与名师对话2019届高三数学(文)一轮课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练49含解析

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与名师对话高三文科数学第一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程

B．4
课
后
C．1 或 3
D．1 或 4
跟踪
训
核
[解析] 因为过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率为 1，练
心
考点突破
所以4m－＋m2＝1，解得 m＝1.故选 A.
第25页
第9章第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
考点二直线的方程
基
础
【例 2】根据所给条件求直线的方程：
课后
跟
数 k＝tanα 的单调性，当 α 取值在0，π2，即由 0 增大到π2α≠π2
踪训练
核
心考点突
时，k 由 0 增大到＋∞，当 α 取值在π2，π时，即由π2α≠π2增
破大到 π(α≠π)时，k 由－∞增大到 0.
第22页
第9章第1节
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基
础
知识
[解析] (1)直线 xsinα－y＋1＝0 的斜率是 k＝sinα，
回
顾
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
课后
跟
当 0≤k≤1 时，倾斜角的范围是0，π4，
踪训练
核
心考点突
当－1≤k<0 时，倾斜角的范围是34π，π.故选 D.
破
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第9章第1节
第27页
第9章第1节
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基
础知识回
(2)由题设知纵、横截距不为 0，设直线方程为ax＋12－y a＝
顾 1，

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第3讲(含答案解析)

[学生用书P260(单独成册)]一、选择题1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A ．上半圆 B ．下半圆 C ．圆D ．抛物线解析：选A ．由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆． 2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A ．因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝22．所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8．故选A ．3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B ．圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1．4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D ．由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2．又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1，0)，B (0，1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0．求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2．故满足条件的点P 有2个，选C ．6．已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，△P AB 的面积的最大值为8，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．要使△P AB 的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大．由于AB 的方程为y ＝0，圆心(0，3)到直线AB 的距离为d ＝3，故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a ．再根据AB ＝4，可得△P AB 面积的最大值为12·AB ·(3＋a )＝2(3＋a )＝8，所以a ＝1，故选A ．二、填空题7．已知动点M (x ，y )到点O (0，0)与点A (6，0)的距离之比为2，则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________．解析：依题意可知|MO ||MA |＝2，即x 2＋y 2（x －6）2＋y 2＝2，化简整理得(x －8)2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆．所以其面积为S ＝πR 2＝16π．答案：16π8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4．答案：3π49．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．答案：(x －2)2＋(y －1)2＝510．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k >0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25，解得0<k ≤6．答案：(0，6] 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40． 12．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C (2，7)，半径r ＝22．(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切时，b 有最大或最小值．所以|2＋2×7－b |12＋22＝22，所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去)，所以m ＋2n 的最大值为16＋210． (2)设n －3m ＋2＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2，3)所在直线的斜率，所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时，k 有最大、最小值，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22，解得k ＝2＋3或k ＝2－3．所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3．1．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值； (3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5．因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85．(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165． 2．在△OAB 中，已知O (0，0)，A (8，0)，B (0，6)，△OAB 的内切圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，P 是圆上一点．(1)求点P 到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2)若S ＝|PO |2＋|P A |2＋|PB |2，求S 的最大值和最小值．解：(1)由题意得圆心(2，2)到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离d ＝|4×2＋3×2＋11|42＋32＝255＝5>2，故点P 到直线l 的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3．(2)设点P 的坐标为(x ，y )，则S ＝x 2＋y 2＋(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＝3(x 2＋y 2－4x －4y )－4x ＋100＝－4x ＋88，而(x －2)2≤4，所以－2≤x －2≤2，即0≤x ≤4，所以－16≤－4x ≤0，所以72≤S ≤88，即当x ＝4时，S min ＝72，当x ＝0时，S max ＝88．。

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何章末总结(含答案解析)

章末总结双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．P42A组T7一、选择题1．(必修2 P110B组T5改编)已知A(1，2)，B(3，4)，点P在x轴的负半轴上，O为坐标原点，若△P AB的面积为10，则|OP|＝()A．9B．10C．11 D．12解析：选C．设P(m，0)(m<0)，P到直线AB的距离为d，因为|AB |＝（3－1）2＋（4－2）2＝22，由S △P AB ＝10得12×22×d ＝10．所以d ＝52．又直线AB 的方程为x －y ＋1＝0，所以|m ＋1|2＝52．解得m ＝－11或m ＝9(舍去)，所以|OP |＝|m |＝11．选C ． 2．(必修2 P 133A 组T 8改编)Rt △ABC 中，|BC |＝4，以BC 边的中点O 为圆心，半径为1 的圆分别交BC 于P ，Q ，则|AP |2＋|AQ |2＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选D ．法一：特殊法．当A 在BC 的中垂线上时，由|BC |＝4，得|OA |＝2．所以|AP |2＋|AQ |2＝2|AP |2＝2(12＋22)＝10．选D ．法二：以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则B (－2，0)，C (2，0)，P (－1，0)，Q (1，0) 设A (x 0，y 0)，由AB ⊥AC 得 y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－1．即x 20＋y 20＝4．所以|AP |2＋|AQ |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20 ＝2(x 20＋y 20)＋2＝2×4＋2＝10．即|AP |2＋|AQ |2＝10．故选D ． 3．(选修1-1 P 35例3改编)如图，AB 是椭圆C 长轴上的两个顶点，M 是C 上一点，∠MBA ＝45°，tan ∠MAB ＝13，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．32 C ．33D ．63解析：选D ．以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则直线MA ，MB 的方程分别为y ＝13(x ＋a )，y ＝－x ＋a ．联立解得M 的坐标为⎝⎛⎫a 2，a 2，所以⎝⎛⎭⎫a 22a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22b 2＝1，化简得a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，所以c 2a 2＝23，所以c a ＝63．故选D ．4．(选修1-1 P 61例4改编)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |＝( )A ．8B ．9C ．10D ．12解析：选B ．设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，且设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α．则BE ＝m |cos α|，所以AD ＝AF ＝AB －BF ＝AB －BE ＝m (1－|cos α|)，所以|cos α|＝AD AC＝m （1－|cos α|）2m ．解得|cos α|＝13．由抛物线焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝81－19＝9．故选B ．或：由|cos α|＝13得tan α＝±22．所以直线l 的方程为y ＝±22(x －2)，代入y 2＝8x 得 8(x 2－4x ＋4)＝8x ，即x 2－5x ＋4＝0．所以x A ＋x B ＝5，则|AB |＝x A ＋x B ＋4＝9．故选B ．二、填空题5．(选修1-1 P 54B 组T 1改编)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0的双曲线方程为__________________．解析：由于椭圆x 249＋y 224＝1的焦点为(±5，0)，所以可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以a 2＋b 2＝25．① 由渐近线方程4x ＋3y ＝0得 b a ＝43，② 联立①②解得a ＝3，b ＝4，故双曲线方程为x 29－y 216＝1．答案：x 29－y 216＝16．(选修1-1 P 68A 组T 5改编)已知α∈(0，π)，若曲线C ：x 2＋y 2 cos α＝1的离心率为22，则α＝________．解析：由题意知，曲线C 为椭圆，所以cos α∈(0，1)，且C 的焦点在y 轴上．所以a 2＝1cos α，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1cos α－1．由e ＝22得c 2a 2＝12，即1cos α－11cos α＝12．所以cos α＝12，所以α＝π3．答案：π3三、解答题7．(选修1-1 P 36练习T 3改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，过F 1的直线交椭圆于E ，F 两点，且△EFF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆的左，右顶点，若直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点Q 是椭圆上异于A ，B 的一个动点，直线AQ 交l 于点M ，过点M 垂直于QB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．解：(1)由椭圆的定义知|EF 1|＋|EF 2|＝2a ，|FF 1|＋|FF 2|＝2a ，又已知△EFF 2的周长为8，所以4a ＝8，故a ＝2．又e ＝c a ＝22，故c ＝2，所以b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1．(2)由题意A (－2，0)，B (2，0)，直线l ：x ＝2，显然直线AQ 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线AQ 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），可得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x ＝2，可得点M (2，4k )．又B (2，0)，则k BQ ＝4k2k 2＋12－4k22k 2＋1－2＝－12k ，所以k m ＝2k ，故直线m 的方程为y －4k ＝2k (x －2)，即y ＝2kx ，所以直线m 过定点(0，0)．8．(选修1-1 P 64A 组T 2(1)、P 41练习T 3(1)改编)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32． (1)分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；(2)经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，切线l 1与l 2相交于点M ．证明：AB ⊥MF ．解：(1)由已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，可得抛物线C 的方程为x 2＝4y ．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ．由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)证明：显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不符合题意．故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 并整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1x 2＝－4．因为抛物线C 的方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，所以过抛物线C 上A ，B 两点的切线方程分别是y －y 1＝12x 1(x －x 1)，y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 1x －14x 21，y ＝12x 2x －14x 22，解得两条切线l 1，l 2的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24，即M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－1，所以FM →·AB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 21)－2⎝⎛⎭⎫14x 22－14x 21＝0．所以AB ⊥MF ．。

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练53

课时跟踪训练(五十三)[基础巩固]一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则F A →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－810＝－45.故选D.[答案] D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2(k 2＋2)k 2＝3.解得k ＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案] B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝4xC ．y 2＝±8xD ．y 2＝8x[解析] ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4.∵直线l 与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C.[答案] C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OF A ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若F A →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵F A →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66，∴|AB |＝(1＋3)2＋(26＋66)2＝20.故选A. [答案] A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析]如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H . 根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则 ∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°，所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案] C7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为__________．[解析] 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.[答案] 2 二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2psin 2α＝2×2sin 245°＝8. [答案] 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝P A →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)， ∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，P A →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝P A →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.[答案] 15 三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解] (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4. ∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升]11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，令y ＝0，得x ＝ky 0＋x 0，即a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得ky 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案] A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析] 根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2. 又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c2.∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－(a ＋c )24＝2，∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2. [答案] 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)， ∴直线l 的方程为y ＝x －1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x得y 2－4ky －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． [解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[延伸拓展]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． [解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时， l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2. ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第6讲(含答案解析)

[学生用书P268(单独成册)]一、选择题1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A ．2．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B ．3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32解析：选D ．法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32．故选D ．法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32．故选D ．4．(2017·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1解析：选D ．由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，ba ＝tan 60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a＝1，b ＝3，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1．5．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5解析：选B ．因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，故c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102．6．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4C ．13D ．15解析：选C ．由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ， |AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2， |AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，因为|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，所以a ＝k ，所以|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a ，又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝13．二、填空题7．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为____________．解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1．答案：x 24－y 212＝18．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169．又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53．答案：539．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1．又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2．答案：210．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为________．解析：由题可知，|PM |2－|PN |2＝ (|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝ (|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝ 2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13．答案：13 三、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且点(4，－10)，点M (3，m )都在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)因为e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ．因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6．所以双曲线方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：设F 1(－23，0)，F 2(23，0)，则MF 1→＝(－23－3，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )．所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2 ＝－3＋m 2，因为M 点在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0，所以MF 1→·MF 2→＝0．(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43．由(2)知m ＝±3．所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6．12．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3．(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，所以一条渐近线方程为y ＝b23x ．即bx －23y ＝0．所以|bc |b 2＋12＝3．所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0．将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12．所以⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第7讲(含答案解析)

[学生用书P269(单独成册)]一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B ．抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a．故选B ．2．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝8xC ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义， x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2，所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x ．故选B ．3．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．y ＝2x 2D ．y ＝－2x 2解析：选B ．因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)，设标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，所以p ＝1，所以所求抛物线方程为y 2＝2x ，故选B ．4．设抛物线 y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3D ．16解析：选B ．如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°．又AP ∥MF ，所以∠P AF ＝60°．又|P A |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形．故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8．5．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．⎝⎛⎭⎫14，1解析：选D ．如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PP ′|≥|AA ′|，即当P 点为AA ′与抛物线交点时， |P A |＋|PF |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫14，1．故选D ．6．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4．二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P＝±22，所以P ⎝⎛⎭⎫14，±22．答案：⎝⎛⎭⎫14，±228．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ， AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2．又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6．答案：69．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线 x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为|P A |＝12|AB |，所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53．答案：5310．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠F AC ＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1．答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2．所以抛物线方程为y 2＝4x ． (2)因为点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34．所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．1．如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为 x ＝my ＋1．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24．所以直线AB 的斜率是±22．(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1，2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ．则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4．由 ①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．。

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练48

课时跟踪训练(四十八)[基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( )A. B. C ．4 D ．33053223[解析]　由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝，则10圆心到直线的距离d ＝＝，所以弦长为2＝2|1－9＋3|12＋(－3)2102r 2－d 2＝.10－10430[答案]　A2．(2017·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋)和圆3C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. C.或0 D.或03333[解析]　因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝＝1，|－1＋k |＝，解得k ＝0或k ＝，故选|－1＋3k |1＋k 231＋k 23D.[答案]　D3．(2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝”的( )2A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]　依题意，注意到|AB |＝＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O2到直线l 的距离等于，即有＝，k ＝±1.因此，“k ＝1”是221k 2＋122“|AB |＝”的充分不必要条件，选A.2[答案]　A4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为( )A ．49πB ．36πC ．7πD ．6π[解析]　圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C (a,1)到直线y ＝ax 的距离为＝，解得a 2＝7，所以|a 2－1|a 2＋132a 2－1圆C 的面积为π()2＝6π，选D.a 2－1[答案]　D5．(2018·河北省定兴三中月考)圆O ：x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( )A. B. C ．2 D ．25656[解析]　由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0.又圆心O (0,0)到公共弦所在直线2x ＋y －15＝0的距离为＝3，则两圆的公共弦长为2＝2.故选C.|－15|22＋12550－(35)25[答案]　C6．(2017·宁夏银川九中五模)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A. B. C. D ．222266[解析]　圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，为半径的圆．由题意可得，直线2l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝＝，所以|－2－2＋3|212直线m 被圆C 所截得的弦长为2＝.故选C.2－126[答案]　C二、填空题7．(2017·四川新津中学月考)若点P (1,1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__________．[解析]　圆心为C (3,0)，直线PC 的斜率k PC ＝－，则弦MN 所12在直线的斜率k ＝2，则弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案]　2x －y －1＝08．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝__________.[解析]　圆C 1和圆C 2的标准方程分别为(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3和2.＝5，解得(m ＋1)2＋(m ＋2)2m ＝2或m ＝－5.[答案]　2或－59．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．[解析]　直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过定点(2，－1)，当点(2，－1)为圆和直线的切点时，圆的半径最大，此时r ＝＝，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1－2)2＋(0＋1)22[答案]　(x －1)2＋y 2＝2三、解答题10．直线l 的方程为mx －y ＋m ＋2＝0(m ∈R )，圆O 的方程为x 2＋y 2＝9.(1)证明：不论m 取何值，l 与圆都相交；(2)求l 被圆截得的线段长的最小值．[解]　(1)证明：证法一：圆心O 到l 的距离为d ＝，圆|m ＋2|1＋m 2O 的半径长为3.若l 与圆相交，则有<3⇔(m ＋2)2<9(1＋m 2)|m ＋2|1＋m 2⇔8m 2－4m ＋5>0⇔82＋>0，(m －14)92显然82＋>0(对任意的m )总成立，(m －14)92<3总成立，|m ＋2|1＋m 2∴不论m 取何值，l 与圆都相交．证法二：把l 的方程变为y －2＝m (x ＋1)，∴不论m 取何值l 总过点A (－1,2)．∵A 在圆O 的内部，∴不论m 取何值，l与圆都相交．(2)结合图形易见，当l ⊥OA 时，l 被圆截得的线段长最小，∵OA ＝＝，∴l 被圆截得的线段长的最小值为212＋225＝4.9－(5)2[能力提升]11．(2017·福建宁德市一模)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，则圆C 中以为中点的弦的长为( )(a 4，－a4)A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]　因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，所以直线3x －ay －11＝0过圆心C (1，－2)，所以3＋2a －11＝0，解得a ＝4，所以＝(1，－1)．又点(1，－1)(a 4，－a4)与圆心C (1，－2)之间的距离d ＝＝1，圆(1－1)2＋(－1＋2)2C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的半径r ＝，5所以圆C 中以为中点的弦的长为(a 4，－a 4)2＝2×＝4.故选D.r 2－d 25－112．(2017·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线＋x 4＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，y 2则直线AB 经过定点( )A. B.(12，14)(14，12)C.D.(34，0)(0，34)[解析]　因为点P 是直线＋＝1上的一动点，所以设x 4y 2P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是，且半径的平方r 2＝(2－m ，m 2)，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋2＝(4－2m )2＋m 24(y －m 2)，①(4－2m )2＋m 24又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由Error!得Error!所以直线AB 过定点.故选B.(14，12)13．(2017·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.[解析]　由题意，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝＝，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直|－k －2＋1－k |k 2＋15线ax ＋y －1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝.12[答案]　1214．(2017·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且＝2，则直线l 的方程为____________________．BM → MA → [解析]　解法一：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与x 2＋y 2＝5联立，消去x 并整理可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(1－x 2，－y 2)，＝(x 1－1，y 1)，BM → MA → y 1＋y 2＝－，①2mm 2＋1y 1y 2＝－.②4m 2＋1因为＝2，所以－y 2＝2y 1，③BM → MA →联立①②③，可得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以y 1>0，则m ＝1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.解法二：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，即x －my －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝.11＋m 2又＝2，且|OM |＝1，圆x 2＋y 2＝5的半径r ＝，BM → MA → 5＋＝2(－)，即3r 2－d 2|OM |2－d 2r 2－d 2|OM |2－d 2＝，|OM |2－d 2r 2－d 2所以9＝5－，解得m 2＝1，(1－11＋m 2)11＋m 2又点A 在第一象限，所以m ＝1，故直线l 的方程为x －y －1＝0.[答案]　x －y －1＝015．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.OM → ON → [解]　(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以<1.|2k －3＋1|1＋k 2解得<k <.4－734＋73所以k 的取值范围为.(4－73，4＋73)(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4(1＋k )1＋k 271＋k 2·＝x 1x 2＋y 1y 2OM → ON → ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝＋8.4k (1＋k )1＋k 2由题设可得＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为4k (1＋k )1＋k 2y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.16．(2018·河北衡水中学五调)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)．(1)若l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．[解]　(1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相切，∴圆心(3,4)到直线l 的距离等于半径，即＝2，解得k ＝，|3k －4－k |k 2＋134故直线l 的方程为y ＝(x －1)，即3x －4y －3＝0.34综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)∵直线与圆相交于两点，∴直线的斜率一定存在且不为0.设直线方程为kx －y －k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝.∵S △CPQ ＝d ×2＝d ·＝＝|2k －4|1＋k 2124－d 24－d 24d 2－d 4，∴当d ＝时，S △CPQ 取得最大值2.－(d 2－2)2＋42∴d ＝＝，解得k ＝1或k ＝7.|2k －4|1＋k 22故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.[延伸拓展](2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．[解析]　由题意知，圆心M (－a －3,2a )．因为圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，易知当Q 为线段OM 与圆M 的交点，PQ 与圆O 相切于点P 时，∠OQP 最大，且|OP |＝1，所以|OM |＝|OQ |＋|MQ |≤3，所以(a ＋3)2＋4a 2≤9，解得－≤a ≤0.65[答案]　[－65，0]。

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章平面解析几何课时跟踪训练46 Word版含解析

课时跟踪训练(四十六)[基础巩固]一、选择题1、(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a ∈R ,则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件[解析] ∵当a ≠0时,a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合,∴无论a取何值,直线l 1与直线l 2均不可能平行,当a ＝4时,l 1与l 2重合、故选D 、[答案] D2、(2017·江西南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A 、3x ＋4y ＋5＝0B 、3x ＋4y －5＝0C 、－3x ＋4y －5＝0D 、－3x ＋4y ＋5＝0[解析] 在所求直线上任取一点P (x ,y ),则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ,－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上,所以3x －4(－y )＋5＝0,即3x ＋4y ＋5＝0,故选A 、[答案] A3、(2017·山西忻州检测)在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( )A 、x ＋2y －4＝0B 、x －2y ＝0C 、2x －y －3＝0D 、2x －y ＋3＝0[解析] 因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称,所以直线l 的斜率为2,且直线l 过点(2,1),故选C 、[答案] C4、(2018·河北师大附中)三条直线l 1：x －y ＝0,l 2：x ＋y －2＝0,l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形,则k 的取值范围为( )A 、{k |k ≠±5且k ≠1}B 、{k |k ≠±5且k ≠－10}C 、{k |k ≠±1且k ≠0}D 、{k |k ≠±5}[解析] 三条直线围成一个三角形,则三条直线互不平行,且不过同一点,∴－k ±5≠0,且5×1－k －15≠0,∴k ≠±5且k ≠－10、故选B 、[答案] B5、若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限,则m 的取值范围是( )A 、{m |m <2}B 、⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m >32 C 、⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <－32 D 、⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<m <2 [解析]解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＝2m ＋1，2x ＋3y ＝m ，得x ＝2m ＋37,y ＝3m －621＝m －27、∵其交点在第四象限,∴2m ＋37>0,且m －27<0、解得－32<m <2、[答案] D6、两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行,则它们之间的距离为( )A 、4B 、21313 C 、52613D 、72010[解析] 由题意知,m ＝2,把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0,则两平行线间的距离为d ＝|1－(－6)|62＋22＝72010、[答案] D 二、填空题7、直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°,直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直,则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________、[解析] 直线l 1：3x －3y ＋23＝0,直线l 2：3x ＋y －23＝0,联立方程组可求得x ＝1,y ＝3、[答案] (1,3)8、直线2x －y －4＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π4所得直线的方程是________、[解析] 由已知得所求直线过点(0,－4),且斜率k ＝2＋tan45°1－2tan45°＝－3,故所求直线的方程为y ＋4＝－3x ,即3x ＋y ＋4＝0、[答案] 3x ＋y ＋4＝09、过点P (－4,2),且到点(1,1)的距离为5的直线方程为__________________、[解析] 当直线的斜率存在时,设直线的斜率为k ,则其方程为y －2＝k (x ＋4),即kx －y ＋4k ＋2＝0,由点到直线的距离公式得|k －1＋4k ＋2|k 2＋1＝5,解得k ＝125,此时直线方程为12x －5y ＋58＝0、当直线的斜率不存在时,x ＝－4也满足条件、综上可知所求直线方程为12x －5y ＋58＝0或x ＝－4、[答案] 12x －5y ＋58＝0或x ＝－4 三、解答题10、已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0,求满足下列条件的a ,b 的值、(1)l 1⊥l 2,且直线l 1过点(－3,－1)；(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等、 [解] (1)∵l 1⊥l 2,∴a (a －1)－b ＝0、又∵直线l 1过点(－3,－1),∴－3a ＋b ＋4＝0、故a ＝2,b ＝2、(2)∵直线l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在、 ∴k 1＝k 2,即ab ＝1－a 、又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b ＝b 、故a ＝2,b ＝－2或a ＝23,b ＝2、[能力提升]11、(2017·武汉调研)在直角坐标系中,过点P (－1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )A 、x －2y ＋5＝0B 、2x ＋y ＋4＝0C 、x －3y ＋7＝0D 、3x －y －5＝0[解析] 所求直线过点P 且与OP 垂直时满足条件,因为直线OP 的斜率为k OP ＝－2,故所求直线的斜率为12,所以所求直线方程为y －2＝12(x ＋1),即x －2y ＋5＝0,选A 、[答案] A12、(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点A ,B 的坐标分别是(－4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A 、(－2,4)B 、(－2,－4)C 、(2,4)D 、(2,－4)[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3),即3x ＋y －10＝0、同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3),∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)·(x ＋4),即x －3y ＋10＝0、联立得⎩⎨⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)、故选C 、[答案] C13、(2017·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0,c >0)恒过点P (1,m )且 Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c 的最小值为( )A 、92B 、94 C 、1 D 、9[解析] 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0,c >0)恒过点P (1,m ),所以a ＋bm ＋c －2＝0,又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,∴(4－1)2＋(－m )2＝3,解得m ＝0、∴a ＋c ＝2,则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥ 12⎝⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94,当且仅当c ＝2a ＝43时取等号,故选B 、 [答案] B14、过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2,求直线l 的方程、[解] 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1),由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4、∵|AB |＝2, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5k 3k ＋42＝2,整理,得7k 2－48k －7＝0,解得k 1＝7或k 2＝－17、因此,所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0、。

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练52

课时跟踪训练(五十二)[基础巩固]一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2[解析] 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由双曲线的方程可知a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，即c ＝2，所以右焦点为(2,0)，所以p 2＝2，p ＝4.[答案] B2．(2018·广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．9C ．10D ．18[解析] 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.由题意可得4＋p 2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p ＝10.[答案] C3．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[解析] 抛物线C 的焦点坐标为F (1,0)，PF ⊥x 轴，∴x P ＝x F ＝1.又∵y 2P ＝4x P ，∴y 2P ＝4.∵y P ＝kx P (k >0)，∴y P ＝2，∴k ＝x P y P ＝2.故选D.[答案] D4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3[解析] 解法一：依题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)，由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝23，选C.解法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |＝|MF |＝21－cos60°＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝23，选C.[答案] C5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6[解析] 由抛物线定义知|PF |＝|P A |，∴P 点坐标为(3，23)，所以A 点坐标为(－1,23)，AF 与x 轴夹角为π3，所以直线AF 的倾斜角为23π，选B.[答案] B6．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p >0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.[答案] C二、填空题7．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．[解析]由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时，当且仅当|AB|取得最小值．由抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，取得最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.[答案] 28．(2017·武汉市武昌区高三三调)已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝2|PF|，则△PKF 的面积为________．[解析]由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝2|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2，22m)(m>0)，则m2＋2＝4，解得m＝2，故△PFK的面积S＝4×22×2×12＝8.[答案]89．(2016·沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作P A⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.[解析]设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233，设P(x0，y0)，则x0＝±233，代入x2＝4y中，得y0＝13，从而|PF|＝|P A|＝y0＋1＝43.[答案]4 3三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．[解] (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43.∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. [能力提升]11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案] D12．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 如图，设圆的方程为x 2＋y 2＝R 2(R >0)，抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，A (m ，n )，∵抛物线y 2＝2px 关于x 轴对称，圆关于x 轴对称，且|AB |＝42，∴|y A |＝22，∴x A ＝y 2A 2p ＝4p .∵A 在圆上，∴16p 2＋8＝R 2.①由抛物线y 2＝2px 知，它的准线方程为x ＝－p 2， ∵|DE |＝25，∴R 2＝p 24＋5.②联立①②可解得p ＝4，∴C 的焦点到准线的距离为4.故选B.[答案] B13．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析] 解法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.解法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6.[答案] 614．(2017·山东潍坊期末)已知点A 为抛物线M ：x 2＝2py (p >0)与圆N ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2在第二象限的一个公共点，满足点A 到抛物线M 准线的距离为r .若抛物线M 上动点到其准线的距离与到点N 的距离之和的最小上值为2r ，则p ＝________.[解析] 圆N ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2的圆心N (－2,0)，半径为r .设抛物线x 2＝2py 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则|AN |＋|AF |＝2r . 由抛物线M 上一动点到其准线与到点N 的距离之和的最小值为2r ，即动点到焦点F 与到点N 的距离之和的最小值为2r ，可得A ，N ，F 三点共线，且A 为NF 的中点．由N (－2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 4，代入抛物线M 的方程可得，1＝2p ·p 4，解得p ＝ 2.[答案] 215．(2017·河北廊坊期末质量监测)我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里的明月和清泉都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C ：x 2＝y 的图象(如图)，过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线，两切线交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交C 于点N ，拖动点B 在C 上运动，会发现|NP ||NF |是一个定值，试求出该定值．[解] 由题意，得线段AB 是过抛物线x 2＝y 焦点F 的弦．过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两切线相交于P 点，则P 点在抛物线的准线上．下面给出证明：由抛物线C ：x 2＝y ，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，直线l ：y ＝kx ＋14.将直线l 的方程代入抛物线C 的方程x 2＝y ，得x 2－kx －14＝0.∴x 1x 2＝－14.①又∵抛物线C 的方程为y ＝x 2，求导得y ′＝2x ，∴抛物线C 在点A 处的切线的斜率为2x 1，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)；②抛物线C 在点B 处的切线的斜率为2x 2，切线方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)．③由①②③得y ＝－14.∴点P 的轨迹方程得y ＝－14，即点P 在抛物线的准线上．根据抛物线的定义知|NF |＝|NP |，∴|NP ||NF |是一个定值1.16．设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λP A →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．[解] (1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎨⎧x P ＝－2，y P ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1. 由PM →＝λP A →＋μPB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，即⎩⎨⎧ y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32(λ－μ)，解得⎩⎨⎧ λ＝(y 0＋2)29，μ＝(y 0－1)29，则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.[延伸拓展](2017·广西玉林陆川中学期末)从抛物线y 2＝4x 的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点．若直线AB 的倾斜角为π3，则P 点的纵坐标为( ) A.33 B.233 C.433 D ．2 3[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (－1，y )，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. ∵直线AB 的倾斜角为π3，∴4y 1＋y 2＝3，∴y 1＋y 2＝433. 切线P A 的方程为y －y 1＝2y 1(x －x 1)，切线PB 的方程为y －y 2＝2y 2(x －x 2)，即切线P A 的方程为y ＝2y 1x ＋12y 1，切线PB 的方程为y ＝2y 2x ＋12y 2.∴y 1，y 2是方程t 2－2yt ＋4x ＝0两个根，∴y 1＋y 2＝2y ＝433.∴y ＝233.故选B.[答案] B。

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章平面解析几何 9-4

所以圆心(cosβ，－sinβ)到直线 6xcosα－6ysinα＋1＝0 的距离 d＝|6cosαcosβ＋66sinαsinβ＋1|＝|－36＋1|＝13<1，故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心，故选 A.
(2)由圆的方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，即此圆的圆心为(1,1)，
半径为 1，
－6ysinα＋1＝0 与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1 的位置关系是
()
A．相交且不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切
D．相离
(2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则
实数 m 的取值范围为( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)
[答案] A
2．(2018·宁夏银川一中检测)直线 x＋y－2＝0 与圆(x－1)2＋ (y－2)2＝1 相交于 A，B 两点，则弦|AB|＝( )
23 A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 [解析] ∵圆心(1,2)到直线 x＋y－2＝0 的距离 d＝ 22，∴|AB| ＝2 12－ 222＝ 2.
所以圆心到直线 x ＋ my － 2 － m ＝ 0 的距离为 d ＝
|1＋m1－＋2m＋2 m|＝
1 1＋m2.
因为直线与圆相交，所以 1＋1 m2<1，
解得 m2>0，即实数 m 的取值范围为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
[答案] (1)A (2)D
判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程为含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
⇒
利用平面几何知识，在梯形ABCD中求|CD|

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练49

课时跟踪训练(四十九)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1D.x 28＋y 24＝1[解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[解析] c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等．[答案] D3．(2018·河南开封开学考试)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k >2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案] x 24＋y 23＝18．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上， ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. ②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝254 9．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案] 22 三、解答题10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标． [解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223. 于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)．代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1 [解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1.[答案] D13．(2017·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2018·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53.[答案] 5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2017·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b4a2，解得y 0＝b 2a .∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a ＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎪⎨⎪⎧2(x 1＋c )＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 代入得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b ＝27.[延伸拓展]1．(2017·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析] 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧ y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|P A |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||P A |＋|PB |＝4|P A |＋|PB |的最大值为22613. [答案] B2．(2017·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析] ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3. [答案] 43。

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第7讲(含答案解析)

[学生用书P269(单独成册)]一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B ．抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a．故选B ．2．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝8xC ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义， x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2，所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x ．故选B ．3．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．y ＝2x 2D ．y ＝－2x 2解析：选B ．因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)，设标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，所以p ＝1，所以所求抛物线方程为y 2＝2x ，故选B ．4．设抛物线 y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：选B ．如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°．又AP ∥MF ，所以∠P AF ＝60°．又|P A |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形．故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8．5．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．⎝⎛⎭⎫14，1解析：选D ．如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PP ′|≥|AA ′|，即当P 点为AA ′与抛物线交点时， |P A |＋|PF |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫14，1．故选D ．6．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4．二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝⎛⎭⎫14，±22．答案：⎝⎛⎭⎫14，±228．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2．又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6．答案：69．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线 x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为|P A |＝12|AB |，所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53．答案：5310．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠F AC ＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1．答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2．所以抛物线方程为y 2＝4x ． (2)因为点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34．所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．1．如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为 x ＝my ＋1．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24．所以直线AB 的斜率是±22．(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1，2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ．则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4．由 ①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．。

与名师对话高三文科数学第一轮复习第九章解析几何第八节抛物线(一)

练
第19页
第9章第8节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
(2)因为椭圆x42＋y32＝1 的右焦点 F 为(1,0)，所以p2＝1，解
得 p＝2，所以抛物线 y2＝4x 的准线方程为 x＝－1，如图所
基
名
础知
示，过 M 作抛物线的准线 l 的垂线 MA，垂足为 A，由抛物
师微
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
名
础
师
知
微
识
课
回顾
最新考纲：1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻
导学
画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定
义、几何图形、标准方程及简单几何性质；3.理解数形结合
核心
思想．
课后
考
跟
点
踪
突
训
破
练
第3页
第9章第8节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
名
础
师
知
微
识
课
回顾
应用抛物线定义的 2 个关键点
导学
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距
离相互转化．
核心
(2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离
课后
考
跟
点突破
|PF|＝|x0|＋p2或|PF|＝|y0|＋p2.
踪训练
(3)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物
导学
线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 x＝－a4.( × )

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章平面解析几何 9-6

[小题速练]
1．直线 y＝2x－1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系是(
)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
y＝2x－1 [解析] x92＋y42＝1 得 4x2＋9(2x－1)2＝36，即 40x2－36x－ 27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直线与椭圆相交，选 A.
[答案] D
本类型题目常见问题有：(1)过定点被定点平分的弦所在直线的方程；(2)平行弦中点轨迹；(3)过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”．这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
[跟踪演练] 1．(2018·合肥质检)已知椭圆 E：x42＋y22＝1，直线 l 交椭圆于
B.3x62 ＋2y72 ＝1
C.2x72 ＋1y82 ＝1
D.1x82 ＋y92＝1
[思路引导] 由题意可知 AB 的中点(1，－1)及直线 AB 的斜
率，可考虑“点差法”求解．
[ 解析 ] 设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，代入椭圆方程得
ax212＋by212＝1， ax222＋by222＝1，
＝33＋k44＋k2k2＝3 7 2，
∴17k4＋k2－18＝0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
考点三中点弦问题——常考点已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，
过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，
则 E 的方程为( )
A.4x52 ＋3y62 ＝1
(3)当 Δ<0，即 m<－3 2或 m>3 2时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．

与名师对话高三文科数学第一轮复习第九章解析几何第七节双曲线

D．8 2
踪训
练
核心
[解析] 根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝4 2 ，
考
点突
|QF2|－|QF1|＝4 2，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝8 2，
破
∴|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋8 2＝14＋8 2.故选C.
第18页
第9章第7节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
2
核
A. 2
B．1
踪训练
心考
C． 2
D．2
点
突
破
第16页
第9章第7节
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高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知
识
回
顾
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x±y＝0，所以无论课
后
双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，都满足 a＝b，所以 c
跟踪
训
核心
＝ 2a，所以双曲线的离心率 e＝ac＝ 2.故选 C.
5．已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是
基础
双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为___9_____．
知
识
回
顾
[解析] 设双曲线的右焦点为 F2.
课后
|PF|＋|PA|＝2a＋|PF2|＋|PA|＝4＋|PF2|＋|PA|≥4＋|AF2|＝
跟踪训
基
础
知
识
回
顾
最新考纲：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方
课后
跟
程，知道它的简单几何性质；2.了解双曲线的实际背景及双

与名师对话2019届高三数学(文)一轮课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练49含解析

与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第九章 解析几何 第一节 直线与方程

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第3讲(含答案解析)

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何章末总结(含答案解析)

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练53

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第6讲(含答案解析)

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第7讲(含答案解析)

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练48

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练46 Word版含解析

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与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 9-4

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2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第7讲(含答案解析)

与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第九章 解析几何 第八节 抛物线(一)

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 9-6

与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第九章 解析几何 第七节 双曲线

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