数值积分与数值微分习题课
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数值积分与
数值微分
习题课
一、已知012113
,,424x x x ===，给出以这
3个点为求积节
点在[]0.1上的插值型求积公式
解：过这3个点的插值多项式基函数为
()()()()()()()()()()()()()()()()1202010202121012012220211
20,0,1,2
k k x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x A l x dx k --=
----=
----=
--==⎰
()()()()()()()()()()()()1112
00001021102100101210120202113224111334244131441113324241142x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx x x x x ⎛
⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭===
--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭===-
--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎝==--⎰⎰⎰⎰⎰102313134442dx ⎪⎭=
⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
⎰ 故所求的插值型求积公式为
()1
211123343234f x dx f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈
-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰
二、确定求积公式
(
)(
)(1
1158059f x dx f
f f -⎡
⎤≈++⎣⎦
⎰ 的代数精度，它是Gauss 公式吗？
证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验
依次取()2345
1,,,,,f x x x x x x =，有
[
](1
1111
215181519
1058059dx xdx --==⨯+⨯+⨯⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎣
⎦⎰⎰
(
(
(
(22
12
2133
13
3144
14
4155
15
51215805391058059215805591058059x dx x dx x dx x dx ----⎡⎤
==⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
本题已经达到2n-1=5。故它是Gauss 公式。
三、试应用复合梯形公式计算积分
21
1
2I dx x
=⎰
要求误差不超过3
10-，并把计算结果与准确值比较。 解：复合梯形公式的余项为
()2
,()()
12
b n n a
b a R f T f x dx T h f η-''=-=-⎰
1
1()()2()2n n k k b a T f a f b f x n -=-⎡⎤=++⎢⎥
⎣⎦
∑,,0,1,2,
,k b a
x a kh h k n n -=+==
本题()12f x x =，()[]
()231,21
,max 1x f x M f x x ∈''''=== 本题余项为
()
[]22
21,221,()max ()121212
n x h h R f T h f f x η∈-''''=-≤=
要使()23
,1012
n h R f T -≤≤，得 0.109545h ≤，取0.1h = 得100.1
b a n h ==-2-1
=
于是有 101111112...0.346886210242 1.12 1.2
2 1.9I T ⎡⎤⎛⎫≈=+++++= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎣⎦ 检验： 43
10101ln 2 3.1211110102
I T T ---=-=⨯<
四、证明 若函数()[]1,f x C a b ∈，则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong 插值余项证明梯形求积公式的余项为
()()()()()()3
1212
b a
b a b a
R f f x dx f a f b f --''=-+=-η⎡⎤⎣⎦⎰
证明：不妨设一阶差商函数为[],f x a ，[]0,x a b ∀∈，有
[]()()()()()()()()()()[]000000000000000lim ,lim lim lim ,h h h h f x h f a f x h a x h a f x f h f a x h a f x f a f h f x f a f x a x h a
x h a x a ξξ→→→→+-⎛⎫
+= ⎪+-⎝⎭
'+-⎛⎫= ⎪+-⎝⎭
'--⎛⎫=+== ⎪+-+--⎝⎭
由0x 的任意性，可知一阶差商函数是连续函数。