第十讲 平面向量的基本运算

第十讲 平面向量的基本运算

知识点金

1．向量的有关概念

⑴向量：规定了大小与方向的量称为向量。记作AB ，其中A 是向量的始点，B 是向量的终点，也记。

⑵向量的模：向量的大小，即线段AB 的长度叫做向量的模，记||或||。 ⑶特殊向量：模为1的向量叫做单位向量，模为零的向量叫做零向量。零向量的方向任意，所有的零向量相等；单位向量不一定相等。

⑷相等的向量：两个模相等且方向相同的向量是相等的向量。 2．向量的运算

⑴向量的加法：平行四边形法则；三角形法则。

⑵向量的减法：-(方向指向被减向量)。

⑶向量的数乘：R a ∈λλ,，当0>λ时，a λ与方向相同，

长度变为||a λ；当0=λ时，0

=λ；当0<λ时，λ与方向相反，长度变为||a λ。

⑷向量的内积：数量><,cos ||||叫做向量与的内积(或数量积)记⋅。即

><=⋅,c o s ||||，其中><,是向量与之间正方向的夹角。

3．向量的运算法则

⑴=+=+++=+++=+);()(;； ⑵λλλμλμλλμμλ+=++=+=)(;)(;)()(； ⑶⋅+⋅=⋅+⋅=⋅⋅=⋅)();()(;λλ 4．向量的共线与垂直

⑴不共线的四个点A 、B 、C 、D 组成平行四边形的充要条件是CD AB =或CD AB -=；

⑵两非零向量a ，共线的充要条件是存在不全为零的实数m ，n ，使得=+n m 或||||±=⋅；

⑶两个非零向量a ，垂直的充要条件是0=⋅。 5．定比分点公式

点C 为线段AB 的定比)1(-≠λλ的分点，当且仅当对任意一点O ，有

λλ++=

1OC ；当C 为中点时，2

OC λ+=。

6．平面向量的基本定量

对于同一平面的两个不共线的向量21,e e ，平面内任意一个向量a ，一定存在惟一确定的实数μλ,，使得21e e μλ+=，且这种表示是惟一确定的。

7．向量的坐标运算法则

已知),(),,(2211y x b y x a ==，则有： ⑴),(2121y y x x ++=+； ⑵),(2121y y x x --=-； ⑶R y x ∈=λλλλ),,(11； ⑷2121y y x x b a +=⋅； ⑸22

2221

2

1

2121cos y

x y

x y y x x +++=

θ，其中θ是向量a ，的夹角。

8．点按向量的平移

点P (x , y )按向量),(k h =平移到点),(y x P '''，则⎩

⎨⎧+='+='k y y h

x x ，其中),(k h =称为

平移向量。

例题精析

例1：⑴已知P 为四边形ABCD 所在平面上的一点，若有CD AB PC PB PA +=-+，则点P 的位置一定( )

A ．在四边形ABCD 的内部

B ．在四边形AB 边所在的直线上

C ．在四边形BC 边所在的直线上

D ．在AD 边的延长线上

⑵O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足μ+=

),0[),(+∞∈+μ，则P 点的轨迹一定过( )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

分析：通过向量的基本运算结构，发现向量代表的几何关系：问题⑴主要是探索共线的向量；问题⑵主要是四边形的形状。

解：⑴因为=+=++⇒+=-+， 所以在AD 边的延长线上，故选D 。 ⑵根据题设构建几何结构如图

根据向量加法的四边形法则知+是平分 BC 的中线，而)(+μ与+的方向相同，

根据加法的三角形法则，所以μ+=)(AC AB +过三角形的重心。故选C 。

评注：本题主要巩固向量的加法与数乘的运算法则和几何意义，可以灵活地把条件改为|

||

|(AC AB +

+=μ或者|

||

|(AC ++=μ，其结果改为通过

三角形的内心。

例2：如图，平行四边形ABCD ，设==,，又OC ON DB DM 3

1

,41==，试用a ，b 表示向量,,。

解析：b a a b b a DM AD AM 4

3

41)(41)(21+=-++=

+=； )(3

2

32b a AC AN +==

； AM 91

125)4341()(32-=+-+=-=。

评注：平面向量的基本定理是向量解法的主要思路和依据，向量的表示是基础，对于

一些几何问题，根据向量的运算法则，把相关的几何量用向量基底成功表示是问题解决的关键。

例3：在直角梯形中ABCD 中，CD AD BC AD ⊥,//，已知+=+=i x BC j i AB ,6

y 32,--= (,分别是x ，y 轴方向上的单位向量)，求实数x ，y 的值。

分析：将CD AD BC AD ⊥,//的关系用同一基底j i ,下的坐标表示，建立关于x ，y 的两个等量关系，用方程解出。

解：y x )2()4(-++=++=，因为//，所以k =，

即0224)()2()4(=+⇒⎩

⎨⎧=-=+⇒+=-++y x ky y kx x j y i x k j y i x ①

又因⊥，所以)32(])2()4[(y x --⋅-++=⋅

2320)2(3)4(2-=+⇒=--+-=y x y x ② 由①②解得：2,4=-=y x 。

评注：方程思想是解决向量运算含参数问题的主要数学思想方法，依据同一基底下的

相同向量的坐标相等建立方程，达到解决问题的目的。

例4：半径为1的圆O 内接△ABC ，且0543=++OC OB OA ， ⑴求数量积⋅⋅⋅,,；⑵求△ABC 的面积。

分析：根据向量运算法则，合理地利用543=++的和运算的关系，构造出关于⋅的形式。

解：⑴因为1||||||===，所以⋅+⇒-=+2425543

025=⋅⇒=OB OA ，

同理5

3,54-=⋅-

=⋅OA OC OB OC 。 ⑵因为2

1

=

⇒⊥⇒=⋅∆OAB S ， 103

53sin 54cos ,54=⇒=∠⇒-=∠-=⋅∆BOC S COB COB OB OC ，

10

4

54sin 53cos ,53=⇒=∠⇒-=∠-=⋅∆AOC S COA COA OA OC ，