第六章 扭转
第6章 圆轴的扭转(5)
4、变形后，半径仍为直线且转过了角度 j ，说明半 径上各点的剪应变不同，圆心处剪应变为零,离圆心越 远,剪应变越大。
扭转剪应力公式推导
R
几何关系
dj 是前后两个端面的相对转角。
g 是外表面沿轴线方向上的剪应变。
在外表面处的剪应变 在离轴心ρ 处的剪应变
变形前位置 变形后位置 g( r) γ（ρ ） ρr dj g A A dx dx
WP
16M A ×103 16×150 = = = 81.26 MPa ＜[τ] 4 4 d 1 π ×243 - 18 3 1 πD 1 1 24 D1 16 M C 16× 100×10 3 = = 86.9 MPa 4 4 18 d2 3 3 π × 22 1 2 1 22 D2
正的扭矩
负的扭矩
通常，扭转圆轴各横截面上的扭矩是不同的，为 了形象地表达扭矩沿轴线的变化情况，我们仿照作轴 力图的方法，作出扭矩图。
例1： 如图(a)所示传动轴，已 知转速 n=250r/min，主动轮A的 输入功率PA=80kW,三个从动轮B、 C、D输出功率分别为25kW、 30kW和25kW，试画出传动轴 的扭矩图。
6.3 扭矩与扭矩图
下面用截面法研究圆轴横截面上的内力：
m
m
由平衡条件 ∑M=0，有 T-M=0，得T=M 若取右段研究，求得的扭矩与上面求得的扭矩大 小相同，转向相反。
为了使不论取左段或右段求得的扭矩大小、符号都一致， 对扭矩的正负号规定如下：按照右手的螺旋法则，用右手的 四个手指沿扭矩方向环绕，若大拇指的指向与外向法线一致， 则扭矩为正；反之为负。
的误差不超过4.52%,是足够精确的。
第六章 扭转
第六章 扭转\扭矩与扭矩图 3）绘出扭矩图如图所示。
350 ＋
－ 223
573 T图(单位：N ·m)
由图可知，最大扭矩发生在CA段轴的各横截面上,其值为
T 573N m max
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
6.3.1 圆轴的扭转试验
1. 扭转试验现象与分析 图（a）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线， 形成矩形网格。扭转变形后[图（b）]，在弹性范围内，可以观察到 以下现象：
点G的纵向线EG的倾斜角为， 即为E点处的切应变。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
令G点到轴线的距离为，由几何关系知
tan
GG EG
d
dx
由于在同一横截面处 d 为一个常量，因此上式表明，横截
dx
面上任一点处的切应变与该点到圆心的距离成正比。这就是变形
1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度，矩形网格变成了平行
四边形。 2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转
动了不同的角度。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断： ① 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆 轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴 线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。 ② 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。 ③ 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了 相对转动，故可推断横截面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于 半径。
上式就是圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式。切 应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致。
第六章圆轴扭转练习带答案
第六章圆轴扭转练习带答案第六章圆轴的扭转⼀、填空题1、圆轴扭转时的受⼒特点是：⼀对外⼒偶的作⽤⾯均_______于轴的轴线，其转向______。
2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截⾯积绕其轴线发⽣________。
3、在受扭转圆轴的横截⾯上，其扭矩的⼤⼩等于该截⾯⼀侧（左侧或右侧）轴段上所有外⼒偶矩的_______。
4、圆轴扭转时，横截⾯上任意点的切应⼒与该点到圆⼼的距离成___________。
5、试观察圆轴的扭转变形，位于同⼀截⾯上不同点的变形⼤⼩与到圆轴轴线的距离有关，显然截⾯边缘上各点的变形为最_______,⽽圆⼼的变形为__________。
6、圆轴扭转时，在横截⾯上距圆⼼等距离的各点其切应⼒必然_________。
7、从观察受扭转圆轴横截⾯的⼤⼩、形状及相互之间的轴向间距不改变这⼀现象，可以看出轴的横截⾯上⽆____________⼒。
8、圆轴扭转时，横截⾯上切应⼒的⼤⼩沿半径呈______规律分布。
10、圆轴扭转时，横截⾯上内⼒系合成的结果是⼒偶，⼒偶作⽤于⾯垂直于轴线，相应的横截⾯上各点的切应⼒应垂直于_________。
11、受扭圆轴横截⾯内同⼀圆周上各点的切应⼒⼤⼩是_______的。
12、产⽣扭转变形的⼀实⼼轴和空⼼轴的材料相同，当⼆者的扭转强度⼀样时，它们的_________截⾯系数应相等。
13、横截⾯⾯积相等的实⼼轴和空⼼轴相⽐，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能⼒要强些。
16、直径和长度均相等的两根轴，其横截⾯扭矩也相等，⽽材料不同，因此它们的最⼤剪应⼒是________同的，扭转⾓是_______同的。
17、产⽣扭转变形的实⼼圆轴，若使直径增⼤⼀倍，⽽其他条件不改变，则扭转⾓将变为原来的_________。
18、两材料、重量及长度均相同的实⼼轴和空⼼轴，从利于提⾼抗扭刚度的⾓度考虑，以采⽤_________轴更为合理些。
⼆、判断题1、只要在杆件的两端作⽤两个⼤⼩相等、⽅向相反的外⼒偶，杆件就会发⽣扭转变形。
薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒
6.3、等直圆杆在扭转时的应力
实验观察现象 圆周线绕杆轴线相对旋 转了一个角度,大小和 形状均未改变； 圆周线间的距离未变； 纵向线倾斜了一个角度。 满足平面假设 横截面上只有剪应力
剪应力计算
G1G d tg dx dx
此式表达了横截面上任 一处的剪应变随该点在横 截面上的位置而变化的规律。
2 D 2 d 2
(
d ) D
d O
d
D
32 D 4 (1 4 ) 0.1D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
应力分布情况?
确定最大剪应力：
T 知：当 Ip d R , max 2 d T T T 2 max d Wt I I 2
解：①设计杆的外径
Tmax Wt [ ]
D Wt （ 1 4）
3
16
16Tmax D 4 1 ） [ ] （
代入数值得：
1 3
D 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
Tmax 180 32 40 180 max 1 . 89 9 2 4 4 GIP 80 10 D ( 1 )
③右端面转角为：
T 10 2 40 20x dx 0 dx ( 4 x x2 ) GIP GIP GIP
L 0
2 0
0.033 (弧度）
圆柱形密圈螺旋弹簧的应力计算 T Q
=
Q
+
T
T
P
近似值：
PD P d 8DP 2 3 2 1 3 d d 2D d 16 4
建筑力学第六章扭转课件
作业
P112:6-3
第四节 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
强度条件 max [ ]
强度计算的三类问题：
(1)、强度校核
Tmax [ ]
Wp
(2)、截面设计
Wp
Tm a x
[ ]
(3)、确定许用荷载 Tmax [ ]Wp
第四节 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
例6-5. P＝7.5kW,n=100r/min，许用切应力[τ]＝40MPa，空心圆
第二节 转动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图
例6-1. 图示圆轴中，各轮上的转矩分 别
为mA ＝4kN·m，mB ＝10kN·m， mC =6kN ·m，试求1-1截面和2-2截面上 的扭
矩，并画扭矩图。
第二节 转动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图
例6-2. 一圆轴如图所 示，
已知其转速为n ＝300转/
分，主动轮A输入的功率
解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明 二者形成一 个整体，同时产生扭转变形。根据平面假 定，二者组成的组合截 面，在轴受扭后依然保持平 面，即其直径保持为直线，但要相当 于原来的位置转过一角度。
因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。 由于内层 （实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹
D2 3 40106 (1 0.54 ) 45.99mm
第四节 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
例6-5. 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩 T=5kN·m，许用切应力[τ]=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。
因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒 和空心圆轴设计
第二节 转动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图
外加力偶矩与功率和转速的关系
第六章 圆轴扭转
§6.1 扭转的概念和实例
第六章 圆周扭转
§6.1 扭转的概念和实例
第六章 圆周扭转
§6.1 扭转的概念和实例
请判断哪一杆件 将发生扭转？
当两只手用力相等时， 拧紧螺母的工具杆将产生扭 转。
第六章 圆周扭转
§6.1 扭转的概念和实例
第六章 圆周扭转
汽车传动轴
第六章 圆周扭转
扭矩和扭矩图62外力偶矩的计算扭矩和扭矩图用截面法研究横截面上的内力第六章圆周扭转扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正反之为负62外力偶矩的计算扭矩和扭矩图第六章圆周扭转扭矩图62外力偶矩的计算扭矩和扭矩图第六章圆周扭转1计算外力偶矩例题6162外力偶矩的计算扭矩和扭矩图传动轴已知转速n300rmin主动轮a输入功率p45kw三个从动轮输出功率分别为20kw
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面 积之比。
A2 A1
62.28.72110044
0.31
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
第六章 圆周扭转
§6.4 圆轴扭转时的应力
例题6.3
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
maxTWmtax
（2）设计截面
Wt
Tmax
（3）确定载荷
TmaxW t
第六章 圆周扭转
§6.4 圆轴扭转时的应力
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径 D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用 时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa.校核此 轴的强度。
建筑力学6-扭转
(2) 计算各段的扭矩 AB段：考虑AB段内任一截面的左侧，由计算扭 矩的规律有 TAB=mA=1756N·m BC段：考虑右侧 TBC=mC=702.4N·m (3) 画扭矩图 根据以上的计算结果，按比例作扭矩图(图6.3(b))。 由扭矩图可见，轴AB段各截面的扭矩最大，其值 Tmax=TAB=1756N·m
6.3.3 横截面上的变形
圆轴扭转时的变形，用两个横截面间绕轴线的相 对扭转角φ来度量。由上节式（e)可得相距为l的两个截 面之间的扭转角为 l T ϕ = ∫ dϕ = ∫ dx l 0 GI P 当轴在l长度范围内T、G和Ip均为常量时，有
T ϕ= GI P T Tl ∫0 GI P dx = GI P
第六章 扭转
6-1，概述
1，扭转的概念： 杆件在一对大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的外力偶 矩T的作用下，杆件任意两截面挠杆轴线发生相对转动，这种基本变 形称为扭转。 共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆件的 轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。 杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转 变形为主的杆件称为轴。 ：
l
GIp称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转 变形的能力。
从上式可知，φ的大小与轴的长度有关， 为了消除长度的影响，用单位长度扭转角θ 来表示扭转变形的程度，即
T θ= = l GI P
ϕ
式中θ的单位是弧度每米(rad/m)，由于 工程上θ的单位常用度每米（°/m），则
T 180 θ= GI P π
图6.2
∑mx(F)=0,T1-mA=0 T1=mA=1910N·m (3) 计算2-2截面的扭矩 假想将轴沿2-2截面截开，取左端为研究对象，截 面上的扭矩T2按正方向假设，受力图如图6.2(c)所示。 由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2+mB-mA=0 T2=mA-mB=716N·m 若取2-2截面的右端为研究对象，受力图如图6.2(d) 所示。由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2-mC=0 T2=mC=716N·m
第六章圆轴的扭转.doc
第六章圆轴的扭转一、填空题1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。
2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。
3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。
4、在扭转杆上作用集中外力偶的地方，所对应的扭矩图要发生________,_________值的大小和杆件上集中外力偶之矩相同。
5、圆轴扭转时，横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离成___________。
6、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。
7、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其剪应变必然_________。
8、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。
9、圆轴扭转时，横截面上剪应力的大小沿半径呈______规律分布。
10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的剪应力应垂直于_________。
11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的剪应力大小是_______的。
12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。
13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。
14、对于_______性材料的圆杆，扭转破坏断面是与丁轴线成45°的螺旋面，对于______性材料，扭转破坏断面是垂直于杆轴线的横截面。
15、一级减速箱中的齿轮直径大小不等，在满足相同条件的强度条件下，高速齿轮轴的直径要比低速齿轮轴的直径_________。
16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是________同的，扭转角是_______同的。
建筑力学_高职06
【例6.1】已知传动轴的转速n＝300r／min，主动 轮A的输入功率PA＝29kW，从动轮B、C、D的输 出功率分别为PB＝7 kW，PC＝PD＝11kW。绘制 该轴的扭矩图。
【解】1）计算外力偶矩。轴上的外力偶矩为：
M eA
M eB
PA 29kW 9549 9549 923N m n 300r / min
式中：[ ]－材料的许用切应力。
利用上式可以对圆轴进行强度校核、设计截 面尺寸和确定许用荷载等三类强度计算问题。
【例 6.3 】如图所示的空心圆轴，外径 D =100 mm ,内径d=80 mm，外力偶矩Me1 =6 kN· m、 Me2 =4 kN· m 。材料的许用切应力[]=50 MPa ， 试进行强度校核。
2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为
85 103 T d 6 2 内 A Pa 48.3 10 Pa 48.4MPa 6 12 Ip 2 1.32 10 10 1.5 103
外
90 1.5 10 103 T D 2 B Pa 6 12 Ip 2 1.32 10 10
6.2.2 扭矩
确定了作用于轴上的外力偶矩，可用截面法求横 截面上的内力。 取左段为研 究对象。由于左 端有外力偶作用， 为使其保持平衡， m —m 横截面上 必存在一个内力偶矩。它是截面上分布内力的合力偶 矩，称为扭矩，用 T 来表示。列空间力系平衡方程： ∑M x ＝ 0 T－Me ＝0 ∴ T＝Me
6.1 工程实例与计算简图 工程中承受扭 转的杆件：汽车方 向盘的操纵杆[图 (a)] ，机器中的传 动轴 [图(b)]，钻机 的钻杆 [ 图 (c)] 以及 房屋中的雨篷梁和 边梁[图(d)、(e)] 等。工程中常把以 扭转为主要变形的 杆件称为轴。
《建筑力学》第六章-剪切与扭转
04
剪切与扭转的实验研究
实验设备与实验方法
实验设备
包括剪切试验机、扭转试验机、 应变计、扭矩计等。
实验方法
采用标准试件进行剪切和扭转实 验，记录相关数据，分析其力学 性能。
实验结果与分析
实验结果
通过实验，得到了试件在剪切和扭转 作用下的应力-应变曲线，以及相应 的力学性能参数。
结果分析
总结词
高层建筑的剪切与扭转分析是提高其抗震性能的重要手段。
详细描述
高层建筑由于其高度和结构特点，更容易受到地震等外部载荷的影响，发生剪切和扭转。为了提高高层建筑的抗 震性能，需要进行剪切与扭转分析，优化结构设计和加强构造措施。
大跨度结构的剪切与扭转分析
总结词
大跨度结构的剪切与扭转分析是实现其跨度和结构优化的关键步骤。
对实验结果进行统计分析，得出试件 在不同条件下的剪切和扭转强度、弹 性模量等力学性能指标，并对其变化 规律进行探讨。
实验结论与建议
结论
通过实验研究，验证了剪切和扭转理论的正确性，并得出了试件在不同条件下的 剪切和扭转力学性能指标。
建议
为进一步深入研究剪切和扭转理论，建议采用不同材料、不同尺寸、不同形状的 试件进行实验研究，以获得更全面的数据和结论。同时，加强实验设备的维护和 更新，提高实验精度和可靠性。
详细描述
大跨度结构如大型体育场馆、会展中心等，需要承受较大的载荷和变形。通过剪切与扭转分析，可以 优化结构设计，减小变形和应力集中现象，提高结构的承载能力和稳定性。
THANKS
感谢观看
剪切与扭转的基本概念
剪切应力
剪切面上的正应力称为剪切应力。 剪切应力的大小与剪切力成正比，
与剪切面面积成反比。
第六章 材料力学剪切与扭转
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
第六章扭转与弯曲的强度计算
解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉绘制剪力图
①分段定形
根据梁受外力和支承情况,全梁可分为AC 和BC两段 两段梁上无均布载荷作用，故FQ图均为水平线
②定点绘图
因两段梁上的剪力图均为水平线，故只需分 别在两段内确定任一横截面上的剪力值。
FQ1
FAy
Gb l
FQ 2
FBy
Ga l
3〉绘制弯矩图
①分段定形 全梁仍可分为两段。且两段梁上无均布 载荷作用，故M图均为斜直线 AC段：FQ＞0，M图直线斜率为正 BC段：FQ＜0，M图直线斜率为负
截面A、B、C处受集中力作用，M图有折角且无突变
②定点绘图 求特殊截面上的弯矩值并绘图
由于梁的两端均无集中力偶作用，故MA=0，MB=0
利用上述规律,可不必列出剪力方程和弯矩方程, 而更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图。
其步骤如下： （1）分段定形
根据梁上载荷和支承情况将梁分成若干段，由各段内 的载荷情况判断剪力图和弯矩图的形状；
（2）定点绘图
求出某些特殊横截面上的剪力值和弯矩值，逐段绘 制梁的剪力图和弯矩图。
典型例题1
❖ 已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比 例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是 剪切虎克定律。
因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比， 其分布规律如图所示 ：
根据横截面上切应力的分布规
律，又根据静力平衡条件，推
导出距圆心为 的切应力 计
算公式如下：
T
IP
M Pa
T — 横截面上的扭矩（N.mm）
6第六章 扭 转
第六章 扭转以横截面绕轴线作相作旋转为主要特征的变形式（图6-1），称为扭转。
横截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角。
凡是以扭转变形为主要变形的直杆，称为轴。
本章研究轴的内力、应力与变形，并在此基础上研究轴的强度与刚度问题。
研究对象以圆截面轴为主，包括实心与空心圆截面轴，同时也研究薄壁截面轴，并简要介绍矩形与椭圆等非圆截面实心轴的应力与变形。
此外，本章既研究静定轴也研究超静定轴。
并讨论了弹簧的应力与变形。
图6-1扭转轴§6.1 扭矩一、外力偶矩的计算作用在轴上的扭力偶矩，一般可通过力的平移，并利用平衡条件确定。
但是，对于传动轴等转动构件，通常只知道它们的转速与所传递的功率。
因此，在分析传动轴等转动类构件的内力之前，首先需要根据转递与功率计算轴所受承受的扭力偶矩。
由动力学可知，力偶在单位时间内所作之功即功率P ，等于该力偶之矩e M 与相应角速度Ω的乘积，即Ω=e M P (a)在工程实际中，功率P 的常用单位为kW ，力偶矩e M 与转速n 的常用单位分别为m N ⋅与min r ，于是式(a)变为6021000e n M P π⨯=⨯ (b) 由此得 {}{}{}minr kW m N e 5499n P M =⋅ (6-1) 二、扭矩1．扭矩的符号规定作用在轴上的外力偶矩确定后，现在研究轴的内力。
在矩为M 的扭力偶作用下（图6-2a ），横截面上的分布内力必构成一力偶（图6-2b ），而且，该力偶的矢量方向垂直于截面。
矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，即扭矩，并用T 表示。
通常规定：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，若矢量方向与横截面的外法线方向一致，则该扭矩为正，“+”。
按此规定，图6-2b 所示扭矩为正。
2．截面法用截面假想地把轴分成两部分，以显示并确定扭矩的方法称为截面法。
可将其归纳为以下四个步骤：① 截． 欲求某一截面上的扭矩时，就沿该截面假想．．地把轴分成两部分。
② 取． 原则上取受力简单．．的部分作为研究对象，并弃去另一部分。
圆轴扭转
d1
A
1.外力 解： 外力 1.
M e2 =
C
M e2
d2
B
M e3
M e1
M e1 = 9549
160 M e1 400
P 400 1 = 9549 × = 7640 N ⋅ m n 500 240 = 3060 N ⋅ m M e3 = M e1 = 4580 N ⋅ m 400
38
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
7
§6-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 1.外力偶矩 直接计算
8
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§6-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－ 轴转速－n 转/分钟 输出功率－ 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
P k
P k
在确定外力偶矩的方向时， 注意输入功率的齿轮、 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入功率的齿轮、皮带轮作用的力偶矩为主 输入功率的齿轮 动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、 动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、皮带轮作用的力偶矩为阻力 矩，方向与轴的转向相反。 方向与轴的转向相反。
34
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
单位长度扭转角
扭转刚度条件
许用单位扭转角
35
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 扭转强度条件
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 已知 τ]， •已知T 和[τ]， 已知 τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷 已知 τ]，
τ max
Mn = Wn
W — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
第六章 轴心受压构件的扭转屈曲和弯曲屈曲
6.1 概述
6.2 开口薄壁构件截面的剪力中心
6.2.1 开口薄壁截面的剪力流
6.2.2 截面的剪力中心坐标
6.3 开口薄壁构件的扭转
6.3.1扭转的形式
6.3.2开口薄壁构件的自由扭转
6.3.3 开口薄壁构件的约束扭转
6.4 轴心受压构件的弹性扭转屈曲
6.4.1 轴心受压构件的弹性扭转屈曲荷载
6.4.2 残余应力对扭转屈曲荷载的影响
6.4.3 构件两端边界条件的影响
6.5 轴心受压构件的弹塑性扭转屈曲
6.5.1切线模量扭转屈曲荷载
6.5.2 钢材为理想弹塑性体的屈曲荷载
6.6 轴心受压构件的弹性弯扭屈曲
6.6.1单轴对称截面轴心受压构件的平衡方程
6.6.2两端简支轴心受压构件的的弯扭屈曲荷载
6.6.3 两端固定的轴心受压构件的弯扭屈曲荷载
6.6.4 不对称截面手心受压构件的弯扭屈曲荷载
6.7 轴心受压构件的弹塑性弯扭屈曲
6.7.1 切线模量弯扭屈曲荷载
6.7.2考虑残余应力的单轴对称截面轴心受压构件弹塑性弯扭屈曲荷载
6.7.3 不对称截面轴心受压构件的弹塑性弯扭屈曲荷载
6.8轴心受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲理论在钢结构设计中的应用
6.8.1 双轴对称截面轴心受压构件、
6.8.2 单轴对称截面轴心受压构件
6.8.3 单面连接的单角钢轴心受压构件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；
3、比较实心轴和空心轴的重量。
解：1、校核轴的强度
符轴
α = D − 2t = 90 − 2× 2.5 ≈ 0.944
合的
D
90
WP
=
π D3
16
(1−α 4 )
=
π
16
× 903
× (1−
0.9444 )
≈
29400mm4
要 求
强 度
[ ] τ max
Wp
=
Ip
D
2
⎜⎛α = d ⎟⎞
⎝ D⎠
( ) = πD3 1 − α 4 16
∫ 3、薄壁圆环截面
Ip =
ρ 2dA
A
D = 2r0 + δ
δ
d = 2r0 − δ
τ
r0
I p ≈ 2πr03δ
d D
Wp ≈ 2πr02δ
dρ
τ
ρ
δ
dρ
τ
τ
ρ
r0
d
I
p
=
πd 4
32
Wp
=
πd 3
16
d D
( ) I p
A
∫
A
ρGρ
dϕ
dx
dA
=
T
G
dϕ
dx
∫
ρ 2dA
=
T
A
∫ 令I p = ρ 2dA
A
τ ρdA ρ dA
o
∫ I p = ρ 2dA 极 惯 性 矩
A
则 dϕ = T
dx GI p
dϕ = T
dx G I p
τρ
=
Gρ
dϕ
dx
= Gρ T
GIp
= Tρ
Ip
τ max
=
Tρmax
Ip
=T Wp
Wp
=
Ip
ρmax
抗扭截面模量
上述公式适用于符合平面假设的等直圆杆在
线弹性范围以内的条件。 线弹性范围：最大剪应力不超出材料的剪切比例极限
τρ
=
Tρ
Ip
τ max
=
T Wp
τ max
τ max
Ip 和 Wp的计算
实心轴
空心轴
1、实心圆截面
∫ I p =
ρ 2dA
A
dA = 2πρ dρ
∫ I p =
π D 3 (1 − α 4 ) π D 3 (1 − 0.8 4 )
16
16
得 D = 79.1 mm d = 63.3mm
例6：汽车传递轴用45号无缝钢管制成，外
径D=90mm,壁厚 t =2.5mm，工作时最大扭
矩T=1.5kN·m,材料的许用剪应力 [τ ] = 60MPa
1、校核轴的强度；
3m
§6-3 等直圆杆扭转时的应力
一、横截面上的切应力
?
分析步骤
变形分析→应变分布 应力应变关系→应力分布 静力关系→应力值
横截面上的切应力公式推导
（1）变形现象
周线
T
ac
γ
bd
纵线
A、周线绕轴线旋转一个角度，但大 小、形状和周线间距不变。
B、所有纵线转过同一角度γ
在小变形的条件下，表面上的微体各 棱边长度不变，仅夹角改变，即没有正 应变，只有切应变，它们处于纯剪应力 状态。
剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比。
τ = Gγ
G 称为材料的剪切弹性模量 [力]/[长度]2 Pa、MPa、GPa
对于各向同性材料,可以证明:E、G、ν 三个弹性常
数之间存在着如下关系：
G=
E
2(1+ ν)
§6-2 扭矩及扭矩图
一、外力偶矩的计算M或Me(Moment of external couple)
解：由 γ l = d ϕ
2
γϕ
ϕ = γl 2 = 2× 300 × 2 = 30°
d
40
τmax = Gγ
公式适用条件：
EA
①当τ≤τp（剪切比例极限）公式才成立； ②仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）； ③扭矩、面积沿杆轴不变（T、Ip为常量）。
二、刚度条件
单位长度扭转角
ϕ′ = dϕ = T ,单位rad / m
dx GI p
[ ] 圆轴扭转时的刚度条件 ϕm′ ax ≤ ϕ′
[ϕ′]为许可单位长度扭转角，单位为°/m
Pa
24
= 270MPa
T
( ) τ max
2
= T2 Wp2
=
300 1.154 ×10−6
(Nm)
Pa
18
500
+
22
18
300
= 260MPa
显然，最大切应力发生在AB段的各个横截面的周边
各点处。其值为τmax= 270MPa。
二、强度条件
强度条件： τ max ≤ [τ ]
[ ] 等截面圆杆：
=T WP
=
1.5 ×103 29400 ×10−9
Pa
≈
ห้องสมุดไป่ตู้
51MPa
＜
τ
= 60MPa
2、确定实心轴的直径
根据题意，实心轴的最大剪应力 τ max = 51M Pa
T
π
D
3 实
16
= τ max
D实
=
3
16 ×1.5 ×103
π × 51×106
m
≈
53mm
3、比较实心轴和空心轴的重量
两轴材料相同、长度相等，重量比等于横截面面积比
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功P2=160kW，
P3=240kW。画扭矩图。
d1
C d2
解： 1、外力偶矩
A
B
M e1
M e2
M e3
Me1
=
9549
P1 n
=
9549× 400 500
= 7640N ⋅ m
Me2
=
160 400
Me1
=
3060 N
⋅
m
Me3
=
240 400
Me1
=
4580 N
τ =τ′
切应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指 向或背离两平面的交线。
剪切胡克定律
在纯剪状态下，单元
γ
体相对两侧面将发生
微小的相对错动，原
来互相垂直的两个棱
边的夹角改变了一个
γ
微量γ。两正交线段
的直角改变量为切
τ （剪）应变。
剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似 的关系---剪切胡克定律：即当剪应力不超过材料的
∴ T = WP [τ]顺 = π×0.153 ×1 ×106 /16
= 662.3 kNm
§6-4 圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形 dϕ = T
dx GI p
dϕ = T d x
GI p
∫ ∫ ϕ = dϕ = l T dx
0 GI p
若T=常数
ϕ = Tl GI p
比较拉压变形： Δl = FN l
= πD4
32
1−α 4
( ) Wp
=
πD3
16
1−α 4
d D
I p = 2πr03δ Wp = 2πr02δ
公式分析和适用范围
dϕ = T
dx G I p •单位扭转角公式，是计算扭转变形的重要公式；
τρ
=
Tρ
Ip
τ max
=
T Wp
•圆轴受扭的剪应力公式，式中ρ为计算之点到圆
心的距离。
•只能用于圆截面轴，材料变形在比例极限范围内
实验表明：在静荷载作用下，同一种材料 在纯剪切和拉伸时的力学性能之间存在一定的 联系，因而通常可以从材料的许用拉应力值来 确定其许用剪应力值。
钢 [τ ] = (0.5 − 0.60)[σ ] 铸铁 [τ ] = (0.8 −1)[σ ]
考虑到受扭圆轴的动荷载等因素，所取的 许用剪应力一般比静荷载下的许用剪应力还 要低一些。
τ max
= Tmax WP
≤τ
变截面圆杆：
[ ] τ max
=
⎡T
⎢ ⎣
W
P
⎤ ⎥ ⎦ max
≤
τ
[ ] 等截面圆杆：
τ max
= Tmax WP
≤τ
强度计算包括三个方面的内容：
（1）强度校核： τ max ≤ [τ ]
（2）设计截面：
Wp
≥
Tmax
[τ ]
（3）求许可荷载： Tmax ≤ Wp[τ ]
⋅
m
外力偶矩
Me1 = 7640N .m Me2 = 3060N ⋅ m Me3 = 4580N ⋅ m
2、扭矩
1 d1
C 2 d2
A
B
M e1 1
Me2 2
M e3
(− ) 4580N.m
使用截面法易算
7640N.m
T1=7640N.m T2=4580N.m
例2 求图示轴1-1、2-2截面上的扭矩。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大 都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
切应力互等定理(Theory of conjugate shearing stress)
纯剪切：单元体上只有 切应力而无正应力。
单元体 微元体
τ′ τ
dy
t z dx