通达离散期中试卷

南京邮电大学通达学院 2016/2017学年第一学期
《 离散数学 》期中试卷
本试卷共 页； 考试时间 110 分钟；考试方式（ 闭 ）卷
专业 班级 学号 姓名
一、选择题（30分）
1．前提R R Q Q P ⌝∨⌝∨⌝,,的结论是（ ） A.Q B.P ⌝ C.Q P ∨ D.R P →⌝
2．下列语句中为命题的是（ ） A 暮春三月，江南草长。

B 这是多么可爱的风景啊！
C 大家想做什么，就做什么，行吗？
D 请勿践踏草地！
3．设F(x)表示x 是火车，G(y)表示y 是汽车，H(x,y)表示x 比y 快，命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是（ ） A ()()()()()()()y x H x F x y G y ,∧∀→∃ B ()()()()()()()y x H x F x y G y ,→∀∧∃ C ()()()()()()()y x H x F y G y x ,∧→∃∀ D ()()()()()()()y x H x F x y G y ,→∀→∃
4．设{}{}b a B c b a A ,,,,==，则下列命题不正确的是（ ）
装 订 线 内 不 要 答 题
自
觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不
作 弊
A φ=-A
B B A B ⊆
C {}c B A =⊕
D {}b a B A ,=⊕ 5．给定命题公式如下： （1） ()()Q P Q P ∨→∧
（2） ()()()()P Q Q P Q P →∧→↔↔ （3） ()Q P P ∨→
（4） ()()R Q P R Q P ⌝∧⌝∧⌝↔∨∨⌝ 这四个命题公式中，重言式有（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（1）（3）（4） C ．（1）（2）（3）（4） D ．（2）（3）（4） 6．下列各式哪个不成立（ ） A ()()()()()x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀ B ()()()()()x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃ C ()()()()()x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ D ()()()Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀
7．集合A={1,{2},3,4},下列命题中正确的有 （ ）： （1）{1}∈A ； （2） {1，{2}，4}⊆A ；
（3）{2}⊆A ； （4）φA ⊂； （5）φ⊆{{2}}⊆A ； （6）φ∈{{2}，3}.
C (1) (4) (5)
D (2) (3) (6)
8．下列说法中哪一个是错误的 （ ）
A 一阶逻辑中，任一合式公式都存在与之等值的前束范式。

B 任一命题公式都存在与之等值的范式并且唯一。

C 空集是一切集合的子集。

D 对于集合A 和B ，如果A-B 是空集，则A 一定是B 的子集。

9．由集合运算定义，下列各式正确的有（ ）。

A X X Y
B X X Y
C X X Y
D Y X Y
10．下列有关于空集的说法，错误的是（ ） A 空集是唯一的。

B A A ⊆∀φ有, 。

C
{}0=φ。

D A A A =∀Y φ有,。

二、填空题（20分）
1. 命题公式G=（P Q ）R ，则G 共有 个不同的解释；把G 在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G 的 ；解释（0，1，0）使G 的真值为 。

2. 已知公式x (F(x , y , z )y G(x , y ))，量词x 的辖域为 ，量词y 的辖域为 。

3. 已知集合{}{
}φφ,=A ，则其幂集 P （A ）= 。

4. 已知A ，B 是两个集合，A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，3，5}，则B －A ＝ ，P （B ）－P （A ）＝ ，P （B ）中的元素个数为 。

得分
5. 设F(x): x 是人，G(x): x 用右手写字，命题“有的人并不用右手写字”在一阶逻辑中符号化的形式为_____________________。

三、解答题（30分）
1．求公式(p q )(p r )的主析取范式和主合取范式。

（8分）
2. 求公式),(y)xF(x,y x yG ∃→∀的前束范式。

（5分）
3. 利用集合的基本恒等式化简：(A B) (C (A B)) （5分）
4. 设：P(x )表示x 是兔子、G(x )表示x 是乌龟、R(x , y )表示x 比y 跑得快，请在一阶逻辑中符号化下述命题1）、2）和3）：（6分） 1） 有些兔子比所有乌龟跑得快。

2） 所有兔子都比某个乌龟跑得快。

3） 并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。

得分
5. 某学校对60名学生的读报情况进行调查，结果25人阅读“武汉晚报”，26人读“中国青年报”，26人阅读“长江日报”，9人既读“武汉晚报”也阅读“长江日报”，11人既读“武汉晚报”也阅读“中国青年报”，8人既阅读“中国青年报”也阅读“长江日报”，而8人什么报也不读。

（6分）
1)求阅读全部三种报纸的人数。

2)求只阅读一种报纸的人数。

3)在文氏图中，用正确的人数填入所分的互不相交的8个区域中。

四、证明题（20分）
1. 请使用命题逻辑的等值演算证明等值式：（5分）
()Q
()()()
Q
P
P⌝
Q
P
⇔
↔
∧
⌝
∧
∨
2. 利用集合恒等式证明：(A-B)-C = (A-C)-(B-C) （5分）
3. 明天是晴天或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我
就不看书。

所以，如果我看书，则明天是雨天。

令P ：明天是晴天， Q ：明天是雨天， R ：我看电影， S ：我看书。

请在命题逻辑范畴内证明此命题：（10分）
装 订 线 内 不 要 答 题
自
觉
遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不
作 弊
一、选择题
BABDC
CBBAC
二、填空题
1、8，真值表，1
2、(F(x, y, z)y G(x, y))，G(x, y))
3、{φ，{φ}，{{φ}}，{φ，{φ}}}
4、{5}，{{5}，{2,5}，{3,5}，{2,3,5}}
5、x（F(x)∧┐G(x)）
三、解答题
1、命题公式(p q)(p r)的主析取范式是(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)。

主合取范式(p q r) (p q r) (p q r) (p q r)
2、x y(F(x,u)G(v, y))
3、(A B) (C (A B)) = (A B)
4、1）(x)(P(x)y(G(y)R(x, y)))
2）(x)(P(x)(y)(G(y)R(x, y)))
3）((x)(P(x)(y)(P(y)R(x, y)))或((x)(y)(G(x)P(y)R(x, y))
5、1）3 2） 30 3）略
四、证明题
1、P Q (P Q) (Q P)
(P Q) (Q P)
(P Q)(P P)(Q Q) (Q P)
( P∧Q）∨（P∧Q）
2、(A-B)-C = (A∩～B)∩～C = A∩～B∩～C;
(A-C)-(B-C) = (A∩～C)∩～(B∩～C) = (A∩～C)∩(～B∪C) = (A∩～C∩～B)∪(A∩～C∩C) = (A∩～C∩～B)∪Φ = A∩～B∩～C.
∴(A-B)-C = (A-C)-(B-C)
3、前提：P∨Q, P→R, R→┐S
结论： S→Q
证明：① S 附加前提引入
② R→┐S 前提引入
③┐R ①②拒取式
④ P→R 前提引入
⑤┐P ③④拒取式
⑥ P∨Q 前提引入
⑦ Q ⑤⑥析取三段论
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

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