高等数学第六版课后全部答案

习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为

μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达:

(1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y .

解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y)

曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为

I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds .

L L

ww

w. kh d

∫L ∫L

和L2, 则

2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1

∫L f (x, y)ds =∫L

n

课

x=

M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds

μ(x, y)ds

后

曲线 L 的重心坐标为

1

f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .

L2

证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi +i =1 i =1 n n1

n1

答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限λ→0 λ→0．

lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim

i =1 i =1

即得

∫L f (x, y)ds =∫L

1

f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .

L2

3. 计算下列对弧长的曲线积分:

aw

i = n1 +1

曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为

案

∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi ,

n

n1

λ→0．

.c o

i = n1 +1

为小弧段 ds 上任一点.

网

m

(1) ∫ ( x2 + y 2 )n ds , 其中 L 为圆周 x=acos t , y=asin t (0≤t≤2π);

L

解

∫L (x2 + y2)n ds = ∫0

2π 0 2π

2π

(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt

= ∫ (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt

L

y=1x (0≤x≤1); 的方程为 L 解．

1

ww

w. kh d

1 1

课

= ∫ x 1+[(x2 )′]2 dx +∫ x 1+ ( x′)2 dx

1

后

∫L xdx = ∫L xdx + ∫L

xdx

1

2

= ∫ x 1+ 4x 2 dx +∫ 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12

x2 + y2 L

(4) ∫ e

ds , 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;

解 L=L1+L2+L3, 其中

L1: x=x, y=0(0≤x≤a),

L2: x=a cos t, y=a sin t (0 ≤ t ≤π ) , 4 L3: x=x, y=x (0 ≤ x ≤ 2 a) ,

2

因而

∫L e

a 0

x2 + y2

ds = ∫ e

L1

x2 + y 2

ds + ∫ e

L2

= ∫ e 1 + 0 dx + ∫

x 2 2

π

4 ea 0

(a sin t) + (a cos t) dt + ∫

2 2

aw

x2 + y2

答

解 L1: y=x2(0≤x≤1), L2: y=x(0≤x≤1) .

案

(3) ∫ xdx , 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;

L

网

∫L (x + y)ds = ∫0 (x +1 x)

1

1+[(1 x)′]2 dx = ∫ ( x +1 x) 2dx = 2 .

ds + ∫ e

L3

= ea (2 + π a) 2 . 4

.c o

1 x

2 + y2

(2) ∫ (x + y)ds , 其中 L 为连接(1, 0); 两点的直线段(0, 1)及ds , 0

2a 2 e 2x

12 +12 dx

m

= ∫ a 2n+1dt = 2πa 2n+1 . (5) ∫Γ．

1 ds , 其中Γ为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从 0 变