汽车比火车跑的快。

1、 汽车比火车跑的快。 )),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀

2、 有的汽车比所有的火车跑的快 ))),()(()((y x R y Q y x P x →∀∧∃

3、 并不是所有的汽车都比火车跑的快 )),()()((y x R y Q x P y x →∧∀⌝∀

4、 特性谓词：当使用全总个体域时，对客体变元的变化范围限制的词，称作特性谓词。

5、

6、指出下列公式的指导变元、作用域、约束变元和自由变元。

（1）)),()((y x yR x P x ∃→∀

（2）∃)()),(),((x R z x Q y x P x ∨→

（3）),()),(),()((y x Q y x yR z x xQ x P x ∨∃→∃∧∀ 解 （1）x 是指导变元，x ∀的作用域为),()(y x yR x P ∃→；y 也是指导变元，作用域为),(y x R 。在指导变元y 的作用域),(y x R 中， y 是约束出现。在指导变元x 的作用域),()(y x yR x P ∃→中，x ，y 都是约束出现。

（2）x 是指导变元，相应的作用域为),(),(z x Q y x P →，从左向右算起，变量x 的第

一、二次出现是约束出现，x 的第三次出现是自由出现。变量y ，z 的出现都是自由出现。

（3）x ，y 是指导变元，x ∀的作用域是),(),()(y x yR z x xQ x P ∃→∃∧，x ∃的作用域是),(z x Q ，y ∃的作用域是),(y x R 。x 的最后一次出现为自由出现，其余为约束出现，y 的第一次出现为约束出现，第二次出现为自由出现。变元z 为自由出现。

7、将),()),()((y x R y x Q x P x ∧→∀中的约束变元进行换名。

解 可换名为),()),()((y x R y z Q z P z ∧→∀，但不能换名为

),()),()((y x R y y Q y P y ∧→∀

或

),()),()((y x R y x Q z P z ∧→∀，

因为后两种更改都将使公式中的量词的约束范围有所变动。

例2.3.3 将),()),(),()((y x Q y x yR z x xQ x P x ∨∃→∃∧∀中的约束变元进行换名。 解 可换名为),()),(),()((y x Q w u wR z v vQ u P u ∨∃→∃∧∀，但不能换名为

),()),(),()((y x Q y z yR z x xQ z P z ∨∃→∃∧∀

或

),()),(),()((y x Q y x yR z z zQ x P x ∨∃→∃∧∀，

因为后两种更改都将使公式中的量词的约束范围有所变动

例2.3.4 将公式)),()()((y x R y P x ∧∃中的自由变元进行代入。

解 y 为自由变元，代入后公式为)),()()((z x R z P x ∧∃，但是)),()()((x x R x P x ∧∃与)),()()((y x R z P x ∧∃这两种代入都与规则不符。

例2.3.5 将公式),()),()((y x R y x Q x P x ∧→∀中的自由变元进行代入。

解 对自由变元x 进行代入后公式为),()),()((y z R y x Q x P x ∧→∀。

公式中y 也是自由变元，但是变元y 只以一种身份出现，因此，可以不对y 进行代入。 例2.4.3 判断下列公式的类型。

（1）)()(x xF x xF ∃→∀

（2）))(),(()(x xF y x yG x x xF ∀→∃∀→∀

（3）),()),(),((y x R y x R y x F ∧→⌝

（4）),(),(y x yF x y x yF x ∀∃→∃∀

解 （1）设I 为任意解释。如果)(x xF ∀在I 下为真，则对于任意一个个体a 都有)(a F 为真，于是)(x xF ∃为真；如果)(x xF ∀在I 下为假，由条件的前件为假可知)()(x xF x xF ∃→∀为真。故)()(x xF x xF ∃→∀为永真式。

（2）因为T Q P P P Q P P Q P ⇔⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔→→)()()(，而))(),(()(x xF y x yG x x xF ∀→∃∀→∀是)(P Q P →→的代换实例，所以))(),(()(x xF y x yG x x xF ∀→∃∀→∀为永真式。

（3）因为F Q Q P Q Q P Q Q P ⇔∧⌝∧⇔∧∨⌝⌝⇔∧→⌝)()(，而

),()),(),((y x R y x R y x F ∧→⌝是Q Q P ∧→⌝)(的代换实例，，所以),()),(),((y x R y x R y x F ∧→⌝为永假式。

（4）取解释1I 为：个体域为自然数集N ；),(y x F ：y x =。则：),(),(y x yF x y x yF x ∀∃→∃∀F y x y x y x y x ⇔=∀∃→=∃∀⇔)()(。

取解释2I 为：个体域为自然数集N ；),(y x F ：x ≤y 。则),(),(y x yF x y x yF x ∀∃→∃∀x y x (∃∀⇔≤y ）x y x (∀∃→≤y ）T ⇔。 综上，),(),(y x yF x y x yF x ∀∃→∃∀为可满足式。

1.量词的消去

例2.4.4 设个体域为{a ，b ，c } ，试消去表达式)()(x xQ x P x ∀∧⌝∀中的量词，写成与之等价的命题公式。

解 )(x P x ⌝∀消去量词后的等价的命题公式为：

))()()(()()()(b P b P a P c P b P a P ∨∨⌝⇔⌝∧⌝∧⌝

)(x xQ ∀消去量词后的等价的命题公式为：

)()()(c Q b Q a Q ∧∧

于是，)()(x xQ x P x ∀∧⌝∀消去量词后的等价的命题公式为：

))()()(())()()((c Q b Q a Q b P b P a P ∧∧∧∨∨⌝