集合与简易逻辑解答题-含答案

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第II 卷（非选择题）

1．；()()2:30q x x m +-≤, 若p 是q 的充分非必要条件，求实数m 的取值范围。

【解析】 ；()()2:30q x x m +-≤ 则可知2:13,:3P x q x m ≤≤-≤≤，又因为p 是q 的充分非必要条件，

考点：集合的关系

点评：主要是考查了集合的思想来判定充分条件的运用，属于基础题。

2．命题p ：函数2

()24f x x ax =++有零点；

命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数， 若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围．

【答案】2a ≤-

【解析】

试题分析：根据题意，由于命题p ：函数2()24f x x ax =++有零点；则可知判别式241602,2a a a ∆=-≥∴≥≤-或，对于命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数， 则可知3-2a>1，a<1,由于命题p q ∧是真命题，则说明p,q 都是真命题，则可知参数a 的范围是2a ≤-

考点：复合命题的真值

点评：主要是考查了方程的解以及函数单调性的运用，属于基础题。

3．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|||1B x x a =-<,U R =．

（1）当3a =时，求A B ；

（2）若U A C B ⊆，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）{}|34A B x x =≤<。 （2）02a ≤≤。 【解析】

试题分析：由题意得，{}

|31A x x x =≥≤-或，{}|11B x a x a =-<<+。 4分

（1）3a =时，{}|24B x x =<<， ∴{}|34A B x x =≤<。 8分

（2）因为U A C B ⊆，所以1311a a +≤-≥-且，解之得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是02a ≤≤。 14分

试卷第2页，总23页

考点：简单不等式的解法，集合的运算，不等式组的解法。

点评：中档题，讨论集合的关系、进行集合的运算，往往需要首先明确集合中的元素是什么，确定集合的元素，往往成为考查的一个重点。本题较为典型。

4．已知a >0且1≠a ，命题P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减； 命题Q ：曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于不同的两点.

如果“P\/Q ”为真且“P/\Q ”为假，求a 的取值范围.

【解析】 试题分析：解：0a > 且1a ≠

∴命题P 为真时⇔01a <<

命题P 为假时⇔ 1

a >

命题Q 为真时⇔ (

)22340,a ∆=-->

且0,1,a a >≠ 命题Q 且

1a ≠ 由“P Q ∨”为真且“P Q ∧”为假，知P 、Q 有且只有一个正确。

（1）：P 正确，且Q

不正确⇔

（2）

：P 不正确，且Q 正确⇔

综上，a

考点：命题

点评：两个命题ｐ、ｑ的且命题p q ∧为真，当且仅当ｐ和ｑ都为真；两个命题ｐ、ｑ的或命题p q ∨为假，当且仅当ｐ和ｑ都为假。

5

，若A B A

=⋂,求a 的取值范围 【解析】

试题分析

：，

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B A A B A ⊆∴=⋂, , 则⎩⎨⎧≤+-≥-3

222a a ，解得：}{10≤≤a a 考点：集合的运算，绝对值不等式、分式不等式的解法。

点评：中档题，首先通过解不等式，明确集合的元素，根据A B A =⋂，得到

B A A B A ⊆∴=⋂, ，建立a 的不等式组。

6．已知{}2230,A x x x x R =--≤∈，{}22240,B x x mx m x R =-+-≤∈

（1）若[]1,3A B =，求实数m 的值；

（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围。

【答案】（1）1323,m m m -=⎧=⎨+≥⎩；（2）5m >，或3m <-

【解析】

试题分析：{|13}A x x =-≤≤，{|22}B x m x m =-≤≤+

（1）∵[1,3]A B ⋂=，∴21323,m m m -=⎧=⎨+≥⎩

（2）{|2,2}R C B x x m x m =<->+或∵R A C B ⊆，∴23m ->，或21m +<- ∴5m >，或3m <-

考点：集合的概念，集合的运算，不等式的解法。

点评：常见题，本题综合考查集合的概念，集合的运算，不等式的解法，解题过程中，注意区间端点处的包含与否。

7．已知命题),0(012:,64:2

2>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围. 【答案】110,030a a

a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩

. 【解析】

试题分析：{}

:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或 {}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或

而,p q A

⌝⇒∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩.

考点：本题主要考查充要条件的概念，命题及其否定，简单不等式（组）的解法。 点评：中档题，涉及充要条件的问题，往往具有一定综合性，可从“定义”“等价关系”“集合关系法”入手加以判断。本题利用“集合关系法”。