσσζζζζζζζζζζζζσσσσσ=+=∴=-=+-=()11112222121122,1,1,0822177,122477yay y Qyba babθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒===-=⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=∑== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭23.24.又 则令 则与 独立，则 与独立，且26.则2212221~(,),~(0,),~(1),(0,1)/(1)n n N a N n n ns n N T t n σξξξσξξχσξξ++----=-'11111(,,),(,,)111(,,),()11n n n ij n n n n i i i ia a B D nn n ξξθξσσσσδσσ⨯======-∑∑'2,0,D D D BD ===221(,)(,)1()n ni i nnB N a N I ηξθσσ===∑,i i i aξγσ-=2'11,()()()ni i i a D n ηγζγγξθξθσ=-==-=--∑∑B nηξ=ξηζ)1(~2-n χζ11(,)22U ξθθ-+(1)()121111221111()2201()121()()[1()]1[]21()()[()][]2(,)(1)()()[()()](1)[]n x n n n n n n n x f x other F x dx x f x nf x F x n x f x nf x F x n x f x y n n f x f y F y F x n n y x ξξθξξθθθθθ-------⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩==-+∴=-=⋅⋅-+==⋅+-=--=⋅-⋅-⎰27.33.2222122222212222(0,),1()||2 ()()()()22(1)iyniniiY a NE d Y dynaD dE d E d Ennn nσξσσξσσσπσσσππ-∞-∞===-==-=-=-=⋅-=-∑⎰∑2222122122210.3(0,0.3),(0,)1010()(9)0.310()100.18{}0.30.3{(2}0.01iniiniiniN NPPξξξξχξξξ===--⨯<=<=∑∑∑222(2)(0,1),(1)0.3(9){0.9}0.9932nsN ntP Psnξχσξξξ--<=<=12121222221221212(3)(0,0.18),(0,0.18)(0,1),(0,1)0.18(1),()(1)0.18{()40}0.9N NN NPξξξξχχξξξξ+-+-+<=-224132244(4)~(1),~(0,0.12),10.73 {10.73}{}0.95NP Pξχξξξξ-<=<=34.《应用数理统计》参考答案2211222212222211(1)(0,),(0,)(1),()(1)11,()()(2)nn miii i n nniii nn mi i i i n N n N m n m m a b n m a b n m ξσξσξξχχσσσξξχ+==+=+==+--==++-∑∑∑∑∑∑222211112(2)(),(0,)(0,1),/(),n mni ii n i nniii i i m N n N t m c m n ξχξσσξξσσ+=+===∴=∑∑∑∑∑2222221121221(3)(),()()/(1,1),/nn mi i i i n ni i n mi i n n m n mF n m d nm ξξχχσσξσξσ+==+=+=+--∴=∑∑∑∑1. 由矩估计法2. (1) 由矩估计法(2)(3)(4)(5)818226212266174.00281610(74.002)88610 6.85710181ii i i a X x S x n S S n σ=-=--⎧===⎪⎪⎨⎪==⨯=-⎪⎩∴==⨯⨯=⨯--∑∑11'1202()33A x EX x dx θαξθθαξθθξ==-====∴=⎰111'101(1)2211A EX x x dx θαξθαθξθξθξ==+==+==+-∴=-⎰1211211122222221212222222121112()2x x n i i e xdx e x dx A X n A S S S θθθθθθαθθξθαθθξθξθξθθξθξθ--+∞--+∞==⋅=+==⋅===+∴=+==-+⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩⎰∑⎰111(1)122Ni N NA x N NN ξξ=+===⋅⇒=∑11102()1A dx ξξθξ===⇒=-⎰2∞3.4.2()2{0},(){0}{}()0.7,110.7,0.525x aA X AP A P dxa aP a pp aξξξ--=<=<=--=<=Φ-=≈∴≈=-⎰设表示出现的次数，(1)11111(1)()ln()[ln ln(1)ln]ln()1[ln ln]ln ln0 ln lnniiniin ni ii iniiL c xL c xLc x n c xnnx n cθθθθθθθθθθθθθ-+=======+-+∂=+-=+-=∂=-∏∑∑∑∑1111221(2)()ln()[ln1)ln]ln()]0(ln)niniiniiniiLL xLxnxθθθθθ======+∂=+=∂=∑∑∑11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏5.221()212212241(5)()()ln()[ln]22()2()ln()[022in xiniini iiLxLx xLθθθθθθθθθθθθθξθ--====-=-----∂==∂=∑∑(1)11(1)11(1)(1)(6)()ln()[ln ln(1)ln]ln()(),,,()()nc ciiniinc ci niL c xL c c c xL ncL c xL Lθθθθθθθθθθθξξθξθξ-+==-+===--+∂=-=∂=≤≤⇒=∏∑∏不能解出，所以由22111(7)()1)(1)ln()[2ln(2)ln(1)ln(1)]2ln()22]01inxiini iiniiL xL x xx nL nθθθθθθθθθθθξ-====--=+--+--∂=-=⇒=∂-∏∑∑（~(,0)11nUξθ∏6.7.所以不唯一。
应用数理统计第三章习题测验及答案
习题三2.设总体的分布密度为：(1),01(;)0,x x f x ααα+<<=⎧⎨⎩其它1(,,)n X X L 为其样本，求参数α的矩估计量1ˆα和极大似然估计量2ˆα .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 .解 计算其最大似然估计：()()11111(,)11ln (,)ln(1)ln nnnn i i i i nn ii L x x x x L x x n x αααααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑K K1121ln (,)ln 01ˆ10.2112ln n n i i n ii d n L x x x d nx ααααα====+=+=--=∑∑K 其矩估计为：()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= 3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以：12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑， 12ˆˆ0.3077,0.2112αα≈≈.3. 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计. .解 最大似然估计：11(,),ln ln i nx n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏K711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05X λ==.4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为x ,2~(,)x N μσ,极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x x n μσ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.81μσ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的最大似然估计为x ，所以().150/1*42*310*220*117*0ˆ=++++==X L λ所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .8. 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，并且EX =μ，DX = 2σ，2,X S 是样本均值和样本方差，试确定常数c ，使22X cS -是2μ的无偏估计量 .解2222222222()E X cS EX cES DX E X c c nσσμσμ-=-=+-=+-=所以1c n =.9. 设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个独立的无偏估计量，并且1ˆθ的方差是2ˆθ的方差的两倍 .试确定常数c 1, c 2，使得11ˆc θ+22ˆc θ为θ的线性最小方差无偏估计量 . 解： 设22122,2D D θσθσ==112212121221(()11E c c c c c c c c c c θθμμμμ+=+=+=+==-），，()()222222211221211(2221D c c c c c c θθσσσ+=+=+-g g ）()222111121321c c c c +-=-+当1212*33c -=-=，上式达到最小，此时21213c c =-= .10. 设总体X 具有如下密度函数，1,01(,)0,x x f x θθθθ-<<=>⎧⎨⎩，0其它1,...,n X X 是来自于总体X的样本，对可估计函数1()g θθ=，求()g θ的有效估计量ˆ()gθ，并确定R -C 下界 .解 因为似然函数1111L(,),ln ln (1)ln i i nn n n n i i x x x x L n x θθθθθ--====+-∑∏∏K111ln ln ln ln ()0i i i d n L x n x n x g d n n θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=---=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以取统计量1ln i T x n=-∑ 11111101ln ln ln ln i E X x x dx xdx x x x dx θθθθθθ--===-=-⎰⎰⎰得1ET θ==()g θ，所以1ln i T x n=-∑是无偏估计量 令()c n θ= 由定理2.3.2知 T 是有效估计量，由221()1()g DT c n n θθθθ-'===- 所以 C -R 方差下界为21n θ.11. 设1,...,n X X 是来自于总体X 的样本，总体X 的概率分布为：||1||(,)()(1),1,0,1,012x x f x x θθθθ-=-=-≤≤1） 求参数θ的极大似然估计量ˆθ； 2） 试问极大似然估计ˆθ是否是有效估计量？如果是，请求它的方差ˆD θ和信息量()I θ； 3 试问ˆθ是否是相合估计量？（书上没有这个问题） 解 1）()()111(,)1122ln ln (n )ln(1)iii ix x nx n x n i i i L x x L x x θθθθθθθ--=∑⎛⎫⎛⎫∑=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--∏∑∑Kn 1ln 01(1)n xi xi d n L xi d θθθθθθ-⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭∑∑∑ 得到θ最大似然估计量1ˆxi nθ=∑ 2）()()110011,10122Exi E xi E xi n n θθθθθ⎛⎫⎛⎫==-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑所以11Exi E xi n nθ==∑∑ 所以ˆθ是无偏估计量，()(1)n c θθθ=-，由定理2.3.2得到1ˆxi nθ=∑是θ有效估计量信息量c()1()(1)I n θθθθ==-3）1(1)ˆD 0,(n )c()nθθθθ-==→→∞ 所以，T 也是相合估计量 .12 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15， 2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值μ的90%置信区间，1）若已知σ=0.01cm ； 2）若σ未知；解 因为 2.125,16,0.171,X n s ===()0.950.9510.95, 1.65,15 1.7532t αμ===-1） 计算0.950.952.1209, 2.1291X b a X αμμ-===+== 所以 置信区间为[]1.1212.129，2） 计算((0.950.9515 2.1175,15 2.1325X t b X t α-==+== 所以 置信区间为[]2.1152.135，.13 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为95%的置信区间 .解 由题意标准差σ的置信度为0.95的置信区间为0.9750.0252222(1)(1)(,)(8)(8)n S n S χχ-- 计算得0.9750.0252222(1)(1)11,9,0.05,7.431,21.072(8)(8)n S n S S n a b αχχ--=======所以 置信区间为 [7.431,21.072].14. 随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根，测得其电阻(Ω)为：A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从21(,)N μσ和22(,)N μσ，并且它们相互独立，又212,,μμσ均未知，求参数12μμ-的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为121221(2)X Y tn n S n α--±+- 计算得2626A B 120.14125,0.1392,8.25*10, 5.2*10,4,5,0.05x y S S n n α--======= 26W W 0.9756.5710,0.00255,(7) 2.365,0.0022,0.0063S S t a b -====-=g所以[0.0022,0.0063]-.15. 有两位化验员A 、B ，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差2s 依次为0.5419和0.6065，设2A σ与2B σ分别为A 、B 所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比2A σ/2B σ的置信度为95%的置信区间 . 解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：置信区间为22AA22BB1212(,)1(1,1)(1,1)22S S S S F n n Fn n -----计算得 22A B 120.5419,0.6065,10,0.05S S n n α=====22AA22B B0.9750.0250.2217, 3.6008(9,9)(9,9)S S S S a b F F ====所以置信为 [0.2217,3.6008].。
北航研究生数理统计答案完全版
) ， y ~ N ( 2 ,
2
n
)，
(m 1) S12m
2
~ (m 1) ，
2
2 (n 1) S 2 n
2
~ 2 (n 1) ，
于是有， ( x 1 ) ~ N (0,
2
m
2 ) ， ( y 2 ) ~ N (0,
2
n
2)，
则
( x 1 ) ( y 2 ) ~ N (0, (
解：
E( X )
1 1 1 xdx xdx 0 2 2(1 ) 1 1 2 1 1 (1 2 ) 2 2 2(1 ) 2 1 1 1 2 (1 ) 4 4 4
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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
做矩估计， x
1 2 ， 4 1 。 2
ˆ 2x 可得 的矩估计，
9. （ P80.7）
解： （1）由分布函数得出概率密度函数
f ( x; )
d ( F ( x; ) x 1 x 1 dx 0x 1
n
2
(1 x ) ，
令
ln L n n - 2 (1 x ) 0 ，得到 2 x 1 ， 2 2 2
i
ˆ x ˆ x min{x } 。 于是 2 的极大似然估计为 2 1 i
13. （ P81.12） x1 ， x 2 ，…， x n 为来自总体 X 的简单样本，试证明下列估计量来自m ， nm n
。
ˆz 于是有，
北航数理统计大作业2-聚类与判别分析
应用数理统计作业二学号：姓名：电话：二〇一四年十二月对NBA球队的聚类分析和判别分析摘要：NBA联盟作为篮球的最高殿堂深受广大球迷的喜爱，联盟的30支球队大家也耳熟能详，本文选取NBA联盟30支球队2013-2014常规赛赛季场均数据。
利用spss软件通过聚类分析对27个地区进行实力类型分类，并利用判断分析对其余3支球队对分类结果进行验证。
可以看出各球队实力类型与赛季实际结果相吻合。
关键词：聚类分析，判别分析，NBA目录1. 引言 (4)2、相关统计基础理论 (5)2.1、聚类分析 (5)2.2，判别分析 (6)3.聚类分析 (7)3.1数据文件 (7)3.2聚类分析过程 (9)3.3 聚类结果分析 (11)4、判别分析 (12)4.1 判别分析过程 (12)4.2判别检验 (17)5、结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)1. 引言1896年，美国第一个篮球组织"全国篮球联盟（简称NBL）"成立，但当时篮球规则还不完善，组织机构也不健全，经过几个赛季后，该组织就名存实亡了。
1946年4月6日，由美国波士顿花园老板沃尔特.阿.布朗发起成立了“美国篮球协会”（简称BAA）。
1949年在布朗的努力下，美国两大篮球组织BAA和NBL合并为“全国篮球协会”（简称NBA）。
NBA季前赛是 NBA各支队伍的热身赛，因为在每个赛季结束后，每支球队在阵容上都有相当大的变化，为了让各队磨合阵容，熟悉各自球队的打法，确定各队新赛季的比赛阵容、同时也能增进队员、教练员之间的沟通，所以在每个赛季开始之前，NBA就举办若干场季前赛，使他们能以比较好的状态投入到漫长的常规赛的比赛当中。
为了扩大NBA在全球的影响，季前赛有约三分之一的球队在美国以外的国家举办。
从总体上看，NBA的赛程安排分为常规赛、季后赛和总决赛。
常规赛采用主客场制，季后赛和总决赛采用七场四胜制的淘汰制。
[31]NBA常规赛从每年的11月的第一个星期二开罗，到次年的4月20日左右结束。
应用数理统计课后习题参考答案
应用数理统计课后习题参考答案1. 描述性统计问题1描述性统计是一种对数据进行整理、呈现和分析的方法。
它可以提供数据的基本特征，包括数据的中心趋势、离散程度和分布形状。
常见的描述性统计方法有：•平均数：用于衡量数据的中心趋势，是所有数据值的总和除以数据的个数。
•中位数：将数据按大小顺序排列，中间位置的数值即为中位数。
•众数：数据中出现次数最多的数值。
•范围：数据的最大值减去最小值。
•方差：用于衡量数据的离散程度，是每个数据与平均数之差的平方的平均值。
•标准差：方差的正平方根。
问题2对于给定数据集，以下是计算描述性统计的步骤：1.求出数据的个数。
2.计算数据的总和。
3.求出数据的平均数。
4.将数据按大小顺序排列。
5.求出数据的中位数。
6.找出数据中出现次数最多的数值，即众数。
7.计算数据的范围。
8.计算数据的方差。
9.计算数据的标准差。
2. 概率分布问题1概率分布是用来描述随机变量的分布规律的函数。
常见的概率分布包括：•二项分布：适用于具有两个可能结果的离散型随机变量，如投硬币的结果。
•泊松分布：适用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型随机变量。
•正态分布：也称为高斯分布，是一种连续型概率分布，常用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。
问题2对于给定的概率分布，以下是计算概率的步骤：1.对于离散型概率分布，计算每个可能结果的概率，并将其加总为1。
2.对于连续型概率分布，计算指定区间内的概率，可以使用积分来进行计算。
3.根据需要计算特定事件的概率，可以使用概率密度函数（PDF）或累积分布函数（CDF）来计算。
3. 统计推断问题1统计推断是一种利用样本数据对总体特征进行估计和推断的方法。
常见的统计推断方法有：•置信区间估计：对总体参数进行估计时，构造一个区间，使得真实值以一定概率包含在该区间内。
•假设检验：用于判断一个总体参数是否等于某个特定值。
•方差分析：用于比较两个或多个总体的均值是否有显著差异。
应用数理统计三习题及答案
习题三2.设总体的分布密度为：(1),01(;)0,x x f x ααα+<<=⎧⎨⎩其它1(,,)n X X 为其样本，求参数α的矩估计量1ˆα和极大似然估计量2ˆα .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 . 解 计算其最大似然估计：()()11111(,)11ln (,)ln(1)ln nnnn i i i i nn ii L x x x x L x x n x αααααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑1121ln (,)ln 01ˆ10.2112ln nn i i n ii d n L x x x d nx ααααα====+=+=--=∑∑ 其矩估计为：()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= 3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以：12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑， 12ˆˆ0.3077,0.2112αα≈≈.3. 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数λ的点估计. .解 最大似然估计：11(,),ln ln i nx n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05X λ==.4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为x ,2~(,)x N μσ,极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x x n μσ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.81μσ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的最大似然估计为x ，所以().150/1*42*310*220*117*0ˆ=++++==X L λ所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .8. 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，并且EX =μ，DX = 2σ，2,X S 是样本均值和样本方差，试确定常数c ，使22X cS -是2μ的无偏估计量 .解2222222222()E X cS EX cES DX E X c c nσσμσμ-=-=+-=+-=所以 1c n =.9. 设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个独立的无偏估计量，并且1ˆθ的方差是2ˆθ的方差的两倍 .试确定常数c 1, c 2，使得11ˆc θ+22ˆc θ为θ的线性最小方差无偏估计量 . 解： 设22122,2D D θσθσ==112212121221(()11E c c c c c c c c c c θθμμμμ+=+=+=+==-），，()()222222211221211(2221D c c c c c c θθσσσ+=+=+-）()222111121321c c c c +-=-+当1212*33c -=-=，上式达到最小，此时21213c c =-= .10. 设总体X 具有如下密度函数，1,01(,)0,x x f x θθθθ-<<=>⎧⎨⎩，0其它1,...,n X X 是来自于总体X 的样本，对可估计函数1()g θθ=，求()g θ的有效估计量ˆ()gθ，并确定R-C 下界 . 解 因为似然函数1111L(,),ln ln (1)ln i i nn n n n i i x x x x L n x θθθθθ--====+-∑∏∏111ln ln ln ln ()0i i i d n L x n x n x g d n n θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=---=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以取统计量1ln i T x n=-∑ 11111101ln ln ln ln i E X x x dx xdx x x x dx θθθθθθ--===-=-⎰⎰⎰得1ET θ==()g θ，所以1ln i T x n=-∑是无偏估计量令()c n θ= 由定理2.3.2知 T 是有效估计量，由221()1()g DT c n n θθθθ-'===- 所以 C-R 方差下界为21n θ.11. 设1,...,n X X 是来自于总体X 的样本，总体X 的概率分布为：||1||(,)()(1),1,0,1,012x x f x x θθθθ-=-=-≤≤1） 求参数θ的极大似然估计量ˆθ； 2） 试问极大似然估计ˆθ是否是有效估计量？如果是，请求它的方差ˆD θ和信息量()I θ； 3 试问ˆθ是否是相合估计量？（书上没有这个问题） 解 1）()()111(,)1122ln ln (n )ln(1)iii ix x nx n x n i i i L x x L x x θθθθθθθ--=∑⎛⎫⎛⎫∑=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--∏∑∑n 1ln 01(1)n xi xi d n L xi d θθθθθθ-⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭∑∑∑ 得到θ最大似然估计量1ˆxi nθ=∑ 2）()()110011,10122Exi E xi E xi n n θθθθθ⎛⎫⎛⎫==-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑所以11Exi E xi n nθ==∑∑ 所以ˆθ是无偏估计量，()(1)n c θθθ=-，由定理2.3.2得到1ˆxi nθ=∑是θ有效估计量信息量c()1()(1)I n θθθθ==-3）1(1)ˆD 0,(n )c()nθθθθ-==→→∞ 所以，T 也是相合估计量 .12 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15， 2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值μ的90%置信区间，1）若已知σ=0.01cm ； 2）若σ未知；解 因为 2.125,16,0.171,X n s ===()0.950.9510.95, 1.65,15 1.7532t αμ===-1） 计算0.950.952.1209, 2.1291X b a X αμμ-===+== 所以 置信区间为[]1.1212.129，2） 计算((0.950.9515 2.1175,15 2.1325X t b X t α-==+== 所以 置信区间为[]2.1152.135，.13 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为95%的置信区间 .解 由题意标准差σ的置信度为0.95的置信区间为0.9750.0252222(1)(1)(,)(8)(8)n S n S χχ-- 计算得0.9750.0252222(1)(1)11,9,0.05,7.431,21.072(8)(8)n S n S S n a b αχχ--=======所以 置信区间为 [7.431,21.072].14. 随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根，测得其电阻(Ω)为： A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137 B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从21(,)N μσ和22(,)N μσ，并且它们相互独立，又212,,μμσ均未知，求参数12μμ-的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为121221(2)X Y tn n S n α--±+- 计算得2626A B 120.14125,0.1392,8.25*10, 5.2*10,4,5,0.05x y S S n n α--======= 26W W 0.9756.5710,0.00255,(7) 2.365,0.0022,0.0063S S t a b -====-=所以[0.0022,0.0063]-.15. 有两位化验员A 、B ，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差2s 依次为0.5419和0.6065，设2A σ与2B σ分别为A 、B 所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比2A σ/2B σ的置信度为95%的置信区间 . 解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：置信区间为22AA22BB1212(,)1(1,1)(1,1)22S S S S F n n Fn n -----计算得 22A B 120.5419,0.6065,10,0.05S S n n α=====22AA22B B0.9750.0250.2217, 3.6008(9,9)(9,9)S S S S a b F F ====所以置信为 [0.2217,3.6008].THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在概率论中，随机变量X的数学期望E(X)表示的是（）。
A. X的众数B. X的中位数C. X的均值D. X的方差答案：C2. 以下哪项是描述性统计中常用的数据集中趋势的度量方法？（）。
A. 极差B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：A3. 假设检验中，原假设H0通常表示的是（）。
A. 研究者想要证明的假设B. 研究者想要否定的假设C. 研究者认为正确的假设D. 研究者认为错误的假设答案：C4. 在回归分析中，如果自变量X与因变量Y之间存在线性关系，则回归系数β1表示的是（）。
A. X每增加一个单位，Y平均增加β1个单位B. X每增加一个单位，Y平均减少β1个单位C. X每减少一个单位，Y平均增加β1个单位D. X每减少一个单位，Y平均减少β1个单位答案：A5. 以下哪项是统计学中用于衡量数据离散程度的指标？（）。
A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D6. 抽样分布是指（）。
A. 总体数据的分布B. 样本数据的分布C. 样本统计量的分布D. 总体统计量的分布答案：C7. 在统计学中，置信区间是用来估计（）。
A. 总体均值B. 总体方差C. 总体标准差D. 以上都是答案：D8. 以下哪项是统计学中用于衡量数据分布形态的指标？（）。
A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C9. 假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A10. 在方差分析中，如果F统计量大于临界值，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A二、多项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪些是统计学中常用的数据收集方法？（）。
A. 观察法B. 实验法C. 调查法D. 抽样法答案：ABCD2. 描述性统计中，以下哪些是数据的集中趋势的度量方法？（）。
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北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答
09B
一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12
15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22
110
22
11152()
X X U X X ++=++服从的分布是_______ .
解：(10,5)F ．
2，ˆn
θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n n
n n E θθθ→∞
→∞
==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2
χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .
解：推断各因素对试验结果影响是否显著．
5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)
=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1，设总体~(1,9)X N ，129(,,
,)X X X 是X 的样本，则___B___ .
（A ）
1~(0,1)3X N -； （B ）1
~(0,1)1X N -； （C ）
1
~(0,1)
9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X
N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的
置信区间____B___ .
（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.
3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；
（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.
4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .
（A ）T e A S S S =+； （B ）22
(1)A
S r χσ
-；
（C ）
/(1)(1,)/()
A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.
5，在多元线性回归分析中，设ˆβ
是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε
； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）
ˆˆ1
n p '--εε是2
σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.
三、（本题10分）设总体21(,)X
N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,
,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别
是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2
2
X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明
12(2)X Y t n n +-，
其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明：易知
2
2
121
2
(,
)X Y
N n n σσμμ--+
，
(0,1)X Y U N =
．
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ
--，
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ
--．
由独立性和2
χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσσ--=
+
+-．
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
12(2)X Y t n n =
+-．
四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1
, 0,21
(;), 1,2(1)
0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩
其他，其中参数01)θ
θ<<（
未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证
明2
4X 不是2
θ的无偏估计量．
解：（1）
10
1()(,)22(1)42
x x E X xf x dx dx dx θθθ
θθθ+∞-∞
==+=+-⎰
⎰
⎰，
令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22
X θ
=-． （2）
22221114
1 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n
θθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，
因为()00D X θ≥>，，所以2
2
(4)E X θ>．故2
4X 不是2θ的无偏估计量．
五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个
样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为
1
,0;(,)0,x f x θ
θθ≤≤⎧=⎨
⎩
其他, 似然函数为
1
,0,1,2,,,
()0,
n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨
⎪⎩其它
显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12
ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的
极大似然估计．
六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一
个UMVUE ．
证明：X 的分布律为
1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．
容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是
2
1
()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦
．
另一方面
1(1)1Var()Var()()
p p X X n n nI p -=
==， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．
七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布2
0(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有
一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得2
61, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相
比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：
t 分布表 χ2
分布表
解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量
)15(~0
t n
s X t μ-=
， 确定拒绝域的形式2
t t α⎧⎫>⎨⎬⎩
⎭
．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．
而60,
16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t =
==<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．
八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，2
11~(,)X μσ，2
22~(,)Y μσ，2
2
1212, , , μμσσ未知，
112(,,
,)n X X X 和2
12(,,
,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间.
解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2
2
21 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则
22222
1211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭
，
所求222
1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222
12121/212/212//, (1,1)
(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．
九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．。