条件分布与条件期望
随机变量的条件分布与条件期望
随机变量的条件分布与条件期望随机变量是概率论中十分重要的概念之一，它描述了在概率模型中可能出现的各种结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在概率论中，我们经常关注的是随机变量的分布以及其与其他变量之间的关系。
本文将重点讨论条件分布与条件期望。
一、条件分布条件分布是指在给定某些条件下，随机变量满足的分布。
对于离散型随机变量，条件分布的计算可以通过条件概率来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值为y的概率。
可以表示为P(Y=y|X=x)。
这个概率可以通过联合概率分布和边缘概率分布来计算。
具体计算方法为：P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y) / P(X=x)对于连续型随机变量，条件分布的计算可以通过条件密度函数来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值在a到b之间的概率。
可以表示为P(a <= Y <= b | X = x)。
这个概率可以通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数来计算。
具体计算方法为：P(a <= Y <= b | X = x) = ∫[a, b] f(x, y) dy / f_X(x)二、条件期望条件期望是指在给定某些条件下，随机变量的期望值。
对于离散型随机变量，条件期望的计算可以通过条件概率和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = Σy y * P(Y=y|X=x)其中Σ为求和符号，y为随机变量Y的取值。
对于连续型随机变量，条件期望的计算可以通过条件密度函数和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = ∫y y * f(y|x) dy其中∫为积分符号，f(y|x)为在给定X=x的条件下，Y的概率密度函数。
条件分布与条件期望
33
XY 3 1 2
P
61
77
43 P
77 4
例2. 设随机变量X ,Y相互独立,X P(1), Y P(2 ) ，
在X Y n的条件下，求X的条件分布.
解：X Y P(1 2 )
P(X k X Y n) P(X k, X Y n) P(X k,Y n k)
P(X Y n)
pY ( y)E( X Y y) dy E( X Y y)看作是y的函数.
E[E( X Y )]
13
例5 一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通 甲坑道，须走3小时到达安全区；第二个门通乙坑 道，走5小时回到原处；第三个门通丙坑道，走7小 时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。 分析：到达安全区的时间与第一次选择的门有关，
i
1 (1 (2 EX )
yi )P(Y yi )
(n EX ))
EX
n(n 1) . 2
n
17
作业：
P197 2 4
18
The End！
Thank You！
Department of Mathematics
19
即有
P(X x Y y)
x p( x, y) dx;
pY ( y)
同样可得 P(Y y X x)
y p( x, y) dy .
pX ( x)
8
2、连续随机变量的条件分布
定义3：对y,且pY ( y) 0，在给定Y y条件下
X的条件分布函数和条件密度函数分别是：
F ( x y)
3 E( X Y 2) 5 EX; E( X Y 3) 7 EX .
E( X ) E( X Y y j )P(Y y j )
§3.5---条件分布与条件期望
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在Ｘ Ｙ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
6
6
20 20
概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布
概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布条件期望、条件方差和条件分布是概率论与数理统计中重要的概念和技巧。
它们能帮助我们更准确地描述和计算随机现象的特征和性质。
本文将对条件期望、条件方差和条件分布进行精炼的介绍和讨论。
一、条件期望条件期望是指在给定某些信息或条件下，对随机变量的期望进行计算的概念。
对于随机变量X和事件A，条件期望E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的平均取值。
条件期望的计算可以通过基本的期望定义进行推导。
对于离散型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∑x P(X=x|A) * x其中，P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∫xf(x|A) dx其中，f(x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的概率密度函数。
二、条件方差条件方差是在给定某些信息或条件下，对随机变量的方差进行计算的概念。
对于随机变量X和事件A，条件方差Var(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的离散程度。
条件方差的计算可以通过基本的方差定义进行推导。
对于随机变量X和事件A，条件方差的计算公式为：Var(X|A) = E[(X-E(X|A))^2|A]其中，E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的条件期望。
三、条件分布条件分布是指在给定某些信息或条件下，随机变量的分布情况。
对于随机变量X和事件A，条件分布P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
条件分布的计算可以通过基本的概率计算进行推导。
对于随机变量X和事件A，条件分布的计算公式为：P(X=x|A) = P(X=x, A) / P(A)其中，P(X=x, A)表示事件A发生且随机变量X取值为x的概率，P(A)表示事件A的概率。
四、应用与扩展条件期望、条件方差和条件分布在实际问题中有广泛的应用。
条件分布与期望(1)2010122002
−∞
+∞
例3 矿工困在矿井里，他的面前有三扇门，走第一 扇门3个小时后到达安全区；第二扇门走5个小时又 ∑ E ( X | Y = y j ) p (Y = 回到原处；第三扇门走7个小时也回到原处。y j ) 离散 j E( X ) = +∞ 假定矿工总是等可能地在三个门中选择一个，试求他 E ( X | Y = y ) pY ( y )dy 连续 ∫−∞ 的平均要用多少时间到达安全区。
−∞
p ( x, y ) = p ( x | y ) pY ( y ) p X ( x) = ∫ p ( x | y ) pY ( y )dy
−∞ +∞
二、条件数学期望
∑ xi P ( X = xi | Y = y ) 离散 i E ( X | Y = y) = +∞ ∫ xp( x | y )dx 连续 −∞
例2 设（X,Y）服从G={(x,y)|x2+y2≤1}上的均匀分布， 试求给定Y=y的条件下X的条件密度函数p(x|y) • 解：
1 p ( x, y ) = π 0 x2 + y2 ≤ 1 其他
2 1− y2 pY ( y ) = π • Y的边际密度函数为 0 • 当-1<y<1时，有 1 1 p( x, y) = π = p( x | y) = 2 2 2 1− y2 pY ( y) 1− y
P ( X = 1 | Y = 3) =
X 1 2 Pj
Y 1 0.1 0.2
0.3
2 0.3 0.05
0.35
3 0.2 0.15
0.35
Pi
0.6 0.4
P ( X = 1, Y = 3) 0.2 4 = = 0.35 7 P (Y = 3)
条件概率-条件分布-条件期望
y}.
定义 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
对于固定的 y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)
y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
（2）无放回抽样
YX
01
02
2
7
7
12
1
7
7
二、连续型随机变量的条件分布
条件分布函数 FX Y (x y)
条件分布是指在一个随机变量取某个确定值 的条件下,另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} .
由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零).故直接 用条件概率来定义时, 会出现分母为零. 因此,在条件分布中,作为条件的注意点 • E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
f (x, y)d x
1 π
1 y2 d x 2
1 y2
π
1 y2 , 1 y 1,
0,
其他.
于是当 1 y 1时,有
fX
Y
(x
y)
(2
1 π)
π 1
y2
2
1 , 1 y2
1 y2 x
1 y2,
0,
其他.
条件数学期望
定义
E ( X
|Y
y)
i
xi P( X xi | Y y)
二 条件分布
一、离散型随机变量的条件
条件概率,条件分布,条件期望
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
§条件数学期望和条件方差
§2.6条件分布与条件数学期望一、条件分布我们知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律，如果要同时研究两个随机变量，就需要他们的联合分布列，设二维随机变量（）的可能取值为（）i.j=1.2…,为了计算联合分布列，利用乘法公式：其中是表示在“”的条件下””的条件概率，常常记作 j=1.2…容易验证这时有1） i=1.2…2）这说明具有分布列的两个性质，事实上因而确是一个分布列，它描述了在””的条件下，随机变量的统计规律，当然一般来说这个分布列与原来的分布列不同，称为条件分布列。
如果（）的联合分布列已知，则边际分布列为：从而由对称性，同时还有反过来，如果已知，（或，）也可求得联合分布列。
设与相互独立显然当与相互独立时，。
二、条件数学期望既然是一个分布列，当然可以对这个分布列求数学期望；1、定义定义：设随机变量在“”条件下的条件分布列为，又，则称 为在“”条件下的条件数学期望，简称条件期望，记作。
某射手进行射击，每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为p(0<p<1)，射击进行到击中目标例1：某射手进行射击，两次时停止，令表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，试求：联合分布列, 条件分布列, 及条件期望。
解： 其中于是条件分布列为：这时。
在这个例子中，条件期望的意义是很直观的，如果已知第二次击中发生在第n次射击，那么第一次击中目标的可能性在第一，第二、……第n-1次，并且发生在第次的概率都是，因为也就是说在已知的条件下，的取值为1，2……，n-1是等可能的，从而它的均值为。
2、 条件数学期望的性质条件期望具有与普通数学期望相类似的性质，例如有：1）若，则存在，且有。
特别地，当c为一个常数时，；2）若是两个常数，又 ,存在则存在，且=+ ；前面考察了在固定“”的条件下条件期望的性质，由条件期望定义可就有一个确定的实数知，当给定时，对于的每一个可能取值 就有一个确定的实数与之对应，因而是的单值函数，当时，这个函数值就等于，记这个函数为。
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归
p(u, y)du.
1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y
lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)
0.
F
(
x
y)
x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)
P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(
xi
yj)
Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y
那么称 xP (
x y
), 如果
x
P
(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(
y)
xP
(y
条件分布与条件期望课件
P(Y=1|X=1)=0.1/0.6=1/6 P(Y=1|X=2)=0.2/0.4=1/2
P(Y=2|X=1)=0.3/0.6=1/2 P(Y=2|X=2)=0.05/0.4=1/8 P(Y=3|X=1)=0.2/0.6=1/3 P(Y=3|X=2)=0.15/0.4=3/8
身高Y
体重X 的分布
体重X
条件分布与条件期望
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米)，在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身 高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑 出的学生中求其体重的分布．
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样．
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加．
条件分布与条件期望
运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机 变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件 的条件概率.
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P (X A |Y y )A p X |Y (x |y )d x
特别，取 A(,u),
定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
1, pX(x)0,
0x1，p(y| 其它
x)11x, 0,
0xy1 其它
求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及P(Y>0.5).
解：
p(x,y)p(y|x)pX(x) 1 1x, 0xy1
0,
其 它
条件分布与条件期望
y
pY(y)
x<y
y =x
0
1
x
p(x,y)0的区域
2
e
21 12
概率论与数理统计2-6 条件分布与条件期望
边际分布列：pig
pij
p 2 q 2
j i1
j i1
p2qi1 pqi1, i 1, 2,...
1j1q
j 12
i 1
i 1
( j 1) p2q j2 , j 2, 3,...
条件分布列为pi/j pij pgj p2q j2 [( j 1) p2q j2 ]
证明
E{ / bj}P( bj )
j 1
而
E{ / bj}
ai pi / j
i1
i1
ai
gpij pgj
E(E{ /})
j 1
ai
i 1
pij pg j
pgj
ai
i 1
j 1
pij
ai pig E
i 1
三小结
概念 E{ / bj}
条件数学期望
E(C / bj ) C.
E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
E(E{ /}) E
二、离散型随机变量条件数学期望
❖ 定义 若随机变量 分布列为 pi / j 又
在条件"
bj " 下的条件
ai pi / j
i 1
称 ai pi/ j 为 在 bj 条件下的条件数学期望 i 1
记作： E{ / bj}
例2 某射手进行射击，每次设计击中目标的
2.对任意实数k1,k2,又E{1 / bj}，E{2/=bj}存在， 则E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (5)
p( x , y )dy]dx pY ( y )dy
积分中值定理
x
p( u, y )du pY ( y )
x
p( u, y ) du pY ( y )
所 以与 一 维 随机 变 量概 率 密度 的 定 义 : F ( x) 不 难得 出 如 下定 义 :
x
f ( x )dx相 类比 ,
这称为 在Y y j的条件下 , X的条件分布列 .
类似地 , 在X xi的 前 提 下 , Y的 条 件 分 布 列 为 P (Y y j | X xi ) pij pi , j 1,2,
例一. 设(X,Y)的联合分布为 X Y
1 2 3
5 0.08 0.11 0.03
i 1 i 1
当( X , Y )为 连 续 型 时 , p( x , y ) E ( g( X ) | Y y ) g( x ) p( x | y )dx g( x ) dx pY ( y )
条件数学期望 E ( X | Y y )为 常 数 , 而E ( X | Y )可 以 看 成 是一个变量 ,以 离 散 情 形 为 例 ,该变量的取值和相应 的概率为
E(X|Y) E(X|Y=y1)
P P(Y=y1)
E(X|Y=y2)
…
P(Y=y2)
…
故E ( X | Y )作为随机变量 , 因而有相应的数学期望 E[ E ( X | Y )],对此, 我们有如下重要结果 :
(4)重 期 望 公 式 : E[ E ( X | Y )] E ( X )
性质(4)的证明: (仅证连续情形 )
条件期望
条件分布 二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布列：
pij P( X xi , Y y j ) i 1,2,, j 1,2,
pi j P( X xi Y y j )
pij p j
i 1,2,Hale Waihona Puke 为Y y j时X的条件分布列
二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度函 数为 f ( x, y) ，则
令Y0 0, X 0 0, X n X 0 Yk .
k 1
n
求E ( X 3 | X 2 )的示性函数表示式及 E ( X 3 | X 2 0), E ( X 100 | X 2 ), E ( X 100 | Y1 ).
解：
E( X 3 | X 2 )
由 X2和Y3独立
E ( X 2 Y3 | X 2 ) X 2 E (Y3 | X 2 ) X 2 EY3 X 2 ( p q ) (2 p q ) I ( X 2 2 ) ( p q ) I ( X 2 0 ) (2 p q ) I ( X 2 2 )
推广至一般随机变量
求条件数学期望的一般步骤
先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条 件密度函数； 根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件 下的数学期望；
将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y)
条件数学期望的性质
设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则
2 2
Var ( X Y y j ) E ( X Y y j ) [ E ( X Y y j )]
用示性函数的线性组合表示离散型随机变量
概率论中的条件期望计算方法
概率论中的条件期望计算方法概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性和不确定性。
而条件期望是概率论中一个重要的概念，它描述了在给定某些条件下的随机变量的平均值。
在实际应用中，计算条件期望是非常常见的，因此学习条件期望的计算方法对于理解概率论的核心思想和解决实际问题非常重要。
条件期望的计算方法有多种，下面将介绍其中的两种常见方法：条件概率法和条件分布法。
首先，我们来看看条件概率法。
条件概率法是一种直观的计算条件期望的方法，它利用了条件概率的定义。
条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
对于一个随机变量X和一个条件Y，条件概率P(X|Y)表示在给定Y发生的条件下X发生的概率。
条件期望的计算方法可以通过条件概率来实现。
假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要计算在给定Y的条件下X的期望。
首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的取值的概率分布。
然后，我们将X的每个取值乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
举个例子来说明。
假设X表示一个硬币的正面朝上的次数，Y表示掷硬币的次数。
我们想要计算在给定掷硬币10次的条件下硬币正面朝上的次数的期望。
首先，我们需要计算在给定掷硬币10次的条件下硬币正面朝上的次数的概率分布。
然后，我们将硬币正面朝上的次数乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
接下来，我们来看看条件分布法。
条件分布法是一种更加抽象的计算条件期望的方法，它利用了条件概率的性质和条件分布的定义。
条件分布是指在某个条件下随机变量的概率分布。
对于一个随机变量X和一个条件Y，条件分布P(X|Y)表示在给定Y的条件下X的概率分布。
条件期望的计算方法可以通过条件分布来实现。
假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要计算在给定Y的条件下X的期望。
首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的概率分布。
然后，我们将X的每个取值乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
举个例子来说明。
假设X表示一个学生的考试成绩，Y表示学生的学习时间。
条件期望的性质与应用
条件期望的性质和应用摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。
本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。
关键词：条件期望；定义；性质；应用条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。
近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。
现代概率论总是从讲述条件期望开始的。
鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。
通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。
条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。
总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。
1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。
定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ，称()()|,(),1,2,j ij i i j i j jj P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x xx xF x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ，称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。
条件期望的性质与应用 (2)
条件期望的性质与应用摘要:条件数学期望(以下简称条件期望)就是随机分析理论中十分重要的概念,在理论实际上都有很重要的应用。
本文首先分析了条件期望的几种定义与性质,进而研究了条件期望的求法,最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。
关键词:条件期望;定义;性质;应用条件期望就是现代概率体系中的一个重要概念。
近年来,随着人们对随机现象的不断观察与研究,条件期望已经被广泛的利用到日常生活中,尤其值得注意的就是条件期望在最优预测中的应用。
现代概率论总就是从讲述条件期望开始的。
鉴于此,在分析条件期望的几种定义时,通过比较它们的优缺点,使初学者在充分认识条件期望的基础上,由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习,实现知识的迁移。
通过研究条件期望的求法,从而提高计算能力与解题技巧。
条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义,还在生物、统计、运筹与经济管理等方面有着重要的作用与贡献。
总之,研究条件期望的性质与应用不仅有助于学生对数学的学习,而且还有利于进一步探索科学的其它领域。
1 条件期望的几种定义1、1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发,条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量与连续随机变量条件分布的定义,引出条件期望的定义。
定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===,1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ,称()()|,(),1,2,j ij i i j i j jj P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x x x xF x y P X x Y y p ≤≤====∑∑;同理,对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ,称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。
1-2 条件分布与条件数学期望
3
p2 (1-p) p2 (1-p) 0
0
4
p2 (1-p) 2 p2 (1-p) 2 p2 (1-p) 2 0
•••
•••
•••
•••
•••
••• ••• ••• •••
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布函数的 计算公式
在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布函数
FX|Y ( x | y j ) P{X x | Y y j }
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
( fY ( y) 0)
在 X = x 的条件下 Y 的条件概率密度
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
( f X (x) 0)
(X，Y )为二维连续型随机向量
注记
（1）条件概率密度计算公式成立的条件。
（2）条件概率密度由联合概率密度确定。
（3）联合概率密度由边缘概率密度 和条件概率密度共同确定。
f (x, y) f X (x) fY|X ( y | x) f (x, y) fY ( y) f X|Y (x | y)
（4）连续型随机变量X、Y 相互独立的充要条件
fY|X ( y | x) fY ( y) f X |Y (x | y) f X (x)
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布律的 计算公式
在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律
P{X xi | Y y j} P{X xi ,Y y j} pij （i 1,2, ）
P{Y y j}
p• j
在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律
P{Y
条件分布
P X x, y Y y h P y Y y h
x
lim
h 0
x
yh y yh y
f u, v dudv fY v dv d
x
x
f u, y du fY y
f u, y fY y
连续随机变量的条件分布
二元连续型随机变量 X , Y 的联合密度函数为 f x , y ，对一切使 Y 的边缘密度函数
fY y 0 的 y ，给定 Y y 条件下 X 的条件分布函数为： F x | y P X x |Y y
lim P X x | y Y y h lim
P X xi , Y y j P Y yj
pij p j
( i 1,2, )
称为给定 Y y j 条件下 X 的分布列。 在 Y y j 条件下 X 的分布函数 F x | y j
P X x
xi x
i
|Y yj 。
**********************************************************
第八周 条件分布与条件期望
8.1．条件分布 离散随机变量的条件分布
二元离散型随机变量 X , Y 的联合分布列： P X xi , Y y j pij ，
P Y y j pij p j ，对一切使得 p j 0 的 y j ,
i
P X xi | Y y j
1i 2j 1 2 e 例 8.1.1 设 离散型 随 机 变 量 X , Y 联 合分 布列 为 P X i , Y j ， i! j!
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p j P Y y j pij 0
i
的 y j ，称
P X xi Y y j
P X xi , Y y j
2,
3,
为在给定 Y y j 条件下，随机变量 X 的条件分布列．
7
同理，对一切使得
pi PX xi pij 0
布（无此限制下体重的分布）会有很大的不同．
4
1．离散型随机变量的条件分布
5
设二维离散型随机变量 X , Y 的联合分布列为
pij P X xi , Y y j ， i 1, 2, , j 1, 2, ．
仿照条件概率的定义，我们很容易地如下给出离散型随机变量的 条件分布列．
6
定义 5.1 对一切使得
件下， X i 的取值为 0 或者1．而且
P
Xi 0 X1 X2
Xn r
PXi 0, PX1
X1 X2 X2
Xn
Xn r
r
PX i
0,
X1 X i1 X i1
PX1 X 2 X n r
Xn
r
22
1 p Cnr1 pr 1 p Cnr pr 1 p nr
是 p 0 p 1 ， 设 X i 表 示 第 i 次 试 验 中 成 功 的 次 数 ， i 1, 2, , n ．试在 X1 X 2 X n r 0 r n 的条件下，给出 X i 1 i n的分布列．
21
解：
由于 X1 X 2 X n ~ Bn, p，所以在 X1 X 2 X n r 的条
17
所以，
P Y
k
PX
nPY
k
X
n
n0
k 1
PX
nPY
k
X
n
PX
nPY
k
X
n
n0
nk
k 1 n0
n e
n!
0
nk
n
n!
e
Cnk
pk
1
p
nk
18
nk
n
n!
e
n!
k!n
k
!
pk
1
p nk
k pk e nk 1 p nk
k! nk n k !
pk
k!
e
nk
PX
k
X
Y
n
PX k, PX
X Y
Y
n
n
PX k, PX
Y Y
n
n
k
PX kPY n PX Y n
k
k
nk
1 e1 2
e2
k!
nk !
1 2 n e12
n!
n!
k!n
k
!
1
1 2
k
2 1 2
nk
14
即 P
X
k X Y
n
n!
k!n
k !
1
1 2
16
解：
由于顾客人数 X 服从参数为 的 Poisson 分布，所以
PX n n e ，
n!
n 0, 1, 2, 3,
又在进入商店的人数 X n 的条件下，购买该种商品的人数Y 的条
件分布为二项分布 Bn, p．即
P Y k X n Cnk pk 1 p nk ， k 0, 1, 2, , n．
12
解：
由于随机变量 X 与 Y 相互独立，而且分别服从参数为 1 与 2 的 Poisson 分布，所以随机变量 X Y 服从参数为 1 2 的
Poisson 分布．即
PX Y n 1 2 n e12 ．
n! 所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1, 2, , n ．
13
第五节 条件分布与条件期望
1
一．条件分布
2
对于二维随机变量 X , Y 而言，所谓
随机变量 X 的条件分布，就是在给定Y 取 某个值的条件下，随机变量 X 的分布．
3
例如，记 X 为人的体重，Y 为人的身高，则 X 与Y
之间一般有相依关系．现在如果限定Y 1.7 m ，
在这个条件下体重 X 的分布显然与 X 的无条件分
1 p nk
n k!
19
令 m n k ，则有
PY k pk e 1 pm pk e e1 p p k ep
k!
m0
m!
k!
k!
即 PY k pk ep
k!
k 0, 1, 2, 3, ．
这表明，随机变量Y 服从参数为 p 的 Poisson 分布．
20
例 在 n 重 Bernoulli 试验中，假设每次试验中成功的概率都
际分布列为
9
Y
0
1
2
X
pi
0
1
0
0
1
8
8
1
1
2
0
3
8
8
8
2
0
2
1
3
8
8
8
3
0
0
1
1
8
8
p j
2 8
4 8
2 8
10
由于 PX 1 3 0 ，所以在 X 1 的条件下，Y 的条件
8
分布列为
Y X 1 0
1
1
2
P
3
3
11
例 设随机变量 X 与Y 相互独立，分别服从参数 为 1 与 2 的 Poisson 分布．求在 X Y n 的条件 下，随机变量 X 的条件分布列．
k
2 1 2
nk
，
k 0, 1, 2, , n．
这表明，在 X Y n 的条件下，随机变量 X 服从二项分布 B n,
1
1 2
．
15
例 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数 X 服从
参数为 的 Poisson 分布．每个顾客购买某种商品的概
率为 p ，并且各个顾客是否购买该种商品相互独立，求 进入商店的顾客购买该种商品的人数Y 的分布列．
j
的 xi ，称
P Y y j X xi
P
X
xi ,
PX
Y
xi
yj
pij ， j 1,
pi
2,
3,
为在给定 X xi 条件下，随机变量Y 的条件分布列．
8
例 掷一枚均匀的硬币 3 次．令
X ：掷 3 次硬币中正面出现的次数． Y ：前两次抛掷中正面出现的次数．
则 X, Y 的联合分布列以及 X 与Y 各自的边
Xn r
r． n
23
2．连续型随机变量的条件分布
24
设二维连续型随机变量 X , Y 的联合密 度函数为 f x, y ，X 与Y 各自的边际密度 函数分别为 f X x与 fY y．
25
f X Y x Y
y
f x, y ， fY y
fY y 0．
同理，我们有
fY X y
X
x
f
n 1 r
Cnr1 Cnr
nr n
P Xi 1 X1 X 2 X n r
1 P
Xi
0 X1 X2
Xn
r
1 nr n
r． n
即在 X1 X 2 X n r 的条件下， X i 的条件分布列为
P
Xi 0 X1 X2
Xn r
nr ， n
P
Xi 1 X1 X2
x, fX x
y
，
fX x 0．
26
例 设二维随机变量 X , Y 服从平面区域