地震波时频特征及与结构地震响应的关系_樊剑

w( f ,τ
−t) =
|
f
|
⎛ − f 2 (τ exp ⎜
− t)2
⎞ ⎟
(2)
2π ⎝ 2 ⎠
基于傅里叶反变换的 S 逆变换：
∫ (∫ ) +∞ +∞
s(t) =
S( f ,τ )dτ ⋅ exp( j2πft)d f (3)
−∞ −∞
在实际计算中，式(1)、式(3)通常是转化成如
下的离散形式：
表 1 地震波的总能量和相关系数
Table 1 The total energy and the correlation coefficients of the seismic waves
特征
参数
N波
K波
El 波
人工波
具有相同 E
加速度
ρ
峰值
C
具有目标 E
功率谱
ρ
C
具有目标 E
反应谱
ρ
C
5.29 0.984 16.76 7.58 0.991 14.42 6.22 0.987 17.19
域内的分布特征，功率谱图反映地震波能量在频域
的分布特征，而时变谱可反映地震波能量在时频空
间中的分布特征。具有相同幅值的 Northridge 波虽
然 总 能 量 最 小 ， 但 在 时 频 空 间 中 的 [2,3]Hz 和
[3.5,4.5]s 窄小范围中有很大的能量密度，在低频段
的[0.5,1]Hz 和[2,9]s 时频空间中也有较大的能量密
第 27 卷第 6 期 Vol.27 No.6
工程力学
2010 年 6 月 June 2010
ENGINEERING MECHANICS
98
文章编号：1000-4750(2010)06-0098-08
地震波时频特征及与结构地震响应的关系
*樊 剑，吕 超，张 辉
(华中科技大学土木工程与力学学院，武汉 430074)
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收稿日期：2009-12-17；修改日期：2009-08-10 基金项目：国家自然科学基金项目(50778079)；湖北省自然科学基金项目(2006ABA067) 作者简介：*樊剑(1969―)，男，湖南宁远人，副教授，博士，从事结构隔震研究(E-mail: fan-jian@126.com)；
frequency characteristic spectrum; structural earthquake responses
地震波是强非平稳过程，这种非平稳特性对线 年来，国内外一些学者开始利用现代时频分析工具 性或非线性结构地震响应均有显著的影响[1―2]。近 (如小波变换、Hilbert-Huang 变换、S 变换以及自适
本文首先推导了离散 S 变换的基本算法，定义 了反映地震波时频特性的时变幅值谱和时变能量 谱；基于 S 变换提出了把原始波调整成具有目标功 率谱或目标反应谱的新方法；分析了 El_centro 波、 Northridge 波、Kobe 波和人工合成波以及经调整后 的各地震波的时频特征；对地震波的时变谱进行特 征提取，提出地震波的时频特征谱这一新概念，时 频特征谱能反映地震波能量在时频空间中的集中 程度；通过相关性分析表明，地震波的时频特征谱 与结构的弹性加速度反应谱具有很好的线性相关 性；最后建立了地震波的时频特征谱与弹性加速度 反应谱之间的近似转换关系式，此转换关系可作为 合成具有目标反应谱的人工地震波使用。
∑ S[
f
,τ
]
=
N −1
s[t ] ⋅
t=0
w[
f
,τ
−
t]⋅
exp
⎛ ⎜⎝
−
j2π N
Baidu Nhomakorabeaft
⎞ ⎟⎠
(4)
∑ ∑ s[t] =
1 N
f
N /2−1 =−N /2
N −1
⋅
τ =0
S[
f
,τ
]
⋅
exp
⎛ ⎜⎝
j2π N
ft ⎞ ⎟⎠
(5)
式中：N 为信号采样点总数；f、t 为离散的整数频
率和时间，它们所对应的真实频率和时间为
9.07 0.953 16.28 7.58 0.984 14.53 8.44 0.995 15.49
9.57 0.987 15.09 7.58 0.989 15.03 11.65 0.992 15.68
6.45 0.975 19.30 7.58 0.994 15.95 12.04 0.988 16.81
f / (N ⋅ ∆T ) 和 t ⋅ ∆T ， ∆T 为采样时间。
为了计算方便，可把离散的 S 变换 S[ f ,τ ] 分
解成两部分的乘积：
S[ f ,τ ] = A[ f ,τ ] ⊗ eiθ[ f ,τ ]
(6)
式中：A[ f ,τ ] =| S[ f ,τ ] | 称为时变的幅值谱；θ[ f ,τ ]
一条具有给定功率谱密度函数的人工波作为研究
对象，为研究不同地震波的时频特征对结构地震响
应的影响，分别对这 4 条波作如下调整。
2.1 具有相等峰值加速度的地震波
将地震记录的加速度按比例放大或缩小，使其
加速度等于事先确定的地震加速度峰值(本文将 4
条地震波的峰值调为 3.41m/s2 与 El_centro 波的峰值
摘 要：首先推导了离散 S 变换的基本算法，定义了反映地震波时频特性的时变幅值谱和时变能量谱；基于 S 变 换提出了把原始波调整成具有目标反应谱的新方法，分析了 El_centro 波、Northridge 波、Kobe 波和人工合成波 以及经调整后的各地震波的时频特征；对地震波的时变谱进行特征提取，提出了能反映地震波在时频空间中能量 集中程度的新概念，即地震波的时频特征谱；通过分析发现，具有相似功率谱密度函数(即具有相似频域特征)的 地震波，它们的弹性加速度反应谱可能有很大的差异，而具有相似时频特征谱的地震波，具有相似的弹性加速度 反应谱；相关性分析表明地震波的时频特征谱与线性结构的弹性加速度反应谱具有很好的线性相关性；最后建立 了地震波的时频特征谱与弹性加速度反应谱之间的近似转换关系式，此转换关系可作为合成具有目标反应谱的人 工地震波使用。 关键词：S 变换；时变谱；非平稳地震波；时频特征谱；结构地震响应 中图分类号：TU311.3; P315.3+1 文献标识码：A
Abstract: The formulas of discrete S-transform are derived , and the time-varying amplitude spectrum and time varying energy spectrum based on S-transform are given. A new procedure is presented to generate an accelerograms whose elastic response spectrum is compatible with a target spectrum by using actual earthquake records as parents. The time-frequency characteristics of Northridge wave, El-centro wave, Kobe wave and an artificial wave are analyzed through numerical example. The time-frequency characteristic spectrum which reflects the centralized degree of energy of earthquake ground motion is extracted from the time varying energy spectrum. It is showed that the time-frequency characteristic spectrum is related linearly to the elastic acceleration response spectrum. Finally, the approximate transformation equation between the time-frequency characteristic spectrum and the elastic acceleration response spectrum is established. Key words: S-transform; time-varying spectrum; non-stationary earthquake ground motions; the time-
1 S 变换及地震波时变谱估计
设地震波的时程为 s(t)，则它的 S 变换定义 为[9―10]：
+∞
∫ S( f ,τ ) = s(t)w( f ,τ − t) ⋅ exp(− j2π ft)dt (1) −∞
式中：f 为频率；τ 为时窗函数的中心； w( f ,τ − t)
为窗口函数，它可取如下的形式：
吕超(1982―)，男，河南信阳人，硕士生，从事结构隔震研究(E-mail: luchao@163.com)； 张辉(1983―)，男，河南南阳人，硕士生，从事结构隔震研究(E-mail: zhanghui@hust.edu.cn).
工程力学
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应 chirplet 变换)研究反映地震波能量在时频域变化 规律的时变谱特性。具有代表性的有 Spanos [3]等利 用不同谐小波函数对地震波的时变谱进行估计，他 们分别采用二进制谐小波、一般谐小波及滤波谐小 波变换对地震波进行分解，根据小波函数在时频域 内的正交性得到时变谱与小波系数之间的系数表 达式；近年来，他们还利用自适应 chirplet 变换研 究 地 震 波 的 时 频 特 性 [4] ； Wen[5] 等 对 非 平 稳 波 作 Hilbert-Huang 变换，并定义了 Hilbert 幅值谱，Hilbert 能量谱和 Hilbert 边际谱来描述非平稳地震波的时 频局部特性；在国内，曹晖、赖明[6]等对多种时变 谱估计方法作了综述；樊剑等[7]根据连续小波变换 的 Parsval 公式，推导了小波时变谱与连续小波系 数之间的关系，并把近年来提出的广义 S 变换用于 地震波的时变谱估计[8]。
RELATION BETWEEN TIME-FREQUENCY CHARACTERISTIC OF EARTHQUAKE GROUND MOTIONS AND STRUCTURAL EARTHQUAKE
RESPONSES
*FAN Jian , LU Chao , ZHANG Hui
(Department of Civil Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)
一致)，定义地震波 s(t)的总能量 E 为：
∫ E = 〈s(t), s(t)〉 = tp a2(t)dt 0
(8)
式中 tp 为地震波的总持续时间(取 20s)。 调幅后 4 条地震波的总能量见表 1，图 1 分别
给出了 4 条调幅波的时程图、功率谱图以及由式(7)
计算的时变谱图。时程图反映了地震波的能量在时
度；对于能量最大的 El_centro 波，虽然有很大的总
能量，但其在时频空间中的能量密度的最大值却比
Northridge 波小很多，说明与 Northridge 波相比
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工程力学
El_centro 波的能量在时频空间中的分布较均匀，能 量集中在[1.5,2.5]Hz 和[1,3]s、[2,2.5]Hz 和[4,6]s、 [1,2]Hz 和[11,13]s 等时频域内；人工波是这 4 条地 震波在时频空间中能量分布最均匀的 1 条，其能量 较均匀地分布在[0.5,4]Hz 和[0,12]s 这较大的时频范
称为时变相位谱； ⊗ 表示矩阵对应元素相乘。 与谱图定义相似，可以定义基于 S 变换的时变
能量谱：
Ps[ f ,τ ] = | S[ f ,τ ] |2
(7)
2 地震波的调整
选 择 Northridge-1994(Sylmar) 波 、 Kobe-1995
(Takarazuka)波、Imperial Valley-1940(El_centro)波和
注：E 表示地震波总能量，ρ 表示相关系数，Ｃ为系数；N 波表示 Northridge 波，K 波表示 Kobe 波，El 波表示 El_centro 波。