一元二次不等式知识点归纳
数学一元二次不等式笔记
数学一元二次不等式笔记一、一元二次不等式的定义与一般形式。
1. 定义。
- 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。
2. 一般形式。
- ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），其中a、b、c是实数。
例如x^2-2x - 3>0就是一个一元二次不等式，这里a = 1，b=-2，c = - 3。
二、一元二次方程与一元二次不等式的关系。
1. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0，其判别式Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不同的实数根x_1=frac{-b+√(b^2)-4ac}{2a}，x_2=frac{-b - √(b^2)-4ac}{2a}。
例如方程x^2-3x+2 = 0，其中a = 1，b=-3，c = 2，Δ=(-3)^2-4×1×2=1>0，两根为x_1=2，x_2=1。
- 当Δ = 0时，方程有两个相同的实数根x_0=-(b)/(2a)。
如方程x^2-2x + 1 = 0，a = 1，b=-2，c = 1，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，根为x = 1。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
例如方程x^2+x+1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，Δ=1^2-4×1×1=-3<0。
2. 关系。
- 一元二次不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集与一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根有关。
- 当Δ>0时，不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集为{xxx_1}，不等式ax^2+bx + c<0(a>0)的解集为{xx_2。
- 当Δ = 0时，不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c<0(a>0)的解集为varnothing。
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。
2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。
因此，解集是实数集 R。
3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。
一元二次不等式知识点高一
一元二次不等式知识点高一在高一数学学习中，我们接触到了一元二次不等式，它是一种重要的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将从三个方面来介绍一元二次不等式的知识点。
一、一元二次不等式的基本性质一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
我们先来了解一下一元二次不等式的基本性质。
1. 一元二次不等式存在两种形式，即大于号（>）和小于号（<），分别对应着解集是开区间和闭区间。
2. 一元二次不等式的解集可用数轴上的点表示。
通过求解一元二次不等式的根，就可以确定解集在数轴上的位置。
如果根为实数r1和r2，并且a > 0，那么解集为(r1, r2)；如果根为实数r1和r2，并且a < 0，那么解集为(-∞, r1)∪(r2, +∞)。
3. 一元二次不等式的解集与系数a的正负有关。
当a > 0时，解集向上开口；当a < 0时，解集向下开口。
这一性质也可以通过函数图像的凹凸性来理解。
二、解一元二次不等式的方法在解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 图像法：根据一元二次不等式与二次函数的关系，我们可以通过绘制二次函数的图像，并观察函数与x轴的交点来确定解集。
2. 代数法：通过变形、移项和配方法等代数运算来求解一元二次不等式。
具体步骤为：将一元二次不等式变形为一个完全平方相等式；求解该相等式得到根，并画出根的数轴；根据系数a的正负以及根的位置来确定解集。
三、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题和约束问题中。
1. 优化问题：一元二次不等式可以用来表示某个自变量的取值范围，使得目标函数取得最大（或最小）值。
例如，在某个产品的生产过程中，通过一元二次不等式确定生产数量的上下限，从而达到最大利润或最小成本。
2. 约束问题：一元二次不等式可以用来表示某个变量的约束范围。
一元二次不等式知识点总结梳理PPT
了解一元二次不等式在实际问题中的应用：如物理、化学、经济等领域中的实际问 题。
关注一元二次不等式在高考中的命题趋势：了解历年高考中一元二次不等式的考查 形式和难度，为备考做好准备。
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构造函数
将实际问题中的存在性问题转化 为判断方程根的存在性及个数问
题。
利用判别式
利用一元二次方程的判别式，判 断方程根的存在性及个数。
解方程得解
若方程有解，则通过解方程得到 实际问题的解。
05
典型例题解析及易错点 剖析
典型例题解析
例题一
解析一元二次不等式 $x^2 4x + 3 > 0$ 的解法。
图像法
一元二次不等式的解集可以通过图像 法直观地表示出来。在平面直角坐标 系中，画出对应的一元二次函数图像 ，根据图像确定不等式的解集。
注意事项
在使用图像法解一元二次不等式时， 需要注意图像开口方向以及与x轴交点 的情况。
02
求解一元二次不等式方 法
配方法求解
01
02
03
配方思想
将一元二次不等式转化为 完全平方形式，便于求解 。
性质
一元二次不等式具有与一元二次 方程相似的性质，如判别式、解 集等。
判别式与解集关系
判别式
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，其判别式Δ=b²-4ac。
解集关系
当Δ>0时，不等式有两个不相等的实根；当Δ=0时，不等式有两个相等的实根 ；当Δ<0时，不等式无实根。
一元二次不等式与基本不等式常见题型及讲解
一、引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。
掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。
本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、一元二次不等式的基本概念1. 一元二次不等式的定义一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。
一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。
2. 一元二次不等式的常见形式一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。
三、一元二次不等式的解法及常见题型1. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。
需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。
2. 一元二次不等式的常见题型及讲解(1) 一元二次不等式的根的情况讨论当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。
当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。
(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。
根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。
(3) 一元二次不等式的应用题针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。
四、基本不等式的概念及应用1. 基本不等式的定义基本不等式是指在一定条件下成立的不等式，常见的基本不等式有算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦兹不等式等。
最新一元二次不等式知识点归纳学习资料
一元二次不等式知识点归纳解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=>0（或<0）（a>0）② 计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ. >0时，求根<，ⅱ. =0时，求根＝＝，ⅲ. <0时，方程无解，③ 写出解集。
【典型例题】例1. 解不等式（1）（2）（3）解：（1）因为。
所以，原不等式的解集是。
（2）因为。
所以，原不等式的解集是。
（3）整理，得。
因为无实数解，所以不等式的解集是。
从而，原不等式的解集是。
例2. 解关于x的不等式分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。
解：（1）当有两个不相等的实根。
所以不等式的解集是：（2）当有两个相等的实根，所以不等式，即；（3）当无实根所以不等式解集为。
例3. 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。
解：∵（∵4x2+6x+3恒正），∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k>0对x取任何实数均成立。
∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）<0k2－4k+3<01<k<3。
∴k的取值范围是（1，3）。
小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分例4. 已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－1<0的解集为R，求a的取值范围。
分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0。
解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，即a<－。
∴a的取值范围是a∈（－，－）。
说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。
（想想为什么？）例5. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.2、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．4、若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式成立的是（）A．ab <1B．ba+ab>2C．1ab2<1a2bD．a2+a<b2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C5、对∀x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，则a的取值范围是（）A．−2<a≤2B．−2≤a≤2C．a<−2或a≥2D．a≤−2或a≥2答案：A分析：对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.6、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立.故选：C.7、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a(a−b)−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.多选题9、对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+dC．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则1a >1b答案：AB分析：可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.解：若ac2>bc2，两边同乘以1c2则a>b，A对，由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，令a=﹣1，b=﹣2，则1a <1b，D错.10、关于x的一元二次不等式x2−2x−a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是（）A．2B．4C．6D．8答案：BC解析：求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得a的不等式，解之，然后判断各选项可得．易知Δ=4+4a≥0，即a≥−1，解原不等式可得1−√1+a≤x≤1+√1+a，而解集中只有5个整数，则2≤√1+a<3，解得3≤a<8，只有BC满足．故选：BC．11、已知实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，则下列不等式一定成立的是（）A．ab>ac B．c(b−a)>0C．ac(a−c)<0D．cb2<ab2答案：ABC分析：根据c<b<a，且ac<0，得到a>0,c<0，然后利用不等式的基本性质，逐项判断.因为实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，所以a>0,c<0，由b>c,a>0，得ab>ac，故A正确；由b<a,c<0，得c(b−a)>0，故B正确；由a>c,ac<0，得ac(a−c)<0，故C正确；由a>c,b2≥0，得cb2≤ab2，当b=0时，等号成立，故D错误；故选：ABC填空题12、若不等式x2−2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立，则x的取值范围是___________答案：x<−2或x>2分析：令f(m)=mx−x2+2，依题意可得−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，则{f(1)<0f(−1)<0，即可得到关于x 的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x2−2>mx，所以mx−x2+2<0令f(m)=mx−x2+2，即f(m)<0在|m|≤1恒成立，即−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，所以{f(1)<0f(−1)<0，即{x−x 2+2<0−x−x2+2<0，解x−x2+2<0得x>2或x<−1；解−x−x2+2<0得x>1或x<−2，所以原不等式组的解集为x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)13、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].解答题15、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.。
一元二次不等式及其解法
∵ 32 4 2 2 7 0
∴方程 2x 2 3x 2 0 无实数根 ∴原不等式的解集为 R.
习题 1: 解下列不等式: （1） x 2 5x 6 0 ;
（2） x 2 7x 6 ;
x 2 6x 10 0
（3） 2 xx 3 0 ;
;
当 a 1 ,即 a 1或0 a 1 时,原不等式的解集为 x a x 1 .
原不等式可化为 x 22 0 或 x 22 0 ,所以原不等式的解集为 x x 2或 x x 2;
当 0 ,即 4 a 4 时 方程 x 2 ax 4 0 无实数根,所以原不等式的解集为 R.
例 7. 解不等式 m2 1x 2 4x 1≥0 m R.
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（2）一元二次不等式 ax 2 bx c 0 （≤0）的解集就是二次函数 y ax 2 bx c 0a 0
的图象位于 x 轴下方（包括 x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.
表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:
判别式 b 2 4ac
解:∵ m 2 ≥0 ∴m2 1 0
42 4m2 1 12 4m2
当 0 ,即
一元二次不等式知识点归纳
一元二次不等式知识点归纳
一、一元二次不等式解集求解
【解题提示】通常的解题步骤为：求解对应方程的根、结合图像开口方向判定不等式解集具体是在两根之间还是两根两侧。
尤其注意函数开口向下时解集的判定。
在实际求解时，一、注意含有参数的一元二次不等式，运用十字分解求解;二、注意在题目中隐藏的根判别式小于0;
二、一元二次不等式恒成立
【解题提示】1、若一元二次不等式ax^2+bx+c>0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向上且无解;
2、若一元二次不等式ax^2+bx+c<0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向下且无解;
通常出题会出“无解”的如下两种方式：此时转化为题目的反面恒成立求解即可。
1、一元二次不等式ax^2+bx+c>0无解(a不为0)，此时即
ax^2+bx+c<=0恒成立，即：开口向下且根判别式小于等于0;
2、一元二次不等式
ax^2+bx+c<00=""2=""a=""ax=""bx=""c="">=0恒成立，即：开口向上且根判别式小于等于0;
【注】若不等式中的二次项含有未知系数时，务必要对二次项系数为0与不为0，进行分类讨论。
三、不等式解集端点值为对应方程的根
【解析提示】不等式解集的端点值为对应方程的根，结合韦达定理求解。
求解时注意二次项前系数的正负号判别。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D2、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．7、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab <1B ．ba +ab >2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a <b 2+b 答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C8、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4 答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1ab a b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD.11、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a +1b <b +1a C ．若a <b <c <0，则ba <b+ca+c D ．若a >0，b >0，则b 2a +a 2b≥a +b答案：BCD解析：取c =0可判断A 选项的正误；利用作差法可判断BCD 选项的正误. 对于A 选项，当c =0时，则ac 2=bc 2，A 选项错误；对于B 选项， (a +1b )−(b +1a )=(a −b )+(1b −1a )=(a −b )+a−b ab=(a −b )(1+1ab )，∵a <b <0，a −b <0，ab >0，∴1+1ab >0，则(a +1b )−(b +1a )<0，B 选项正确； 对于C 选项，ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )，∵a <b <c <0，则b −a >0，a +c <0，则ba −b+ca+c <0，C 选项正确； 对于D 选项，(b 2a +a 2b)−(a +b )=b 2−a 2a+a 2−b 2b=(b 2−a 2)(1a −1b )=(b 2−a 2)(b−a )ab=(b+a )(b−a )2ab，∵a >0，b >0，则(b 2a +a 2b)−(a +b )=(b+a )(b−a )2ab≥0，D 选项正确.故选：BCD.小提示：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32， 因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]解答题15、实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围．答案：(1)a∈[-2,3]，b∈[-72,3 2 ](2)[-4,11]分析：（1）由a=12[(a+b)+(a-b)]，b=12[(a+b)-(a-b)]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，再利用不等式的性质得解.（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，则a=12[(a+b)+(a-b)]，所以-4≤(a+b)+(a-b)≤6，所以-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3，即-2≤a≤3，即实数a的取值范围为[-2,3]．因为b=12[(a+b)-(a-b)]，由-1≤a-b≤4，所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3， 所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，∴-72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[-72,32]．（2）解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ， 则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12n =52 ，∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )， ∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4． ∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10， ∴-4≤3a -2b ≤11，即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。
本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。
一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。
在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。
1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。
当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。
2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。
开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。
在计算中，根据具体问题选择合适的区间。
二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。
1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。
为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。
当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。
然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。
2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。
与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。
3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。
当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。
一元二次不等式高一知识点
一元二次不等式高一知识点一元二次不等式是高中数学中重要的知识点之一，它是由一元二次方程推导而来，是解决实际问题的有力工具。
本文将介绍一元二次不等式的定义、性质和解法，并附带例题进行讲解。
一、一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）的不等式，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，ax^2表示二次项，bx表示一次项，c是常数项。
在解一元二次不等式时，首先要判别一元二次不等式的开口方向，即判断不等式的二次项系数a的正负性。
当a>0时，二次不等式开口朝上；当a<0时，二次不等式开口朝下。
二、一元二次不等式的性质1. 不等式两边加（或减）同一个实数时，不等关系不变。
2. 不等式两边乘（或除）同一个正实数时，不等关系不变。
3. 不等式两边乘（或除）同一个负实数时，不等关系改变。
三、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的关键在于找到x的取值范围。
解的步骤如下：1. 将不等式中的所有项移到一边并合并同类项，化为一元二次不等式标准形式ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）。
2. 利用一元二次不等式的性质，将一元二次不等式转化为等价的形式，以便求解。
例如，可以将二次项提取因式，将不等式转化为两个一次不等式的交集或并集。
3. 解二次不等式的交集或并集，得到x的取值范围。
4. 根据开口方向判断不等式的解集情况。
当二次项系数a>0时，解集为x在某一区间内的所有实数；当二次项系数a<0时，解集为x不在某一区间内的所有实数。
四、例题解析例题1：解不等式x^2-4x+4≥0。
解：首先将不等式化为标准形式，得到x^2-4x+4≥0。
然后，将等式两边化简并提取因式，得到(x-2)^2≥0。
由于平方值不可能小于0，所以(x-2)^2≥0对任意实数x成立。
因此，解集为实数集R。
例题2：解不等式2x^2+3x-2>0。
解：首先将不等式化为标准形式，得到2x^2+3x-2>0。
初中数学知识归纳一元二次不等式的解法
初中数学知识归纳一元二次不等式的解法对于初中数学学习者而言，一元二次不等式的解法是一个重要的知识点。
它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将对一元二次不等式的解法进行归纳总结，供读者参考。
一、原理介绍解一元二次不等式的基本思路是转化为二次方程进行讨论。
所谓"一元二次不等式"指的是只含有一个未知数的二次不等式。
比如，我们考虑如下的一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c均为实数，且a ≠ 0。
二、解法归纳根据实际情况的不同，一元二次不等式的解法可以归纳为以下三种情况：当a > 0时，当a < 0时，以及当a = 0时。
下面我们分别进行介绍。
1. 当a > 0时当a > 0时，一元二次不等式的解法如下：1）首先将一元二次不等式化为二次方程，即ax^2 + bx + c = 0。
2）求解二次方程的解集，设为{α，β}。
3）根据二次函数的性质，对于给定的x值，只要落在α和β之间，不等式成立。
4）因此，解集为(-∞，α) ∪ (β，+∞)。
2. 当a < 0时当a < 0时，一元二次不等式的解法如下：1）首先将一元二次不等式化为二次方程，即ax^2 + bx + c = 0。
2）求解二次方程的解集，设为{α，β}。
3）根据二次函数的性质，对于给定的x值，只要落在α和β之间，不等式不成立。
4）因此，解集为[α，β]。
3. 当a = 0时当a = 0时，一元二次不等式的解法如下：1）注意到一元二次不等式变为bx + c > 0。
2）如果b > 0，则解集为(-∞，-c/b) ∪ (0，+∞)。
3）如果b < 0，则解集为(-∞，0) ∪ (-c/b，+∞)。
4）如果b = 0，不等式无解。
三、例题解析为了更好地理解一元二次不等式的解法，我们通过几个例题进行解析。
例题一：解不等式x^2 - 4x > 0。
一元二次不等式的经典高一数学考点
一元二次不等式的经典高一数学考点高一数学知识点整理概念含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0(a不等于0),其中ax^2+bx+c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法 1)当V("V"表示判别是，下同)=b^2-4ac>=0时，二次三项式，ax^2+bx+c有两个实根，那么ax^2+bx+c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。
还是举个例子吧。
2x^2-7x+6<0利用十字相乘法2 -31 -2得(2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论：一、2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2。
不成立二、2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集为：1.5另外，你也可以用配方法解二次不等式：2x^2-7x+6=2(x^2-3.5x)+6=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)^2-0.125<02(x-1.75)^2<0.125(x-1.75)^2<0.0625两边开平方，得x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为1.5我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在图6-1中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a>b.我们再看图6-1，a>b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：如果a>b，那么a-b是正数;逆命题也正确.类似地，如果a这就是说：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.例1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.解：(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0，∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).例2 已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.由x≠0，得x2>0，从而(x2+1)2>x4+x2+1.想一想：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?练习1.比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小.利用比较实数大小的'方法，可以推出下列不等式的性质.定理1 如果a>b，那么bb.证明：∵a>b，∴a-b>0.由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0，即b-a<0，∴b(定理1的后半部分请同学们自证.)定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向①.①在两个不等式中，如果每一个的左边都大于(或小于)右边，这两个不等式就是同向不等式，例如a2+2>a+1，3a2+5>2a是同向不等式;如果一个不等式的左边大于(或小于)右边，而另一个不等式的左边小于(或大于)右边，这两个不等式就是异向不等式，例如a2+3>2a，a2定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c.证明：∵a>b，b>c，∴a-b>0，b-c>0.根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+(b-c)>0，即a-c>0，∴a>c.根据定理1，定理2还可以表示为：如果c定理3 如果a>b，那么a+c>b+c.证明：∵(a+c)-(b+c)=a-b>0，∴a+c>b+c.定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.想一想：如果a利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b.也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.推论如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d.证明：∵a>b，∴a+c>b+c. ①∵c>d，∴b+c>b+d. ②由①、②得 a+c>b+d.很明显，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加.这就是说，两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.定理4 如果a>b，且c>0，那么ac>bc;如果a>b，且c<0，那么ac证明：ac-bc=(a-b)c.∵a>b，∴a-b>0.根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c>0时，(a-b)c>0，即ac>bc;当c<0时，(a-b)c<0，即ac由定理4，又可以得到：推论1 如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd.同学们可以仿照定理3的推论证明定理4的推论1.很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.由此，我们还可以得到：推论2 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，且n>1).我们用反证法来证明.这些都同已知条件a>b>0矛盾.利用以上不等式的性质及其推论，就可以证明一些不等式.例3 已知a>b，cb-d.证明：由a>b知a-b>0，由c0.∵(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0，∴a-c>b-d.证明：∵a>b>0，即又 c<0，解不等式1.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解无理不等式;④解指数不等式;⑤解对数不等式;⑥解带绝对值的不等式;⑦解不等式组.2.解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质.(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3.不等式的同解性(1)|f(x)|0)(2)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.(3)当a>1时，af(x)>ag(x)与f(x)>g(x)同解，当0ag(x)与f(x)函数1、若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有非空真子集的个数是。
一元二次不等式高中知识点
一元二次不等式是高中数学中的一个重要知识点，它与一元二次方程和二次函数密切相关。
以下是一元二次不等式的知识点概括：
一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。
一般形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（a≠0）。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法与一元二次方程的解法密切相关，通过求解一元二次方程，可以得到一元二次不等式的解集。
一元二次不等式的应用：一元二次不等式可以应用于很多领域，例如物理学、工程学、经济学等。
一元二次不等式的图像：一元二次不等式的图像是一个抛物线，根据抛物线的开口方向和与x轴的交点，可以确定一元二次不等式的解集。
一元二次不等式的解集：一元二次不等式的解集通常是一个区间或几个区间的组合，根据一元二次不等式的图像和开口方向，可以确定解集的范围。
一元二次不等式的符号规则：一元二次不等式的符号规则与一元二次方程相同，即当判别式△>0时，不等式的解集为两个区间；当判别式△=0时，不等式的解集为一个区间；当判别式△<0时，不等式的解集为空集。
一元二次不等式的实际应用：一元二次不等式可以应用于很多实际问题中，例如求解函数的极值点、最值点，求解物理中的速度、加速度等问题。
以上是一元二次不等式的主要知识点概括，掌握这些知识点可以帮助学生更好地理解一元二次不等式的概念和应用。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳单选题1、设a＞b＞1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b−1a−1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1答案：C分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−b(a+1)a=a−b(a+1)a＞0，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba −b−1a−1=ab−b−ab+aa(a−1)=a−ba(a−1)＞0，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.2、已知a>0,b>0,a+b=1，则y=1a +3b的最小值是（）A．7B．2+√3C．4D．4+2√3答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a>0,b>0,a+b=1，所以y=1a +3b=(a+b)(1a+3b)=4+ba+3ab≥4+2√ba⋅3ab=4+2√3，当且仅当ba =3ab即b=√3a时，等号成立.结合a+b=1可知，当a=√3−12,b=3−√32时，y有最小值4+2√3.故选：D.3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a <b ，A 错误；对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误； 对于C ，当a >0>b 时，1a>0>1b，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D.4、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1 可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1 ，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ， 所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，≥14(5+2√ab ⋅4b a)=94， 当且仅当{1b +4a=4ab=4b a，即{a =32b =34时，等号成立， 故选：C7、若(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−∞,4]B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4] 答案：D分析：解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围.由(x −a)2<4，可得：a −2<x <a +2；由1+12−x =3−x 2−x ≤0，则{(x −2)(x −3)≤02−x ≠0，可得2<x ≤3；∵(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0， ∴{a −2≤2a +2>3，可得1<a ≤4.故选：D.8、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（ ） A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A. 多选题9、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB 上取一点C ，使得AC =a,BC =b ，过点C 作CD ⊥AB 交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD .下面不能由OD ≥CD 直接证明的不等式为（ ）A ．√ab ≤a+b 2(a >0，b >0)B ．√ab ≥2ab a+b(a >0，b >0)C ．a 2+b 2≥2ab(a >0，b >0)D ．a+b 2≤a 2+b 22(a >0，b >0)答案：BCD解析：由AC =a,BC =b ，得到OD =12(a +b )，然后利用射影定理得到CD 2=ab 判断. 因为AC =a,BC =b ，所以OD =12(a +b ),因为∠ADB =90∘，所以由射影定理得CD 2=ab ， 因为OD ≥CD ， 所以√ab ≤a+b 2，当且仅当a =b 时取等号，故选：BCD10、已知P =a 2+b 2，Q =2ab ，R =(a+b )22，则（ ）A ．P ≥RB ．Q ≥RC ．P ≤RD ．P ≥Q 答案：AD分析：对于A,B,C 利用作差法即可比较出大小,对于D 利用不等式传递性即可. 对于A ，P −R =(a 2+b 2)−(a+b )22=(a−b )22≥0，则P ≥R ，故A 正确；对于B ，R −Q =(a+b )22−2ab =a 2−2ab+b 22=(a−b )22≥0，所以R ≥Q ，故B 错误；对于C ，由已证得P ≥R ，故C 错误； 因为P ≥R ，R ≥Q ，所以P ≥Q ，故D 正确 故选:AD11、已知x >0，y >0且3x +2y =10，则下列结论正确的是（ ） A ．xy 的最大值为625B ．√3x +√2y 的最大值为2√5 C ．3x+2y的最小值为52D ．x 2+y 2的最大值为10013答案：BC分析：利用基本不等式直接判断A ；利用基本不等式求得(√3x +√2y)2的最大值可判断B ；利用基本不等式“1”的代换可判断C ；利用二次函数的性质可判断D ； ∵x >0，y >0且3x +2y =10，∴0<x <103，0<y <5对于A ，利用基本不等式得10=3x +2y ≥2√3x ×2y ，化简得xy ≤256，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时，等号成立，所以xy 的最大值为256，故A 错误；对于B ，(√3x +√2y)2=3x +2y +2√6xy =10+2√6xy ≤10+10=20，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时，等号成立，所以√3x +√2y 的最大值为2√5，故B 正确；对于C ，3x +2y =110×(3x +2y )(3x +2y )=110×(9+6x y +6y x+4)≥110×(13+2√6x y ⋅6yx)=52， 当且仅当6xy =6yx，即x =y =2时，等号成立，所以3x +2y 的最小值为52，故C 正确； 对于D ，x 2+y 2=(10−2y 3)2+y 2=13y 2−40y+1009(0<y <5)利用二次函数的性质知，当0<y <2013时，函数单调递减；当2013<y <5时，函数单调递增，∴(x 2+y2)min=13×(2013)2−40×2013+1009=10013，(x 2+y 2)max <13×(5)2−40×5+1009=2259，故D 错误；故选：BC 填空题12、设x 1、x 2、x 3、y 1、y 2、y 3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2，x 1y 2+x 2y 3+x 3y 1，x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3，x 1y 3+x 2y 2+x 3y 1，x 1y 3+x 2y 1+x 3y 2，能同时取到150的代数式最多有________个． 答案：2分析：由作差法比较大小后判断 不妨设x 1<x 2<x 3，y 1<y 2<y 3，记x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3为①式，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2为②式，以此类推， 由①−②=x 2y 2+x 3y 3−x 2y 3−x 3y 2=(x 2−x 3)(y 2−y 3)>0，故①>②， ②−③=x 1y 1+x 3y 2−x 1y 2−x 3y 1=(x 1−x 3)(y 1−y 2)>0，故②>③， ①−④=x 1y 1+x 2y 2−x 1y 2−x 2y 1=(x 1−x 2)(y 1−y 2)>0，故①>④， 同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤， 综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2=x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3=150，得其一组解为{x 1=−1x 2=0x 3=1 ，{y 1=2y 2=152y 3=302所以答案是：213、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示）答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论． 2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3 解得{m =−12n =52 ，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3， −2≤−12(x +y )≤12, 5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8， 所以答案是：[3,8]．14、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3， 当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3.所以答案是：3+2√3. 解答题15、已知a >0，b >0.（1）求证：a2+3b2≥2b(a+b)；（2）若a+b=2ab，求ab的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据a+b=2ab，可得2ab=a+b≥2√ab，从而得到√ab≥1，进而求得ab≥1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）∵a2+3b2−2b(a+b)=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0，∴a2+3b2≥2b(a+b).（2）∵a>0，b>0，∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，∴√ab≥1，∴ab≥1.当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.。
高中数学一元二次不等式知识点总结
高中数学一元二次不等式知识点总结一元二次不等式知识点总结（人教版）一、一元二次不等式的基本形式。
1. 定义。
- 一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），其中a、b、c是实数。
- 例如x^2-3x + 2>0，这里a = 1，b=-3，c = 2。
二、一元二次方程与一元二次不等式的关系。
1. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根与一元二次不等式解集的联系。
- 当Δ=b^2-4ac>0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)有两个不同的实根x_1,x_2(x_1。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为{xx或x>x_2}；对于不等式ax^2+bx + c<0(a>0)，其解集为{xx_1。
- 当Δ=b^2-4ac = 0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为{xx≠ x_0}；对于不等式ax^2+bx + c<0(a>0)，其解集为varnothing。
- 当Δ=b^2-4ac<0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)没有实根。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为R；对于不等式ax^2+bx +c<0(a>0)，其解集为varnothing。
三、一元二次不等式的解法。
1. 因式分解法（当二次三项式容易因式分解时）- 例如解不等式x^2-3x + 2>0。
- 先将二次三项式因式分解为(x - 1)(x - 2)>0。
- 则有x - 1>0 x - 2>0或x - 1<0 x - 2<0。
- 解x - 1>0 x - 2>0得x>2；解x - 1<0 x - 2<0得x<1。
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一元二次不等式知识点归纳
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0（或<0）（a>0）
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ. >0时，求根<，
ⅱ. =0时，求根＝＝，
ⅲ. <0时，方程无解，
③ 写出解集。
【典型例题】
例1. 解不等式
（1）（2）
（3）
解：（1）因为。
所以，原不等式的解集是。
（2）因为。
所以，原不等式的解集是。
（3）整理，得。
因为无实数解，
所以不等式的解集是。
从而，原不等式的解集是。
例2. 解关于x的不等式
分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。
解：
（1）当有两个不相等的实根。
所以不等式的解集是：
（2）当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
（3）当无实根
所以不等式解集为。
例3. 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。
解：∵
（∵4x2+6x+3恒正），
∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k>0对x取任何实数均成立。
∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）<0k2－4k+3<01<k<3。
∴k的取值范围是（1，3）。
小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分
例4. 已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－1<0的解集为R，求a的取值范围。
分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0。
解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，
即
a<－。
∴a的取值范围是a∈（－，－）。
说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。
（想想为什么？）
例5. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。
（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。
（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题。
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。
解：（1）条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得
∴。
（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组
:。