2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第4课时 离散型随机变量

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第4课时 离

散型随机变量及分布列、

1. (选修23P 52习题1改编)下列问题属于超几何分布的有________．(填序号) ① 抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的概率分布列； ② 有一批种子的发芽率为70%，现任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的概率分布列；

③ 一盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，现任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的概率分布列；

④ 某班级有男生25人，女生20人，现选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的概率分布列．

答案：③④

解析：注意超几何分布的特征，其中涉及三个参量，①、②属于独立重复试验问题．

2. (选修23P 47例题3改编)设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝k

15

(k ＝1，2，3，4，5)，

则P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12

解析：P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12

标有数字1.若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________．

答案：1363

解析：数字之和小于2或大于3的对立事件为数字之和为2或者3，发生的概率为2·C 25C 3

5

C 510

，

所以数字之和小于2或大于3的概率为1－2·C 25C 3

5C 510＝13

63

.

4. (选修23P 51练习2改编)设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为________．

答案：37

解析：N ＝50，M ＝15，n ＝2，r ＝1，P(X ＝1)＝H(1，2，15，50)＝C 1

15C 1

35C 250＝3

7

.

5. (选修23P 50例1改编)某班级有男生12人、女生10人，现选举4名学生分别担任班

长、副班长、团支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为________．

答案：103133

解析：把选出的4人中男生的人数记为X ，显然随机变量X 满足超几何分布，所求事件的概率可以表示为P(X≥2)．有P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＋P(X ＝4)＝C 2

12C 2

10C 422＋C 3

12C 1

10C 422＋C 4

12C 0

10

C 4

22＝103

133

.

1. 离散型随机变量的分布列

(1) 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

(2) 设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则称表

为随机变量X 的概率分布，具有性质： ①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2. 如果随机变量X 的分布列为

其中0

在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝r}发生的概率为P(X ＝r)＝C r

M ·C n －r

N －M

C n

N

(r ＝0，1，2，…，l)，其中l ＝min{n ，M}，且n≤N，M ≤N ，n 、

M 、N∈N

，称分布列为超几何分布列．记为X ～H(n ，M ，N)，并将P(X ＝r)＝C r M ·C n －r

N －M

C n

N

记为H(r ；n ，M ，N)．

[备课札记]

题型1 离散型随机变量的概率分布

例1 随机地将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为ξ.求ξ的分布列．

解：ξ的分布列为

变式训练

在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数(例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时ξ的值是2)，求随机变量ξ的分布列．

解：随机变量ξ的取值为0、1、2，ξ的分布列为

题型2 超几何分布

例2 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2只正品，每次取一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X 为取出的次数，求X 的概率分布列．

解：P(X ＝2)＝810·79＝2845，P(X ＝3)＝810·29·78＋210·89·78＝14

45，P(X ＝4)＝1－P(X ＝2)

－P(X ＝3)＝1

15

，

所以X 的概率分布列如下表

一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布，并求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2

≤X≤52.

解：易知X 的可能取值为0、1、2、3这四个数字，而X ＝k 表示，共取了k ＋1次零件，

前k 次取得的都是次品，第k ＋1次才取得正品，其中k ＝0、1、2、3.

故X 的分布列为