非齐次线性方程组

2 1
1
2
1 1
1 3
r1 (r2 r3 )
0
1
0 2
0 1
7 3
1 1 2 9
1 1 2 9
R( A) 2, R( A) 3 方程组无解
19
作业
• P72 2.5(1) 2.7
20
1 1 1
（1）当 0 且 3 时，方程组有唯一解
18
（2）当 0 时，方程组的增广矩阵为
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0
r2 r1 r3 r1
1
0
0
1 0 0
1 0 0
1 1 1
R( A) 1, R( A) 2 方程组无解
（3）当 3时，方程组的增广矩阵为
定理 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵
的秩等于增广矩阵的秩，即 R( A) R( A) 。 当 R( A) R( A) r n 时，方程组有唯一解； 当 R( A) R( A) r n 时，方程组有无穷多解； 当 R( A) R( A) 时，方程组无解。
5
●非齐次线性方程组的解的性质 非齐次线性方程组 AX b (1) 对应的齐次线性方程组 AX 0 (2)
1 4
0 0 0
0
0
即得
x1
x2
x3 x4
5
4
1 4
0
0
3
2
3
4
k1
3
2
k2
7 4
1 0
0 1
x1
3 2
x3
3 4
x4
5 4
x
2
3 2
x3
7 4
x4
1 4
x3 x3
x
4
x4
(k1,k2 R)
Ax b 的通解为
x k11 L knr nr
10
例 判别方程组是否有解？
2x y 2z 3w 1 3x 2y z 2w 4 3x 3y 3z 3w 5
解 方程组的增广矩阵为
2 A 3
3
1 2 3
2 1 3
3 2 3
1 4 5
2
0
0
1 1 3
2 4 12
3 5 15
1 2
5
0
7 0
1 1 0
2 4 0
3 5 0
0
k1
1
k2
0
z 0 0 1
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
,
2
0
0
1
为基础解系
17
练习
为何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？
有无穷多解时，求解方程组。
1
x1
x1 1
x2 x2
x3 x3
1
x1
x2
1
x3
2
解 方程组的系数行列式为
1 1 1 1 1 1 2 (3 )
x 1 2
y
2
k
1
z 0 1
2
其中
1
为基础解系
1
15
例 求解线性方程组，当 K 为何值时，方程组有（1）唯一解？
（2）无解？（3）无穷多解？并用基础解系表示通解。
kx y z 1
（2）当 k 2 时，增广矩阵为
x
ky
z
k
x
y
kz
k
2
解 方程组的系数行列式为
1
第2.5节
非齐次线性方程组
2
线性方程组的矩阵描述
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................
am1x1am2 x 2 L amn xn bm
矩阵形式 AX b
AX b 有唯一解 R (A ) R (A ) n AX b 有无穷个解 R (A ) R (A ) n
9
齐次方程组解情况总结：
r A X 0 一定有解,因为R (A ) R (A )
r AX 0 有唯一解 R (A ) n
r AX 0 有无穷个解 R (A ) n
r3 r1
0
0
1 4 4
3 6 6
1 7 7
1
1
1
1 1 3
r3 r2
r2 ( 14 )
0
1
3
2
1 7
4
1
1
4
1
0
3 2
r1r2
0
1
3 2
3 4 7 4
5
4
1 4
0 0 0 0 0
R( A) R( A) 2
0 0 0 0 0 12
1
0
32
3 4
5 4
0
1
32
74
k11 1 k 1 (k 2)(k 1)2
2 1 1 1
A
1
2
1
2
1 1 2 4
r1 2r3 r2 r3
0
0 1
3 3 1
3 3 2
9
6 4
11k
0 0 0 3
r1 r2
0
3
3
6
（1）当 k 2 且 k 1时，
1 1 2 4
方程组有唯一解。
R( A) 3 R( A) 2
增广矩阵
4
●非齐次线性方程组有解的充要条件
非齐次线性方程组AX=b有解
向量b可由矩阵A的列向量组 1,2 ,L ,n 线性表示 向量组 1,2 ,L ,n 与向量组 1,2 ,L ,n , b 等价
R1,2,L ,n R1,2,L ,n,b
R( A) R( A) 其中 A Ab ，称为增广矩阵
am1x1am2 x 2 L amn xn bm
(4)
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
系数矩阵
a1n
a2n
M
amn
a11 a12 L a1n b1
B
a21
a22
L
a2n
b2
M M M M M
am1 am2 L amn bm
2 3 1 4
A
1 3
2 8
4 2
5
13
4 1 9 6
r3 2r2
r4 r2
1 7
r2
r1 2r2
1
0
0
0
0 1 0 0
2 1 0 0
1
2
0
0
14
所以 R( A) R( A) 2 3 方程组有无穷多解
一般解为
x
y
1 2z 2 z
（其中Z为自由未知量）
令Z=K，将一般解改写为向量形式，得
如果 1,2 是（1）的解，则 1 2 是（2）的解。
证明 A1 b A2 b
A1 2 0
如果 是（1）的解， 是（2）的解，则
是（1）的解。
证明 A b A 0
A b
6
●非齐次线性方程组的解的结构定理
如果 是非齐次线性方程组的特解，1,2 ,L ,nr 是对应
的齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的通解
此时，方程组无解。
16
（3）当 k 1 时，增广矩阵为
1 1 1 1
A 11
1 1
1 1
11
1 1 1 1
0
0
0
0
0 0 0 0
R( A) R( A) 1 n 3
此时方程组有无穷多解，一般解为
x 1 y z （ y, z为自由未知量）
1 1
x 1 1 1
即
y
可表示为 X k11 k22 L knrnr 。
7
非齐次线性方程组 对应的齐次线性方程组
AX b (1) AX 0 (2)
非齐次线性方程组的解的结构
AX b 的通解为
X k 11 L k n rn r
（1）的特解 （2）的通解
8
非齐次方程解的情况总结：
AX b 无解 R (A ) R (A ) AX b 有解 R (A ) R (A )
1
5
8
R( A) 2, R( A) 3 所以方程组无解
11
例 解线性方程组
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0
解 将方程组的增广矩阵作初等行变换
1 A 3
1
1 1 5
3 3 9
1 4 8
1 4 0
1
r2 3r1
（1）的特解 （2）的通13解
例 求解线性方程组
2x 3y z 4 x 2 y 4z 5 3x 8y 2z 13 4x y 9z 6
r1 2r2 1 2 4 5
r3 3r2 r4 4r2
0
0
7 14
7 14
14
28
r1 r2 0 7 7 14
解 将增广矩阵作行初等变换
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
X
x
2
M
x
n
m个方程 ，
n个未知数
b1
b
b2
M
bm 3
非齐次线性方程组
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................