北京大学2008年高等代数与解析几何试题及解答

北京大学2008年全国硕士研究生招生考试高代解几试题及解答

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2019.05.09

1.回答下列问题:

(1)A 是s ×n 矩阵.非齐次线性方程组AX =β有解且rank (A )=r,则AX =β的解向量中线性无关

的最多有多少个?并找出一组个数最多的线性无关解向量.(2)AX =β对于所有的s 维非零向量β都有解,求rank (A ).

2.(1)A 是s ×n 矩阵,B 是n ×m 矩阵,rank (AB )=rank (B ),则对于所有m ×l 矩阵C ,是否有

rank (ABC )=rank (BC )?给出理由.

(2)A 是n 阶实矩阵,A 的每一元素的代数余子式都等于此元素,求rank (A ).

3.(1)A,C 分别是n,m 实对称矩阵,B 是n ×m 实矩阵,并且

(

A B

B T C

)是正定矩阵.证明 A B B T C

⩽|A |·|C |,并且当且仅当B =0时等号成立.

(2)A =(a ij )n ×n 是n 阶实矩阵,|a ij |⩽1,证明|A |2

⩽n n .

4.f (x )为一整系数多项式,n 不能整除f (0),f (1),···,f (n −1).证明f (x )无整数根.

5.A 是数域K 上的n 阶矩阵,A 的特征多项式的复根都属于K ,证明A 相似于上三角矩阵.

6.V 是数域K 上的线性空间,A ,B 是V 上的线性变换,且A ,B 的最小多项式互素,求满足A C =C B 的所有线性变换C .

7.A 是n 维欧式空间V 上的线性变换,证明A 是V 上的第一类正交变换当且仅当存在V 上的正交变换

B ,使得A =B 2.

8.求过直线ℓ:

x −y +z +4=0

x +y −3z =0

,且与平面π1:x +y +2z =0垂直的平面π2.

9.平面Ax +By +Cz +D =0与单叶双曲面x 2+y 2−z 2=1的交线是两条直线,证明A 2+B 2=C 2+D 2.

10.直线ℓ1过点(1,1,1),并且与直线ℓ2:

x +y +z =0x −y −3z =0相交,交角为π

3.求ℓ1的方程.

11.证明球面σ1:x 2+y 2+z 2−2x −2y −4z +2=0与球面σ2:x 2+y 2+z 2+2x −6y +1=0有交点,并求

出交圆的圆心坐标.

1.(1)设X1,X2,...,X n−r为AX=0的解空间的一组基,γ为AX=β的一个特解.下面证明γ,γ+X1,γ+

X2,...,γ+X n−r是线性无关的.设

k0γ+k1(γ+X1)+k2(γ+X2)+···+k n−r(γ+X n−r)=0,

则

(k0+k1+···+k n−r)γ+k1X1+k2X2+···+k n−r X n−r=0,

方程两端同时左乘A得

(k0+k1+···+k n−r)β=0,

由于β=0,故k0+k1+···+k n−r=0,故

k1X1+k2X2+···+k n−r X n−r=0,

由此就得k1=k2=···=k n−r=0,k0=0.然后只需说明元素个数大于等于n−r+2的解向量必定线性相关,就知道线性无关的解向量最多只有n−r+1个,具体的例子可取上面找到线性无关组.

假设存在n−r+2个解向量ξ1,...,ξn−r+2线性无关,则ξ1−ξn−r+2,ξ2−ξn−r+2,...,ξn−r+1−ξn−r+2是线性无关的,并且是AX=0的解向量,这与AX=0的解空间的维数为n−r矛盾.

(2)将β依次取成E s的列向量,设相应的解为X1,X2,...,X s,则A(X1,X2,...,X s)=E s,由此知s=

rank(E s)⩽rank(A),又由于A的行数为s,故rank(A)⩽s,于是rank(A)=s.

2.(1)设W1={X|ABX=0},W2={X|BX=0},则W2⊂W1,dim W1=m−rank(AB)=m−

rank(B)=dim W2,于是W1=W2.令U1={X|ABCX=0},U2={X|BCX=0},则U2⊂U1,∀α∈U1,ABCα=0,故Cα∈W1=W2,于是BCα=0,从而α∈U2,故U1⊂U2,U1=U2,因此l−rank(ABC)=l−rank(BC),故rank(ABC)=rank(BC).

注丘维声的《高等代数》创新教材上册第179页习题4.3第15题.

(2)由题意有A T=A∗,其中A∗A的伴随矩阵,故A T A=A∗A=|A|E.若|A|=0,则A=0,rank(A)=0.

若|A|=0,则rank(A)=n.

3.(1)详细解答见丘维声的《高等代数》创新教材上册第350页例16.

(2)若|A|=0,结论自然成立.若|A|=0,则A T A正定,用上一问的结论.

4.由题意知f(0)≡0(mod n),f(1)≡0(mod n),...,f(n−1)≡0(mod n).对于任意k∈Z,存在唯一的

q,r∈Z,使得k=nq+r,0⩽r

5.由Jordan标准型就知道结论成立,不过不用那么深刻的定理,用数学归纳法也能做出来.具体方法可以参

考丘维声的《高等代数》创新教材上册第298页例6或者蓝以中的《高等代数简明教程》第二版上册第324页命题4.8或者蓝以中的《高等代数学习指南》第217页例4.17.

6.线性变换C一定是零变换.设A,B的最小多项式分别为m A(x),m B(x),则由两者互素知存在u(x),v(x)∈K[x],使得

u(x)m A(x)+v(x)m B(x)=1,

于是

v(A)m B(A)=E,

从而

C=v(A)m B(A)C=v(A)C m B(B)=0.