匈牙利解法的步骤
运筹学04-整数规划-匈牙利解法
第四章 整数规划
B、任务分配问题的数学模型
设：xij为第i个工人分配去做第j项任务 aij为第i个工人为完成第 j 项任务时的工时消耗。则
1 当分配第j项任务给第i个工人时 x ij 0 当不分配第j项任务给第i个工人时
i,j=1,2,…,n
由于每人只允许分 配一项任务， 且每项任务只能由 一人来完成， 故其数学模型、目 标函数及约束条件 如下：
定理1
设一个任务分配问题的效率矩阵为{aij}，若{aij}中每一行元素分别减去 一个常数ui，每一列元素分别减去一个常数vj，得到一个新的效率矩阵{bij}， 其中一个元素bij=aij-ui-vj，则{bij}的最优解等价于{aij}的最优解。
第四章 整数规划
定理2
若一个方阵中的一部分元素为零，一部分元素非零，则覆盖方阵中所 有元素的最少直线等于位于不同行、不同列的零元素最多个数。
m
m
a ij x ij
这样得到新效率矩阵的最优解，根据定理 1，他也是原问题的最优解。 （3）验证最优解的方法：设法用最少的直线数覆盖方阵中位于不同行、 不同列的零元素。 如果覆盖所有零元素的最少直线数等于m，则得到最优解，否则不是
第四章 整数规划
3、匈牙利解法的计算步骤： 第一步：效率矩阵的初始变换----零元素的获得 （1）行变换：找出每行的最小元素，该行各元素减去这个最小元素。 （2）列变换：找出每列的最小元素，该列各元素减去这个最小元素。
分配问题与匈牙利法
C (95 c ij )
解: M＝95，令
10 0 C ＝ 13 9
0 1 X＝ 0 0
3 8 12 5
22 17 16 15
5 0 5 7
匈牙利算法步骤和公式
匈牙利算法是一种求解指派问题的算法，其步骤如下：对指派问题的系数矩阵进行变换，使每行每列至少有一个元素为“0”。
具体做法是让系数矩阵的每行元素去减去该行的最小元素，再让系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。
从第一行开始，若该行只有一个零元素，就对这个零元素加括号，对加括号的零元素所在的列画一条线覆盖该列。
若该行没有零元素或者有两个以上零元素（已划去的不算在内），则转下一行，依次进行到最后一行。
从第一列开始，若该列只有一个零元素。
就对这个零元素加括号（同样不、考虑已划去的零元素）。
再对加括号的零元素所在行画一条直线覆盖该列。
若该列没有零元素或有两个以上零元素，则转下一列，依次进行到最后一列为止。
重复上述步骤（1）和（2）可能出现3种情况：（5）按定理进行如下变换：①从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的k；②当矩阵中的第i行有直线覆盖时，令；无直线覆盖时。
匈牙利算法例题
匈牙利算法例题【最新版】目录1.匈牙利算法简介2.匈牙利算法例题介绍3.匈牙利算法例题解答过程4.匈牙利算法例题解答结果正文一、匈牙利算法简介匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解无向图最大匹配问题的经典算法，由匈牙利数学家 MátyásVink 于 1930 年提出。
匈牙利算法采用贪心策略，通过不断迭代寻找图中的匹配点对，最终找到一个最大匹配子图。
它适用于无权无向图，特别是当图中每个顶点的度数为偶数时，它能够保证找到一个完美的匹配。
二、匈牙利算法例题介绍现在，我们通过一个具体的例题来介绍匈牙利算法的应用。
例题：有一个无向图，共有 4 个顶点 A、B、C、D，边数为 6，分别为 AB、AC、AD、BC、BD、CD。
请问这个图的最大匹配数是多少？三、匈牙利算法例题解答过程1.初始化：将所有顶点的度数设为偶数，用 0 表示已匹配的边，用 1 表示未匹配的边。
A: 0 0B: 1 1C: 1 1D: 1 12.寻找匹配点对：从度数为奇数的顶点开始，找到可以匹配的边。
在这个例子中，顶点 A 和 D 的度数为奇数，所以将边 AD 标记为已匹配。
A: 1 0B: 1 1C: 1 1D: 0 13.更新顶点度数：将已匹配的边的度数更新为偶数，未匹配的边的度数减 1。
A: 1 0B: 0 1C: 1 1D: 1 14.重复步骤 2 和 3，直到所有顶点的度数都为偶数。
在这个例子中，最终匹配的边为 AB、AC、AD，所以最大匹配数为 3。
匈牙利算法示例
0 0 0 1 1 0 0 0
15
3 ◎ 2 2
3 ◎ Ø 5 1 ◎ 4 4 6 ◎ Ø 4
得到4个独 立零元素， 所以最优解 矩阵为：
练习：
费 工作 用 人员
A
7
B
5
C
9
D
8
E
11
甲
乙
丙 丁 戊
9
8 7 4
12
5 3 6
7
4 6 7
11
6 9 5
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
4 2
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
Ø 0 0 13 7 ◎ 6 0 6 9 ◎ ◎ 0 5 3 2 ◎ Ø 0 0 1 0 Ø
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例二、 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种 文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四 人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时 间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
任务
人员
例一：
任务
人员
A 2
10 9 7
B 15
4 14 8
C 13
14 16 11
D 4
15 13 9
甲
乙 丙 丁
2 10 9 7
15 13 4 4 14 15 14 16 13 8 11 9
2 4
9
7
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
2 2 4 4 ◎ 0
指派问题匈牙利算法步骤
匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法。
以下是匈牙利算法的步骤：
初始化：创建一个二分图，并将所有边的匹配状态初始化为未匹配。
选择一个未匹配的左侧顶点作为起始点，开始进行增广路径的寻找。
在增广路径的寻找过程中，首先选择一个未访问的左侧顶点作为当前路径的起点。
针对当前路径的起点，依次遍历与其相邻的右侧顶点。
对于每个右侧顶点，如果该顶点未被访问过，则标记为已访问，并判断该顶点是否已匹配。
如果该右侧顶点未匹配，则找到了一条增广路径，结束路径的寻找过程。
如果该右侧顶点已匹配，将其与之匹配的左侧顶点标记为已访问，并继续寻找与该左侧顶点相邻的右侧顶点，构建新的路径。
如果当前路径无法找到增广路径，则回溯到上一个路径的起点，并继续寻找其他路径。
当所有的路径都无法找到增广路径时，算法结束。
根据最终得到的匹配结果，即可得到二分图的最大匹配。
这些步骤描述了匈牙利算法的基本流程。
具体实现时，可以采用递归或迭代的方式来寻找增广路径，通过标记顶点的访问状态来进行路径的选择和回溯。
算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。
匈牙利算法求解原理的应用
匈牙利算法求解原理的应用什么是匈牙利算法匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。
所谓二分图，就是一个节点集合可以分为两个不相交的子集，而且每个子集内的节点之间不存在边。
在二分图中，最大匹配问题就是寻找最大的边集合，使得每个节点都和边集合中的某条边相邻接。
匈牙利算法的原理是通过增广路径的方法来求解最大匹配问题。
其中增广路径是指在匹配图中的一条未被匹配的边交替经过未被匹配的节点，最终到达另一个未被匹配的节点的路径。
匈牙利算法的应用匈牙利算法有许多实际应用场景。
以下列举了一些典型的应用案例：1.婚姻匹配问题：假设有n个男人和n个女人，每个人都有一个倾向表，表明他们对各种婚姻选择的偏好程度。
那么如何进行匹配，使得每个人都得到一个满意度最高的选择，同时保证没有不合适的匹配？这就可以使用匈牙利算法进行求解。
2.任务分配问题：假设有m个任务和n个工人，每个任务对于每个工人都有不同的技能要求和报酬。
如何将任务分配给工人，使得任务总报酬最大化，并满足每个任务的要求？这也可以使用匈牙利算法进行求解。
3.运输问题：在某个地区有n个供应点和n个需求点，以及不同供应点到需求点之间的运输成本。
那么如何选择合适的运输方案，使得总运输成本最小？同样可以使用匈牙利算法进行求解。
4.社交网络匹配问题：在一个社交网络中，每个人都有一定的朋友圈和交往偏好。
如何将这些人进行匹配，使得每个人都能够找到最适合的交往对象？匈牙利算法也可以应用于这种情况。
匈牙利算法的实现步骤下面是匈牙利算法的具体实现步骤：1.在匹配图中选择一个未匹配的顶点作为起始点，并为其标记为已访问。
2.对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果该邻接顶点未被匹配，则找到一条增广路径。
如果该邻接顶点已被匹配，但可以通过其他路径找到一条增广路径，则将该邻接顶点的匹配权转移到当前顶点的匹配边上。
3.继续选择下一个未匹配的顶点，重复步骤2，直到无法找到增广路径为止。
4.返回当前匹配图的最大匹配。
指派问题的匈牙利解法
指派问题的匈牙利解法1、 把各行元素分别减去本行元素的最小值；然后在此基础上再把每列元素减去本列中的最小值。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 4 3 2 04 0 5 0 01 2 3 2 03 7 7 1 08 11 0 3 06 10 12 9 610 6 14 7 67 8 12 9 61014 17 9 712 15 7 8 4 此时每行及每列中肯定都有0元素了。
2、 确定独立零元素，并作标记。
（1）、首先逐行判断是否有含有独立0元素的行，如果有，则按行继续处理；如没有，则要逐列判断是否有含有独立0元素的列，若有，则按列继续处理。
若既没有含有独立0元素的行，也没有含有独立0元素的列，则仍然按行继续处理。
（2）在按行处理时，若某行有独立0元素，把该0元素标记为a ，把该0所在的列中的其余0元素标记为b ；否则，暂时越过本行，处理后面的行。
把所有含有独立0元素的行处理完毕后，再回来处理含有2个以及2个以上的0元素的行：任选一个0做a 标记，再把该0所在行中的其余0元素及所在列中的其余0元素都标记为b 。
（3）在按列处理时，若某列有独立0元素，把该0元素标记为a ，把该0所在的行中的其余0元素标记为b ；否则，暂时越过本列，处理后面的列。
把所有含有独立0元素的列处理完毕后，再回来处理含有2个以及2个以上的0元素的列：任选一个0做a 标记，再把该0所在列中的其余0元素及所在行中的其余0元素都标记为b 。
（4）、重复上述过程，即得到独立零元素（标记a 的“0”）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b b a b b a 04 3 2 04 05 0 01 2 3 2 037 7 1 08 11 0 3 0a b 3、 若独立零元素等于矩阵阶数，则已经得到最优解，若小于矩阵阶数，则继续以下步骤：（1）、对没有标记a 的行作标记c（2）、在已作标记c 的行中，对标记b 所在列作标记c（3）、在已作标记c 的列中，对标记a 所在的行作标记c（4）、对没有标记c 的行划线，对有标记c 的列划线4、 在未被直线覆盖的所有元素中找出一个最小元素（Xmin ），未被直线覆盖的行（或列）中所有元素都减去这个数。
匈牙利算法流程
匈牙利算法流程匈牙利算法是一种经典的图论算法，用于解决二分图的最大匹配问题，其流程简洁而高效。
下面将以人类的视角来叙述匈牙利算法的流程。
我们假设有一个二分图，其中左边有一组顶点，右边有另一组顶点。
我们的目标是找到一个最大的匹配，即找到左边的每个顶点与右边的某个顶点之间的边，使得每个右边的顶点最多与一个左边的顶点相连。
开始时，我们将所有的边标记为未匹配状态。
然后，我们从左边的第一个顶点开始，尝试寻找一个未匹配的右边的顶点。
如果找到了，我们将这条边标记为匹配状态，并继续寻找下一个左边的顶点。
如果没有找到，我们就需要进行增广路径的寻找。
为了寻找增广路径，我们从未匹配的左边顶点开始，沿着它的边逐个访问右边的顶点。
如果当前的右边顶点已经匹配了，我们就尝试寻找与这个右边顶点相匹配的左边顶点，然后再以这个左边顶点为起点，继续递归地寻找下一个右边顶点。
如果找到了增广路径，我们就可以通过交替匹配和取消匹配来增加匹配数目。
为了实现这个过程，我们需要用一个数组来保存每个左边顶点的匹配状态，另一个数组来保存每个右边顶点的匹配状态。
同时，我们还需要一个标记数组来记录每个左边顶点是否已经访问过。
通过深度优先搜索的方式，我们可以找到增广路径并更新匹配状态。
当所有的左边顶点都被访问过时，我们就找到了一个最大的匹配。
此时，我们可以输出匹配数目，或者根据需要输出具体的匹配方案。
总结一下，匈牙利算法通过不断寻找增广路径来增加匹配数目，直到无法找到增广路径为止。
它的核心思想是通过深度优先搜索来寻找增广路径，以达到最大匹配的目标。
这个算法简单而高效，被广泛应用于实际问题的求解中。
匈牙利算法的步骤：
匈牙利算法的步骤：
第一步变换效率矩阵，使各行各列都出现 0 元素。
1°效率矩阵每行元素都减去该行最小元素；
2°效率矩阵每列元素都减去该列最小元素。
第二步圈出不同行且不同列的 0 元素，进行试指派。
1°（行搜索）给只有一个0 元素的行中的0 画圈，记作“◎”，并划去与其同列的其余0元素；
2°（列搜索）给只有一个0 元素的列中的0 画圈，记作“◎”，并划去与其同行的其余0元素；
3°反复进行1°、2°，直至所有0元素都有标记为止。
4°若行（列）的0元素均多于一个，则在0元素最少的行（列）中选定一个0元素，标“◎”,并划去与其同行同列的其余0元素。
5°若不同行且不同列的“◎”已达n个，则令它们对应的xij =1，其余xij =0，已得最优解，计算停，否则转第三步。
第三步用最少直线覆盖效率矩阵中的0元素。
1°对没有“◎”的行打“√”；
2°对打“√”行中的0元素所在列打“√”；
3°对打“√”列中“◎”所在行打“√”；
4°反复进行2°、 3°，直至打不出新“√”为止。
5°对没打“√”的行画横线，对打“√”列画竖线，则效率矩阵中所有0元素被这些直线所覆盖。
第四步调整效率矩阵，使出现新的0元素。
1°找出未被划去元素中的最小元素，以其作为调整量θ；2°矩阵中打“√”行各元素都减去θ，打“√”列各元素都加θ（以保证原来的0元素不变），然后去掉所有标记，转第二步。
匈牙利法的基本步骤
匈牙利法是一种用于求解线性规划问题的算法，其基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最大化或最小化，约束条件为等式或不等式。
2. 构建一个成本矩阵，其中每行代表一个约束条件，每列代表一个变量。
3. 对成本矩阵进行行和列的减操作，使得每行和每列至少有一个零元素。
4. 选择一个零元素最少的行或列，用该行或列中的零元素覆盖其他行或列中的零元素。
5. 重复步骤 4，直到所有零元素都被覆盖。
6. 对于每个被覆盖的零元素，将其对应的变量标记为已分配。
7. 对于未被分配的变量，选择一个成本最小的变量，并将其分配给一个未被覆盖的零元素。
8. 重复步骤 7，直到所有变量都被分配。
9. 计算目标函数的值，并检查是否满足约束条件。
如果满足，则得到最优解；如果不满足，则需要重新选择分配变量。
匈牙利法是一种简单而有效的线性规划算法，但对于大规模问题可能会比较耗时。
在实际应用中，通常会使用更高效的算法来求解线性规划问题。
匈牙利环图文解法
匈牙利环图文解法首先，需要先好好认识一下这个玩具，这个基本的认识有助于我们的理解和把握它的解法。
这个匈牙利环由两个环组成，左环和右环，有两个交叉点，上交叉点和下交叉点，有4个颜色的球，分别是黑、红、蓝、黄，其中：黑色和红色的球是10个，蓝色和黄色的球是9个。
这里，咱们约定一下字母的涵义，L代表左环转动，R代表右环转动，L5表示左环顺时针转动5个球位，L'5代表左环逆时针转动5个球位；R5表示右环顺时针转动5个球位，R'5代表右环逆时针转动5个球位。
简单说，匈牙利环的解法分三步：1、解好黑色；2、解好红色；3、解好蓝色和黄色。
（注：1、2步可以颠倒，先解红色后解黑色。
蓝色和黄色的位置也不是绝对的，可以互换。
）在进行最后一步之前，要红黑色按照上图的位置安放好。
另外，需要确定上下交叉点上两个球的颜色是否一样（如下图），如果一样，需要转成不同色。
转换成不同色的方法不用死记硬背，下图是简单的几种情况，理解就可以。
完成以上的准备之后，就可以正式进行第三步，解好蓝色和黄色的步骤了，下面介绍三种基本情况，大家理解一个公式就可以随机应变。
情况一：这个情况是最基本的情况，也是唯一一个需要记忆的“公式”。
右环下面的一个球要和左环中间的一个球交换。
准备动作是这样的：左环中间的球要转动到左环的上部，且距离交叉点4个球的位置，然后把右环需要交换的球移动到交叉点的位置上，然后用公式L5 R5 L’5，最后将红色和黑色球归位就可以了。
情况二：道理和情况一一样，只不过交换的球是左环中间和右环中间的球，用情况一的方法镜像就可以，如图所示。
情况三：也是和情况一类似，需要交换的球分别处在上下的位置，方法同情况一。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述
摘要：
1.匈牙利算法简介
2.匈牙利算法的应用背景
3.匈牙利算法的基本思想
4.匈牙利算法的实现步骤
5.匈牙利算法的优缺点分析
6.结论
正文：
匈牙利算法是一种解决匈牙利问题的图论算法，也被称为Munkres算法。
它主要用于解决最大匹配问题和最小生成树问题。
匈牙利算法在运筹学、计算机科学、通信网络等领域具有广泛的应用背景。
匈牙利算法的基本思想是：通过不断地寻找增广路径来寻找最大匹配。
增广路径是指一条从已匹配顶点出发，到达未匹配顶点的路径。
算法的基本流程如下：
1.初始化未匹配顶点和已匹配顶点集合。
2.遍历所有未匹配顶点，找到一条增广路径。
3.将增广路径上的所有顶点标记为已匹配。
4.重复步骤2和3，直到找不到增广路径为止。
匈牙利算法的实现步骤如下：
1.初始化一个长度与顶点数相同的数组，用于记录每个顶点所在的连通分
量。
2.遍历所有边，对于每条边，如果两个顶点不在同一连通分量，则将它们合并到同一个连通分量中。
3.遍历所有顶点，如果一个顶点所在的连通分量只有一个顶点，则将其标记为已匹配。
4.重复步骤3，直到找不到未匹配顶点为止。
匈牙利算法的优缺点分析：
优点：
1.匈牙利算法的时间复杂度为O(nm)，其中n和m分别为顶点数和边数。
2.匈牙利算法可以保证找到最大匹配。
缺点：
1.匈牙利算法需要额外的存储空间来记录顶点所在的连通分量。
2.匈牙利算法不能保证找到最优解，因为可能存在多个最大匹配。
匈牙利解法
匈牙利解法1. 什么是匈牙利解法匈牙利解法，又被称为马尔科夫链匈牙利算法，是一种用于求解带权二部图最优的数学算法，该算法是Hungarianmathematician D.Kőnig在1930年发表的，是组合优化领域里最著名的算法之一，引起了众多数学家重视。
2. 匈牙利解法的基本概念简单地说，匈牙利解法可以把求解最优匹配的问题转换成一个线性规划问题，根据求出的最优值，可以得出最大权重的匹配方案。
匈牙利解法的核心思想是将人和工作、机器和工序之间的捆绑情况视为一个矩阵，根据权重进行分析。
解决矩阵匹配问题的方法就是在较小的花销下找出一个最优的权重，并使用这个最优的权重来进行匹配，从而实现满足要求的任务。
3. 匈牙利解法的主要步骤（1）确定矩阵尺寸：根据需要建立一个矩阵，由需要匹配的两组元素来构成，将矩阵中的每一元素都赋有相应的能力值，并确定矩阵的尺寸。
（2）确定最小权重：对矩阵的每一行，求出其中的最小值，并从该行中减去它；同样的，求出每一列的最小值，并从该列中减去它。
（3）求出最小权重：经过上述操作后，得出的矩阵里的元素，就是权重的最小值。
（4）得出最优结果：根据得到的最小权重值，来构建一个二部图，即使用一列最小值来匹配另一列，使得总权重最小。
4. 应用匈牙利解法可以用来解决很多实际上的问题，例如以最少花费排派最多的人，把人和机器配对，最终得到一个最优的解决方案；可以用来测定一篇文章中两个语料库之间的最大重合度，以及字频排序等。
匈牙利解法也可以用于最小距离网络流等问题，所以它是一种十分灵活且有效的数学计算算法。
匈牙利法求最优解步骤
匈牙利法求最优解步骤匈牙利法是一种用于求解二分图最大匹配问题的算法，其基本思想是通过交替路径的方法不断增大匹配的数量，直到无法找到更多的交替路径为止。
以下将详细介绍匈牙利法的步骤：1.建立二分图：首先，将给定的问题转化为二分图的形式。
二分图由两个不相交的点集U和V组成，边连接U中的点和V中的点。
其中，U中的点表示左侧的元素，V中的点表示右侧的元素。
2. 初始化匹配：开始时，所有的边都没有匹配，称为未配对边。
可以用一个数组match[]来表示，match[u]表示与点u匹配的点。
将match数组初始化为-1，表示没有匹配。
3.查找增广路：对于U中的每个未配对点u，从点u出发，尝试找到一条路径，路径的边交替进入和离开匹配数，直到无法找到路径为止。
a) 如果点u未匹配，说明找到了一条增广路。
将路径上的边加入匹配中，并更新match数组。
b) 如果点u已匹配，需要从与之匹配的点v出发，继续寻找增广路。
这时，需要用dfs或bfs进行递归或迭代的路径查找，直到找到增广路或者无法找到为止。
4.更新匹配：通过查找增广路，可以找到一条新的增广路径，将其加入匹配中。
重复上述步骤，不断更新匹配，直到无法找到增广路径为止。
5.返回最大匹配：所有增广路径都找不到时，匹配就已经达到最大，并且无法再增加匹配数量。
此时，将匹配数返回作为最大匹配。
匈牙利法是一个比较高效的算法，其时间复杂度为O(V*E)，其中V和E分别表示二分图中的点和边的数量。
需要注意的是，匈牙利法中可能存在多个不同的最大匹配，具体的匹配结果可能与初始点的顺序有关。
不同的初始点可能找到不同的增广路，从而得到不同的最大匹配。
因此，在实际应用中，可以多次运行匈牙利法，以得到不同的匹配结果，并从中选择最优解。
运筹学04-整数规划-匈牙利解法
13 8 7 2 2 1 7 0 12 0 0 4 2
6
11
0
4 2
11 8 9 0 1 3 2
1 8 4
0 1 1 0 8 0 0 4
第四章 整数规划
例：有甲、乙、丙、丁四个熟练工人，他们都是多面手， 有4个任务要他们完成，若规定每人只分配一次任务， 而每项任务只能由一个人完成，每人未完成每项任务的 工时耗费如表所示，问如何分配使完成任务的总工时耗 费最少？
表 零件机床 甲 乙 丙 丁 零件 A 4 9 8 6 1 任务分配工时耗费表 B 1 8 4 5 1 C 8 4 6 7 1 D 2 7 3 2 1 机床 1 1 1 1
7
4
0
4
0 2
2
2 4 // 0 0
0 2 1 0//
// 0
7
4
0
4
0 2
2
2 4 // 0 0
第四章 整数规划
D、目标函数为最大的任务分配问题
如果目标函数为MAX型，则不属于标准的任务分配模型，不 能直接运用匈牙利解法求解，这就需要先对max模型进行变换， 然后再求解。 例：有甲、乙、丙、丁4人分别操作4台机器，每个工人操作不 同机器时的产值如表，求对4个工人分配不同机器时总产 值最大的方案。
分配问题与匈牙利法
C (95 c ij )
解: M＝95，令
10 0 C ＝ 13 9
0 1 X＝ 0 0
3 8 12 5
22 17 16 15
5 0 5 7
0 0 1 0
整数规划解法-匈牙利 算法部分
max Z=CX
maxZ=CX (B) AX=b X 0
AX=b
(A) X 0
X为整数 (B)为(A)的松弛问题。
3
（2）替代问题的求解 max Z=CX
(B)
AX=b X 0
采用相应的方法（如图解法）求解出替代问题的 最优解，观察其是否满足整数解的要求。如其最 优解就为整数，则结束；如含有分数，则需要进 行分支定界操作。
实际含义：从事情的角度来考虑，表示此事分配给此人效率最高。
24
min
步骤二：继续产生零元素 方法：再找出矩阵每列的最小元素，再分 别从各列中减去它。
0 8 7 5 0 8 11 0 10 4 11 0 2 3 5 0 2 3 0 11 9 5 0 11
31
问
题
2 5 (0) 8 11 (0) 5 4 2 3 (0) 0 0 11 4 5
只能对三个零元素进行标定（代表独立的零 元素只有三个），后续如何操作？
32
非直观法-步骤3（第一种情形）
(3) 重复(1)、(2)两个步骤，可能出现三种 情况： ① 效率矩阵每行都有一个打( )号的零元 素，很显然，按上述步骤得到的打( )号 的零元素都位于不同行不同列，只要令 对应打( )号零元素对应的决策变量xij=1 就找到了问题的最优解；
人
从人的 角度看 从任务 角度看
工作 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文
甲 2 15 13 4
乙 10 4 14 15
丙 9 14 16 13
丁 7 8 11 9
12
指派问题的一般模型
假设： [aij]表示指派问题的效率矩阵 xij表示决策变量，决策变量的取值：
匈牙利算法
匈牙利算法--过程图解以下算法可把G中任一匹配M扩充为最大匹配，此算法是Edmonds于1965年提出的，被称为匈牙利算法，其步骤如下：（1）首先用（*）标记X中所有的非M-顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。
（2）选取一个刚标记（用（*）或在步骤（3）中用（y i）标记）过的X中顶点，例如顶点x i，然后用（x i）去标记Y中顶点y，如果x i与y为同一非匹配边的两端点，且在本步骤中y尚未被标记过。
重复步骤（2），直至对刚标记过的X中顶点全部完成一遍上述过程。
（3）选取一个刚标记（在步骤（2）中用（x i）标记）过的Y中结点，例如y i，用（y i）去标记X中结点x，如果y i与x为同一匹配边的两端点，且在本步骤中x尚未被标记过。
重复步骤（3），直至对刚标记过的Y中结点全部完成一遍上述过程。
（2），（3）交替执行，直到下述情况之一出现为止：（Ⅰ）标记到一个Y中顶点y，它不是M-顶点。
这时从y出发循标记回溯，直到（*）标记的X中顶点x，我们求得一条交替链。
设其长度为2k+1，显然其中k条是匹配边，k+1条是非匹配边。
（Ⅱ）步骤（2）或（3）找不到可标记结点，而又不是情况（Ⅰ）。
（4）当（2），（3）步骤中断于情况（Ⅰ），则将交替链中非匹配边改为匹配边，原匹配边改为非匹配边（从而得到一个比原匹配多一条边的新匹配），回到步骤（1），同时消除一切现有标记。
（5）对一切可能，（2）和（3）步骤均中断于情况（Ⅱ），或步骤（1）无可标记结点，算法终止（算法找不到交替链）。
我们不打算证明算法的正确性，只用一个例子跟踪一下算法的执行，来直观地说明这一点。
例9.3用匈牙利算法求图9.3的一个最大匹配。
（1）置M = Æ，对x1-x6标记（*）。
（2）找到交替链（x1, y1）（由标记（x1），（*）回溯得），置M = {(x1, y1)}。
（3）找到交替链（x2, y2）（由标记（x2），（*）回溯得），置M = {(x1, y1), (x2, y2),}。
指派问题——匈牙利法
指派问题的匈牙利解法
为 m，令矩阵 B (bij )nn , bij m cij ，则 以 B为效率矩阵的最小化指派问题和以C为 效率矩阵的原最大化指派问题有相同的最优
解；
非标准形式的指派问题
(2) 资源数量(人数等)与事件数不等的指派
•若资源少，事件多，则增加一些虚拟的 资源点，这些虚拟的资源做事件的效率 系数为0，可理解为这些费用(成本)实际 上不会发生；
若◎元素的数目m=n，则该指派问题的最优 解已经得到，否则转入Step 3；
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指派问题的匈牙利解法——步骤（续）
Step 3. 设有 m<n 个◎, 找最少覆盖所有0的直线 1) 对没有◎的行打√ 2) 对已打√行中含所在列打√ 3) 对已打√列中含◎所在行打√ 4) 重复2)~3), 直至没有要打√的行和列为止 5) 对没有打√的行划横线, 对打√的列划竖线 得到最少覆盖所有0的直线数l。
nn
n
n
cijxij ckjx kj (s) x kj
i1 j1
j1
j1
ik
nn
n
cijxij ckjx kj (s)
i1 j1
j1
ik
z (s)
指派问题的匈牙利解法
• 根据此定理，可以对 做如下改变，目的是 找出C 中的 n个不同行不同列的0元素：
0
匈牙利算法
匈牙利算法
一、计算步骤
1、列出单价运算表。
2、找出各个行中的最小值，分别每行分别减去该行的最小值；其次，找出各个列的最小值，每一列减去该列相对应的最小值。
3、通过第二步，会得到一部分的0值，我们对这一部分的0值，进行运算即：找出唯一只有一个0的行，将这个0圈出，并将有这个0的这一列划去，对剩余部分的找出唯一只有一个0的列，将这个0圈出，将有0的这一行划去。
4、重复步骤三，知道所有0都被找出。
5、若被圈出0的个数与行（列）数m相同即为最优解。
6、若小于m，找出剩余数中的最小值k，没被划去的每行的ui=k，其余为0，没被划去的每列的vj=0，其余为-k，用每一个值减去对应行列的ui,vj.
7、重复步骤6，直至被圈出0的个数等于m，即找到最优解。
二、例题
有一份说明书, 要分别译成英、日、德、俄四种文字, 交甲乙丙丁四个人去完成. 因各人专长不同, 他们完成翻译不同文字所需的时间如表所示. 应如何分配, 使这四人分别完成这四项任务总的时间最少.。
匈牙利匹配算法步骤
匈牙利匹配算法步骤匈牙利匹配算法是一种求解二分图最大匹配问题的高效算法。
它由匈牙利数学家Eduard Czuber和König于1931年提出，后被Kuhn在1955年重新发现并加以改进。
该算法能够解决许多实际问题，如婚配问题、任务分配问题等。
本文将详细介绍匈牙利匹配算法的步骤。
首先，我们需要理解什么是二分图和匹配。
一个二分图是由两个不相交的集合V1和V2构成的图，其中每条边都连接着V1中的一个顶点和V2中的一个顶点。
而一个匹配则是图中的一组边，这些边两两之间没有公共顶点。
最大匹配是指在所有可能的匹配中，包含的边数最多的匹配。
接下来，我们来看看匈牙利匹配算法的具体步骤：1. 初始化：为每个顶点v赋予一个权值d(v) = 0。
2. 找增广路径：从一个未匹配的顶点u开始，寻找一条增广路径P。
这条路径的特点是：它的起点是未匹配的顶点，终点是未匹配的顶点，且路径上的边交替地属于匹配M和不属于匹配M。
3. 更新权值：如果找到了增广路径P，那么就更新路径上所有顶点的权值。
具体来说，对于路径上的每一个顶点v，有以下两种情况：- 如果v是一个奇顶点（即在路径P中位置为奇数），则令d(v) = d(v) + 1。
- 如果v是一个偶顶点（即在路径P中位置为偶数），则令d(v) = d(v) - 1。
4. 检查是否结束：如果找不到增广路径了，那么算法结束；否则回到第二步继续找增广路径。
以上就是匈牙利匹配算法的主要步骤。
这个算法的基本思想是通过不断地找增广路径和更新权值，使得最后能找到一个最大的匹配。
匈牙利匹配算法的优点在于它的效率高。
在最坏的情况下，匈牙利匹配算法的时间复杂度是O(n^3)，其中n是图中顶点的数量。
而在实际情况中，由于可以使用各种优化技巧，例如使用数据结构来加速查找增广路径的过程，所以通常情况下算法的运行时间会远小于理论上的最坏情况。
此外，匈牙利匹配算法还有很好的可扩展性。
它可以很容易地推广到一些更复杂的问题，例如带权重的最大匹配问题、多对多匹配问题等。
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指派问题的匈牙利法求解步骤：
1) 变换指派问题的系数矩阵(c ij)为(b ij)，使在(b ij)的各行各列中都出现0元素，即
从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素；
再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
2) 进行试指派，以寻求最优解。
在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0
元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。
找独立0元素，常用的步骤为：
从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作◎。
然后划去◎所
在列的其它0元素，记作Ø；这表示该列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。
依次进行到最后一行。
从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0元素加圈，记作◎；
然后划去◎所在行的0元素，记作Ø，表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。
依次进行到最后一列。
若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，比较这行各0元素所
在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”
选择性少的)。
然后划掉同行同列的其它0元素。
可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
若◎元素的数目m 等于矩阵的阶数n（即：m＝n），那么这指派问题的最优解已
得到。
若m < n, 则转入下一步。
3) 用最少的直线通过所有0元素。
其方法：
对没有◎的行打“√”；
对已打“√”的行中所有含Ø元素的列打“√”；
再对打有“√”的列中含◎元素的行打“√”；
重复①、②直到得不出新的打√号的行、列为止；
对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最
少直线数l 。
注：l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试指派；若
l＝m < n，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系数矩阵，以找到n 个独立的0元素，为此转第4步。
4) 变换矩阵(b ij)以增加0元素
在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这
个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。
新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。
转回第2步。