格林公式及其应用

o
x
A(r, 0)
y
B(0, r )
L
o
x
A(r, 0)
例2
于是所求积分
2. 简化二重积分
解 应用格林公式，有
y
D
o
x
解 应用格林公式，有
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D
o
x
于是，
解 用格林公式（？）
y L
D
o
x
由格林公式知，
y L
D
o
x
y
D1
o
x
应用格林公式，得
y
D1
o
x
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
一、区域连通性的分类 二、格林（Green）公式 三、简单应用 四、小结
一、区域连通性 的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D
单连通区域
D
复连通区域
L L1 L2
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.
L2 d
c
L1
证明 (3)
D3 D1
D2
D
证明 (4)D：复连通区域 由(2)知
G
E C
B F
A
定理1
格林公式
格林公式： *1 格林公式的行列式形式：
*2 格林公式与牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-莱布尼兹公式：
()左边: ()右边:
故 ()即 说明(?) 格林公式是牛顿-莱布尼兹公式的推广
*3 格林公式的向量形式
g ef
D
D
三、简单 应用
1. 简化曲线积分
y
B(0, r )
L
o
x
A(r, 0)
解 L 围成闭区域 D， L 的方向恰为正向。
P，Q 在闭区域 D 上均有连续的一阶偏导数。
解 L 围成闭区域 D， L 的方向恰为正向。
P，Q 在闭区域 D 上均有连续的一阶偏导数。 由格林公式，有
y
B(0, r )
L
解
四、小 结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
— 格林公式
3. 格林公式的应用.
作业：199页 1(1)(2)(4)(5),4,5,9(2),*9(1)(3)
思考题
若区域 D 如图为复连通域， 试描述格林公式中曲线积 分中L的方向。
g ef
思考题解答
L 由两部分组成 外边界： 内边界：
二、格林 公式
定理1
格林公式
证明
思路:公式两边化为同一定积分.
(1)若区域 D 既是 X—型又是Y — 型.
从简单情形出发.
d L1
E
L2
D
c
C
d L1
E
L2
D
c C
类似，把 D 看成 X —型，有 两式相加得
(2)若区域 D 是 X—型或Y—型， 公式仍成立. 如D 是 X—型域。
事实上,(1)的证明可应用于