线代期末测试(数二三)-答案

又
1 2 1 2 1 2 1 2
A
0
1
t
t
0
1
t
t
,
1 t 0 1 0 t 2 1 1
故 1 t t 1. t 2 1
1 2 1 2 1 0 1 0
A
0
1
1
1
0
1
1
1
,
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0
故
Ax
0
的基础解系为
1
,
1Leabharlann Baidu
，则通解为
1 0
0
（3）【答案】B. 【解析】在（Ⅱ）是（ ）的一个部分组的前提下：
（Ⅱ）与（ ）等价 r（Ⅱ） r（） 3,
但无法保证（Ⅱ）只含有 3 个线性无关向量.
（4）【答案】A.
【解析】对增广矩阵作初等行变换
1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
A,
0 0
1 0
1 0
2
0
1
1 1 3 0 0
Β 的每个元素的余子式分别为
0 0 6 0 3 3 2 5 3
0 0 2
则 Β*
0
3
5 .
6 3 3
（8）【答案】2.
【解析】因为 r(BA 2A) r (B 2E) A r A, 又
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1
A
2
3
4
5
1
1
1
1
0
1
2
3
,
3 4 5 6 1 1 1 1 0 0 0 0
4
5
6
7
1
1
1
1
0
0
0
0
故 r(BA 2A) r A 2.
（9）【答案】 a 1且 b 0 .
【解析】二次型的秩和正惯性指数均为 3 f 正定，二次型矩阵为
1 1 0
A
1
a
0
,
0 0 b
则 f 正定 A 的各阶顺序主子式均大于 0，即
得 a 1且 b 0. 三、解答题
础解系.
又 1 2
n 1,2 ,
1
,
n
1
,
故
1,1,
1
,1T 为 Ax 的一个特解，
则 Ax 的通解为
x k l1,l2, ,ln1, 0T 1,1, ,1T kl1 1, kl2 1, , kln1 1,1T .
其中 k 为任意常数，显然 Ax 的任一解 (k1, k2 , kn )T 中有 kn 1.
【法 2】因为 (k1, k2 , kn )T 是 Ax 的任一解，故
k11 k22 knn 1 2 n ,
A 4E 3 21 6.
0 0 2
（7）【答案】
0
3
5
.
6 3 3
【解析】因为 ΑΒC D ，又由已知得 Α,C 可逆，则
2020 班模考试卷解析
1 0 01 1 10 0 1 1 1 1
Β
Α1DC 1
0
1
1
0
2
2
0
1
0
5
2
0
,
0 0 1 0 0 3 1 0 0 3 0 0
因为 A 为正定矩阵，所以 A 可逆，且 A1 为对称阵，特征值全大于 0，故 A1 是正
定矩阵．
二、填空题
（6）【答案】6.
【解析】由 A E, A 2E, A 3E 都不可逆知， A E A 2E = A 3E 0,
故 A 的 3 个特征值为 1, 2, 3 ，从而 A 4E 的 3 个特征值为 3, 2,1，则
由 r A r A, n 1 n 知， Ax 有无穷多解.
（Ⅱ）【法 1】因为1,2 , ,n1 线性相关，故 不全为 0 的常数 l1, l2 , , ln1 ，使得
l11 l22 ln1 n1 0,
故 l1,l2, ,ln1, 0T 为 Ax 0 的一个非零解，又 r A n 1，故其为 Ax 0 的一个基
1
1 0
x
k1
1 1
k2
1 0
,
0
1
其中 k1, k2 为任意常数.
（12）【解析】（I）因为1,2 , ,n1 线性相关，所以1,2 , ,n1,n 线性相关.
又2, ,n1,n 线性无关，故 r A n 1.
因为 1 2 n ，所以 r A, n 1.
2020 班模考试卷解析
Αn E B n Cn0 E n Cn1E n1B Cn2 E B n2 2
E nB = E nαβT.
Cnn Bn
（Ⅲ）因为 E B E B E B2 E, 故
A1 E B 1 E B E αβT.
（11）【解析】因为 Ax 0 的基础解系中含有两个解向量，故 r A 4 2 2.
1 1 0,
1 a 1 0, A b a 1 0,
1 a
（10）【解析】（Ⅰ）记 B αβT , 因为 T ，得 B 的特征值全为 0，则 A 的特征值
2020 班模考试卷解析
全为 1，从而 A 1.
（Ⅱ）当 k 2 时， Bk
αβ T
k
α
βTα β k1 T O, 则
2020 班模考试卷解析
线性代数期末测试（数 2，3）
参考答案与解析
一、选择题
（1）【答案】D. 【解析】
( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 BA B2.
（2）【答案】D.
【解析】因为 ΑΒ Α Β ，所以 AB A B A B ，
若 Α Β 可逆，则 A B 0 ，从而 B 0 ，可知 Β 可逆，②正确； 因为 ΑΒ Α Β ，所以
1 0 1 1
2 3
,
1
0
0
a
b
0
0
0
a 1
b
6
由 Ax 无解知， r A r A, ，从而 a 1,b 6.
（5）【答案】C. 【解析】因为 A 为正定矩阵，所以 A 的特征值均大于 0，故 A 是可逆矩阵；
因为 A 为正定矩阵，所以 A 为对称矩阵，故 A 必可相似对角化；
故 ΑΒ ΒΑ ，⑤正确； 因为 ΑΒ Α Β ，所以 AB B A (A E)B A B (A E)1 A ，
故若 Α 可逆，则 A 0 ，从而 B 0 ，可知 Β 可逆，①正确； 同上知，若 Β 可逆，则 Α 可逆，则 A B A B 0 ，
故 Α Β 可逆，③正确.
2020 班模考试卷解析
AB A B = O AB A B E = E ( A E)(B E) = E,
故 Α E 恒可逆，且 ( A E)1 B E ，④正确； 因为 ( A E)1 B E ，所以 (B E)( A E) = E BA B A E = E BA = A B,