第六章 扭转

2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；
3、比较实心轴和空心轴的重量。
解：1、校核轴的强度
符轴
α = D − 2t = 90 − 2× 2.5 ≈ 0.944
合的
D
90
WP
=
π D3
16
(1−α 4 )
=
π
16
× 903
× (1−
0.9444 )
≈
29400mm4
要 求
强 度
[ ] τ max
Wp
=
Ip
D
2
⎜⎛α = d ⎟⎞
⎝ D⎠
( ) = πD3 1 − α 4 16
∫ 3、薄壁圆环截面
Ip =
ρ 2dA
A
D = 2r0 + δ
δ
d = 2r0 − δ
τ
r0
I p ≈ 2πr03δ
d D
Wp ≈ 2πr02δ
dρ
τ
ρ
δ
dρ
τ
τ
ρ
r0
d
I
p
=
πd 4
32
Wp
=
πd 3
16
d D
( ) I p
A
∫
A
ρGρ
dϕ
dx
dA
=
T
G
dϕ
dx
∫
ρ 2dA
=
T
A
∫ 令I p = ρ 2dA
A
τ ρdA ρ dA
o
∫ I p = ρ 2dA 极 惯 性 矩
A
则 dϕ = T
dx GI p
dϕ = T
dx G I p
τρ
=
Gρ
dϕ
dx
= Gρ T
GIp
= Tρ
Ip
τ max
=
Tρmax
Ip
=T Wp
Wp
=
Ip
ρmax
抗扭截面模量
上述公式适用于符合平面假设的等直圆杆在
线弹性范围以内的条件。 线弹性范围：最大剪应力不超出材料的剪切比例极限
τρ
=
Tρ
Ip
τ max
=
T Wp
τ max
τ max
Ip 和 Wp的计算
实心轴
空心轴
1、实心圆截面
∫ I p =
ρ 2dA
A
dA = 2πρ dρ
∫ I p =
π D 3 (1 − α 4 ) π D 3 (1 − 0.8 4 )
16
16
得 D = 79.1 mm d = 63.3mm
例6：汽车传递轴用45号无缝钢管制成，外
径D=90mm,壁厚 t =2.5mm，工作时最大扭
矩T=1.5kN·m,材料的许用剪应力 [τ ] = 60MPa
1、校核轴的强度；
3m
§6-3 等直圆杆扭转时的应力
一、横截面上的切应力
?
分析步骤
变形分析→应变分布 应力应变关系→应力分布 静力关系→应力值
横截面上的切应力公式推导
（1）变形现象
周线
T
ac
γ
bd
纵线
A、周线绕轴线旋转一个角度，但大 小、形状和周线间距不变。
B、所有纵线转过同一角度γ
在小变形的条件下，表面上的微体各 棱边长度不变，仅夹角改变，即没有正 应变，只有切应变，它们处于纯剪应力 状态。
剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比。
τ = Gγ
G 称为材料的剪切弹性模量 [力]/[长度]2 Pa、MPa、GPa
对于各向同性材料,可以证明:E、G、ν 三个弹性常
数之间存在着如下关系：
G=
E
2(1+ ν)
§6-2 扭矩及扭矩图
一、外力偶矩的计算M或Me(Moment of external couple)
解：由 γ l = d ϕ
2
γϕ
ϕ = γl 2 = 2× 300 × 2 = 30°
d
40
τmax = Gγ
公式适用条件：
EA
①当τ≤τp（剪切比例极限）公式才成立； ②仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）； ③扭矩、面积沿杆轴不变（T、Ip为常量）。
二、刚度条件
单位长度扭转角
ϕ′ = dϕ = T ,单位rad / m
dx GI p
[ ] 圆轴扭转时的刚度条件 ϕm′ ax ≤ ϕ′
[ϕ′]为许可单位长度扭转角，单位为°/m
Pa
24
= 270MPa
T
( ) τ max
2
= T2 Wp2
=
300 1.154 ×10−6
(Nm)
Pa
18
500
+
22
18
300
= 260MPa
显然，最大切应力发生在AB段的各个横截面的周边
各点处。其值为τmax= 270MPa。
二、强度条件
强度条件： τ max ≤ [τ ]
[ ] 等截面圆杆：
=T WP
=
1.5 ×103 29400 ×10−9
Pa
≈
ห้องสมุดไป่ตู้
51MPa
＜
τ
= 60MPa
2、确定实心轴的直径
根据题意，实心轴的最大剪应力 τ max = 51M Pa
T
π
D
3 实
16
= τ max
D实
=
3
16 ×1.5 ×103
π × 51×106
m
≈
53mm
3、比较实心轴和空心轴的重量
两轴材料相同、长度相等，重量比等于横截面面积比
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功P2=160kW，
P3=240kW。画扭矩图。
d1
C d2
解： 1、外力偶矩
A
B
M e1
M e2
M e3
Me1
=
9549
P1 n
=
9549× 400 500
= 7640N ⋅ m
Me2
=
160 400
Me1
=
3060 N
⋅
m
Me3
=
240 400
Me1
=
4580 N
τ =τ′
切应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指 向或背离两平面的交线。
剪切胡克定律
在纯剪状态下，单元
γ
体相对两侧面将发生
微小的相对错动，原
来互相垂直的两个棱
边的夹角改变了一个
γ
微量γ。两正交线段
的直角改变量为切
τ （剪）应变。
剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似 的关系---剪切胡克定律：即当剪应力不超过材料的
∴ T = WP [τ]顺 = π×0.153 ×1 ×106 /16
= 662.3 kNm
§6-4 圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形 dϕ = T
dx GI p
dϕ = T d x
GI p
∫ ∫ ϕ = dϕ = l T dx
0 GI p
若T=常数
ϕ = Tl GI p
比较拉压变形： Δl = FN l
= πD4
32
1−α 4
( ) Wp
=
πD3
16
1−α 4
d D
I p = 2πr03δ Wp = 2πr02δ
公式分析和适用范围
dϕ = T
dx G I p •单位扭转角公式，是计算扭转变形的重要公式；
τρ
=
Tρ
Ip
τ max
=
T Wp
•圆轴受扭的剪应力公式，式中ρ为计算之点到圆
心的距离。
•只能用于圆截面轴，材料变形在比例极限范围内
实验表明：在静荷载作用下，同一种材料 在纯剪切和拉伸时的力学性能之间存在一定的 联系，因而通常可以从材料的许用拉应力值来 确定其许用剪应力值。
钢 [τ ] = (0.5 − 0.60)[σ ] 铸铁 [τ ] = (0.8 −1)[σ ]
考虑到受扭圆轴的动荷载等因素，所取的 许用剪应力一般比静荷载下的许用剪应力还 要低一些。
τ max
= Tmax WP
≤τ
变截面圆杆：
[ ] τ max
=
⎡T
⎢ ⎣
W
P
⎤ ⎥ ⎦ max
≤
τ
[ ] 等截面圆杆：
τ max
= Tmax WP
≤τ
强度计算包括三个方面的内容：
（1）强度校核： τ max ≤ [τ ]
（2）设计截面：
Wp
≥
Tmax
[τ ]
（3）求许可荷载： Tmax ≤ Wp[τ ]
⋅
m
外力偶矩
Me1 = 7640N .m Me2 = 3060N ⋅ m Me3 = 4580N ⋅ m
2、扭矩
1 d1
C 2 d2
A
B
M e1 1
Me2 2
M e3
(− ) 4580N.m
使用截面法易算
7640N.m
T1=7640N.m T2=4580N.m
例2 求图示轴1-1、2-2截面上的扭矩。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大 都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
切应力互等定理(Theory of conjugate shearing stress)
纯剪切：单元体上只有 切应力而无正应力。
单元体 微元体
τ′ τ
dy
t z dx
∑mz = 0
(τ ⋅ tdy)⋅ dx− (τ ′⋅ tdx)⋅ dy = 0
①直接计算
②按输入功率和转速计算
传动轴的转速为n (r/min)，主动轮的功率为
P (kW)，外力偶矩为Me (Nm):
Me×2π
60
n
=P
×1000
Me Nm = 9549
P
kW
n
r/min
Me
=
7024
P n
⎧ P ─ PS（马力）
⎪ ⎨
n ─ rpm
⎪⎩M e ─ N ⋅ m
主动轮上的外力偶矩（输入力偶矩）的转向 与轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶矩 （输出力偶矩）的转向与轴的转动方向相反， 因为从动轮上的外力偶矩是阻力偶矩。
第六章 扭 转
(Torsion)
§6-1 概 述
T
纵线
γ
T
φ
轴线
外力特点：杆受一对大小相等，方向相反的力偶作 用，外力偶矩的作用面垂直于杆件的轴
线；相应横截面上的内力称为扭矩，记 为T。
变形特点：各横截面绕轴线作相对转动；表面纵线
也随之转过一个角度 γ。
F2
F1
F1
F2
扭转破坏实例
低碳钢
铸铁
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作 用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截 面绕轴线产生转动。
ρ 2dA
A
dρ
τ
ρ
∫=
d 2
ρ2
⋅ 2πρdρ
=
πd 4
0
32
d
Wp
=
Ip r
=
πd 4
32
×2 d
=
πd 3
16
2、空心圆截面
∫ I p =
ρ 2dA
A
dρ
τ
∫ I p =
ρ 2dA
A
ρ
D
∫= 2 ρ 2 ⋅ 2πρdρ d
2
( ) = π D4 − d 4
d D
32
( ) = πD 4 1 − α 4 32
公式推导
1、 几何关系
取楔形体
在⊿abb'内
bb' = γ ρdx
在⊿O2bb'内
bb' = ρdϕ
γρ
=
ρ
dϕ
dx
2、物理关系
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
τ O
τmax
Mx
线弹性范围内: τ= Gγ
——剪切胡克定律
τρ
=
G ⋅γ ρ
=
G⋅ρ
dϕ
dx
剪应力方向垂直于半径
3、静力学关系
∫ ρ ⋅τ ρdA = T
0.8
例4：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆
轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T=
T
π d 1 3 π D 3 (1 − 0.5 4 )
16
16
0.8
得： D = 1.022 d1 1.192
A空
π D 2 (1 − 0.5 2 )
=4
0.8 = 0.7 8 3
T
φ
轴线
（2）假 设
周线
T
ac
γ
bd
纵线
T
φ
轴线
横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆 轴线旋转过一个角度，即横截面上的任一半径始
终保持为直线——平面假设。
对称性原理：
T
C`` C D`` D
C` D`
T
T
T
圆轴受扭后，其横截面依 然保持为平面，其上的各点 只能在同一平面内转动；
圆轴受扭后，其横 截面只发生刚性转动；
Tmax × 180 ≤ [ϕ′]
GI p π
精密机床[ϕ′]=（0.15-0.3)0/m 一般轴[ϕ′] =（0. 5-2.0)0/m 钻杆[ϕ′] =（2.0-4.0)0/m
刚度计算包括：
①校核刚度 ②截面设计 ③求容许荷载
例8、圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后, 原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90°变为 88°。杆长l=300mm，试求两端 截面间的扭转角；如果材料的剪变模量 G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和 杆端的外力偶矩m。
t =2m/a 2 2m 1 m
x 截面呢？
2
x
a
1
2a
a
解：T1= -m
T2=-m+2m-t·a=-m
T(x)=-m+2m-t·x=m-(2m/a)·x
T是x的函数
内力方程
t =2m/a
2 2m 1 m
作
扭
2a
1
矩
x
2a
a
图
解：T1= -m
T
T(x)=-m+2m-t·x=m-(2m/a)·x
⊕m m
越薄越
A实
π d12
0.512 好吗？
4
例5：一空心轴 α=d/D=0.8，转速n=250rpm, 功率 P=60kW，［τ］=40MPa，求轴的外直 径D和内直径d。
解： m = 9549 P = 9549 × 60 = 2291.76 N ⋅ m
n
250
由
m
= 2291.76 = 40 × 10 6
二、扭矩、扭矩图
M1
1 M2 2
M3
A M1 M1
T：
1B 2 1
T1
1 M2 2
T2
2
-
M1
C
T1= -M1
T2=M2 - M1 = M3
M2-M1
+
扭矩T的符号规定：