结构的稳定计算全解

ε＝ 0
0.8
FPcr kl
θ
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
17
A
0.0
分析结论
• 结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。
• 当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷 载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。
• 非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。 实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说 失稳都属于第二类失稳。
10
§16.2 有限自由度体系的临界荷载
确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目 称为体系失稳的自由度。 FP FP
EI= k
FP
EI=
EI= EI=

k
DOF = 1
DOF = 2
DOF =
11
主要计算方法： 静力法——根据临界状态的静力特征（即平衡形式 的二重性），寻找平衡路径交叉的分支 点，可精确得到理论上的临界荷载值。 能量法——依据能量特征来确定体系失稳时临界荷 载。体系取得平衡的充要条件是任意可 能位移和变形均使势能取得驻值。
3
结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不 稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的 情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。 第一类失稳（分支点失稳） 结构的失稳类型 第二类失稳（极值点失稳）
4
第一类失稳的基本特征 结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支 点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载， 称分支点失稳。 FP FP FP < FPcr时，杆件仅产生压 缩变形。轻微侧扰，杆件微 II 不稳定 弯；干扰撤消，状态复原 FPcr 0 （平衡路径唯一）。
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(1) 大挠度理论
FP sinε cosθ ε 1 kl sin θ ε
求极值点处的临界荷载
d FP 0 d
FP/kl
1.00 0.695 0.536
sin ( θ) sin
2 3 FPcr 3 (1 sin ) 2 kl
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一、静力法
在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程， 并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。
1、单自由度完善体系的分支点失稳 FP FP FR MO 0 B B k k x F lsin θ F
EI1=
P
R
lcosθ 0
FR kΔ klsin θ
q FP FP
他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的 性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。
8
扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征 当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构 翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值 点失稳（跳跃屈曲）。 FP
Δ f
FP
FPcr
O

l
l
由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题
9
稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变 形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平 衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析 过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类 稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都 必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超 过临界状态之后的后屈曲平衡状态。
14 结构的稳定计算
1
§16.1 两类稳定问题概述
结构中的某些受压杆件， 当荷载逐渐增大时，除 了可能发生强度破坏外， 还可能在材料抗力未得 到充分发挥之前就因变 形的迅速发展而丧失承 载能力，这种现象称失 稳破坏，其相应的荷载 称为结构的临界荷载。 压杆的实际承载能力应 为上述两种平衡荷载中 的最小者。
2
所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。
球在三个位置都能 处于平衡，但受到 干扰后表现不同：
如小球受到干 扰后仍能恢复 到原先的平衡 位置，则称该 状态为 稳定平衡 如小球受到干 扰后可停留在 任何偏移后的 新位置上，则 称该状态为 随遇平衡 如小球受到干 扰后失去回到 原先的平衡位 置的可能性， 则称该状态为 不稳定平衡
FP

FPcr
O
非完善体系

初始缺陷使得开始加载杆件 便处于微弯状态，挠度引起 附加弯矩。随荷载增加侧移 和荷载呈非线性变化，且增 长速度越来越快。荷载达到 一定数值后，增量荷载作用 下的变形引起的截面弯矩的 增量将无法再与外力矩增量 相平衡，杆件便丧失原承载 能力。
7
l
发生第二类失稳的情况：
FP FP
2、单自由度非完善体系的极值点失稳
FP F R
B k k
FP B
MO 0
FP lsin ( θ ) FR l cos( θ) 0
x
l

A


l
FR kl sin θ ε sin ε
y
O A
Hale Waihona Puke sinε FP klcos θ ε 1 sin θ ε
• 第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到 一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比 较复杂，但却是精确解。

FP klcosθ lsinθ 0
第一解： θ 0
l
A
O A y
第二解： FP klcos
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FP II 不稳定
FPcr
大、小挠度理论 临界荷载相同
FP kl FP klcos

(2) 小挠度理论 (1) 大挠度理论 临界荷载：
I 稳定
θ0
FPcr kl
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1 3
ε＝0
FP/kl
0.695 0.536 0.415
ε＝ 0
θ
0.38 0.42 1.37 1.47 1.57 0.1 0.2 0.3
ε
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O
(2) 小挠度理论
ε FP kl 1 kl θ ε θε
FP B
FP/kl
1.0
ε＝ 0
k


l
0.6 0.4 0.2

l
I 稳定 O
0
完善体系

FP ≥FPcr时，杆件既可保持 原始的直线平衡状态，又可 进入弯曲平衡状态（平衡路 径不唯一）。
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发生第一类失稳的还有：
q
FP
FP
他们的共同特点是从加载到失稳过 程中结构变形的性质发生突变，产 生了两种性质截然不同平衡路径。
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第二类失稳的基本特征 是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。 失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点， 该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。 FP