几何与线性代数(第二章 线性方程组与矩阵的运算)

3 2
0 0 1 4
B~
1 0
2 0
0 1
2 1
1 1
0 0 0 0 0
C~
1 0
1 0
2 0
2 1
0 0 0 0
非齐次线性方程组解的讨论
n元线 性方程组Ax b, 其中A是m n阶矩 阵, b是m 1矩阵 设 A~ ( Ab), A~经过 行初等变 换可化 为 阶梯 形矩阵R
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11
b1
am1 bm
不对应拐角元素1的未知量，称为自由未知量， 令其为
t1 , t2 ....
对应拐角元素1的未知量，称为固定未知量
注：Gauss变换中是行变换！ 同解性
二、线性方程组解的判定
引例：
A~
1 0
0 1
0 0
a1 j a2 j
amj
矩阵的元素： aij
注：下标i,j表示位于矩阵中的位置
矩阵通常用大写黑体字母A，B，C等表示
也可以表示为： A (aij )mn
定义： 利用矩阵的记号，上述线性方程组可以写成
矩阵形式，其中
Ax=b
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
kA (kaij )mn 注：每一元素均乘以k
性质： 1A=A
0A=O
k(lA)=(kl)A k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA
3、矩阵的乘法（重要!!!)
定义： A (aij )ms
B (bij )sn
则 C AB (cij )mn
s
其 中cij aik bkj ai1b1 j ai2b2 j aisbsj k 1
1、分块矩阵的加法和数乘
已知： A ( Akl )st ,
n1
n2
nt
A
m1
m2
A11
A21
A12
A22
A1t A2t
ms As1 As2 Ast
B (Bkl )st
加法：同型
数乘：
2、分块矩阵的乘法
Am p ( Akl )rs ,
n1
n2
ns
A
m1 m2
A11
A21
23
求A3 , Am
矩阵乘法的性质：
(1) EA=AE=A (2) A(BC)=(AB)C (3) A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA (4) k(AB)=(kA)B=A(kB)
注：1）矩阵的乘法不适合消去律，即
AC BC且C 0,不能推出A B
2）矩阵的乘法不适合交换律
矩阵乘法的应用：
A1
A
0
0
A2
0 0
0 0 As
s
其 中Ai是ri ri阶 方 阵(i 1,..., s)， 且 ri n i 1
例：
1 0 0 0 0 0
0 2 3 0 0 0
A
0
4
5
0
0
0
0 0 0 6 7 8
0 0
0 0
0 0
9 12
10 13
1141
二、分块矩阵的运算
例：
1 2
已
知
：A
1 4
2 5
3
6 23
,
B
3 5
4 6 32
求AB, BA
注意: 1)AB BA
2) 若AB=BA，称A与B是可交换的！
有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的方幂
定义： 对于n阶方阵A,如下定义A的方幂 A0 En , Ak1 Ak A,其中k是非负整数
例：
已
知
：A
2 0
3、分块矩阵的转置
设A ( Aij )st , 则AT ( ATji )ts
x11 x22 xnn b
三、线性方程组和矩阵的初等变换 引例：
x1 2 x2 x3 3
3
x1
x2
3x3
1
2
x1
3x2
x3
4
x1
消
去
法
，
3
x2
2
x3 4
求解过程中对方程组实施了以下三种变换： （1）互换方程组中两个方程的位置； （2）用一个非零的常数去乘方程组中的某一个方程； （3）把方程组中的某个方程的k倍加到另一个方程中 去。 上述三种变换称为线性方程组的初等变换。
定义 由m n个 数 排 成 的m行n列 的 数 表
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
称 为m n矩 阵(matrix )， 其 中aij为 矩 阵 的 第i行 第j列 的 元 素 ， 记 A (aij )mn
几种特殊矩阵
1、
1
E
0
0
即是解）
推论：
如果齐次方程组简化阶梯形矩阵的拐角元素 的个数<未知量的个数则齐次方程组一定有非 零解（无穷多解）
例： 2x1 x2 x3 2x4 0
x1 x2 2x3 x4 0
x1
x2
2x3
2 x4
0
3
x
t
1 0
5
方程组解的向量形式
第三节 矩阵的线性运算和乘法
一、回顾：矩阵
若 把 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn代 入 方 程 组 ， 使 每 个 方程 都 变 成 恒 等 式 ， 则 称 有 序数 组(c1 , c2 ,, cn )为 方 程 的 一 个 解 ， 所 有 的 解 放 在 一 起 组 成的 集 合 称 为 该 方 程 组 的解 集 。
二、线性方程组的矩阵表示
二、矩阵的加法和数乘运算
1、加法（同型）
定义： A (aij )mn
B (bij )mn
则C A B (cij )mn (aij bij )mn
规律：
2、数乘 定义：
A+B=B+A A+O=O+A A+(-A)=O
(A+B)+C=A+(B+C) (O---->零矩阵） (-A--->所有元素均为相反！）
5 6
x2 5x3 1
1 x4 6
A~
1 0
0 1
3 5
0 0
5/ 6 1
0 0 0 1 1/ 6
5 / 6 3t 5 / 6 3
X
1 5t
t
1
/
6
1 0
1
/
6
t
1 0
5
→方程组解的向量形式
简化阶梯形矩阵：在最终的矩阵中，可画出“阶梯状”虚线，使得：
1）有解的充要条件是R中的拐角元素不出现在最后一 列 2）无解的充要条件是R中的拐角元素出现在最后一列
3）有唯一解的充要条件是R中的拐角元素不出现在最后一列 且拐角元素的个数=未知量的个数
4）有无穷多解的充要条件是R中的拐角元素不出现在最后一列 且拐角元素的个数<未知量的个数
例：
x1 x2 x3 x4 2
第二章 线性方程组与矩阵的运算
第一节 线性方程组与矩阵的基本概念
一、线性方程组的相关概念
引例：考虑三元一次方程组：
x1 2 x2 x3 3
3
x1
x2
3x3
1
2
x1
3x2
x3
4
消去法：先x1, 后x2
x1 3
x2
2
x3
4
定义： 关 于 未 知 变 量x1 , x2 , xn的n元 一 次 方 程 组
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bn
矩阵A称为方程组的系数矩阵；x为未知量矩阵；b为
常数项矩阵。
A~ ( Ab) 称为方程组的增广矩阵
若引进记号
a11
1
a21
am1
a12
2
a22
am2
a1n
n
a2n
amn
则方程组也可以写成向量的行式：
定义：同解的方程组
定理：线性方程组经过有限次的方程组的初等变换以 后变为一个与之同解的方程组。
高斯消元法：通过线性方程组的初等变换逐个消去某个方程 的前几个未知量，从而化简方程组并求出其解的 方法。 （1）消去过程
（2）回代过程
上述求解过程可以通过增广矩阵的初等变换来实现：
A~
(
Ab)
1 3
2 1
设 甲 、 乙 两 家 公 司 生 产I,II,III三 种 型 号 的 计 算 机 ， 月产量（台）为
I II III
A
25 24
20 16
18 27
乙 甲
如 果 生 产 者 三 种 型 号 的计 算 机 每 台 的 利 润 （ 万元/台 ） 为
0.5 I B 0.2 II
0.7 III
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
称为n元线性方程组，其中x1, x2 , xn表示n个未知量,
m是
方
程
组
中
方
程
的
个
数, aij为
系
数
，b
为
j
常
数
项
若b1 b2 bm 0 上述方程组称为齐次线性方程组， 若b1，b2，，bm不 全 为 零 ， 则 称 为 非 齐次 线 性 方 程 组 。
1 3
3 1
2 3 1 4
求解过程相当于三种初等变换：
方程组
Ei E j kEi kE j Ei
矩阵
ri rj kri krj ri
第二节 解方程组 一、阶梯形矩阵
引例：
2
x1
x2
x3
2 x4
1
x1 x2 2 x3 x4 0
x1
x2
2x3
2 x4
1 2
x1
3x3
0 1 0
0 0 10
2、数量矩阵 E
Em Amn A ,
主对角线为1，其余为0.
En Anm A
注：数量矩阵可与任意n阶矩阵An的乘法可交换 可与任意n阶矩阵An的乘法可交换的只能是数量矩阵.
3 、对角矩阵 4、上三角矩阵 5、下三角矩阵
矩阵的相等：若A=B，则两矩阵同阶数 且对应元素相同
1、每一阶梯占一行 2、阶梯下元素为0 3、每一拐角处为1 4、包含拐角元素1的每一列其余元素均为0
1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 4
1 0 3 0 5 / 6 0 1 5 0 1 0 0 0 1 1 / 6
一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
性质： 1A=A
0A=O
k(lA)=(kl)A k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA
3、矩阵的乘法（重要!!!)
定义： A (aij )ms
B (bij )sn
则 C AB (cij )mn
s
其 中cij aik bkj ai1b1 j ai2b2 j aisbsj k 1
2
x1
2x2
3x3
x4
5
x1 x2 2 x3 3 x4 x5 4
1 0 0 3.5 0.5 1.5
0 1 0 0.5 0.5 0.5
0 0 1 3
0
1
t1 t2
无穷多解
例： x1 x2 x3 1
x1
x2
x3
1
x1
x2
x3
2
x1 x2 x3 3
1 1 1 1
A12 A22
A1s A2s
mr Ar1 Ar2 Ars
B pn ( Bkl )st
h1
h2
ht
B
n1
n2
B11
B2Fra Baidu bibliotek
B12
B22
B1t B2s
ns Bs1 Bs2 Bst
r
s
mi m ni p
i 1
i 1
t
hi n
i 1
注意：A中的列的分法必须和B中行的分法一致！
0 1 0 0.5
0 0
0 0
1 0
01.5
无解
总结
1、无解：最后一列出现拐角元素1 2、唯一解：除最后一列 其余各列均有拐角元素1
3、无穷多解：除最后一列，至少另外有一列 不是拐角元素1所在的列
齐次线性方程组解的讨论
n元线性方程组Ax 0, 其中A是m n阶矩阵
对齐次方程组，对应的增广矩阵的最后一列总为零 拐角元素不出现在最后一列 齐次方程组总有解（每个未知量取零
定义： 由m n个数aij(i 1,2,, m, j 1,2,, n)排成的
m行n列 矩 形 数 表
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
称 为m行n列 矩 阵 ， 简 称m n矩 阵
矩阵的第i行： (ai1 ,ai2 ,,ain )
矩阵的第j列：
对称矩阵： AT A 反对称矩阵： AT A
例：证明 A AT 是反对称矩阵
第四节 分块矩阵
一、分块矩阵的概念
目标:将矩阵分成若干小块，易于计算
1 0 0 0
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
0 0 1
E2 A1
O E2
每个小块称为A的子块。它们是各种类型的小矩阵。
几种特殊情况
1、按行分块
a11
A
a21
a12
a22
a1n 1
a2n
2
am1 am2 amn m
i (ai1 , ai 2 ,..., ain )
2、按列分块
A (1 , 2 ,..., n )
a1 j
j
a2
j
amj
3、准对角矩阵 （从对角矩阵推出） A是n阶方阵
则 这 两 家 公 司 的 月 利 润（ 万 元 ） 多 少?
4、矩阵的转置
定义：
a11
AT
(aij
)T mn
a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
nm
记 ：A (aij )mn
则
bij a ji
B AT
性质：
(1) (AT)T=A (2) (A +B)T=AT+BT (3) (kA) T=kAT (4) (AB)T=BTAT