二次函数线段最值问题_3

二次函数线段最值问题

———几何类

“最短距离”经典问题汇总

一、“两点之间线段最短”．

【基本问题】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．

【变式1】直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使

得PAB ∆的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分

别交于A B 、两点，即为所求．

【变式2】直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B 、′′，连接A B ′′

分别交12l l 、于P Q 、，即为所求．

【变式3】从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q

点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．

【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式4因此放在这里，共享一下．

A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A A

′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，

【变式5】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之差的绝对值最大，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，其延长线与l 的交点即为P 点． 二、“垂线段最短”．

AB ≥AM+BN

N

B

M

A

斜边大于直角边

C B

A

垂线段最短

例题探究：

【探究1】 如图，抛物线42

1

2+--=x x y 与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交

于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． 在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；

l

A'

B

P A

l

O

B

A

P P 1P l 2

l 1

P

B'A

l

【探究2】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），

与y 轴交于点C 。若一个动点P 自点C 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点C ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．

已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，在线段BC 上是否存在一点P ，使得B 、C 两点到直线AP 的距离之和最大？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

【探究3】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），

与y 轴交于点C 。若一个动点P 自OC 的中点M 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点C ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线268y x x =-+经过A （2，0）、B （4，0）两点，直线1

22

y x =+交y 轴

于点C ，且过点(8,)D m ．将抛物线2

68y x x =-+左右平移，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ，当四边形''A B DC 的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形''A B DC 周长的最小值．

【探究4】 已知： 抛物线2

23y x x =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点

C ，顶点为D.直线l 过点C ,且l ∥x 轴,E 为l 上一个动点，EF ⊥x 轴于F ．求使DE+EF+BF 的和为最小值的E 、F 两点的坐标，并直接写出DE+EF+BF 的最小值.