与名师对话2019届高三数学(文)一轮课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练49含解析

课时跟踪训练(四十九)

[基础巩固]

一、选择题

1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率

为

2

2，则该椭圆的方程为()

A.

x2

16＋

y2

12＝1 B.

x2

12＋

y2

8＝1

C.

x2

12＋

y2

4＝1 D.

x2

8＋

y2

4＝1

[解析]因为焦距为4，所以c＝2，离心率e＝

c

a＝

2

a＝

2

2，∴a＝

22，b2＝a2－c2＝4，故选D.

[答案] D

2．曲线x2

25＋y2

9＝1与曲线

x2

25－k

＋

y2

9－k

＝1(k<9)的()

A．长轴长相等B．短轴长相等

C．离心率相等D．焦距相等

[解析]c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两条曲线的焦距相等．

[答案] D

3．(2018·河南开封开学考试)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()

A．(0，＋∞) B．(0,2)

C．(1，＋∞) D．(0,1)

[解析] ∵方程x 2

＋ky 2

＝2，即x 22＋y 2

2k

＝1表示焦点在y 轴上的椭

圆，∴2

k >2，故0

[答案] D

4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2

＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )

A ．[－1,1]

B ．[－1,0]

C ．[0,1]

D ．[－1,2]

[解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→

＝(－

1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x

22∈[0,1]，故

选C.

[答案] C

5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4

5，则C 的离心率为( )

A.35

B.57

C.45

D.67

[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝4

5.解得x

＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，

∴c a ＝5

7. [答案] B

6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )

A.x 225＋y 2

5＝1 B.x 230＋y 2

10＝1 C.x 236＋y 2

16＝1

D.x 245＋y 2

25＝1

[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.

由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.

在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝

|FF ′|2－|PF |2＝

(45)2－42＝8.由

椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2

－c 2

＝62

－(25)2

＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 2

16＝1，故选C.

[答案] C 二、填空题

7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．

[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝

1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y

23＝1.

[答案] x 24＋y 2

3＝1

8．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 2

4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．

[解析] 由x 216＋y 2

4＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．

∵圆经过椭圆x 216＋y 2

4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上， ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，

设圆的圆心为(x,0)，则x 2

＋4＝4－x ，解得x ＝3

2，∴圆的半径为

52，

所求圆的方程为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x －322＋y 2＝254.

②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时， 同理可得圆的方程为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x ＋322＋y 2＝254. [答案] ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ±322＋y 2＝25

4 9．从椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2

a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－

b a ＝－b

2

ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2

＝2c 2

，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.

[答案] 2

2 三、解答题

10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2

＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.

(1)求曲线Γ的方程；