武汉市武昌区2019届高三期末调研考试数学(理)试题及答案
湖北武汉武昌2019高三上年末调研考试--数学(理)
湖北武汉武昌2019 高三上年终调研考试-- 数学（理）数学(理)本试题卷共 4 页，共 22 题。
总分值 150 分，考试用时120 分钟。
本卷须知1、答题前，考生务势必自己的学校、班级、姓名、准考据号填写在答题卡指定地点，仔细查对与准考据号条形码上的信息能否一致，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。
2、选择题的作答：选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
答在试题卷上无效。
3、非选择题的作答：用黑色墨水的署名笔斩钉截铁答在答题卡上的每题所对应的答题地区内。
答在试题卷上或答题卡指定地区外无效。
4、考试结束，监考人员将答题卡回收，考生自己保存好试题卷，评讲时带来。
【一】选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的、1、复数 3 〔i为虚数单位〕的值是〔〕1 3 i2 2A、-1B、1C、-iD、iA、所有奇数的立方都不是奇数B、不存在一个奇数，它的立方是偶数C、存在一个奇数，它的立方是偶数D、不存在一个奇数，它的立方是奇数3、某天清早，小明同学患病了，体温上涨，吃过药后感觉很多了，中正午他的体温差不多正常，但是下午他的体温又开始上涨，直到子夜才感觉身上不那么发烫了、下边大概能反应出小明这天〔0 时~24时〕体温的变化状况的图是〔〕4、数列{a n} 是等差数列， a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，{a n} 的前 n 项和为 S n，那么使得 S n达到最大的 n 是〔〕A、18B、19C、20D、215、某多面体的三视图〔单位：cm〕以下列图，那么此多面体的体积是〔〕A、1 3 3 33B、2 cmC、5 cmD、7 cm2 cm3 6 86、a>b，二次三项式 ax2+2x+b≥0 对于一确实数 x 恒建立、又x o R ，使ax o2 2x o b 0 建立，那么a2 b2 的最小值为〔〕a bA、1B、2C、2D、2 27、过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于A，B 两点，点 O是坐标原点，那么 |AF| ·|BF| 的最小值是〔〕A、2B、2C、4D、2 28、变量 x，y 知足拘束条件〔〕y2，那么z=3|x|+y的取值范围为x y 1x y 1A、[-1,5]B、[1,11]C、[5,11]D、[-7,11]9、函数 f 〔x〕= x2 x3 x4 x2012 x2013 cos2x 在区间 [-3 ，1 x3 4 2012 201323] 上的零点的个数为〔〕A、3B、4C、5D、610、O 是锐角三角形 ABC的外心，由 O向边 BC，CA，AB引垂线，垂足分别是 D，E，F，给出以下命题：——— }-} ——— }①OA OB OC 0；②OD OE OF 0；③| OD |：| OE |：| OF |=cosA：cosB：cosC;④R，使得AB AC 。
湖北省武汉市武昌区2019届高三元月调研考试数学理试题(全WORD版)
武昌区2019届高三元月调研考试数学理 试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1i3i 1i -+=+（ ） A ．i B ．2iC ．13i -D ．13i +2．已知集合2{|log (1)1},{|2}A x x B x x a =-<=-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,3)B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．(,3]-∞3．已知向量(2,1),(2,)a b x ==不平行，且满足()()2a b a b +⊥-，则x =（ ） A ．12-B ．12C ．1或12-D ．1或124．函数2()xx e f x x=的图象大致为（ ）5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的s =（ ） A ．26 B ．102 C ．410 D ．5126．设,x y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的取值范围为（ ）A ．[2,6]B ．[3,6]C ．[3,12]D ．[6,12]7．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．2,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦开始1,0n s ==2n s s=-2n n =+n ≥8?输出s结束是否C ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8．已知a b 、是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（ ） A ．18B ．38C ．58D ．789．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ） A ．323B ．483C ．32D ．4810．已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为25，则球O 的表面积为（ ） A ．10πB ．25πC ．100πD ．125π11．已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2 12．已知函数3211()232f x x a x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的零点个数可能有（ ） A ．1个 B ．1个或2个 C ．1个或2个或3个 D ．2个或3个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．3(1)(2)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．（用数字填写答案）14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(1)y f x =-为偶函数，当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫=⎪⎝⎭．。
湖北省武汉市武昌区2019届高三元月调研考试数学理试题(全WORD版)(1)
（ 2）由频数分布表得： P(l 115) 0.02 0.09 0.22 0.33, p(l ≥ 115) 1 0.33 0.67 ．
随机变量 的取值为 90, 30 ，且 P ( 90) 0.67, P ( 30) 0.33 ．
则随机变量 的分布列为：
90
30
P
0.67
0.33
所以 E 90 0.67 30 0.33 50.4 ． ……………………………………………………………
因为 l～N (120,150),
150 12.2 ，
P( P(
l≤ l≤
) P(120 l ≤ 132.2) 2 ) P(120 l ≤ 144.4)
1 0.6826 0.3413,
2 1
0.9544 0.4772, 2
P(132.2 l 144.4) P(120 l ≤ 144.4) P(120 l ≤ 132.2) 0.1359 ．……………… 6 分
12
分
20．解析：（1 ）由题意知 F1( 1,0), F2(1,0) ．
直线 PF1的方程为 y 0
y0 x0
0
(x 1
1) ，即 y0 x
(x0
1)y
y0
0，
直线 PF2 的方程为 y 0
y0 x0
0 (x
1
1) ，即 y0 x
(x0
1)y
y0
0．
由点 M
1 ,0
到 PF1和 PF2的距离相等，得
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
xt （ t 为参数）．在以坐标原点为极点，
y 3t
x 轴正
半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的极坐标方程为
湖北省武汉市武昌区2019届高三年级5月调研考试理科数学试题(PDF版)
武昌区2019届高三年级5月调研考试理科数学试题答案一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B二、填空题：13．19 14．92 15．1- 16． 1 三、解答题：17．解：连结BD .在BCD ∆中，利用余弦定理，求得7=BD .在BCD ∆中，利用正弦定理，求得1433sin =∠CBD . 在ABD ∆中，利用余弦定理，求得31265-=AD .18．解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,1(A ，)0,2,0(C ，)2,0,0(S .(1)求得平面SBC 的一个法向量为)1,1,1(=m ，平面EDC 的一个法向量为)2,0,2(-=n ， 因为0=⋅n m ，所以，平面⊥CDE 平面SBC .（2）取DE 的中点F ，连结AF . 易证0=⋅DE AF ，0=⋅DE EC ，所以向量FA 与向量EC 的夹角为所求二面角的平面角. 求得21,cos -=〉〈EC FA ，所以，二面角C DE A --的大小为 120. 19．解：（1）求得C 的方程为1422=+y x . （2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为)0(≠+=m m kx y ，代入椭圆方程，整理，得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k .设),(11y x A ，),(22y x B ，则0)14(1622>+-=∆m k ，且221418k km x x +-=+，222141)1(4k m x x +-=. 由直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，得21212x x y y k =，化简，得412=k . 由0>∆及021≠x x ，得202<<m 且12≠m .设d 为点O 到直线l 的距离，则21||km d +=，因为||1||212x x k AB -+=， 所以)2(||2122m m d AB S OAB -=⋅=∆. 所以，OAB ∆面积的取值范围为)1,0(.20．解：（1）5.0=a ，1=b ，5.1=c . （2）6.1=x ，4.0)6.165.1(3.0)6.155.1(1.0)6.145.1(05.0)6.135.1(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=s 0105.015.0)6.175.1(2=⨯-+.（3）随机选取3件，相当于三次独立重复试验，所以ξ～7.0,3(B ）.027.07.03.0)0(0303=⨯==C P ξ，189.0)1(==ξP ，441.0)2(==ξP ，343.0)3(==ξP .所以，1.2=ξE .21．解：（1）1=a ，1-=b .（2）由（1）知x x f x 1e )(-=，于是21)1()(x e x x f x +-='. 易证xx f x 1e )(-=在),0(+∞单调递增，且0)(>x f . 于是01)e 1(ln e ≥--+-x k x kx x 等价于)1e (ln 1e -+≥-x k xx . 记1e ln )(-+=x x g ，则问题转化为)()(x kg x f ≥在0>x 时恒成立. 因为1e )1()1(-==g f 应满足上式，代入求得1≤k . 以下对1≤k 进行分类讨论：（ⅰ）当0<k 时，由01e ln =-+x ，得e 1e -=x . 取e 12e 10e e 0-+-<<<k x ，则kx g 2)(0<，从而2)(0>x kg . 又21e )1()(0<-=<f x f ，所以不合题意.（ⅱ）当0=k 时，因为0)(>x f ，所以)()(x kg x f ≥在0>x 时恒成立. （ⅲ）当10≤<k 时，若01e ln ≤-+x ，而01e >-xx ，所以成立； 若01e ln >-+x ，而)1e (ln 1e ln 2e 1e -+≥-+≥-+≥-x k x x xx （证明略）， 所以10≤<k 时成立.综上，所求k 的取值范围为]1,0[．22．解：（1）求得曲线C 的直角坐标方程为0222=-+y y x .（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得01)sin 2cos 2(2=+-+t t θθ. 由0>∆，得02sin <θ，且θθsin 2cos 221+-=+t t ，121=t t . 所以θ2sin 42||1||12221222122-=⋅+=+t t t t PN PM ，故所求范围为]6,2(. 23．解：（1）因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<--=.1,23,123,4,23,23)(x x x x x x x f 所以4)(>x f 的解集为),0()2,(+∞--∞ . （2）由（1）知，25|32||1|≥++-t t ，所以，原问题等价于25|||1|≥--+m x x 能成立. 即25|)||1(|max ≥--+m x x ，而|1||||1|+≤--+m m x x ，所以25|1|≥+m . 解得23≥m 或27-≤m .。
2019届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试理科数学试卷【含答案及解析】
2019届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若复数是实数，则实数（________ ）A．________________________ B．1_________________________________ C．_________________________________ D．22. 若变量满足约束条件，则的最大值是（_________ ） A．______________________________ B．0 C．___________________________________ D．3. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（________ ）A．___________________________________ B．____________________________ C．______________________________ D．4. 已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为（）A．2________________________ B．______________________________ C．________________________ D．5. 设，则（________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．6. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为 8 ，则判断框内可填入的条件是（）A. B. C. D.7. 的展开式中，的系数为（________ ）A．1 1 0______________ B．120____________________C．130________________________ D．1508. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（________ ）A．12________________________ B．18____________________________C．24_________________________________ D．309. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（________ ）A．______________ B．________________________ C．____________________________ D．和10. 已知命题设函数，且，则在上必有零点；设，则“ ”是“ ”的充分不必要条件．则在命题和中，真命题是（________ ）A．________________________ B．________________________ C．_________________________________ D．11. 在中，，是的中点，若，则（________ ）A．____________________________ B．_________________________________C．____________________________ D．12. 设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（________ ）A．________________________ B．________________________ C．____________________________ D．二、填空题13. 若向量满足：，则_____________．14. 已知，则 ____________．15. 已知直三棱柱的各项点都在同一球面上，若，则该球的表面积等于___________．16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线与轴平行，则的单调递减区间为_____________．三、解答题17. 设数列的前项和为，已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．18. 某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用表示所选人员中能担任助理工作的人数，求的分布列及数学期望．19. 如图，在四棱锥中，底面，为棱上的一点，平面平面．（1）证明：；（2）求二面角的大小．20. 已知是椭圆的两个顶点，过其右焦点的直线与椭圆交于两点，与轴交于点（异于两点），直线与直线交于点．（1）当时，求直线的方程；（2）求证：为定值．21. （1）证明：当时，；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．22. 选修4-1：几何证明选讲如图，和相交于两点，过作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点，已知．（1）求的值；（2）求线段的长．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（2）若是直线上的一点，是曲线上的一点，当取得最小值时，求的直角坐标．24. 选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为2．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年5月武昌区高2019届高2016级高三年级调研考试理科数学及参考答案
2019年5月武昌区高2019届高2016级高三年级调研考试理科数学及参考答案一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数z= 在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知非空集合A={x|m-l≤x≤2m},B={x|x2 -3x-4<0},且A B,则实数m的取值范围是A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,2]D.[1,2]3.已知a=, b=, c=,则a,b,c的大小关系是A. a>b>cB.b>a>cC. b>c>aD.c>b>a4.两对夫妻排成一排照相,仅有一对夫妻相邻的概率为A. B. C. D.5.如图,某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为A. B. C. D.36.(2-x)(l+x)5展开式中x2的系数为A.15B.16C.24D.327.一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去, 各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂的只数为A. 36B.216C. 46 656D. 55 9868.已知F1,F2分别为双曲线C: =1（a>0,b>0)的左,右焦点,点P是C右支上一点,若=0,且,则C的离心率为A.5B.4C.D.9.将函数的图像向左平移2个单位,得到函数y=g(x)的图像,当时,g(x)的最小值为A. B.0 C. D.10.已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球D的球面上,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=AB=2,则球O的表面积为A. B. C. D.11.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB= ,若(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为A.[一2,2]B.(1, ]C.[1, ]D.[1,2]12.已知A,B是函数f(x)= 图象上不同的两点,若函数y=f(x)在点A、B处的切线重合,则实数口的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
湖北武汉武昌区2019年高三5月调研考试(数学理)
湖北武汉武昌区2019年高三5月调研考试（数学理）理科数学试卷本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。
总分值150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★本卷须知1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2.选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直截了当答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，那么=z A.1 B. 2 C. 5 D. 222、设B A ,是非空集合，定义A B ⊗={BA x x ∈且B A x ∉}，己知集合{}02A x x =<<，{}0≥=y y B ，那么A B ⊗等于A 、{}()+∞,20B 、[)[)+∞,21,0C 、()()+∞,21,0D 、{}[)+∞,20 3、以下选项中，说法正确的选项是B 、命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件C 、命题“假设22am bm ≤，那么a b ≤”是假命题D 、命题“假设sin sin x y =，那么x y =”的逆否命题为真命题 4、等边三角形ABC 的边长为1，假如,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅等于A 、12-B 、12C 、32-D 、325、随机变量X 服从正态分布()2,σμN ，且()9544.022=+<<-σμσμX P ，()6826.0=+<<-σμσμX P ，假设1,4==σμ,那么()=<<65X PA 、0.1358B 、0.1359C 、0.2716D 、0.27186、ABC ∆，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin ac A BA BC <⋅，那么A 、ABC ∆是钝角三角形B 、ABC ∆是锐角三角形C 、ABC ∆可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形D 、无法判断7、如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动〔转动角度不超过 90〕时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，那个函数的图象大致是8、平面区域D 由以点)1,3(),2,5(),3,1(C B A 为顶点的三角形内部及边界组成，假设在D 上有无穷多个点(,)x y 使目标函数my x z +=取得最大值，那么=mA 、4B 、2-C 、12-或14D 、2-或4 9、设12A A 、分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，假设在椭圆上存在异于12A A 、的点P ，使得20PO PA ⋅=，其中O 为坐标原点，那么椭圆的离心率e 的取值范围是 A、B、C、(0D、(0 10、函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013()12342013x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设函数 ()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，那么-b a 的最小值为A 、8B 、9C 、10D 、11【二】填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分. 〔一〕必考题〔11—14题〕l11、下图给出的是计算111124618++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________.12.一个空间几何体的三视图如上图所示，那么那个几何体的体积为.13.lg 8(2)x x x -的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，那么实数x 的值为. 14.为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为()N ∈≥n n n ,3等份种植红、黄、蓝三色不同的花.要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图①，圆环分成的3等份分别为1a ，2a ，3a ，有6种不同的种植方法.〔1〕如图②，圆环分成的4等份分别为1a ，2a ，3a ，4a ，有种不同的种植方法；〔2〕如图③，圆环分成的()N ∈≥n n n ,3等份分别为1a ，2a ，3a ，,n a ,有种不同的种植方法.1615 15、〔选修4— 如图，AB AC BAC 的平分 线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC⊥交AC 的延长线于点E ， OE 交AD 于点F .假设35AC AB =，那么FDAF 的值为.16、〔选修4—4：坐标系与参数方程〕在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=.224,222t y t x 直线l 与曲线C 分别交于M N 、.假设||||||PM MN PN 、、成等比数列,那么实数a 的值为.【三】解答题：本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、〔本小题总分值12分〕 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f .〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合；ABC DEF O① ② ③ ……〔Ⅱ〕ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 假设3(),2f A = 2.b c +=求实数a 的最小值. 18、〔本小题总分值12分〕 在平面xoy 内，不等式224x y +≤确定的平面区域为U ，不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩确定的平面区域为V .〔Ⅰ〕定义横、纵坐标为整数的点为“整点．．”.在区域U 任取3个整点．．，求这些整点．．中恰有2个整点．．在区域V 的概率； 〔Ⅱ〕在区域U 每次任取1个点．，连续取3次，得到3个点．，记这3个点．在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望、 19、〔本小题总分值12分〕 数列{}n a ，{}nb 满足：31=a，当2≥n 时，n a a n n 41=+-；关于任意的正整数n ，++212b bn n n na b =+-12、设数列{}n b 的前n 项和为n S .〔Ⅰ〕计算2a 、3a ，并求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕求满足1413<<n S 的正整数n 的集合.20、〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA AD =，AB =，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且).0(>==λλFA BFED PE 〔Ⅰ〕当1λ=时，证明DF ⊥平面PAC ；〔Ⅱ〕是否存在实数λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为 60？假设存在，试求出λ的值；假设不存在，请说明理由. 21、〔本小题总分值13分〕如图，抛物线2:4C y x =，过点(1,2)A 作抛物线C 的弦AP〔Ⅰ〕假设AP AQ ⊥,证明直线PQ 〔Ⅱ〕假设直线PQ 过点(5,2)T -，请问是否存在以PQ B存在，求出APQ ∆的个数？假如不存在，请说明理由、22、〔本小题总分值14分〕函数()ln (0)f x x p =>.〔Ⅰ〕假设函数()f x 在定义域内为增函数，求实数p 的取值范围； 〔Ⅱ〕当*∈N n时，试判断1n k =与2ln(1)n +的大小关系，并证明你的结论；(Ⅲ)当2≥n 且*∈N n 时，证明：21ln ln nk n k =>∑.武昌区12届高三5月调考数学参考答案【一】选择题：1.C2.D3.C4.A5.B6.A7.D8.D9.A10.C 【二】填空题：11、9?i >12、8π13、1110x x ==或 14、18；322(1)n n --⋅-(3n ≥且)n N ∈15、5816、1【三】解答题：17.〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+--12cos 21+sin(2)26x x x π=+=+.∴函数)(x f 的最大值为2.要使)(x f 取最大值，那么sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈，解得,6x k k Zππ=+∈.故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得1sin(2).62A π+=()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈，∴5266A ππ+=，∴.3π=A 在ABC ∆中，依照余弦定理，得bcc b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π. 由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a . ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1………………………………………………〔12分〕18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕依题可知平面区域U 的整点为：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(1,1)±±±±±±共有13个，上述整点在平面区域V 的为：(0,0),(1,0),(2,0)共有3个，∴2131031315143C C P C ==.……………………………………………………………〔4分〕 〔Ⅱ〕依题可得，平面区域U 的面积为224ππ⋅=，平面区域V 与平面区域U 相交部分的面积为21282ππ⨯⨯=.〔设扇形区域中心角为α，那么1123tan 1,11123α+==-⨯得4πα=，也可用向量的夹角公式求α〕.在区域U 任取1个点，那么该点在区域V 的概率为188ππ=，随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3.31343(0)(1)8512P X ==-=，12311147(1)()(1)88512P X C ==⋅-=，2231121(2)()(1)88512P X C ==⋅-=，33311(3)()8512P X C ==⋅=，∴X∴X 的数学期望：()01235125125125128E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………〔12分〕〔或者：X ～⎪⎭⎫⎝⎛81,3B ，故13()388E X np ==⨯=〕. 19.〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕在n a a n n 41=+-中，取2=n ，得821=+a a ，又31=a ，故.52=a同样取3=n ，可得.73=a由n a an n 41=+-及)1(41+=++n a a n n 两式相减，可得411=--+n n a a ，因此数列{}n a 的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而212=-a a，故{}n a 是公差为2的等差数列，∴.12+=n an………………………………………………〔6分〕(注：猜想12+=n a n 而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分.)〔Ⅱ〕在n n n na b b b =+++-12122 中，令1=n ，得.311==a b由()111211222++-+=++++n n n n n a n b b b b 与11222n n n b b b na -+++=L (2)n ≥两式相减，可得34)12()32)(1()1(211+=+-++=-+=++n n n n n na a n b n n n n ，化简，得nn n b 2341+=+.即当2≥n 时，1214--=n n n b . 经检验31=b 也符合该式，因此{}n b 的通项公式为1214--=n n n b . ∴()1)21(142173-⋅-++⋅+=n n n S . ()()n n n n n S )21(14)21(54)21(72132112-+⋅-++⋅+⋅=- . 两式相减，得()n n n n S )21(14])21()21(21[432112--++++=- .利用等比数列求和公式并化简,得127414-+-=n n n S .可见，对+∈∀N n ，14<nS .经计算，13323114,1316271465>-=<-=S S ， 注意到数列{}nb的各项为正，故nS单调递增，因此满足1413<<n S 的正整数n 的集合为{}.,6N ∈≥n n n ………………………………〔12分〕20.〔本小题总分值12分〕 证明：〔Ⅰ〕当1λ=时，那么F 为AB 的中点.又AB =，12AF AB= ∴在FAD Rt ∆与ACD Rt ∆Rt ACD 中，222tan ===∠AD ADAFADAFD ，22tan ===∠ADADADCDCAD ，CAD AFD ∠=∠，∴AC DF ⊥.又∵PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ， ∴PA DF ⊥.∴DF ⊥平面PAC …………………………………………………………〔6分〕 〔Ⅱ〕设1PA AD ==,那么2==PD AB .连结AE ，那么⊥FA 面APD . ∴⊥FA AE . ∵)0(>==λλFA BFED PE ，∴211λ+=AF ，21λλ+=PE . 在APE∆中，222c o sA E P A =+⋅2121=+-⋅， 设异面直线EF 与CD 所成的角为060，那么060=∠AFE ， ∴060tan =AFAE ,∴223AF AE =.∴21212+-⋅223(1)λ=+.解得5=λ.∴存在实数5=λ，使异面直线EF与CD所成的角为60.………………………………〔12分〕方法二：〔坐标法〕以A为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系.〔Ⅰ〕当1λ=时，那么F为AB的中点，设1PA AD==,那么2==PDAB，那么(0,0,0A），C），(0,0,1P），(0,1,0D）,(2F）.2(1,0)2DF∴=-,(2AC =，，(0,0,1)AP =.DF AC⋅=，0DF AP⋅=,,DF AC∴⊥DF AP⊥.∴DF⊥平面PAC.………………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕设1PA AD==,那么2==PDAB，∴(0,0,0A），C），(0,0,1P）,(0,1,0D）.∵(0)PE BFED FAλλ==>,∴(,0,01Fλ+）,1(0,,11Eλλλ++）.1(,11FEλλλ∴=++）,(CD=.2,1FE CDλ∴⋅=+依题意，有1=cos,2FE CDFE CDFE CD⋅<>=，∵0λ>，∴12=∴λ=.∴存在实数5=λ使异面直线EF与CD所成的角为60.………………………………〔12分〕21.〔本小题总分值13分〕证明〔Ⅰ〕设直线PQ的方程为x my n=+，点P、Q的坐标分别为11(,),P x y22(,)Q x y. 由24x my ny x=+⎧⎨=⎩消x，得2440y my n--=.由0>∆，得20m n+>,124,y y m+=124y y n⋅=-.∵AP AQ⊥，∴0AP AQ⋅=，∴1212(1)(1)(2)(2)0x x y y--+--=.221212,44y y x x ==∴1212(2)(2)[(2)(2)16]0y y y y --+++=， ∴12(2)(2)0y y --=或12(2)(2)160y y +++=. ∴21n m =-或25n m =+，∵0>∆恒成立.∴25n m =+. ∴直线PQ 的方程为5(2)x m y -=+，∴直线PQ 过定点(5,2)-.………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ，由第〔Ⅰ〕问可知，将n 用25m +代换得直线PQ 的方程为25x my m =++.设点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .由2254x my m y x=++⎧⎨=⎩消x ，得248200y my m ---=.∴124,y y m +=12820y y m ⋅=--.∵PQ 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++，即221212(,)82y y y y ++，∵221212()22258y y y ym m +-=++，∴PQ 的中点坐标为2(225,2)m m m ++.由得2222251m mm m -=-++-，即32310m m m ++-=、 设32()31g m m m m =++-，那么2()3230g m m m '=++>， ()g m ∴在R 上是增函数.又(0)10,g =-<(1)40g =>，()g m ∴在(0,1)内有一个零点.函数()g m 在R 上有且只有一个零点，即方程32310m m m ++-=在R 上有唯一实根、 因此满足条件的等腰三角形有且只有一个、………………………………………………………〔13分〕22.〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕0p >，函数()ln f x x的定义域为[1,)+∞.1()f x x'=-. 依题意，1x≥在(1,)x ∈+∞恒成立，24(1)x p x -∴≥在(1,)x ∈+∞恒成立.224(1)1114[()]124x x x -=--+≤， 1p ∴≥，∴p 的取值范围为[1,)+∞.………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕当*n N ∈时，1nk =2ln(1)n >+.证明：当*n N ∈时，欲证1nk =2l n (n >+，只需证*2[ln(1)ln ]()k k k N >+-∈.由〔Ⅰ〕可知：取1p =，那么()(1)(1)f x f x ≥≥， 而()01=f，ln x ≥〔当1x =时，等号成立〕.用21()x x+代换x ，得21ln()(0)x x x+>>，即2[ln(1)ln ](0)x x x >+->，∴*2[ln(1)ln ]()k k k N k>+-∈.在上式中分别取1,2,3,,k n =，并将同向不等式相加，得1nk k=>∑2ln(1)n +.∴当*n N ∈时，1nk k=∑2ln(1)n >+.…………………………………………〔9分〕(Ⅲ)由〔Ⅱ〕可知x x ln 1≥-〔1x =时，等号成立〕. 而当2x ≥时：1x -≥2x ≥时，1ln x x ->. 设()1ln ,(0,2)g x x x x =--∈，那么11()1x g x x x-'=-=，∴()g x 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，∴()(1)0g x g ≥=，即1ln x x -≥在(0,2)x ∈时恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，1ln x x -≥〔当且仅当1x =时，等号成立〕.……① 用x 代换1x -得：ln(1)x x ≥+〔当且仅当0x =时，等号成立〕.……② 当*2,k k N ≥∈时，由①得1ln 0k k ->>，11ln 1k k ∴>-. 当*2,k k N ≥∈时，由②得ln(1)k k >+，用11k -代换k ，得11ln(1)11k k >+--.∴当*2,k k N ≥∈时，11ln(1)ln 1k k >+-，即1ln ln(1)ln k k k>--. 在上式中分别取2,3,4,,k n =，并将同向不等式相加，得21ln ln1ln n k n k=>-∑.故当2≥n 且*n N ∈时，21ln ln nk n k=>∑.…………………………………………………〔14分〕。
2019届湖北省高三4月份调研考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖北省高三4月份调研考试数学（理）试题、单选题已知集合M = {xl-3 <^<2},A . MDN = （-Z2） B.MAN - （-S-2）C D. 「、•*• = "•：: f；【答案】D【解析】根据指数不等式的解法得到N =&|xN-2}，再由集合的并集的概念得到结果【详解】集合M={x|-3<x<2}, =&|x > -2）,根据集合的并集的概念得到M U N = （ - * +叫）.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了集合的并集的解法，以及指数不等式的解法^2 .已知复数乙=T+2】，贝U下列关系式中正确的是（）A . |z|<2 B. C .|司字|1 十方| D . |z| = J -2i|【答案】D【解析】根据复数的模的计算得到I』=也2+（-1沪=泰进而判断其它选项的正误.【详解】复数上= -I十瓦冒=Jz2I（T）'=近排除AB , ll-2il = \] +2i\ = ^故得到I』=11 - 2il.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的模长的计算，属于简单题^3.已知^smx + cosx = y，则E J X—J=（）A . I B. T C. T D. I 【答案】B【解析】根据正弦函数的两角和的公式将原式子进行化一，再由诱导公式得到cos\x - +- y-5.如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗线C3【答案】C【详解】 已知 + CDSX = ~,化一得到 2sin(w+J = 则•'-故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数化一公式的应用，以及诱导公式的应用，属于基础题 ^4 .已知双曲线C:饵-春=1 (a^O/bX)的离心率为g ，贝U 双曲线C 的渐近线方程为( )A . 2x = y = 0B .*Hy=°C . <5xiy=O D.【答案】B—，一 ................................................................................. _ .，…，t i', b J dW 1—b 1 _____ ___ _________【解析】根据双曲线的离心率公式得到 ；孑=& ；=±菱进而得到渐近线万 程. 【详解】已知双曲线毛书=1 E 哄>0)的离心率为专，双曲线的渐近线方程为： 故答案为：B.【点睛】 这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系,属于基础题【解析】根据三视图还原几何体，由棱锥体积公式计算得到结果^【详解】根据题意得到原图是下图中的四棱锥GADDiAi,根据题意得到四边形ADD L A I边长为2,棱锥的高为1 ,故四棱锥的体积为：故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循长对正，高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6 .已知函数财）是定义域为R的奇函数，当xMO时，心）= ]n（l + x2）+ x,则不等式1）＞ 1+1点的解集为（）A. B.C 'MM 上 D. 5【答案】A【解析】忒株+1）＞1 + 1心守f（2x + l）＞f（]）,函数是定义域为R的奇函数，根据函数表达式可得到函数单调递增，故只需要株+ 1 ＞]=＞x＞0.【详解】当x潮时，史x）= 】n（l+G十X,Rl）= In2 + ] ±＜2x+ 1）＞1 + ln2^f（2x + 1）＞f（l）函数fix）是定义域为R的奇函数，当胰0时，林）= m（l +妒）+ X,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要2x+ 3 lf>0.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，对于解不等式的问题，如果不等式的解析式未知或者已知表达式，直接解不等式非常复杂，则通常是研究函数的奇偶性和单调性来达到解不等式的目的.7.甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（）A . 36 种 B. 30 种 C . 24 种 D . 12 种【答案】C【解析】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有A；,进而得到结果.【详解】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有A；,故共有4XA¥=2斗种方法.故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.8.如图，圆。
最新湖北省2019-2020年高三数学(理)期末试题及答案
高三教学质量监测数学试卷（理科）（满分：150分，测试时间：120分钟）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.如图，已知是实数集，集合，则阴影部分表示的集合是（）A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1]2.函数的图象按向量平移得到的图象，则可以是（）A．B．C．D．3.已知命题：；命题：，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.4.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（）A.232B.252C.472D.4845.向量满足,则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6.如图程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的是（）A．B．C．D．7.在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（）A.-960B.960C.1120D.16808.已知等差数列{}的前项和为，且，则过点和的直线的斜率是（）A．4 B．3 C．2 D．19.函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.已知点的坐标过点的直线与圆相交于、两点，则的最小值是（）A．B．4 C．D．211.某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是（）A.B． C.D．12.若,则最小值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数满足（其中为虚数单位），则的模为_____.14.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在其表面上运动，则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于．15.古希腊的数学家研究过各种多边形数.记第个边形数为（，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数四边形数五边形数六边形数……可以推测的表达式，由此计算的值为________．16.设椭圆的右顶点为、右焦点为为椭圆上在第二象限内的点，直线交于点，若直线平分线段，则的离心率是．三、解答题：17.（本小题满分12分）已知锐角中内角、、的对边分别为、、，，且．（1）求角的值；（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，底面，其中与交于点是边上的点，且，已知（1）求平面与平面所成锐二面角的正切值；（2）若是上一点，且平面，求的值．19.（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下:睡眠时间(小时) [4,5）[5,6）[6,7）[7,8）[8,9]女生人数男生人数（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;（2）完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡眠时间少于7小时睡眠时间不少于7小时合计男生女生合计（，其中）20.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且. (1)求椭圆的方程；(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数．（1）若在定义域内恒成立，求的取值范围；（2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值；（3）证明不等式．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图⊙过平行四边形的顶点,且与相切,交的延长线于点. (1)求证：；(2)是的三等分点，且，求.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为，（为参数，）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．写出圆心的极坐标，并求当为何值时，圆上的点到直线的最大距离为3．已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证：.a高三教学质量监测理科数学答案四、选择题：DDCCC BCACB DD五、填空题:13.；14.；15.2490；16.三、解答题：18.（本小题满分12分）解析：（1）因为,由余弦定理知又因为,则由正弦定理得:，所以,所以,又因为所以...... 6分（2），由已知,则...... 8分因为,,由于,所以，...... 10分所以，所以的取值范围是..... 12分19.（本小题满分12分）解析:（1）连接并延长交的延长线于，则是平面与平面所成二面角的棱，过作垂直于，连接．∵平面，∴，又，∴平面，平面，∵，，面，面∴，∴是平面与平面所成锐二面角的平面角…（3分）∵，∴，又，∴∴，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为…（6分）（2）连接并延长交于，连接∵平面，面，面面∴在中∵，又…（9分）在梯形中，，∵∴，∴…（12分）另解：向量法.19.（本小题满分12分）解析：（1）设事件A=“从睡眠不足6小时的女生中抽出3人，其中恰有一个为“严重睡眠不足”.........1分. 所以......6分(2)睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生12 8 20女生14 6 20合计26 14 40......8分......10分所以没有的把握认为“睡眠时间与性别有关” .......12分20.（本小题满分12分）解析：（1）由椭圆的对称性知：,又原点O到直线DF的距离为，又故椭圆方程为…………4分（2）当直线与轴垂直时不满足条件……5分，故可设直线的方程为，代入椭圆方程得：……7分因为，即所以即，解得……10分,故.所以存在满足条件的直线，且其方程为……12分21.（本小题满分12分）解析：（1）的定义域是，当时，，递减，当时，，递增∴依题意得，，故的取值范围…3分（2）当时，，的定义域是，令由（1）知，的最小值是递增，又时，，递减，当时，，递增，∴7分（3）由（2）得，时，，令，则…12分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解析：(Ⅰ)证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.又AT 2＝AB*AD，所以AT 2＝BT*AD．......5分(Ⅱ)取BC中点M，连接DM，TM．由(Ⅰ)知TC＝TB，所以TM⊥BC．因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．所以M，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．所以∠ABT ＝∠DBT＝90°. 所以∠A＝∠ATB＝45°°. ...... 10分23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程精品文档= 解：由已知圆心O 的直角坐标为，所以圆心O 的极坐标为 (2)分直线的直角坐标方程为，圆心O 到的距离，圆O上的点到直线的距离的最大值为解得......10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解析：（1）∵，． ......5分，∴. ......10分。
湖北省武汉市武昌区2019届高三元月调研考试数学理试题(全WORD版) (1)
武昌区2019届高三元月调研考试数学理 试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1i3i 1i -+=+（ ） A ．i B ．2iC ．13i -D ．13i +2．已知集合2{|log (1)1},{|2}A x x B x x a =-<=-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,3)B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．(,3]-∞3．已知向量(2,1),(2,)a b x ==不平行，且满足()()2a b a b +⊥-，则x =（ ） A ．12-B ．12C ．1或12-D ．1或124．函数2()xx e f x x=的图象大致为（ ）5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的s =（ ） A ．26 B ．102 C ．410 D ．5126．设,x y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的取值范围为（ ）A ．[2,6]B ．[3,6]C ．[3,12]D ．[6,12]7．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．2,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦开始1,0n s ==2n s s=-2n n =+n ≥8?输出s结束是否C ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8．已知a b 、是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（ ） A ．18B ．38C ．58D ．789．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ） A ．323B ．483C ．32D ．4810．已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为3侧棱长为25O 的表面积为（ ） A ．10πB ．25πC ．100πD ．125π11．已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2 12．已知函数3211()232f x x a x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的零点个数可能有（ ） A ．1个 B ．1个或2个 C ．1个或2个或3个 D ．2个或3个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．3(1)(2)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．（用数字填写答案）14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(1)y f x =-为偶函数，当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫=⎪⎝⎭．15．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．已知124,,S S S 成等比数列，且35a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．16．过点(,0)M m 作直线12l l 、与抛物线2:4E y x =相交，其中1l 与E 交于A B 、两点，2l 与E 交于C D 、两点，AD 过E 的焦点F ．若AD BC 、的斜率12k k 、满足122k k =，则实数m 的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2sin sin cos2CA B =，()sin ()(sin sin )c C a b A B =+-．（1）求A ∠和B ∠的大小；（2）若ABC △BC 边上中线AM 的长． 18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1112,30,AB AC AA BC ACA BC ====∠=︒． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角11B AC C --的余弦值．19．（本小题满分12分）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l ，单位：cm ），先从中随机抽取100件，已知该批产品的质量指标值服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本的平均数x ，2σ近似为样本方差2s （同一组中的数据用该区间的中点值作代表）． （1）求(132.2144.4)P l <<；A BCA 1B 1C 1（2）公司规定：当115l ≥时，产品为正品；当115l <时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．12.2≈．若2(,)X N μσ～，则()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=≤≤，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．20．（本小题满分12分）设12F F 、分别为椭圆22:12x E y +=的左、右焦点，动点0000(,)(0,1)P x y y y ≠≠±在E 上．12F PF ∠的平分线交x 轴于点(,0)M m ，交y 轴于点N ，过1F N 、的直线l 交E 于C D 、两点．（1）若12m =，求0x 的值； （2）研究发现0xm始终为定值，写出该定值（不需要过程），并利用该结论求2F CD △面积的取值范围． 21．（本小题满分12分） 已知函数2113()ln 424f x x ax x =+-+． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：1212()()124f x f x a x x ->--．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 相交于A B 、两点，求OAB △的面积． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知()11f x x ax a =++-+．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1x ≥时，不等式()2f x x +≥恒成立，求a 的取值范围．武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学参考答案17．解析：（1）因为()sin ()(sin sin )c C a b A B =+-，所以()()()c c a b a b =+-，所以222a b c =+，即cos 2A =，所以30A =︒， 因为2sin sin cos2C A B =，所以1cos sin sin 2C A B +=，即sin 1cos B C =+， 因为150B C +=︒，所以sin 1cos(150)1cos150cos sin150sin B B B B =+︒-=+︒+︒，即()1sin sin 6012B B B =+︒=，所以30B =︒． ……………………6分（2）,120a b C ==︒，因为21sin 24ABC S ab C a ===△2a b ==， 在ACM △中，22212cos1204121272AM AC CM AC CM ⎛⎫=+-⨯︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AM =12分ABCM18．解析：（1）记11A CAC O =，连结BO ．因为1AB BC =，所以1BO AC ⊥．由题意知1ACC △为正三角形，求得CO =，在1ABC △中求得BO =BC =所以222BC CO BO =+，所以BO CO ⊥．因为1COAC O =，所以BO ⊥平面11AAC C ．因为BO ⊂平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11AAC C ．………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(1A C C B --，1(0,2,0),(3,AC AB =-=-．因为BO ⊥平面11AAC C，所以平面11AAC C 的法向量为m =．设平面11AB C 的法向量为(,,)n x y z =，则120320n AC y n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =-．所以cos ,23m n m n m n⋅-===-⨯⋅，因为所求二面角的平面角为钝角，所以所求二面角11B AC C --的余弦值为12分 C19．解析：（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：900.021000.091100.221200.331300.241400.081500.02120x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，抽取产品质量指标值的方差为：29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150σ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为(120,150),12.2σl N =≈～，1()(120132.2)0.68260.3413,21(2)(120144.4)0.95440.4772,2μμσμμσ≤≤≤≤P l P l P l P l ∴<+=<=⨯=<+=<=⨯=(132.2144.4)(120144.4)(120132.2)0.1359≤≤P l P l P l <<=<-<=．………………6分（2）由频数分布表得：(115)0.020.090.220.33,(115)10.330.67≥P l p l <=++==-=． 随机变量ξ的取值为90,30-，且(90)0.67,(30)0.33ξξP P ====． 则随机变量ξ的分布列为：所以900.67300.3350.4E ξ=⨯-⨯=． ……………………………………………………………12分20．解析：（1）由题意知12(1,0),(1,0)F F -． 直线1PF 的方程为0000(1)1y y x x --=++，即000(1)0y x x y y -++=， 直线2PF 的方程为0000(1)1y y x x --=--，即000(1)0y x x y y ---=． 由点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭到1PF 和2PF=． （*）2==+， 02==-，且022x -<<．所以（*）式可化为003122x x =+-，解得01x =．……………………………………………………4分（2）定值为2，即2x m=． 直线PM 的方程为0000()y y x m x m--=--，令0x =，并考虑02x m =，得0y y =-． 所以点N 的坐标为0(0,)y -，从而过1F N 、的直线l 的方程为000(1)10y y x +-=+--，即0(1)y y x =-+，代入2212x y +=，消去x ，得222000(12)20y y y y y ++-=．设1122(,),(,)C x y D x y ， 则200121222002,1212y y y y y y y y --+==++．所以12y y -===所以2121212F CDS F F y y =⋅-=△ 因为22220002222228(1)2[(12)1]121y y y ⎡⎤++-==-⎢⎥，其中000,1y y ≠≠±，21．解析：当1a =-时，2113()ln 424f x x x x =--+，(1)0f =． 21112(2)(1)()2222x x x x f x x x x x+-+-'=--=-=-．当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>．在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．………………………………………………4分（2）因为2113()ln 424f x x ax x =+-+，所以21112()222ax x f x ax x x -+'=+-=．因为()f x 存在两个极值点，所以220ax x -+=在(0,)+∞有两根． 所以0180a a >⎧⎨∆=->⎩，所以108a <<，且121212,x x x x a a +==．因为22121212121212121211(ln ln )()()()()ln ln 1424x x a x x x x f x f x x x x x x x x x -+-----==----． 要证1212()()124f x f x a x x ->--，只需证121212ln ln 22x x a x x x x ->=-+，即证12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令121x t x =>，只需证2(1)ln 1t t t ->+． 令2(1)()ln ,(1)01t g t t g t -=-=+，所以2214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=++≥， 所以()g t 在(1,)+∞单调递增，因为1t >，所以()(1)g t g >，即2(1)ln 01t t t -->+． 所以，1212()()124f x f x a x x ->--．22．解析：（1）1C 的普通方程为30x y +-=，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．……………………4分（2）原点O 到直线30x y +-=的距离d =，2C 的标准方程为22(2)4x y -+=，表示圆心为2(2,0)C ，半径2r =的圆．2C 到直线30x y +-=的距离22d =，所以AB ==10当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．所以，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．…………………………………………………4分（2）当1x ≥时，不等式()2f x x +≥化为112x ax a x ++-++≥，即11ax a -+≥． 由11ax a -+≥，得11ax a -+-≤或11ax a -+≥，即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥． 当x ≥1时，不等式(1)2a x --≤不恒成立；当1x ≥时，若不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．…………………………………………………………10分。
2019届湖北省武汉市高三高考模拟数学(理)试题(解析版)
2021届湖北省武汉市高三高考模拟数学(理)试题一、单项选择题1 .设复数z满足那么z=( )A . S+? B. 丁丁 C. F 十？ D ' 厂？【答案】C【解析】把等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由¥；= I,得1+2z= i - iz,「i 1 , J.••z- 3-i - - F十.应选：C.【点睛】此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的根本运算,是根底题.2,集合A 二x—2 <0), B =尿.4 3〞,那么A C H =()A. (0,2)B.("C. (XD.(」3【答案】B【解析】解一元二次不等式求出集合A, B,然后进行交集的运算即可.【详解】解：A=｛x|- 1<x< 2｝, B=｛x|—3vxv0｝；•. AAB= (-1, 0).应选：B.【点睛】此题考查描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,以及交集的运算.3.等比数列｛羯口｝中,即=一］,制=64 ,那么数列加口｝前3项和4二( )A .B B. C. -51 D . 51【答案】B【解析】利用等比数列通项公式求出公比为-4,由此利用等比数列前n项和公式,即可求出前3项和,得到答案.【详解】由题意,等比数列｛an｝中,加=一1皿二64, ...H4 = T = 解得q =-4,•♦•数列｛a n｝前3项和的=可零*=-13 .应选：B.【点睛】此题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式,准确计算是解答的关键,着重考查运算求解水平,是根底题.4 .某学校为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查局部学生,了解到上学方式主要有：A——结伴步行,B——自行乘车,C——家人接送,———其他方式,并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图^上胃.竽1 L71方或如7N J 7 «根据图中信息,求得本次抽查的学生中A类人数是〔〕A. 30B. 40C. 42 D . 48【答案】A【解析】根据所给的图形,计算出总人数,即可得到A的人数.【详解】解：根据选择D方式的有18人,所占比例为15%,得总人数为］£= 120人,应选择A方式的人数为120- 42- 30- 18= 30人.应选：A.【点睛】此题考查了条形图和饼图的识图水平,考查分析问题解决问题的水平.IL5 .为了得到函数y = sin2K的图像,可以将¥ = 的图像〔〕A.向右平移：个单位长度B.向右平移g个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移孑个单位长度【答案】A【解析】由题意利用诱导公式化简函数的解析式,再利用函数y=Asin 〔亦+A的图象变换规律,得出结论.解：将¥ = CQS(2X■3=sin (2x+g)的图象向右平移,个单位长度,可得函数y= sin2x的图象,应选：A.【点睛】此题主要考查诱导公式的应用,函数y= Asin (亦+#的图象变换规律,统一这两个三角函数的名称,是解题的关键,属于根底题.6 .两个平面相互垂直,以下命题①一个平面内直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是( )A. 1 B, 2 C, 3 D , 4【答案】B【解析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系, 对①、②、③、④四个选项逐一判断,即可得到答案.【详解】由题意,对于①,当两个平面垂直时,一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线,故①错误；对于②,设平面a用面3 =m n? a, l? &平面a±平面3, ,当l,m时,必有U a,而n? a, l ± n,而在平面3内与l平行的直线有无数条,这些直线均与n垂直,故一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线,即②正确；对于③,当两个平面垂直时, 一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面, 故③错误; 对于④,当两个平面垂直时,过一个平面内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于另一个平面,这是面面垂直的性质定理,故④正确；应选：B.【点睛】此题考查命题的真假判断与应用, 着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象水平,属于根底题.J* \J a* x > 17,a >0且日/1 ,函数2 lax 十x < ], 在R上单调递增,那么实数日的取值范围是( )A 〕 一4B, C. D .【答案】D【解析】 利用函数的单调性,列出不等式组,然后求解即可. 【详解】JI解：a>0且awl 函数&在R 上单调递增,… I a>l …可得：- 2 , 解得 aC (1, 2].应选：D.【点睛】 此题考查分段函数的应用,函数的单调性的判断,是根本知识的考查.3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙 3个村小学进行支教,假设] C.【解析】 根本领件总数n = clM= 36,小明恰好分配到甲村小学包含的根本领件个数 m n A1-12,由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率. 【详解】解：大学生小明与另外 3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3个村小学进行支教,每个村小学至少分配 1名大学生, 根本领件总数 n ；5二二 36,小明恰好分配到甲村小学包含的根本领件个数m 12 I ,小明恰好分配到甲村小学的概率为 P = 7 =次="应选：C. 【点睛】此题考查概率的求法,考查古典概率、排列组合等根底知识,考查运算求解水平,是基 础题.9.过点2)作一直线AH 与双曲线C;(y 2= 1相交于A 、E 两点,假设P 为AB 中点,那么()A, 2也B.力3C,玷D , 43【解析】设出直线AB 的方程与双曲线方程联立消去 V,设两实根为乂1,右,利用韦达定 理可表示出Ki + 切的值,根据P 点坐标求得XI +X 2 = 8进而求得k,那么直线AB 的方程可 得；利用弦长公式求得|AB|.8.大学生小明与另外每个村小学至少分配1名大学生,那么小明恰好分配到甲村小学的概率为( 1B.「I r1【详解】解：易知直线AB不与y轴平行,设其方程为y-2=k (x-4)代入双曲线C：y-y2= 1 ,整理得(1-2k2) x2+8k (2k-1) x- 32k2+32k- 10=0啊业-1)设此方程两实根为沟,双,那么却十刈=常,］又P (4, 2)为AB的中点,解得k= 1当k= 1时,直线与双曲线相交,即上述二次方程的4〉.,所求直线AB的方程为y- 2 = x- 4化成一般式为x- y- 2=0.工】 F = 8,xix2= 10|AB尸啦『「叼二痴?炉M = 4小.应选：D.【点睛】此题主要考查了双曲线的应用,圆锥曲线与直线的关系,弦长公式等.考查了学生综合分析和推理的水平.10 .E是两个相互垂直的单位向量,且匕,&上=1,那么E十句=( )A.m.B, C C. 2立 D . 2十杷【答案】B【解析】由向量垂直的条件：数量积为0,以及向量的平方即为模的平方,结合向量数量积的定义,化简计算可得所求值.【详解】解：［；是两个相互垂直的单位向量,可得；€_ 0, |「|=|；|=1,d. 7 □ d. □ —u □由于：［是相互垂直的,所以得：与：,；的夹角〞,3的和或差为90., H 7 □ C U □.. ' . ..卜,I '可得|：|cos a \：3 , | jcos 伊1 ,由cos2a +cos3= 1 ,可得| |2=4,那么|b - cj=七包匕|2+2b?c = 1+4+2 = 7,| b - c | 二,应选：B.【点睛】此题考查向量的数量积的定义和性质, 以及垂直的性质和向量的平方即为模的平方, 考查运算水平,属于根底题.11 .为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运发动投篮练习,假设他第1球投进那么后一球投进的概率为:,假设他前一球投不进那么后一球投进的概率为；.假设他第1球投进的概率为:,那么他第2球投进的概率为( )3 5 7gA .B B. E C.% D . 16【答案】B【解析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第2球投进的概率.【详解】解：某校篮球运发动进行投篮练习,假设他前一球投进那么后一球投进的概率为假设他前一球投不进那么后一球投进的概率为假设他第1球投进的概率为那么他第2球投进的概率为：$ 3 ,八九1 5n= - x -+ f _ x -=- P I 4 r V 48-应选：B.【点睛】此题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式等根底知识, 考查运算求解水平,是根底题.12.函数a)=工打ax卜h定义域为J】Z,记网刈|的最大值为M,那么M的最小值为 ()A .B B.3 C. D D .小【答案】C【解析】由|f (x) |的最大值为M,得到|f (-1) |, |f (2) |, |f (1) |都不大于M,利用三角不等式得到所求.【详解】解：由于函数式乂)=必一些十h定义域为「L21 ,记的最大值为M,所以|f ( -1) |, |f⑵|, |f (1) |都不大于M,即,,.二、、吐所以> K-1 -a + b)-(-3- 3a-3b) +(J6-4^ + 2b)l= 12.所以M32,即M的最小值为：2;应选：C.【点睛】此题考查了三次函数的性质以及绝对值三角不等式的运用求最值,属于中档题.、填空题13 .实数X、午满足约束条件I * ,那么目标函数乙=¥-又的最小值为x 十zy 1 < u ---------------- 【答案】【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,转化求解即可.【详解】解：变量x, y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=y-x与直线x-y-1 = 0重合时,z取得最小值；,(2x V+ 4 = 0 __ _ _ , I x-Y - 1 =0 -由1/-丫-]=.斛佝C(—5, — 6),由1乂+.¥_]=0,斛A(1, 0),目标函数z=y-x经过为可行域的A时,取得最小值：-1.故目标函数z=y-x的最小值是-1,故答案为：-1【点睛】此题考查线性规划的简单应用,考查转化思想以及数形结合思想,属于中等题.14 .过点M (1, 0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A, B两点,O为坐标原点, 假设OA, OB的斜率之和为1,那么直线AB方程为.【答案】2x+y-2=0【解析】设直线AB的方程并代入抛物线方程,根据韦达定理以及斜率公式,可得I的值,进而得到直线的方程.【详解】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+1,代入y2=2x得d—2ty-2 =0,设A (xi, y1), B(X2, y2),那么ViV*-2, yi+y2=2t,所以k OA4％曰=»/ =15 ==-产=^ = ~^, -2t = I ,解得t= -j,・・・直线AB的方程为：x= g+1,即2x+y-2=0 .故答案为：2x+y-2=0 .【点睛】此题考查了直线与抛物线的位置关系的应用, 以及直线方程的求解, 其中设出直线的方程,代入抛物线的方程,利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解水平,属于中档试题.15 .数列］如［前11项和%满足际=变「14/-3皿之2)m=-1,那么=.【答案】【解析】由数列递推式可得Sn-i = 3S…+2lH 1 - 3,得至ij而+ i = + (n>2,结合即可求得电的值.【详解】解：由3口= 3%.「2〞.3(］122：),得：际十1 = 33“+ 7" 1 -3 ,.•.丽 + 1 = 3出斗2" ( n>2),由= 3% 3(n 七2), a1 = — 1,得a? = — 1,. 的- 3晚 + 野二1 ,附二3的+ 2$ = 1 1 .故答案为：11.【点睛】此题考查数列递推式,考查数列中项的求法,考查转化水平与计算水平,是根底题.16 .在四面体P-ARU中,假设PA = 3 , PB = 4 , PC = 3 ,底面AARC是边长为2招的正三角形,口为AARC的中央,那么£PAQ的余弦值为 .【答案】【解析】如图建立空间坐标系, 利用长度关系明确 P 点坐标,借助向量夹角公式得到结 果. 【详解】A ：「行,设(X 十代尸十尸十d = 9 ・.・L' + yi/ = 】6T । (y-3)3 + z 2 = 25•7B••・乂=荫 y =n【点睛】此题以棱锥为背景,考查角的大小的度量,考查空间坐标法,考查空间想象水平与计算 水平,属于中档题.三、解做题17 .在“ARC 中,A , B C 的对边分别为a , h , c,假设wA =岑,B = 2A , b =岳. (1)求日；CM I(2)Kt 在边EC 上,且而=£,求ACMA 的面积.【答案】(1) ((2) ：. ：.F ..二~【解析】(1)由利用同角三角函数根本关系式可求sinA 的值,利用二倍角的正弦cos < PA,OA >-瓜£ +询-屈丽Hr 广对故答案为:D函数公式可求sinB 的值,由正弦定理可得 a 的值.(2)利用二倍角的余弦函数公式可求cosB,利用两角和的正弦函数公式可求sinC 的值,利用二角形的面积公式可求 S AABC ,由*通=、,可求S ACMA = \ S AABC 的值.【详解】解：(1)由 O M A M 兀,gs A =知 sinA =[, *'■ sinB = sin2 A = 2sinAcosA = 1',一一、、一 a b r 一, 由正弦正理亦=蒜一氤可知siiiB 一 为’6,(2)n . . c # I 丽/运 3甚sinAcosB '+ cos Asin H = 7二十4 4三角形 ABC 的面积 S IABC = 1ab*sinC = 而*{15♦理=.CM i而. e ,%]诉 3履- S A CMA = pAABC ==【点睛】 此题主要考查了同角三角函数根本关系式,二倍角的正弦函数公式,正弦定理,二倍角 的余弦函数公式,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用, 考查了计算水平和转化思想,属于中档题.18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, AB=2AD=2, Z DAB =60 , PA=PC=2,且平面 ACPL 平面 ABCD. (I )求证：CBXPD ；【答案】〔1〕见证实；〔2〕 -三【解析】〔1〕证实PO,平面ABCD 得出POXBC,利用勾股定理证实从而BCL 平面 PBD,于是 BCXPD;〔2〕建立空间坐标系,求出平面PAB 和平面PBC 的法向量,通过计算法向量的夹角得 出二面角的大小.【详解】smC = sin(A + B) (n )求二面角 C-PB-A 的余弦值.解：〔1〕连AC, ED交于点0,连PO由平面ACT 1平面ABCD,平面AGP H平面ABCD = AC.又又■又^ ••..一鼠BC 1BD,又:PD 匚平面PED A CB 1PD〔2〕由〔1〕知DA’DE,以D为坐标原点,DA为x轴,DB为T轴,过点D与平面ADB垂直的直线为z轴建立如下图的空间直角坐标系^J7 彳由平面几何知识易得AO = - P0 --,那么.于是设平面PB「的法向量为m = (x,y,z)._ _b npBC = 0那么ni , EC,n】'BP ,即^ni+Bp = g ,-x = 0i -务十= 0取/ = 1 ,那么¥ = △,那么m=(Q卷」)同理可求得平面PBA 的一个向量口？ = (3,第」,/一 一、 Hi-112 4 2m I于是•’ ,分析知二角面C-PR-A 的余弦值为一笔.【点睛】此题考查了线面垂直的判定,空间向量与二面角的计算,考查了空间想象水平与计算能 力,属于中档题.K 2 y 1 厂19.椭圆广孑十记=l[a>b>0)经过点且右焦点巴曲⑨.(1)求椭圆厂的标准方程；(2)过N(LO)的直线AB 交椭圆F 与工,E 两点,记L = MA-MB ,假设I 的最大值和最小值分 别为ti,瓦求h )包的值.【答案】⑴-- (2)【解析】(1)列方程组求解出产,1?即可；(2)对k 讨论,分别建立方程组,找到根与系数关系,建立 t 的恒成立方程进行求解. 【详解】2 2解：(1)有椭圆了十3 = 1的右焦点为(也G,知f -1? = 3,即b 2 = /-3, 3 P那么：吊 H T 34 1又椭圆过点那么了+兀=1,又求得『=石八椭圆方程：： +(2)当直线AR 斜率存在时,设 AR 的方程为¥ = k ｛苫-D.A&].y J 、B (刈y J ,由得 / 卜 2k 2(x - 1)2 = 6,即(1 + 2k%n 4& ^2k 2-6 = 0y _ - I) ,y i,o )在椭圆内部,了>.,那么 ■.=XM + 2&1」春 +4+ (kxi - k - ]Hkx 2-k-lJ—t] +〔2 - k* - k )(K] + X .+ 2k 4 5将①②代入③得 t= (1 ++(2 - k 2- k)* 北一+ E 7k + 5 , 2k + ] 2k? - 1.① ②,XI 十万2iXpCl =* 13kFk-i*B f s -------------------------2k2+ 1 '"(15- 2t)k2+ 2k - ] -1 = 0,k e R,那么+'・(2t - 15Xt + 1 〞l 三0 ,即- 13t - 18 工(),又h,匕是zF - 13t.=.两个根,'■ ti + t2 = 7,£ /1当直线AB斜率不存在时,联立-得Y=±岑, x —1 .不妨设■1 :加=(3*1),由=(不学1),MA-MB = 9 -号十]=y.可知^14综上【点睛】此题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系, 考查转化水平与计算水平,属于中档题目.20.函数f(x) = a(lnx + ^-^r(»W R,a为常数)在@2)内有两个极值点乂1 ,乂工(45)(1)求实数a的取值范围；(2)求证：^【答案】⑴1一W(2)见证实【解析】(1)推导出x> 0, f' (x)=心吟——,设h (x) = e x 1 - ax, x>0,那么y = h K(x)在(0, 2)上存在两个零点,由h'(x) =e x 1- a,由此能求出实数a的取值范围；(2)令H (x) = h ( x) - h (2+2lna — x), 0< x< 1 + lna,贝U H ' (x) = h' (x) +h ' (2+2lna-x) o ^'[ + q - 0a. 0 0,从而H (x)在(0, 1 + lna)上递增,进而H (x) < H (1 + lna)=0,由此能证实双+乂2<2 (1 + lna).【详解】= 上1K解：(1)由f(x) = a(lnx 十可得记h(x) = e"i-ax,K>.,有题意,知Y= h(x)在(0,2)上存在两个零点.七h'(x) =/-、a 贝U当在三.时,Ng〉.,那么h(x)在(0,2)上递增,h(x)至少有一个零点,不合题意；当a > 0 时,由h’(Q =.,得x = I +］na(i)假设I + Ina <2且hQ)〉.,即1?鼻<：时,h(x)在iOJ十Inal上递减,口十lna.2)递增；那么h(X)而i = h.卜Ina)=㈤惘<.,那么h⑵> 0,h(0)=".,从而h(x)在［01十Inal和(】十lna、2)上各有一个零点.所以v = h(x)在(0,2)上存在两个零点.(ii)假设l+lna>2,即时,h(x)在曲2)上递减,可义)至多一个零点,舍去.(iii)假设I+ lna<2且h(2)W0,即时,此时h(x,j在(0/十Ina)上有一个零点,而在口+加a、2)上没有零点,舍去.£综上可得, ^(2)令H(x) = h(x) - h(2 ・21na - x),0 < x< ［十Ina 那么H (x) = h(x) + h(2 I- 2Ina - x), t_ ■= 1_ । _ 2 + 2ltia - x a 1—e - a + e - a ?=e K-1+ 7", - 2a > 2a - 2a = 0, e ?所以,H⑶在(01+ In力上递减,从而+ Ina) = 0 , 即“hGJ・h& i 2岳*-K1)M.而h&J =hGJ ,且在(】+1naZ递增；'h；;J lv.-.二In-J = 二二.n.L '；?A Xi + Xj < 2(1 -+ Ina) .【点睛】此题考查实数的取值范围的求法,考查不等式的证实,考查导数性质、函数单调性、最值等根底知识,考查推理水平与计算水平,考查转化思想和分类讨论思想,属于难题.21 .十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求, 带着广阔农村地区人民群众脱贫奔小康. 经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好的制定2021年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作方案,该地扶贫办统计了2021年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：料率增【距(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入京(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布其中口近似为年平均收入受,1近似为样本方差经计算得『=.利用该正态分布,求：⑴在2021年脱贫攻坚工作中,假设使该地区约有占总农民人数的S4.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,那么最低年收入大约为多少千元？(ii)为了调研精准扶贫,不落一人〞的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.假设每个农民的年收人相互独立,问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式m-92之2.63 ,假设X〜,那么①PR—.= 0 6827 ；②])(H—?仃< X W 四十2.) = 0.9545 ;③3仃+0.9973 .【答案】(1)17.40 万元(2) (i) 14.77 千元(ii) 978【解析】(1)由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；(2)由题意,X〜N (17.40, 6.92),.(i)由数据求得P (x>科-进一步求得科-.得答案；(ii)求出P (XA12.14,得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773,设1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为E,那么E〜B (103, p),求出恰好有kP晴二k) (1001 -k) xp个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率,由m7SLA 1,得k〈1001p,结合1001P =978.233,对k分类分析得答案.【详解】5, X x= 12 x0,04+ 14 X0,I2-F 16 x O.2S + 18 x 0.36 + 20 x().io + 22 x 0.06 + 24 x 0.04 解：(1) 千元.(2)有题意,K 〜N(17.40,6.92).1 D.6827(1) P(x>M - c) = -y- = 0.8414\ / JB W界［1-0= 17/W - 2.63 = 1477时,满足题意即最低年收入大约为14.77千元.9545 (ii)由F(X2 12.14) = 2仃)=0.5 *,得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773,记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为W,那么｝沈P),其中p = 0.9773 ,于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是？(4二期=口%状(]-9严’…一.,P?=k) (1001-k)xp^ , zo从而由P7 = k ♦1) - k h口- p) ,倚k . , I 00】P而lQ01p = 978,2773 ,所以,当0 0k 0978 时,P©= k_1)CPU= k),当979 Wk W 1000 时,P(^=k- l)>P(^=k),由此可知,在所走访的1000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978 【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及其意义, 考查二项分布及其概率的求法, 考查分析问题解决问题的水平,正确理解题意是关键,是难题.22.在直角坐标系'口¥中,以坐标原点.务极点,工轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线Ci：pMnQ = C3P工(1)求曲线Cl,修的直角坐标方程；⑵曲线.和[工的交点为M, N,求以MN为直径的圆与丫轴的交点坐标.【答案】(1) Ci ：xr = 1 £E：3/ ¥之=1 (2) P点坐标为20)或[0㈤【解析】(I)根据极坐标与直角坐标的互化公式, 即可求解曲线C],C1的直角坐标方程；(n)先求出MN的中点坐标,|MN|的长,可求得圆的方程,再令x=0 ,即可求解.【详解】(I) 由sin (0,) =y,得p (sin 0 co+cos 0 sip) =y,J psin0 三¥将Ipc0狗=x代入上得x+y=1,即C1的直角坐标方程为x+y+1=0,同理由p2=14而,可得3x2-y2=1,C2的直角坐标方程为3x2-y2=1.(n ) -. PMXPN,先求以MN 为直径的圆,设Mx b y1),N (x2, y2),[ijf2- y2= 1由&:y = l 得3x2- (1-x) 2=1,即x2+x-1=0,IXi + xz= -l 1 3m因二-l ,那么MN的中点坐标为(W,；),由弦长公式,可得|MN|=J1 ।l-|xi-x2|=^?2^~=~l="jl口.,以MN为直径的圆:(x+-) 2+ (岛2=(半)2,2 2令x=.,得[+ (y-j) =7,即(y-j) =；, y=0 或y=3,・•・所求P点的坐标为(0, 0)或(0, 3).【点睛】此题主要考查了极坐标与直角坐标的互化, 以及圆的方程的应用, 其中解答中熟记极坐标与直角坐标互化公式,以及合理利用圆的方程和性质求解是解答的关键, 着重考查了推理与运算水平,属于根底题.23.函数式.二11』k-11.(1)求不等式狼)33的解集；(2)假设直线¥ = x+a与v = f(x)的图象所围成的多边形面积为士求实数a的值.【答案】(1)।或、.；(2)4【解析】(I )去掉绝对值号,得到分段函数,分类讨论即可求解不等式的解集,得到答案；(n)画出函数¥ = 的图象,得出直线¥ = x十a与函数¥ = f(x)围成的图形,利用梯形的面积公式,即可求解. 【详解】3x, x > 1।x ：工_ _< x < ](I)由题意,可得函数f (x) = ' i 2 1 ,-3x f x<-由f (x) >3可知：(i)当x>W, 3x>^ 即x>l；(ii)当-；v x v 1 时,x+2>3,即x>],与-；v x v 1 矛盾,舍去；L(iii)当x/时,-3x* 即x41;综上可知解集为{x|x<1或x>1}.L J(n)画出函数y=f (x)的图象,如下图,其中A (i,^) , B (1,3),由k AB=1 ,知y=x+a图象与直线AB平行,假设要围成多边形,那么a>2.易得y=x+a 与y=f (x)图象交于两点C (二,g), D (万,：),那么|CD|=v5?i+i|h42a.3布_ ______ , _ ,, ___ ,. 忖-2|平行线AB与Cd间的距离d='j『=否,且|AB|匚,梯形ABCD 的面积S=W+哈个=：4？ (a-2) =；, (a>2).即(a+2- (a-2) =12, • . a=4 ,故所求实数a的值为4.A’-I I I I I I I I I I 4-5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5 X ■ A【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法, 以及分段函数的应用, 其中解答中熟记绝对值不等式的解法,以及合理应用函数的图象求解是解答的关键, 着重考查了分析问题和解答问题的水平,属于中档题.。
【答案】武昌区2019届高三年级元月调研考试 理科数学
第 1 页 共 8 页武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学参考答案1．答案：B 解析：21i (1i)2i3i 3i 3i i 3i 2i 1i (1i)(1i)2---+=+=+=-+=++-．2．答案：B 解析：2{|log (1)1}{|012}{|13}A x x x x x x =-<=<-<=<<，{|2}B x x a =-<={|22}{|22}x x a x a x a -<-<=-<<+，因为A B ⊆，所以2123a a -⎧⎨+⎩≤≥，解得13a ≤≤．3．答案：A 解析：因为向量(2,1),(2,)a b x ==不平行，所以1x ≠，2(6,12),(0,1)a b x a b x +=+-=-， 因为()()2a b a b +⊥-，所以()()2(12)(1)0a b a b x x +⋅-=+-=，又因为1x ≠，所以12x =-． 4．答案：A 解析：函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且2()0xx e f x x=>恒成立，排除C ，D ，当0x >时，5．答案：B 否52s →=-6．答案：C 其中(1,4),A 所以z 7．答案：B解析：()f x =()2sin 6f x x ⎛=- ⎪⎝⎭，由22,262k x k k Z ππ--+∈≤≤，得22,33ππ≤≤k x k k Z -+∈． 所以()f x 的单调递增区间是22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 8．答案：D 解析：由题意可得0a >，且函数()f x 的对称轴22≤bx a =，即04≤a b a>⎧⎨⎩，点(,)a b 取自如图所示的正方形OABC 内部（含边界），则符合条件的(,)a b 取自梯形OABD 内，⎝⎭所以32(1)3(1)4(1),(1)(23)3(1)c c c c c x c --+=-∴---=+，(1)(3)3c c ∴--=，240,4c c c -=∴=，所以离心率4ce a==． 12．答案：A 解析：当0a =时，函数()f x 只有1个零点；当0a ≠时，由3211()2032f x x a x x ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭，显然0x ≠，则23231216332123x x a x x x x ++==++，设1t x=，则3213()632g t t t t a ==++，23()186,361087202g t t t '=++∆=-=-<，则()0g t '>恒成立，所以函数()g t 单调递增，且()g t 可取遍(,)-∞+∞，所以1()g t a=有且只有1个解，即()f x 只有1个零点．13．答案：6 解析：332(1)(2)(1)(6128)x x x x x x -+=-+++，所以展开式中2x 的系数为1266-=． 14．答案：18-解析：()f x 关于(0,0)对称，关于直线1x =-对称，所以35511122228f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭15．答案：21n a n =-解析：设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则12452,103,202S d S d S d =-=-=-，因为2214S S S =⋅，所以2(103)(52)(202)d d d -=--，整理得25100,0,2d d d d -=≠∴=，3(3)52(3)21n a a n d n n =+-=+-=-．16．答案：2解析：设222211223344(,2),(,2),(,2),(,2)A t t B t t C t t D t t ，则4112241142()2t t k t t t t -==-+，同理2232k t t =+， 因为122k k =，所以23142()t t t t +=+ ① 直线211142:2()AD y t x t t t -=-+，将(1,0)F 代入得141t t =-， ② 直线1:2AB y t -=由②③④可得1t =将其代入①，得m17．解析：（1所以222a b c =+因为2sin sin cos2C A B =，所以1cos sin sin 2C A B +=，即sin 1cos B C =+， 因为150B C +=︒，所以sin 1cos(150)1cos150cos sin150sin B B B B =+︒-=+︒+︒，即()1sin sin 6012B B B =+︒=，所以30B =︒． ……………………6分 （2）,120a b C ==︒，因为21sin 2ABC S ab C ===△2a b ==， 在ACM △中，22212cos1204121272AM AC CM AC CM ⎛⎫=+-⨯︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AM 12分ABCM18．解析：（1）记11AC AC O =，连结BO ．因为1AB BC =，所以1BO AC ⊥．由题意知1ACC △为正三角形，求得CO =，在1ABC △中求得BO =，又BC = 所以222BC CO BO =+，所以BO CO ⊥．因为1COAC O =，所以BO ⊥平面11AAC C ．因为BO ⊂平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11AAC C ．………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(1A C C B --，1(0,2,0),(3,AC AB =-=-．因为BO ⊥平面11AACC ，所以平面11AAC C 的法向量为m =．设平面11AB C 的法向量为(,,)n x y z =，则120320n AC y n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，则0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =-．所以cos ,3m n m n m n⋅-===⨯⋅所以所求二面角11B AC C --的余弦值为12分C19．解析：（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：900.021000.091100.221200.331300.241400.081500.02120x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，抽取产品质量指标值的方差为：29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150σ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为(120,150),12.2σl N =≈～，1()(120132.2)0.68260.3413,21(2)(120144.4)0.95440.4772,2μμσμμσ≤≤≤≤P l P l P l P l ∴<+=<=⨯=<+=<=⨯=(132.2144.4)(120144.4)(120132.2)0.1359≤≤P l P l P l <<=<-<=．………………6分（2）由频数分布表得：(115)0.020.090.220.33,(115)10.330.67≥P l p l <=++==-=． 随机变量ξ的取值为90,30-，且(90)0.67,(30)0.33ξξP P ====． 则随机变量ξ的分布列为：所以900.67300.3350.4E ξ=⨯-⨯=． ……………………………………………………………12分 20．解析：（1）由题意知12(1,0),(1,0)F F -． 直线1PF 的方程为0000(1)1y y x x --=++，即000(1)0y x x y y -++=， 直线2PF 的方程为0000(1)1y y x x --=--，即000(1)0y x x y y ---=．由点1,02M⎛⎫⎪⎝⎭到1PF和2PF=（*）2=+，2==-，且22x-<<．所以（*）式可化为003122x x=+-，解得1x=．……………………………………………………4分（2）定值为2，即02xm=．直线PM的方程为00()yy x mx m--=--，令0x=，并考虑2x m=，得y y=-．所以点N的坐标为(0,)y-，从而过1F N、的直线l的方程为00(1)10yy x+-=+--，即(1)y y x=-+，代入2212xy+=，消去x，得222000(12)20y y y y y++-=．设1122(,),(,)C x yD x y，则200121222002,1212y yy y y yy y--+==++．所以12y y-===所以2121212F CDS F F y y=⋅-=△因为22220002222220008(1)2[(12)1]121(12)(12)(12)y y yy y y⎡⎤++-==-⎢⎥+++⎣⎦，其中000,1y y≠≠±，所以22002211601,1123,021(12)9y yy⎡⎤<<<+<<-<⎢⎥+⎣⎦，所以243F CDS<<△，所以2F CD△面积的取值范围为40,3⎛⎫⎪⎝⎭．………………………………………………………………12分在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．………………………………………………4分（2）因为2113()ln 424f x x ax x =+-+，所以21112()222ax x f x ax x x-+'=+-=．因为()f x 存在两个极值点，所以220ax x -+=在(0,)+∞有两根．所以0180a a >⎧⎨∆=->⎩，所以108a <<，且121212,x x x x a a +==．因为22121212121212121211(ln ln )()()()()ln ln 1424x x a x x x x f x f x x x x x x x x x -+-----==----． 要证1212()()124f x f x a x x ->--，只需证121212ln ln 22x x a x x x x ->=-+，即证12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令121x t x =>，只需证2(1)ln 1t t t ->+． 令2(1)()ln ,(1)01t g t t g t -=-=+，所以2214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=++≥， 所以()g t 在(1,)+∞单调递增，因为1t >，所以()(1)g t g >，即2(1)ln 01t t t -->+． 所以，1212()()124f x f x a x x ->--．22．解析：（1）1C 的普通方程为30x y +-=，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．……………………4分 （2）原点O 到直线30x y +-=的距离d =，2C 的标准方程为22(2)4x y -+=，表示圆心为 2(2,0)C ，半径2r =的圆．2C 到直线30x y +-=的距离22d =，所以AB ==10分 当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．所以，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．…………………………………………………4分 （2）当1x ≥时，不等式()2f x x +≥化为112x ax a x ++-++≥，即11ax a -+≥． 由11ax a -+≥，得11ax a -+-≤或11ax a -+≥，即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥． 当x ≥1时，不等式(1)2a x --≤不恒成立；当1x ≥时，若不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．…………………………………………………………10分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉市武昌区2019届高三期末调研考试数学（理）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数312⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）的值是（ ）A ．-1B ．1C ．-iD ．i2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 （ ） A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数3．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天（0时~ 24时）体温的变化情况的图是 （ ）4．已知数列{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是 （ ） A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 5．某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是 （ ）A ．312cmB ．23cm3C ．56 cm3D ．78cm36．已知a>b ，二次三项式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立．又o x R ∃∈，使220o o ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1B C ．2D ．7．过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是 （ ）A ．2B C ．4D ．8．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3|x| +y 的取值范围为（ ）A ．[-1,5]B ．[1, 11]C ．[5, 11]D ．[ -7, 11]9．函数f （x ）=23420122013123420122013x x x x x x ⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，给出下列命题： ———}-}———} ①0OA OB OC ++=； ②0OD OE OF ++=；③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC; ④R λ∃∈，使得()||||AB ACAD AB SINB AC SINCλ=+。
以上命题正确的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4；二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清棱两可均不得分． 11．已知sin α－3cos α=0，则22sin 2cos sin ααα=- 。
12．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 ．13．已知a=420cos(2)6x dx ππ+⎰，则二项式（x 2+a x ）5的展开式中x 的系数为 ．14．已知直线⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒⊥m ； ②α⊥β⇒∥m；③∥m ⇒α⊥β； ④⊥m ⇒α∥β．其中正确命题的序号是 。
15．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是l ，2，3，…，2018，从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）= cos( 2x+3π)+sin 2x ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2AC ·CB1,()2c f A ==， 求△ABC 的面积S ． 17．（本小题满分12分）某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； （Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm 以上（含172 cm ）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm 以上（含172 cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若2()N ξμσ-+．则()p μσξμσ-<≤+=0.2018， (22)p μσξμσ-<≤+=0.2018,(33)p μσξμσ-<≤+=0.2018.18．（本小题满分12分）已知数列{ a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n －l ；数列{b n }满足b n －1=b n =b n b n －1（n ≥2，n ∈N *）b 1=1． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值，20．（本题满分13分）设点P是圆x2 +y2 =4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P o，且3O O MP PP=．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线：y=kx+m(m≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．21．（本题满分14分）已知函数f（x）=lnx+11 x-（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在x o∈[1，e]，使得不等式ma － (x o)<0成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：ln2 l+ 1n22,+…+ln2 n>4*3(1)(2,)4nn n Nn-≥∈∈N*）．参考答案一、选择题：1．A 2．C 3．C 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B 9．C 10.B 二、填空题： 11．34-12．3 13．80- 14．①与③ 15． 2018× 三、解答题： 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为()x x x f 2sin )32cos(++=π22cos 13sin2sin 3cos2cos xx x -+-=ππ1222x =-. 所以，最小正周期T π=，值域为112222⎡-+⎢⎣⎦. ……………………（6分）（Ⅱ） 22AC CB ab ⋅=，∴()2cos ba C π-=，cos 2C =-. 34C π∴=. 又，()12f A =∴43212sin 2321-=-A ，1sin 22A ∴=. 而04A π<<，6,12ππ==∴B A .由正弦定理，有43sin6sin12sinπππc b a ==12b ==. 2a b ∴==.13222)26(21sin 21-=⨯⨯-⨯==∴C ab S . ……………………（12分）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为72.1684)100118210021781002174100817010071661005162(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10人. ……………（6分） （Ⅲ） 4 997.0)4316843168(=⨯+≤<⨯-ξP ，0013.029974.01)180(=-=≥∴ξP ，0.2018×100 000=130. 所以，全市前130名的身高在180 cm 以上，这50人中180 cm 以上的有2人. 随机变量ξ可取0,1,2，于是4528)0(21028===C C P ξ,4516)1(2101218===C C C P ξ,451)2(21022===C C P ξ 5245124516145280=⨯+⨯+⨯=∴ξE . ………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由21n n S a =-，得1121S a =-，所以11a =. 又21n n S a =-，11212n n S a n --=-≥，，两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-,122n n n a a a -=-.12,2n n a a n -∴=≥.所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.11221--=⨯=∴n n n a . …………………………………………………………（4分）由11n n n n b b b b ---=，得1111n n b b --=. 又11b =，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为1，公差为1的等差数列. n n b n=⨯-+=∴1)1(11. nb n 1=∴. …………………………………………………（8分） （Ⅱ） 01-11222++2n n T n =⋅+⋅⋅，∴1221222++2n n T n =⋅+⋅⋅.两式相减，得111-212+2221-2nn nn n T n n --=++-⋅=-⋅n n n 221⋅-+-=.所以，12)1(+⋅-=nn n T . ……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,0(A ， )0,2,0(B ，)0,2,2(C ，)0,0,1(D ，)2,0,0(S ，)1,1,0(M .则()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ==-=--. 设平面SCD 的法向量是(),,,n x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴,0,0n CD n SD 即⎩⎨⎧=--=-.02,02y x z x 令1=z ，则1,2-==y x ，于是)1,1,2(-=.0=⋅n AM ，n AM ⊥∴.∴ AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）（Ⅱ）易知平面SAB 的法向量为()11,0,0n =.设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为ϕ，则(111,0,0n n cos n nϕ⋅====⋅，即3cos ϕ=. ∴平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为36.………………………………（8分） （Ⅲ）设(),22,0,N x x =-，则(),23,1MN x x =--. 又，面SAB 的法向量为()11,0,0n =，所以，sin θ==.57)531(1015)1(12)1(10122+-=+-=x xx .当531=x ，即35=x 时，735sin max =θ.………………………………………………（12分）20．（本题满分13分）C解：（Ⅰ）设点(),M x y ，()00,P x y ，则由题意知)0,(00x P . 由),(00y x x MP --=，),0(00y PP -=，且003MPPP =， 得),0(23),(00y y x x -=--. 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-,23,000y y x x 于是⎪⎩⎪⎨⎧==.32,00y y x x 又42020=+y x ，所以43422=+y x . 所以，点M 的轨迹C 的方程为13422=+y x .………………………………（3分） （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=,134,22y x m kx y 得0)3(48)43(222=-+++m mkx x k .所以，0)3)(43(16)8(222>-+-=∆m k mk ，即04322>-+m k . ①且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+.43)3(4,4382221221k m x x k m k x x ………………………………………………（5分） （i ）依题意，21212y y k x x =，即21212kx m kx m k x x ++=⋅. ()222121212x x k k x x km x x m ∴=+++. 0)(221=++∴m x x km ，即0)438(22=++-m kmkkm . 0m ≠，01)438(2=++-∴kk k ，解得432=k . 将432=k 代入①，得62<m .所以，m 的取值范围是)6,0()0,6( -. …………………………………………（8分）（ii ）曲线13422=+y x 与x 轴正半轴的交点为)0,2(Q . 依题意，BQ AQ ⊥， 即0=⋅BQ AQ . 于是0),2(),2(2211=--⋅--y x y x .∴04)(2212121=+++-y y x x x x ，即0))((4)(2212121=+++++-m kx m kx x x x x ，04)438()2(43)3(4)1(22222=+++-⋅-++-⋅+∴m kmk km k m k . 化简，得0416722=++k mk m . 解得，k m 2-=或72k m -=，且均满足04322>-+m k . 当k m 2-=时，直线的方程为)2(-=x k y ，直线过定点)0,2((舍去)；当72k m -=时，直线的方程为)72(-=x k y ，直线过定点)0,72(. 所以，直线过定点)0,72(. …………………………………………………（13分）21．（本题满分14分）解: （Ⅰ）()22111,0x f x x x x x-'=-=>. 令()0f x '>，得1x >，因此函数()x f 的单调递增区间是()1,+∞.令()0f x '<，得01x <<，因此函数()x f 的单调递减区间是()0,1.…………（4分） （Ⅱ）依题意，()max ma f x <.由（Ⅰ）知，()f x 在[]1,x e ∈上是增函数，()()max 11ln 1f x f e e e e∴==+-=.∴e ma 1<，即01<-ema 对于任意的()1,1a ∈-恒成立.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--⨯≤-⨯∴.01)1(,011e m e m 解得e m e 11≤≤-.所以，m 的取值范围是]1,1[ee -. …………………………………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）()()1ln 110f x x f x=+-≥=， 1ln 1x x ∴≥-，221ln 1x x∴≥-.∴222222111ln1ln 2ln 1+1++112n n+++≥---.即)12111(ln 22ln 21ln 2222nn n +++-≥+++ .又，)1(1321211112111222-++⨯+⨯+<+++n n n ∴])1(13212111[)12111(222-++⨯+⨯+->+++-n n n ])1(13212111[)12111(222-++⨯+⨯+->+++-∴n n n n nn n n n n 2)1()]111()3121()211(1[-=--++-+-+-= .nn n 2)1(ln 2ln 1ln 2->+++∴ .由柯西不等式，2222222)ln 2ln 1(ln )111)(ln 2ln 1(ln n n +++≥++++++ .3422224)1()ln 2ln 1(ln 1ln 2ln 1ln n n n n n ->+++≥+++∴ .342224)1(ln 2ln 1ln nn n ->+++∴ . ……………………………………（14分）。