数值积分与数值微分习题课

数值积分与
数值微分
习题课
一、已知012113
,,424x x x ===，给出以这
3个点为求积节
点在[]0.1上的插值型求积公式
解：过这3个点的插值多项式基函数为
()()()()()()()()()()()()()()()()1202010202121012012220211
20,0,1,2
k k x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x A l x dx k --=
----=
----=
--==⎰
()()()()()()()()()()()()1112
00001021102100101210120202113224111334244131441113324241142x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx x x x x ⎛
⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭===
--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭===-
--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎝==--⎰⎰⎰⎰⎰102313134442dx ⎪⎭=
⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
⎰ 故所求的插值型求积公式为
()1
211123343234f x dx f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈
-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰
二、确定求积公式
(
)(
)(1
1158059f x dx f
f f -⎡
⎤≈++⎣⎦
⎰ 的代数精度，它是Gauss 公式吗？
证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验
依次取()2345
1,,,,,f x x x x x x =，有
[
](1
1111
215181519
1058059dx xdx --==⨯+⨯+⨯⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎣
⎦⎰⎰
(
(
(
(22
12
2133
13
3144
14
4155
15
51215805391058059215805591058059x dx x dx x dx x dx ----⎡⎤
==⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
本题已经达到2n-1=5。

故它是Gauss 公式。

三、试应用复合梯形公式计算积分
21
1
2I dx x
=⎰
要求误差不超过3
10-，并把计算结果与准确值比较。

解：复合梯形公式的余项为
()2
,()()
12
b n n a
b a R f T f x dx T h f η-''=-=-⎰
1
1()()2()2n n k k b a T f a f b f x n -=-⎡⎤=++⎢⎥
⎣⎦
∑,,0,1,2,
,k b a
x a kh h k n n -=+==
本题()12f x x =，()[]
()231,21
,max 1x f x M f x x ∈''''=== 本题余项为
()
[]22
21,221,()max ()121212
n x h h R f T h f f x η∈-''''=-≤=
要使()23
,1012
n h R f T -≤≤，得 0.109545h ≤，取0.1h = 得100.1
b a n h ==-2-1
=
于是有 101111112...0.346886210242 1.12 1.2
2 1.9I T ⎡⎤⎛⎫≈=+++++= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎣⎦ 检验： 43
10101ln 2 3.1211110102
I T T ---=-=⨯<
四、证明 若函数()[]1,f x C a b ∈，则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong 插值余项证明梯形求积公式的余项为
()()()()()()3
1212
b a
b a b a
R f f x dx f a f b f --''=-+=-η⎡⎤⎣⎦⎰
证明：不妨设一阶差商函数为[],f x a ，[]0,x a b ∀∈，有
[]()()()()()()()()()()[]000000000000000lim ,lim lim lim ,h h h h f x h f a f x h a x h a f x f h f a x h a f x f a f h f x f a f x a x h a
x h a x a ξξ→→→→+-⎛⎫
+= ⎪+-⎝⎭
'+-⎛⎫= ⎪+-⎝⎭
'--⎛⎫=+== ⎪+-+--⎝⎭
由0x 的任意性，可知一阶差商函数是连续函数。

由插值特点，显然有
()()()()()()()11
1
b b
a
a
R f f x L x dx f x N x dx =-=-⎰
⎰
线性插值的Newton 余项公式为
()()[]()()1,,f x N x f x a b x a x b -=-- 故有
()[]()()1,,b
a R f f x a
b x a x b dx =--⎰
由
[][][][][][][]
[]
000,,lim ,,lim lim ,,,,,,h h h f x h a f a b f x h a b x h b f x h a f a b f x a f a b f x a b x b x b
→→→⎛⎫
+-+= ⎪+-⎝⎭
+--===--
可知[],,f x a b 是变量x 在[],a b 上的连续函数，而函数
()()x a x b --在[],a b 上可积，不变号，根据积分中值
定理，存在(),a b ξ∈，使
()()()[]()()1
,,b b
a
a
f x N x dx f a b x a x b dx -=ξ--⎰⎰
由差商性质，存在[],a b η∈，使
[]()
,,2
f f a b ''ηξ=。

所以 ()()()()()()()()13
212
b
b
a a f f x N x dx x a x
b dx b a f η''-=---''=-η⎰⎰
结论得证。

五、导出中矩形公式
()()2b a
a b f x dx b a f +⎛⎫
≈- ⎪⎝⎭
⎰
的余项。

解：将
()f x 在
a b
x +=
处进行泰勒展开 []b a ,∈ξ。

对上式两边在[]b a ,上积分，有
中矩形公式的余项
()()()2
21'''2222b
M a b
b a
a a
b R f x dx b a f a b a b a b f x dx f x dx ξ+⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
+++⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎰⎰
⎰
()()()()()2
3
2
320'0;
221''22''''''2222324b
a b
a b a b a a b a b f x dx a b f x dx f f f b a a b x dx t ξηηη-++⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭+⎛
⎫- ⎪⎝
⎭-+⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝
⎭⎰
⎰⎰
()()[]3
'',,24
M f R b a a b ηη∴=-∈
六、设数值求积公式
1
()d ()
n
b
k k a
k f x x A f x =≈∑⎰
,
代数精度至少为n-1的充分必要条件是它为插值型求
积公式. 证:充分性.
设原式是插值型求积公式,则式中的求积系数
()b
k kn a
A l x dx =⎰
()1
1
1()()()
()()()n n
b n k k kn
k
a k k n b
b kn k n a a k I A f x l x dx f x l x f x dx L x dx =====⎛⎫
== ⎪⎝⎭
∑∑
⎰∑⎰⎰
余项为
()()()
()!
n b n n n a
f R f I I x dx n ξω=-=⎰
由知代数精度至少为n-1 必要性.
设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式()(1)r p x r n ≤-原式成立等号,特别地取
Lagrange 插值基函数()kn l x ,有
1
()(),1,2,
,n
b
kn j kn j a
j l x dx A l x k n ===∑⎰
因为
1,,
()0,.kn j i k l x j k =⎧=⎨≠⎩
所以
()b
k kn a
A l x dx =⎰
故原式为插值型求积公式.
七、令P(x)是n 次实多项式,满足
()0,0,
, 1.b
k a
P x x dx k n ==-⎰
证明P(x)在开区间(a,b )中有n 个实单根.
证明:因为()0b
a P x dx =⎰，所以P(x)在[a,
b ]上至少有一个零点。

若P(x)有k(≥1)个零点i x ，i=1,2,…,k 在[a,b ]上，则有
()12()()()
()()()k k P x x x x x x x g x Q x g x =---=
()0,()0
g x g x ><或，
12()()()
()k k Q x x x x x x x =---
1
1100
(),(1)k
k k i k k k i i Q x a x a x
a x a a x k n --==++
++=≤-∑
及()0,0,1,
,1
b
k a P x x dx k n ==-⎰，所以
()()()()0k
k
b
b
b
i
i k i i a
a
a
i i P x Q x dx P x a x dx a P x x dx =====∑∑⎰
⎰⎰
若零点个数1k n ≤-，有
2()()()()0b
b
k k a
a
P x Q x dx g x Q x dx =≠⎰
⎰
矛盾，因此k n ≥，即()P x 在[a,b ]至少有n 个零点,但P(x)是n 次实多项式，故k=n 。

八、已知点(,(),())a f a f a '和(,(),())b f b f b '，用该信息计算定积分()b
a f x dx ⎰。

解：记3()H x 为()f x 关于节点,a b 的Hermite 插值多项式：
30101()()()()()()()()()H x h x f a h x f b g x f a g x f b ''=+++
()()()()30
1
1
()()()()()()
()()()()
b b b b
a
a
a
a
b
b
a
a
f x dx H x dx h x dx f a h x dx f b
g x dx f a g x dx f b ≈=
+''++⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
2
0()122b
b
a a x a x
b b a h x dx dx b a a b ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
⎰⎰ 2
1()122b
b
a a x
b x a b a h x dx dx b a b a ---⎛
⎫⎛⎫=+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
⎰⎰ ()()2
2
0()12b
b
a a
b a x b g x dx x a dx a b --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭
⎰
⎰
()()2
2
1()12b
b
a
a b a x a g x dx x b dx b a --⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭
⎰
⎰
所以有
误差为
九、验证Gauss 型求积公式
00110
()()()x e f x dx A f x A f x +∞
-≈+⎰
求积系数及节点分别为
0A =
1
A =
, 02x =
，12x =+。

解：因为上述Gauss 型求积公式的代数精度为3，所以对()231,,,f x x x x =进行检验即可
010
1x
e dx A A +∞
-=+=⎰ 00110
1
x xe dx x A x A +∞
-=+=⎰
. . .
.. .. 222001102x x e dx x A x A +∞
-=+=⎰
333001106x x e dx x A x A +∞
-=+=⎰
将如下两组分别代入，可知
0A =
1A =
02x =
12x = 满足方程。