动力系统的混沌性及复杂性研究

动力系统的混沌性及复杂性研究

混沌行为主要表现为对初值的敏感依赖性和长期行为不可预测性.混沌的理论研究已成为非线性科学的主要课题之一.很多学者在混沌研究中做了大量有意义甚至是开创性的工作,促使混沌理论在生物学、信息学、经济学等诸多领域中得到了广泛的应用.在混沌理论的发展过程中,学者们提出了很多种混沌的定义,传递属性(传递性、弱混合与混合)和敏感性.为了更好的研究混沌,弄清楚各种混沌之间的关系、各传递属性与各混沌概念之间的关系以及发生各种混沌的条件是十分必要的.这些问题也一直是人们研究的热点问题.另一方面,许多其他领域,诸如经济系统或生物系统的模型中也体现出了混沌特性.混沌理论的研究为这些领域的发展提供了重要的理论依据,比如生物系统和经济系统中有很多具体模型,都是以混沌为理论依据.在拓扑动力系统的研究中,可以按照不同的方式生成相对应的动力系统,如迭代系统,逆极限系统,超空间系统(又称为集值映射动力系统),概率测度空间系统以及g-模糊化系统.这样很多混沌的理论又可以拓展到

这些动力系统中,从而更好的研究这些系统的复杂性.考察原系统的混沌性质与其相应的生成系统的混沌性质以及各种生成系统之间的联系一直贯穿于整个拓扑动力系统的研究之中.同时也有学者用族的观点来研究动力系统,把一般动力系统上的一些混沌定义拓展到族.这使得混沌理论的发展有了更广的范围.本文的主旨是研究动力系统的混沌性和复杂性.主要内容分为三部分.第一部分,研究几种不同系统的混沌性.第二部分,研究几种不同系统的复杂性.第三部分,作为混沌理论的一个应用,研究了拉弗曲线的混沌性,用数值模拟分析了模型的动力性质.具体的说：第一章绪论部分,主要介绍了本文研究的问题的研究背景及国内外发展现状和本文所做的主要工作.第二章介绍了动力系统的基本定义和基本结

果,混沌的几种不同的定义以及它们之间的关系和Furstenberg族上混沌的几种定义.第三章研究了几种不同系统的混沌性,分三部分：1.在紧致度量空间中,证明了具有排斥周期点的传递系统是Kato混沌的,从而由已有的结论得到此系统也是强Li-Yorke混沌的,是强按序列分布混沌的,是Ruelle-Takens混沌的,是Martelli混沌的.证明了弱混合系统是强Kato混沌的,自然也是上述几种混沌的.说明弱混合的条件强于排斥周期点+传递.2.参照度量空间中混沌的定义,在离散时空系统中给出混沌的定义,并得到耦合映射格子在其测度中心上是分布混沌的一个充分条件.3.研究了urstenberg族上的混沌性质.证明了两个时变系统在一致拓扑等共轭下((?)1,(?)2)。混沌性和(?)-敏感性(敏感性,多重敏感性)是保持的,并举例说明在拓扑共轭下Li-Yorke混沌,分布混沌和按序列分布混沌是不保持的.第四章研究了几种不同系统的复杂性,分三部分：1.由有限型区间连续自映射建立了限制到非游荡集上的区间映射与有限型子移位的拓扑共轭,证明它们各自诱导的集值映射也是拓扑共轭的,又证明区间映射限制在非游荡集上所诱导的集值映射是双重遍历的,从而得到有限型子移位诱导的集值映射是双重遍历的.2.在上半连续模糊集空间中研究了Zadeh-扩张的链性质和Li-Yorke敏感性,证明了原系统有链回归性(链混合性,跟踪性,h-跟踪性)等价于Zadeh-扩张有链回归性(链混合性,有限跟踪性,h-跟踪性).证明了如果Zadeh-扩张是Li-Yorke敏感的,则原系统是时空混沌的.3.证明了迭代函数系统是链传递的(链混合的,传递的)当且仅当关于迭代函数系统的step skew product是链传递的(链混合的,传递的).作为应用,得到具有(渐近)平均跟踪性质的迭代函数系统是链混合的,从而改进了结论[1,定理2.1].第五章作为混沌理论的一个应用,在区间上研究了

拉弗曲线(Laffer curve)的混沌性,通过计算得到拉弗曲线(Laffer curve)是拓

扑混沌(分布混沌、ω-混沌、Martelli混沌、Devane y混沌)的范围.用数值模拟分析了模型的动力性质.。