高中数学高考核心知识点总结专题1.1 集合与常用逻辑用语(精讲精析篇)

专题1.1集合与常用逻辑用语（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 集合的基本概念

元素与集合

（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）常见数集及其符号表示

数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号

N

N *

或N ＋

Z Q R

【典例1】集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）． A.5M ∈

B.0M ∉

C.1M ∈

D.π

2

M -

∈ 【典例2】（全国高考真题（文））已知集合，

则集合中的元素个数为( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【特别提醒】

1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满

足元素的互异性．

2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

热门考点02 集合间的基本关系

集合间的基本关系

（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或

B A ⊇．

（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．

（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．

（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 【典例3】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合{

}

2

4,A x x x R ==∈,集合

{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________.

【特别提醒】

(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．

(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

热门考点03 集合的基本运算

（1）三种基本运算的概念及表示 运算

自然语言

符号语言

Venn 图

（2）三种运算的常见性质

A A A =I ， A ∅=∅I ， A

B B A =I I ， A A A =U ， A A ∅=U ， A B B A =U U ．

(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．

A B A A B =⇔⊆I ， A B A B A =⇔⊆U ， ()U U U C A B C A C B =U I ，

()U U U C A B C A C B =I U ．

【典例4】（2018·全国高考真题（理））已知集合{

}

2

20A x x x =-->，则A =R ð（ ） A ．{}

12x x -<< B ．{}

12x x -≤≤

C ．}{

}

{

|12x x x x <-⋃

D ．}{}{

|1|2x x x x ≤-⋃≥

【典例5】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–11}，则A ∪B =（ ） A.（–1，1）

B.（1，2）

C.（–1，+∞）

D.（1，+∞）

【典例6】（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}

2

,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________

【典例7】已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1

【总结提升】

1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．

2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：

(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；

(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．

热门考点04 集合中的“新定义”问题

【典例8】（2015·湖北高考真题（理））已知集合，

，定义集合

，则中元素的个数为（）

A．77 B．49 C．45 D．30

【总结提升】

解决集合新定义问题的着手点

(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．

(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．

(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．

热门考点05 充分必要条件问题

（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

（2）若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；