(完整版)高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

合集下载

高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案

4. 当 q ≠ 1 时， S n =
−a1 n a q + 1 = aq n + b ，这里 a + b = 0 ，且 a ≠ 0, b ≠ 0 ，这是等比数 1−q 1−q 列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列 {an } 是否为等比数列．如若 {an } 是
等比数列，且 S n = 3 n + r ，则 r =
)
C．2 D．3
B．1
2. 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2 ，若 n 是奇数就乘 3 再加 1 ，如此继续下去
⋯ ⋯，现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 (
A．1
答案： C 解析：按照题中给出的规则：
)
B．2
C．3
D．4
10 = 5 ；得到的第三个数是 2 16 8 5 × 3 + 1 = 16 ；得到的第四个数是 = 8 ；得到的第五个数为 = 4 ； 2 2 4 2 得到的第六个数为 = 2 ；得到第七个数为 = 1 ；得到第八个数为 1 × 3 + 1 = 4． 2 2 所以后面的数是以 4、2、1 为一个周期的数．
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推据已知中的点
E, F 的位置，如图，可知入射角的正切值为 2 ，第一次碰撞点为 F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点 G 在 DA 上，且 1 1 DG = , 第三次碰撞点 H 在 DC 上，且 DH = ，第四次碰撞点 M 在 CB 上，且 6 3 1 1 1 CM = ，第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN = ，第六次回到 E 点， AE = . 3 6 3

高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-2第二章《推理与证明1》单元测试题单元练习题一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（）A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③+；④-2中，与等价的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（） A ．只有最大值 B ．只有最小值 C ．只有最大值或只有最小值 D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6．若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（）A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161-二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

2．已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。

3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。

4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。

[精品]新人教A版选修2-2高中数学第二章推理与证明综合检测和答案

第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C. 4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n)>n2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案] 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1[解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②si n 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12si n(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd . 由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。

高中数学选修2-2：第2章推理与证明章末综合测评含答案

章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是() A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案【解析】根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.【答案】 C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】 A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . 【答案】 B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2，故选B.7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123 D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c ＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是() 【导学号：05410056】A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a ＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.【答案】 A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1A ．2 018×2 014B ．2 018×2 013C ．1 010×2 012D ．1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C 12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104【解析】因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .【导学号：05410057】【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】 (5,7)15．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n(n ≥2)． (1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋. 下面利用数学归纳法加以证明：①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a k k －a k ＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1) ＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1 ＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2 ＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3.。

人教A版选修2-2《数学选修2-2》推理与证明.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作《数学选修2-2》推理与证明第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、下列表述正确的是( ).①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤. 2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件Ｂ.必要条件Ｃ.充要条件Ｄ.等价条件 3、在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,则ABC △一定是( ) Ａ.锐角三角形Ｂ.钝角三角形Ｃ.直角三角形Ｄ.不确定 4、下面使用类比推理正确的是 ( )A.直线a,b,c ,若a //b,b //c ,则a //c .类推出:向量a,b,c ,若a //b ,b //c ,则a //cB.同一平面内,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .类推出:空间中,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .C.实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.类推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.D.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球的方程为2222x y z r ++=.5、(1)已知332p q +=,求证2p q +≤,用反证法证明时,可假设2p q +≥;(2)已知a b ∈R ，,1a b +<,求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1,即假设11x ≥,以下结论正确的是( )A.(1)的假设错误,(2)的假设正确B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)与(2)的假设都错误 6、观察式子:213122+<,221151233++<,222111712344+++<,,则可归纳出式子为( )Ａ.22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ.22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ.222111211(2)23n n n n -++++<≥Ｄ.22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 7、已知扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,类比三角形的面积公式:12S =⨯底⨯高,可得扇形的面积公式为( )Ａ.212rＢ.212l Ｃ.12rl Ｄ.不可类比8、定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )(1) (2) (3) (4) (A) (B)A.D A D B **,B.C A D B **,C.D A C B **,D.D A D C **, 9、观察下列各式:211=,22343++=,2345675++++=,2456789107++++++=,,可以得出的一般结论是( )A.2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-=B.2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-C.2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-=D.2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-10、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为( )A.2(21)k +B.21k +C.211k k ++ D.231k k ++ 11、正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8712 19 16 15 14 13 20 2524232221则上起第2009行,左起第2010列的数应为( )A.22009B.22010C.20092010+D.20092010⨯12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem ),其加密、解密原理如下图:现在加密密钥为)2(log +=x y a ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )A.12B.13C.14D.15第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于______________. 14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 .15、已知命题:“若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.16、若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ,记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=,试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值,推测出.________________)(=n f三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文已知:23150sin 90sin 30sin 222=++2223sin 10sin 70sin 1302++=23125sin 65sin 5sin 222=++通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.18、(12分)如图(1),在三角形ABC 中,AB AC ⊥,若AD BC ⊥,则2AB BD BC =·;若类比该命题,如图(2),三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有什么结论?命题是否是真命题.19、(12分)已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=,1ac bd +>,求证a b c d ，，，中至少有一个是负数.20、(12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.21、(12分)已知命题:“若数列{}n a 为等差数列,且,m n a a a b ==),,(+∈≠N n m n m ,则m n ma nb a m n+-=-”.现已知数列{}),0(+∈>N n b b n n 为等比数列,且,a b m =b b n =),,(+∈≠N n m n m.(1)请给出已知命的证明;(2)类比(1)的方法与结论,推导出m n b +.22、(14分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A 由全体二元有序实数组组成,在A 上定义一个运算,记为,对于A 中的任意两个元素(,)a b α=,(,)c d β=,规定:αβ=(,)ad bc bd ac +-.(1)计算:)3,2()4,1(-;(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;(3)若“A 中的元素(,)I x y =”是“对A α∀∈,都有α=I I αα=成立”的充要条件,试求出元素I .参考答案1.D 由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知①③⑤正确.2.A 由分析法的定义知A 正确.3.B 由已知得sin sin cos cos cos()0,A C A C A C -=-+>∴cos()0,A C +< ∴A C +为锐角,得B 为钝角,ABC △为钝角三角形.4.D 若向量b =0,则a //c 不正确;空间内,直线a 与b 可以相交、平行、异面,故B 不正确;方程200(1)0x ix i ++-±=有实根,但24a b ≥不成立;设点(,,)P x y z 是球面上的任一点,由OP r =,得222x y z r ++=,D 正确.5.A 用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以2p q +≤ 的假命题应为.2>+q p6.Ｃ由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C.7.Ｃ三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧.8.B 观察知A 表示“︱”,B 表示“□”,C 表示“－”,D 表示“○”,故选B. 9.B 等式右边的底数为左边的项数.10.A 当n k =时,左边=(1)(2)()k k k k ++⋅⋅+1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]n k k k k k =+=++++⋅⋅+++当时左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++⋅⋅⋅+++++(1)(2)(1)(2)()1k k k k k k k k k ++++=++⋅⋅⋅++(1)(2)()[2(21)]k k k k k =++⋅⋅⋅++,∴从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为2(21)k +.11.D 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为220091+,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为220092009+=20092010⨯.12.C 由其加密、解密原理可知,当x =6时,y =3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有)2(log 42+=b ,从而有14224=-=b .13.32 1547,1220,91120,6511,325=-=-∴=-=-=-x x ,∴32x =14.一般不等式为:1111()23212n n n *++++>∈-N . 15.若数列{}n a 是等差数列,则数列12nn a a a b n +++=也是等差数列.证明如下:设等差数列{}n a 的公差为d ,则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-,所以数列{}n b 是以1a 为首项,2d为公差的等差数列. 16.2()22n f n n +=+ 22332222141)13(1,31)12(1,21)11(1=+==+==+=a a a 1211113(1)11(1)(1),22222f a =-=-=-+=⨯ 同理1222111324(2)(1)(1)(1)(1)232233f a a =--=--=⨯⨯⨯123222111132435(3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234223344f a a a =---=---=⨯⨯⨯⨯⨯∴222111()(1)(1)[1]23(1)f n n =--⋅⋅⋅-+111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223311n n =-+-+⋅⋅⋅-+++ 1324322 (223341122)n n n n n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++ 17.解:一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=证明:左边001cos(2120)1cos 21cos(2120)222ααα----+=++003[cos(2120)cos 2cos(2120)]232ααα=--++-=所以左边等于右边18.解:命题是:三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题.证明如下: 在图(2)中,连结DM ,并延长交BC 于E ,连结AE ,则有DE BC ⊥.因为AD ⊥面ABC ,,所以AD AE ⊥. 又AM DE ⊥,所以2AE EM ED =·. 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····. 19.证明:假设a b c d ，，，都是非负实数,因为1a b c d +=+=, 所以a b c d ，，，[01]∈，,所以2a c ac ac +≤≤,2b cbd bd +≤≤, 所以122a cb dac bd ++++=≤, 这与已知1ac bd +>相矛盾,所以原假设不成立,即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数.20.解:(1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815,猜测 a n ＝2－n 21(2) ①由(1)已得当n ＝1时,命题成立;②假设n ＝k 时,命题成立,即 a k ＝2－k21, 当n ＝k ＋1时,a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k ∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3, ∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－121+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立. 根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n21都成立. 21.解:(1)因为在等差数列{a n }中,由等差数列性质得⎩⎨⎧+=+=++mda a nda a n n m m n m ,又,m n a a ab ==,∴m n m n a a nd a b md ++=+⎧⎨=+⎩,得m n m n ma ma mndna nb mnd++=+⎧⎨=+⎩,两式相减得()m n m n a ma nb +-=-,∴m n ma nba m n+-=-.(2)在等比数列{}n b 中,由等比数列的性质得⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=++mn n m nm n m qb b qb b ,又,m n b a b b ==, ∴n m n m m n b a q b b q ++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,得m m mnm n n n mnm n b a q b b q++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,两式相除得m m nm n n a b b -+=, ∴mm n m nn a b b-+=.22.解:(1))3,2(⊙)14,5()4,1(=-. (2)交换律:αββα=,证明如下:设(,)a b α=,(,)c d β=,则αβ=(,)ad bc bd ac +-,βα=(,)c d (,)a b =(,)cb da db ca +-=(,)ad bc bd ac +-.∴αββα=.(3)设A 中的元素(,)I x y =,对A α∀∈,都有α=IIαα=成立,由(2)知只需I ⊙αα=,即),(y x ⊙=),(b a ),(b a (,)(,)bx ay by ax a b ⇔+-= ①若)0,0(=α,显然有I ⊙αα=成立; ②若)0,0(≠α,则bx ay a ax by b +=⎧⎨-+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩,∴当对A α∀∈,都有α=II αα=成立时,得(0,0)I =或(0,1)I =,易验证当(0,0)I =或(0,1)I =时,有对A α∀∈,都有α=IIαα=成立∴(0,0)I =或(0,1)I =.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(含答案解析)

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -3．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（） A ．271B ．272C ．273D ．2744．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =++++-=时，假设*(n k k N =∈）时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )A ．(1)()23f k f k k +=+-B ．(1)()21f k f k k +=+-C ．(1)()21f k f k k +=++D ．(1)()23f k f k k +=++5．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．326．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++C ．11331k k -++ D ．133k + 7．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.1258．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A ．,,a b c 没有偶数B ．,,a b c 恰好有一个偶数C ．,,a b c 中至少有一个偶数D ．,,a b c 中至少有两个偶数10．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为 D ．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由·a b R ∈，类比得·x y I ∈ ②由20a ≥，类比得20x ≥③由()2222a b a ab b +=++，类比得()2222x y x xy y +=++ ④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>- 14．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．16．在xOy 平面上，将双曲线的一支221916x y -=(0)x >及其渐近线43y x =和直线0y =、4y =围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分，记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω，过(0,)y (04)y ≤≤作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω体积为________17．对于自然数方幂和()12k kk k S n n =+++（n *∈N ，k *∈N ），1(1)()2n n S n +=，2222()12S n n =+++，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1， 33﹣23＝3×22＋3×2＋1， ……(n ＋1)3﹣n 3＝3n 2＋3n ＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n ＋1)3﹣13＝23()S n ＋13()S n ＋n ，解得2()S n ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，类比以上过程可以求得54324()A B C D E F S n n n n n n =+++++，A ，B ，C ，D ，E ，F ∈R 且与n 无关，则A ＋F 的值为_______． 18．现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险19．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.20．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．在数列{a n }中， a 1=1, 131nn n a a a +=+，n =1，2，3．．． (1)计算a 2, a 3, a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式． (2)用数学归纳法证明你的猜想． 23．当*n N ∈时，111111234212n S n n=-+-++--，11111232n T n n n n=+++++++ （Ⅰ）求1S ，2S ，1T ，2T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明. 24．已知数列11111,,,,,12233445(1)n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，…的前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 表达式. 25．设a ＞0，f (x )＝axa x+，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 26．已知数列{}n a 中，11a =，()122nn na a n N a ++=∈+ (1)求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； (2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列时的大前提、小前提和结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】当n k =时，左边的代数式为11112k k k k++⋯++++，当1n k =+时，左边的代数式为11111232122k k k k k k ++⋯++++++++，故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.2．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 6．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（）A ．1020B ．1010C ．510D ．5057．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B ．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C ．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D ．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师8．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.1259．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 10．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A ．,,a b c 没有偶数B ．,,a b c 恰好有一个偶数C ．,,a b c 中至少有一个偶数D ．,,a b c 中至少有两个偶数11．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙二、填空题13．某个产品有若千零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为A,?B,C,?D,?E,?F .其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序Y 必须要在工序X 完成后才能开工，则称X 为Y 的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下：工序 ABCDEF加工时间 3 42 221紧前工序无C 无C ,A BD现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__________小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．15．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.16．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．17．在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为__________．18．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =____. 20．如图所示，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．三、解答题21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，()4521S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，()*11n n n b T T n N ++=∈.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记nn na c T =，*n N ∈，证明：()122214n c c c n n +++<+. 22．已知数列{}n a 中，12a a =．()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N . （1）写出2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明． 23．选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．24．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n a S n =-. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.25．给出下面的数表序列：其中表()1,2,3,...n n =有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表()3n n ≥（不要求证明）（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和26．已知f （x ）=f （0）+f （1），f （﹣1）+f （2），f （﹣2）+f （3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．2．D解析：D 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．A解析：A【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可. 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球；则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1，则变换中的第7项一定为2，变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8，变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B 【详解】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++,1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.6．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.7．C解析：C 【解析】丙的年龄比语文老师大，则丙是数学老师或英语老师，不是语文老师；甲的年龄和英语老师不同，则甲是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项B 错误；英语老师的年龄比乙小，则乙是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项D 错误；选项A 中，英语老师的年龄比乙大，选项A 错误；据此可得：甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师. 本题选择C 选项.8．C解析：C 【解析】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C9．D解析：D 【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D ．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．10．D解析：D 【解析】“至多一个”的反面是“至少2个”所以原命题等价命题是“a,b,c 中至少有两个偶数 ”选D.11．C解析：C 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置．【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,，由于22441936,452025==，2244201945<<，所以故2019是第45行的倒数第4个数，所以数字2019的位置为（45,42）．故选C ．【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．（2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．12．A解析：A【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.二、填空题13．【解析】分析：由题意根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品确定好加工顺序即可得到答案详解：由题意可确定如图所示的加工顺序如图所示可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品要完成该产品的最短加工解析：【解析】分析：由题意，根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品，确定好加工顺序，即可得到答案.详解：由题意，可确定如图所示的加工顺序，如图所示，可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品，要完成该产品的最短加工时间为8小时.点睛：本题主要考查了实际应用问题，其中解答中正确理解题意，分析工艺的流程，确定好加工的顺序，得出加工顺序的图形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.14．【解析】分析：令可求得由得两式相减得可依次求出观察前四项找出规律从而可得结果详解：中令可求得由得两式相减得即可得…归纳可得故答案为点睛：归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某些相同的性质二从已解析：21 2nn【解析】分析：令1n =，可求得112a =，由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥，两式相减，得()1122n n a a n -+=≥，可依次求出234,,a a a ，观察前四项，找出规律，从而可得结果.详解：n n S n a =- 中令1n ，=可求得1a =1112122-=由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥，两式相减，得11n n n a a a -=-+，即()1122n n a a n -+=≥，可得222321;42a -==333721;82a -==4341521;182a -==… 归纳可得212n n na -=，故答案为212n n -. 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得解析：2. 【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离d ==. 点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.16．且【解析】此类比仅是数量的变化即在空间中四点共面的充要条件是：对于平面内任一点有且只有一对实数满足向量关系式且解析：OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++= 【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=17．在四面体A －BCD 中G 为△BCD 的重心则【解析】由类比四面体中点类比重心有由类比可得在四面体中为的重心则有故答案为在四面体中为的重心则有点睛:本题考查了从平面类比到空间属于基本类比推理利用类比推理可解析：在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则1()3AG AB AC AD =++ 【解析】由“ABC ”类比“四面体A BCD -”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体A BCD -中，G 为BCD 的重心，则有1()3AG AB AC AD =++，故答案为在四面体A BCD -中，G 为BCD 的重心，则有1()3AG AB AC AD =++. 点睛: 本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论，属于基础题；由条件根据类比推理，由“ABC ”类比“四面体A BCD -”，“中点”类比“重心”，从而得到一个类比的命题.18．【解析】由题意知：结论左端各项分别是和为的各数的倒数右端时为时为故时结论为故答案为【方法点睛】本题通过观察几组不等式归纳出一般规律来考察归纳推理属于中档题归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某解析：2n【解析】由题意，知：结论左端各项分别是和为1的各数i a 的倒数()1,2,...,i n =，右端2n =时为242,3n ==时为293=，故12,...1i n a R a a a +∈+++=时，结论为()212111...2nn n a a a +++≥≥，故答案为2n . 【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.19．【解析】设正四面体的棱长为高为四个面的面积为内切球半径为外接球半径为则由得；由相似三角形的性质可求得所以考点：类比推理几何体的体积解析：127【解析】设正四面体ABCD 的棱长为a ，高为h ，四个面的面积为S ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则由11433Sr Sh ⨯=，得1144r h ===；由相似三角形的性质，可求得R =，所以12V V =3311()().327r R ==考点：类比推理，几何体的体积.20．【解析】试题分析：在△DEF 中由正弦定理得于是类比三角形中的正弦定理在四面体S ﹣ABC 中我们猜想成立故答案为考点：类比推理解析：312123sin sin sin S S S ααα== 【解析】试题分析：在△DEF 中，由正弦定理，得sin sin sin d e fD E F==．于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S ﹣ABC 中，我们猜想312123sin sin sin S S S ααα==成立．故答案为312123sin sin sin S S S ααα==．考点：类比推理．三、解答题21．（1）21n a n =-+，()1,11,21n n b n n n -=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.（2）见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；由11n n n b T T ++=⋅，得1111n n T T +-=-，可得1n T n=-，利用1n n n b T T -=-，可得{}n b 的通项公式；（2）利用数学归纳法, ①当1n =时，左边1=，右边4=②假设n k =时成立，即()12214k c c c k k +++<+，证明当1n k =+时，不等式也成立. 【详解】解：（1）设首项为1a ，公差为d ，则()111346241a d a d a d +=-⎧⎨+=++⎩，解得11a =-，2d =-，故21n a n =-+，由11n n n b T T ++=⋅，得11n n n n T T T T ++=⋅-，即1111n n T T +-=-，11T =-，所以1nn T =-，即1n T n=-，所以()()1121n n n b T T n n n -=-=≥-，故()1,11,21n n b n n n -=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩. （2）由（1）知n c =()12214n c c c n +++<+， ①当1n =时，左边1=，右边4=②假设n k =时成立，即()12214k c c c k +++<+，即当1n k =+时，()21214k k c c c c k k+++++<++()214k k ⎡=++⎢⎢⎣()21k k=++⎣ 224k k ⎡⎢=++⎢⎣))()2243123k k k k k <+++=++. 即当1n k =+时，不等式也成立.由①，②可知，不等式()1212n c c c n +++<+对任意*n N ∈都成立. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及n S 法求数列的通项公式，考查数列归纳法，是中档题. 22．（1）232a a =，343a a =，454a a =；（2）猜想1n n a a n+=，证明见解析.【分析】（1）利用递推公式可计算出2a 、3a 、4a 的值；（2）根据数列{}n a 的前四项可猜想出()1n n a a n N n*+=∈，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立. 【详解】（1）()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N ，12a a =，则222132222a a a a a a a a =-=-=，2232242223332a a a a a a a a a a =-=-=-=，2243352224443a a a a a a a aa a =-=-=-=；（2）猜想()1n n a a n N n*+=∈，下面利用数学归纳法证明. 假设当()n k k N *=∈时成立，即1k k a a k+=，那么当1n k =+时，2212222111k k a a k k a a a a a ak a k k ak++=-=-=-=+++，这说明当1n k =+时，猜想也成立. 由归纳原理可知，()1n n a a n N n*+=∈. 【点睛】本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 23．(1) (2)见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用三角绝对值不等式的性质求得最小值的表达式，然后结合已知条件求解即可；（Ⅱ）首先由（1）及基本不等式，得，然后假设与同时成立，推出且，与相矛盾，即证得结论．试题（1）∵，∴. （2）∵且，由基本不等式知道：，∴假设与同时成立，则由及，得．同理，∴，这与矛盾，故与不可能同时成立.考点：1、基本不等式；2、三角绝对值不等式的性质；3、反证法．24．（Ⅰ）123135a a a ===，，（Ⅱ）猜想21n a n ，=-证明见解析【解析】分析：（1）直接给n 取值求出1a ，2a ，3a .(2)猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.详解：（Ⅰ）令1n =，则10a =，又11S a =，解得11a =；令2n =，则2211a a =⇒=，解得23a =；令3n =，则3322a a =⇒=，解得35a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）猜想21n a n =-；下面用数学归纳法证明21n a n =-. 由（Ⅰ）可知当1n =时，21n a n =-成立；假设当()*n k k N =∈时，21k a k =-，则21k k a k S k =-⇒=.那么当1n k =+时，()2111k k k a k S a k +++=⇒=-，由()22111k k k k a S S a k k +++=-=-- 2112k k a ka ++=-，所以()21121k k k a a +++=，又0n a >，所以121k a k +=+，所以当1n k =+时，()121211k a k k +=+=+-. 综上，21n a n =-.点睛：（1）本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 数学归纳法的步骤：①证明当n=1时，命题成立。

高中数学选修2-2第二章课后习题解答

新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+. 3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==，又因为sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=，这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立.2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B+=所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=. 另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=--即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=，即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++，所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++ 即证3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=.那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+.所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.（3）略.2、1111122S ==-⨯，2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯，3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯.由此猜想：111n S n =-+.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n =时，左边＝111111222S ==-=⨯，右边＝11111122n -=-=+，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，猜想成立. （2）假设当n k =时，猜想成立，即111111122334(1)1k k k ++++=-⨯⨯⨯++.那么，11111111122334(1)(1)(2)1(1)(2)k k k k k k k +++++=-+⨯⨯⨯++++++.111(1)12k k =--++ 121111122k k k k +-=-⋅=-+++所以，当1n k =+时，猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n N *∈都成立. 习题2.3 B 组（P96）1、略2、证明：（1）当1n =时，左边＝111⨯=，右边＝11(11)(12)16⨯⨯+⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2)6k k k k k k k ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++.那么，1(1)2[(1)1]3[(1)2](1)1k k k k ⨯++⨯+-+⨯+-+++⨯.[12(1)3(2)1][123(1)]k k k k k =⨯+⨯-+⨯-++⨯++++++11(1)(2)(1)(2)62k k k k k =+++++ 1(1)(2)(3)6k k k =+++ 所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章复习参考题A 组（P98）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *∈）个圆圈.2、333n 个（n N *∈）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.4、运算的结果总等于1.5、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A '，B '，C '，D '，则1OA OB OC OD AA BB CC DD''''+++=''''用“体积法”证明： OA OB OC OD AA BB CC DD ''''+++'''' O BCD O CDA O DAB O ABCA BCDB CDAC DABD ABCV V V V V V V V --------=+++1A BCD A BCDVV --==6、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=（第5题）即证 tan tan 1tan tan A B A B +=-由54A B π+=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k ππ+≠+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式. 所以，命题得证.7、证明：（1）当1n =时，左边＝1-，右边＝1(1)11-⨯=-，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即135(1)(21)(1)k k k k -+-++--=-.那么，1135(1)(21)(1)[2(1)1]k k k k +-+-++--+-+-.1(1)(1)[2(1)1]k k k k +=-+-+- 1(1)[2(1)1]k k k +=--++- 1(1)(1)k k +=-+所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；（2）2n 条线段；（3）最多将圆分割成1(1)12n n ++部分.下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.②假设当n k =时，结论成立，即：k 条线段，两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分当1n k =+时，其中的k 条线段12,,,k l l l 两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++ 部分，第1k +条线段1k a +与线段12,,,k l l l 都相交，最多增加1k +个部分，因此，1k +条线段，两两相交，最多将圆分割成11(1)1(1)(1)(2)122k k k k k ++++=+++ 部分所以，当1n k =+时，结论也成立.根据①和②，可知结论对任何n N *∈都成立.2、要证 cos 44cos 43βα-=因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=⨯-⨯ 2212sin 24(12sin 2)βα=--⨯-222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--⨯- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---⨯-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---⨯--= 由已知条件，得 sin cos sin 2θθα+=，2sin sin cos βθθ=，代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---⨯-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++-222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43βα-=。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测题(答案解析)

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A ．甲可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．甲、丁可以知道对方的成绩D ．甲、丁可以知道自己的成绩2．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得（）A ．当7n =时该命题不成立B ．当7n =时该命题成立C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立4．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（）A ．33x y =B ．33x y >C ．33x y =或33x y >D ．33x y =或33x y < 5．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确 6．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．0 8．用数学归纳法证明11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（）A ．111313233k k k +++++B ．112313233k k k +-+++C ．11331k k -++D ．133k + 9．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（）A ．玩游戏B ．写信C ．听音乐D ．看书10．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分A ．16B ．21C ．22D ．2311．用数学归纳法证明“11112321n ++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（） A ．12k - B ．21k -C ．2kD ．21k + 12．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（）19211⨯+=1293111⨯+=123941111⨯+=12349511111⨯+=1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．1111113二、填空题13．有甲、乙、丙、丁四位学生参加数学竞赛，其中只有一名学生获奖，有其他学生问这四个学生的获奖情况，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都没有获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位学生的话有且只有两个人的话是对的，则获奖的学生是__________．14．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=15．在xOy 平面上，将双曲线的一支221916x y -=(0)x >及其渐近线43y x =和直线0y =、4y =围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分，记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω，过(0,)y (04)y ≤≤作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω体积为________16．平面上画n条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n条直线将平面分成__________个部分．17．求“方程34155x x⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：设函数()3455x xf x⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x在R上单调递减，且()21f=，所以原方程有唯一解2x=．类比上述解题思路，方程()3622323x x x x+=+++的解集为____________．18．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中的三角垛倒数第二层茭草总束数为______．19．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(3)n≥行的从左至右的第3个数是_____．20．观察下列各式：0014C=011334C C+=01225554;C C C++=0123377774C C C C+++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++． 22．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.23．已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，且满足0n a >，()242n n n S a a n N +=+∈. （1）计算1234,,,a a a a ，根据计算结果猜想n a 的表达式；（2）用数学归纳法证明你的结论.24．已知1111,,,,,112123123n +++++++，其前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.25．求证：()()2333*1212L n L n n N +++=+++∈. 26．已知函数()f x 满足()()233log log .f x x x =- (1).求函数()f x 的解析式； (2).当n *∈N 时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.2．B解析：B【分析】分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果.【详解】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意；若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意；若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意；若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意，综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B.【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.3．A解析：A【解析】分析：利用互为逆否的两个命题同真同假的原来，当()P n 对n k =不成立时，则对1n k =-也不成立，即可得到答案．详解：由题意可知，原命题成立的逆否命题成立，命题()P n 对8n =不成立时，则()P n 对7n =也不成立，否则当7n =时命题成立，由已知必推得8n =也成立，与当8n =时命题不成立矛盾，故选A ．点睛：本题主要考查了数学归纳法以及归纳法的性质，互为逆否的两个命题同真同假的性质应用，其中正确四种命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．4．C解析：C【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“33x y <”的否定为：“33x y ≥”，故选C ．考点：反证法与放缩法．5．A解析：A【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误，故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题6．A解析：A【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立.详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.7．B解析：B【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=，则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确；对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的；对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的；综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．B解析：B【详解】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．D解析：D【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D. 10．C解析：C【解析】可以用归纳思想，1条弦，分圆成2个部分。

高中数学选修22推理与证明2

数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
类比推理
如图所示，在△ABC中，射影定理可体现为a＝ b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四周体性质的猜想．
[思路点拨] 这是一种由平面图形到空间图形的类比，于是联想到：边长→面积，平面角→二面角，边的射影→面的射影等．
方法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,1＋5,1＋5＋ 9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
2．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36, 45,55，…这些数叫做三角形数，这是由于这些数目的点能够排成正三角形(如图所示)，则三角形数的普通体现式f(n)＝( )
A．n＋2 C．n－12n＋2
高效测评知能提升
[问题2] 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，全部的爬行动物都是用肺呼吸的吗？
[提示2] 是．全部的爬行动物都是用肺呼吸的．
数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破

高中数学(人教B版,选修22)第二章推理与证明+课件+同步测试+本章整合+综合素质检测(13份)2

由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键
在于在等差数列中有性质：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在
等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1·b17－n＝b
2 9
＝1，因而得到答
案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an
比
OA′ AA′
＋
OB′ BB′
＋
OC′ CC′
＝1得出结论，再类比“面积法”用
“体积法”进行证明．
[解析] 如图，设O为四面体V－BCD内任意一点，连接 VO、BO、CO、DO并延长交对面于V′、B′、C′、D′，类比关系为OVVV′′＋OBBB′′＋OCCC′′＋ODDD′ ′＝1.
类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．
学法归纳总结
1．归纳推理 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个能明确表述的一般性命题．简称为：观察、归纳、猜想． (2)归纳推理的特点：①归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；②归纳推理是根据已知的条件(现象)推断未知的结论(现象)，因而结论具有猜测的性质；③归纳推理是立足于观察、经验或实验的基础上的．
把该数列的后一项减去前一项，得一新数列 1,2,2,3,3,4,4,5，….
把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到 2,1,2,2,3,3,4,4,5，….
于是，原数列的第n项an，就等于上面数列的前n项和，即
a1＝2＝1＋1＝2， a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3， a3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5， a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7， …，

选修2-2第二章推理与证明测试题及答案

〔数学选修2-2〕第二章推理与证明一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于〔〕 A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞那么111,,a b c b c a+++〔〕 A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．正六边形ABCDEF ，在以下表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有〔〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内〔〕 A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，那么〔〕 A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6．假设234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，那么x y z ++=〔〕A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

2．实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，那么a =__________。

3．b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，那么y x ,的大小关系是_________。

4．假设正整数m 满足m m 102105121<<-，那么)3010.02.(lg ______________≈=m5．假设数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++那么10____a =。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(含答案解析)

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20483．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -4．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -5．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（） A ．271B ．272C ．273D ．2746．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x ==（）AB ．3C ．6D ．8．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---9．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．1810．下列推理属于演绎推理的是（） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电11．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理二、填空题13．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________． 15．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．16．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，则1212C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则12S S =__________． 17．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是__________．18．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．19．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=，展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．20．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________．三、解答题21．对任意正整数n ，设n a 表示n 的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，n S 表示数列{}n a 的前n 项和.（1）求1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的值；（2）是否存在常数s ，t ，使得()()212246mmm s t S-+⋅+=对一切m 1≥且*m N ∈恒成立？若存在，求出s ，t 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由.22．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且33a =，1a 、2a 、4a 成等比数列，数列{}n b 满足()1222*n n b b nb a n +++=∈N（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2)11*n n nb a n b +++>-∈N . 23．已知数列{}n a 中，12a a =．()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N . （1）写出2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明．24．已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，且满足0n a >，()242n n n S a a n N +=+∈.（1）计算1234,,,a a a a ，根据计算结果猜想n a 的表达式；（2）用数学归纳法证明你的结论.25．在数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足12n n nS a S ++=（n ≥2）．（Ⅰ）求1S ，2S ，3S 并猜想n S 表达式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想．26．设a ＞0，f (x )＝axa x+，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】当n k =时，左边的代数式为11112k k k k++⋯++++，当1n k =+时，左边的代数式为11111232122k k k k k k ++⋯++++++++，故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.2．A解析：A 【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072，故选A ．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．3．D解析：D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．4．C解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项．【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案．故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．5．A解析：A 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=，()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-6．A解析：A【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立. 详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.7．A解析：A 【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即23m m +=，解得m m ==舍去，故选A. 8．A解析：A 【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75-，符合,C 选项值为73-，不符．所以选A. 【点睛】对于选择题的选项是关于n 的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．9．B解析：B 【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×13S•r=13•S•h，r=14h．（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故选B．点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）．10．D解析：D【解析】选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0180，归纳出所有三角形的内角和都是0180,是归纳推理;选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理;选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理;故选D.11．A解析：A【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.12．A解析：A【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理.本题选择A选项.点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．二、填空题13．【分析】先依次将前几个函数求出来观察其结构即可猜想出【详解】由题可知……可以猜想所以故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用考查数学猜想能力属于基础题解析：()202020202211xx -+. 【分析】先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出. 【详解】由题可知，11122()()1211x xf x f x x x ，22212222221()()213121111x x x xx f x f f x fxx x x x ，22233222322221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ， 33344333432221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ， 44455444542221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x……可以猜想2()211n n n xf x x ，所以2020202020202()211xf x x .故答案为：()202020202211xx -+. 【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.14．217【分析】根据题意类比36的所有正约数之和的方法分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）计算可得答案【详解】根据题意由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方解析：217 【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案．【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=217．可求得100的所有正约数之和为217；故答案为：217. 【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．15．【分析】分析题意根据数学归纳法的证明方法得到时不等式左边的表示式是解答该题的突破口当时左边由此将其对时的式子进行对比得到结果【详解】当时左边当时左边观察可知增加的项数是故答案是【点睛】该题考查的是有解析：2k . 【分析】分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果.【详解】当n k =时，左边11112321k =++++-…，当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，观察可知，增加的项数是1121(21)222k k k k k ++---=-=，故答案是2k . 【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.16．【解析】分析：平面图形类比空间图形二维类比三维得到类比平面几何的结论确定正四面体的外接球和内切球的半径之比即可求得结论详解：平面几何中圆的周长与圆的半径成正比而在空间几何中球的表面积与半径的平方成正解析：19【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是13，1219S S ∴=，故答案为19. 点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.17．【详解】这几个数是这样规律比较明显了即所以故填：解析：132【详解】这几个数是12345,,,,......2481632---，这样规律比较明显了，即()12nn n n a =-⋅，所以88125632a ==，故填：132. 18．176【解析】原已知式子可化为：正方形数:五边形数六边形数……由此推测由归纳推理可得故解析：176 【解析】原已知式子可化为：211,322N n n n ==+（）正方形数:()22,402N n n n ==+ 五边形数()231,5?22N n n n ==-六边形数()242,6?22N n n n ==-……由此推测由归纳推理可得()224,22k kN n k n n --=+ 故()2648,88817622N =⨯+⨯= 19．【解析】计算可得：①设方程a0x+a1=0的1个根是x1则；②设方程a0x2+a1x+a2=0的2个根是x1x2则；③设方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的3个根是x1x2x3则；④设方程a0 解析：()1nna a - 【解析】计算可得：①设方程a 0x +a 1=0的1个根是x 1,则110a x a =-； ②设方程a 0x 2+a 1x +a 2=0的2个根是x 1,x 2,则2120a x x a =； ③设方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0的3个根是x 1,x 2,x 3,则31230a x x x a =-； ④设方程a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4=0的4个根是x 1,x 2,x 3,x 4,则412340a x x x x a =； …观察式子的变化规律，发现每一个方程的一个根都可能写成规律性的式子，是首项与尾项的分式形式，且符号是正负相间：312000,,a a a a a a -- 依此类推,第n 个式子是()1nna a -. 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．20．【解析】由已知可得因此从而点睛：归纳推理是通过观察个别情况发现某些相同本质从已知相同本质中推出一个明确表述的一般性命题本题是数的归纳它包括数字归纳和式子归纳解决此类问题时需要细心观察寻求相邻项及项与解析：25【解析】由已知可得2221[2(21)1](43)n S n n -=--=-，因此4,3a b ==-，从而2225a b +=．点睛：归纳推理是通过观察个别情况发现某些相同本质，从已知相同本质中推出一个明确表述的一般性命题，本题是数的归纳，它包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系有关的知识，如等差数列、等比数列等．三、解答题21．（1）11a =，21a =，32a =，41a =，53a =；（2）11s t =-⎧⎨=⎩，见解析.【分析】（1）根据定义计算即可；（2）先由11211S S -==，23214S S -==，372114S S -==确定出s ，t 的值，再利用数学归纳法证明. 【详解】（1）1的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以11a =， 2的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以21a =， 3的最大正奇因数为3，最小正奇因数为1，所以32a =， 4的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以41a =， 5的最大正奇因数为5，最小正奇因数为1，所以53a =.（2）由（1）知，11211S S -==，23214S S -==，372114S S -==，所以()()()()()()2241644446884146s t s t s t ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得11s t =-⎧⎨=⎩. 下面用数学归纳法证明： ①当1m =时，()()121212416S--+==，成立；②假设当m k =（1k ，*k N ∈）时，结论成立，即()()2121246k kk S--+=，那么当1m k =+时，易知当n 为奇数时，12n n a +=；当n 为偶数时，2nn a a =. 所以()()111112132421212122k k k k S a a a a a a a a a ++++----=+++=+++++++()()1221122k k a a a -=+++++++()21122k k S -=++++()212122k k k S -+=+()()()321221246k k k k ⨯++-+=()21123246k k +++⨯-=()()1121246k k ++-+=.所以当1m k =+时，结论成立.综合①②可知，()()2121246mmm S --+=对一切m 1≥且*m N ∈恒成立.【点睛】本题考查数列中的新定义问题，利用数学归纳法证明等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 22．（1）n a n =，2n b n=，*n ∈N ；（2）证明见解析. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到n a ，可令1n =，求得1b ，再将n 换为1n -，相减可得n b ；（211nn n +>++意检验1n =时不等式成立，再假设n k =时不等式成立，证明1n k =+时，不等式也成立，注意运用分析法证明. 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差d 不为零，33a =，可得123a d +=，1a 、2a 、4a 成等比数列，可得2142a a a =，即()()21113a a d a d +=+，解方程可得11a d ==，则()11n a a n d n =+-=. 数列{}n b 满足1222n n b b nb a +++=，可得1122b a ==，当2n ≥时，由12222n n b b nb a n +++==，可得()()1212121n b b n b n -+++-=-，相减可得2n nb =，则2n b n =，12b =也适合2n b n =，则2n b n=，*n ∈N ；（2)* 11nnnbanb+++>∈N即为+11nnn>++，下面应用数学归纳法证明.（i）当1n==，右边为2>右边，不等式成立；（ii）假设n k=+11kkk>++当1n k=++11kkk>+++21kkk>++只要证12k k+>+1>-即证10⎛>⎝，由*k∈N，可得上式成立，可得1n k=+时，不等式也成立.综上可得，对一切*n∈N11nnn+>++)*11nnnba nb+++>∈N.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用nS求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.23．（1）232aa=，343aa=，454aa=；（2）猜想1nna an+=，证明见解析.【分析】（1）利用递推公式可计算出2a、3a、4a的值；（2）根据数列{}n a的前四项可猜想出()1nna a n Nn*+=∈，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.【详解】（1）()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N ，12a a =，则222132222a a a a a a a a =-=-=， 2232242223332a a a a a a a a a a =-=-=-=，2243352224443a a a a a a a aa a =-=-=-=；（2）猜想()1n n a a n N n*+=∈，下面利用数学归纳法证明. 假设当()n k k N *=∈时成立，即1k k a a k+=，那么当1n k =+时，2212222111k k a a k k a a a a a ak a k k ak++=-=-=-=+++，这说明当1n k =+时，猜想也成立. 由归纳原理可知，()1n n a a n N n*+=∈. 【点睛】本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.24．（1）12a =，24a =，36a =，48a =，猜想2n a n =.（2）证明见解析【分析】(1)把1,2,3,4n =分别代入()242n n n S a a n N +=+∈依次计算1234,,,a a a a ，根据结果容易猜想n a 的表达式；(2)按照用数学归纳法证明命题的两个步骤，用上()2211111224k k k k k k k a S S a a a a ++++=-=+--，对该式子朝着目标化简整理即可. 【详解】（1）解：当1n =时，211142a a a =+，12a =，当2n =时，12222442a a a a +=+，24a =，当3n =时，1223334244a a a a a ++=+，36a =，当4n =时，212344444442a a a a a a +++=+，48a =，故猜想2n a n =.（2）证明：①当1n =时，显然成立 ②假设当n k =时2k a k =，则当1n k =+时，()2211111224k k k k k k k a S S a a a a ++++=-=+-- ()221112444k k a a k k ++=+--∴221114244k k k a a a k k +++=+-- ∴()2112410k k a a k k ++--+=即：()()112210k k a k a k +++-+=⎡⎤⎣⎦∵0n a >，∴()121k a k +=+，即当1n k =+时，结论成立. 综上所述，由①②可知2n a n =. 【点睛】（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的()1n k k =≥时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到n ()S f n =或()n f a ，要注意联想到()12,n n n a s s n n N -+=-≥∈解题；中档题.25．（Ⅰ）123S =-，234S =-，345S =-，12n n S n +=-+（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理得112n n S S -=-+（n ≥2），依次代入数据，即可求解．（Ⅱ）根据数学归纳法步骤证明即可．【详解】（Ⅰ）由112n n n n n S a S S S -++==-，得112n n S S -=-+（n ≥2）． ∵ 123a =-， ∴ 123S =-， 2111322423S S =-=-=-+-+，3211432524S S =-=-=-+-+，猜想：12n n S n +=-+．（Ⅱ）证明：① 当1n =时，左边＝1123S a ==-，右边＝11122123n n ++-=-=-++，猜想成立．② 假设当n k =（*k N ∈）时猜想成立，即12k k S k +=-+，那么，()()()()11111221212231222k k k k k S k S k k k k k +++++=-=-=-=-=-++-++++++-++，即当1n k =+时猜想也成立．根据①②，可知猜想对任何*n N ∈都成立．【点睛】本题考查数列中n a 和n S 的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证明的能力，属基础题． 26．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据递推关系依次求出a 2，a 3，a 4的值，并根据分母变化规律猜想数列a n }的通项公式；（2）先证明起始项成立，再根据递推关系证明n=k+1成立，最后总结试题(1)因为a 1＝1，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝，a 3＝f (a 2)＝，a 4＝f (a 3)＝，猜想a n ＝(n ∈N *)．(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确； ②假设n ＝k (k ∈N *)时， a k ＝成立，则a k ＋1＝f (a k )＝＝＝＝.这说明，n ＝k ＋1时成立．由①②知，对于任何n ∈N *，都有a n ＝.。

人教A版选修2-2《数学选修2-2》推理与证明

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作《数学选修2-2》推理与证明第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、下列表述正确的是( ).①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤. 2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件Ｂ.必要条件Ｃ.充要条件Ｄ.等价条件 3、在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,则ABC △一定是( ) Ａ.锐角三角形Ｂ.钝角三角形Ｃ.直角三角形Ｄ.不确定 4、下面使用类比推理正确的是 ( )A.直线a,b,c ,若a //b,b //c ,则a //c .类推出:向量a,b,c ,若a //b ,b //c ,则a //cB.同一平面内,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .类推出:空间中,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .C.实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.类推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.D.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球的方程为2222x y z r ++=.5、(1)已知332p q +=,求证2p q +≤,用反证法证明时,可假设2p q +≥;(2)已知a b ∈R ，,1a b +<,求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1,即假设11x ≥,以下结论正确的是( )A.(1)的假设错误,(2)的假设正确B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)与(2)的假设都错误 6、观察式子:213122+<,221151233++<,222111712344+++<,,则可归纳出式子为( )Ａ.22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ.22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ.222111211(2)23n n n n -++++<≥Ｄ.22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 7、已知扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,类比三角形的面积公式:12S =⨯底⨯高,可得扇形的面积公式为( )Ａ.212rＢ.212l Ｃ.12rl Ｄ.不可类比8、定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )(1) (2) (3) (4) (A) (B)A.D A D B **,B.C A D B **,C.D A C B **,D.D A D C **, 9、观察下列各式:211=,22343++=,2345675++++=,2456789107++++++=,,可以得出的一般结论是( )A.2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-=B.2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-C.2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-=D.2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-10、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为( )A.2(21)k +B.21k +C.211k k ++ D.231k k ++ 11、正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8712 19 16 15 14 13 20 2524232221则上起第2009行,左起第2010列的数应为( )A.22009B.22010C.20092010+D.20092010⨯12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem ),其加密、解密原理如下图:现在加密密钥为)2(log +=x y a ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )A.12B.13C.14D.15第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于______________. 14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 .15、已知命题:“若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.16、若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ,记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=,试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值,推测出.________________)(=n f三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文已知:23150sin 90sin 30sin 222=++2223sin 10sin 70sin 1302++=23125sin 65sin 5sin 222=++通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.18、(12分)如图(1),在三角形ABC 中,AB AC ⊥,若AD BC ⊥,则2AB BDBC =·;若类比该命题,如图(2),三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有什么结论?命题是否是真命题.19、(12分)已知实数a b cd ，，，满足1a b c d +=+=,1ac bd +>,求证a b c d ，，，中至少有一个是负数.20、(12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.21、(12分)已知命题:“若数列{}n a 为等差数列,且,m n a a a b ==),,(+∈≠N n m n m ,则m n ma nba m n+-=-”.现已知数列{}),0(+∈>N n b b n n 为等比数列,且,a b m =b b n =),,(+∈≠N n m n m.(1)请给出已知命的证明;(2)类比(1)的方法与结论,推导出m n b +.22、(14分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A 由全体二元有序实数组组成,在A 上定义一个运算,记为,对于A 中的任意两个元素(,)a b α=,(,)c d β=,规定:αβ=(,)ad bc bd ac +-.(1)计算:)3,2()4,1(-;(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;(3)若“A 中的元素(,)I x y =”是“对A α∀∈,都有α=I I αα=成立”的充要条件,试求出元素I .参考答案1.D 由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知①③⑤正确.2.A 由分析法的定义知A 正确.3.B 由已知得sin sin cos cos cos()0,A C A C A C -=-+>∴cos()0,A C +< ∴A C +为锐角,得B 为钝角,ABC △为钝角三角形.4.D 若向量b =0,则a //c 不正确;空间内,直线a 与b 可以相交、平行、异面,故B 不正确; 方程200(1)0x ix i ++-±=有实根,但24a b ≥不成立;设点(,,)P x y z 是球面上的任一点,由OP r =,得222x y z r ++=,D 正确.5.A 用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以2p q +≤ 的假命题应为.2>+q p6.Ｃ由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C.7.Ｃ三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧.8.B 观察知A 表示“︱”,B 表示“□”,C 表示“－”,D 表示“○”,故选B. 9.B 等式右边的底数为左边的项数.10.A 当n k =时,左边=(1)(2)()k k k k ++⋅⋅+1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]n k k k k k =+=++++⋅⋅+++当时左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++⋅⋅⋅+++++ (1)(2)(1)(2)()1k k k k k k k k k ++++=++⋅⋅⋅++(1)(2)()[2(21)]k k k k k =++⋅⋅⋅++,∴从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为2(21)k +.11.D 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为220091+,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为220092009+=20092010⨯.12.C 由其加密、解密原理可知,当x =6时,y =3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有)2(log 42+=b ,从而有14224=-=b .13.32 1547,1220,91120,6511,325=-=-∴=-=-=-x x ,∴32x =14.一般不等式为:1111()23212n n n *++++>∈-N . 15.若数列{}n a 是等差数列,则数列12nn a a a b n +++=也是等差数列.证明如下:设等差数列{}n a 的公差为d ,则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-,所以数列{}n b 是以1a 为首项,2d为公差的等差数列. 16.2()22n f n n +=+ 22332222141)13(1,31)12(1,21)11(1=+==+==+=a a a 1211113(1)11(1)(1),22222f a =-=-=-+=⨯ 同理1222111324(2)(1)(1)(1)(1)232233f a a =--=--=⨯⨯⨯123222111132435(3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234223344f a a a =---=---=⨯⨯⨯⨯⨯∴222111()(1)(1)[1]23(1)f n n =--⋅⋅⋅-+111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223311n n =-+-+⋅⋅⋅-+++ 1324322 (223341122)n n n n n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++ 17.解:一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=证明:左边001cos(2120)1cos 21cos(2120)222ααα----+=++003[cos(2120)cos 2cos(2120)]232ααα=--++-=所以左边等于右边18.解:命题是:三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题.证明如下: 在图(2)中,连结DM ,并延长交BC 于E ,连结AE ,则有DE BC ⊥.因为AD ⊥面ABC ,,所以AD AE ⊥. 又AM D E ⊥,所以2AE EM ED =·. 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····. 19.证明:假设a b c d ，，，都是非负实数,因为1a b c d +=+=, 所以a b c d ，，，[01]∈，,所以2a c ac ac +≤≤,2b cbd bd +≤≤, 所以122a cb dac bd ++++=≤, 这与已知1ac bd +>相矛盾,所以原假设不成立,即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数. 20.解:(1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815,猜测 a n ＝2－n 21(2) ①由(1)已得当n ＝1时,命题成立;②假设n ＝k 时,命题成立,即 a k ＝2－k21, 当n ＝k ＋1时,a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k ∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3, ∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－121+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立. 根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n21都成立. 21.解:(1)因为在等差数列{a n }中,由等差数列性质得⎩⎨⎧+=+=++mda a nda a n n m m n m ,又,m n a a ab ==,∴m n m n a a nd a b md++=+⎧⎨=+⎩,得m n m n ma ma mndna nb mnd ++=+⎧⎨=+⎩,两式相减得()m n m n a ma nb +-=-, ∴m n ma nb a m n+-=-.(2)在等比数列{}n b 中,由等比数列的性质得⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=++mn n m nm n m qb b qb b , 又,m n b a b b ==, ∴n m n m m n b a q b b q ++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,得m m mnm n n n mnm n b a q b b q++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,两式相除得m m nm n n a b b -+=, ∴mm n m nn a b b-+=.22.解:(1))3,2(⊙)14,5()4,1(=-. (2)交换律:αββα=,证明如下:设(,)a b α=,(,)c d β=,则αβ=(,)ad bc bd ac +-,βα=(,)c d (,)a b =(,)cb da db ca +-=(,)ad bc bd ac +-.∴αββα=.(3)设A 中的元素(,)I x y =,对A α∀∈,都有α=IIαα=成立,由(2)知只需I ⊙αα=,即),(y x ⊙=),(b a ),(b a (,)(,)bx ay by ax a b ⇔+-= ①若)0,0(=α,显然有I ⊙αα=成立; ②若)0,0(≠α,则bx ay a ax by b +=⎧⎨-+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩,∴当对A α∀∈,都有α=IIαα=成立时,得(0,0)I =或(0,1)I =,易验证当(0,0)I =或(0,1)I =时,有对A α∀∈,都有α=IIαα=成立∴(0,0)I =或(0,1)I =.。

高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》word导学案(含解析)

第2章推理与证明第1课时合情推理——归纳推理教学过程一、问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2.归纳推理的思维规程大致为:概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.[3](见学生用书P33)[处理建议]题目简单,让学生自己解答.[规范板书]解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解对于凸n边形,n=3时,内角和180°=180°×1;n=4时,内角和360°=180°×2;n=5时,内角和540°=180°×3;……由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.(2)<,<,<,…由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5][处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).[题后反思]根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)(例3)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.[题后反思]根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1)寻找它们的共同特征,如例1;(2)寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;(3)结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,===+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{a n}的一个通项公式.(见学生用书P34)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.[规范板书]解当n=1时,a 1=1=;当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;……由此我们猜想{a n}的一个通项公式为a n=.四、课堂练习1.(1)一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2)先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…1+3+5+…+(2n-1)=n2.2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为9.3.应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、课堂小结1.归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2.归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b∈a+c=b+c(2)减法法则:a=b∈a-c=b-c(3)乘法法则:a=b∈ac=bc(4)除法法则:a=b∈a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b∈a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)[处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) ↔ 乘(×)加数、被加数↔ 乘数、被乘数和↔ 积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d ↔ =q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d ↔ b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d ↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2 ↔ =b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q ↔ b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∈BFD=∈A,DE∈BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行, (大前提)∈BFD与∈A是同位角,且∈BFD=∈ A,(小前提)所以,DF∈EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∈BA且DF∈EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:∈mb<ma∈ab+mb<ab+ma∈<∈<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)[处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0), (大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为∈ABC三边长依次为3,4,5,所以∈ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)∈ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)∈ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线, (大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;①演绎推理得到的结论一定是正确的;①演绎推理一般模式是“三段论”形式;①演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①①①.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?①问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=.①公式①的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔ 平面三角形↔ 棱锥梯形↔ 棱台进而有梯形底边长↔ 棱台底面积三角形面积↔ 棱锥体积梯形面积↔ 棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),①其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式: V棱台=h(S上+S下),①其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.①式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式①中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想①是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)①的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与①式相比,公式①的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式①从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式①比公式①更合理.既然①式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台==h(S上+k=+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0= ,①式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(答案解析)

一、选择题1．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确5．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于136．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯7．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（） A ．aB ．bC ．cD ．d8．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1 D ．都不小于1 10．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”11．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ………………………A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯12．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.14．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分．15．数表的第1行只有两个数字3，7，从第2行开始，先按序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第10行的各个数之和等于__________．16．下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2， l 3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2，… 由归纳思想，第n 个式子3333123(21)n ++++-=________17．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．18．已知()0,x ∈+∞，观察下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，3327274333x x x x x x+=+++≥，…，类比得()*1na x n n N x +≥+∈，则a =________． 19．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块. 20．给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论：对于=________________________．三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.22．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 23．选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．24．数列{}n a 满足()*2N n n S n a n =-∈.（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．在数列{}n a 中，112a =，133n n n a a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 26．若,x y 都是正实数，且2x y +>，求证：12x y +<或12yx+<中至少有一个成立.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项．【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案．故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．2．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

推理与证明一、核心知识1.合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。

类比推理是由特殊到特殊的推理。

2.演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)演绎推理的主要形式：三段论“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

3.直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

直接证明包括综合法和分析法。

（1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。

要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

（3）反证法的思维方法:正难则反．．．．5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；(2)假设当 n=k (k ∈N*，且 k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。

二、典型例题例1. 已知，猜想的表达式为（ B ） A.； B.； C.； D.. 例2. 已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有例3. 已知：；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_______________________________________=（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 证明：左边 = == == （将一般形式写成等均正确。

）2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+*x N ∈（）(f x ）4()22xf x =+2()1f x x =+1()1f x x =+2()21f x x =+*111()1()23f n n N n =++++∈L 3(2)2f =(4)2f >5(8)2f >(16)3f >7(32)2f >2n ≥*21(2)()2n n f n N +>∈23150sin 90sin 30sin 222=++οοο23125sin 65sin 5sin 222=++οοο2323)120(sin )60(sin sin 222=++++οοααα2)2402cos(12)1202cos(122cos 1οο+-++-+-ααα)]2402cos()1202cos(2[cos 2123οο++++-ααα-+-+-οοο240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin οα]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----右边=232223sin (60)sin sin (60),2ααα-+++=o o 2223sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=例4．若均为实数，且。

求证：中至少有一个大于0。

答案：（用反证法）假设都不大于0，即，则有，而=∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。

例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=n 2（n ∈N*）三、课后练习1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( B ) A.⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎨⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( D )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D. 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( D )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13c b a ,,62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a c b a ,,c b a ,,0,0,0≤≤≤c b a 0≤++c b a 3)632()1()1()1()62()32()22(222222-+++-+-+-=+-++-++-=++ππππππz y x x z z y y x c b a 3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x 222)1(,)1(,)1(---z y x 03>-π0>++c b a 0≤++c b a c b a ,,B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 4．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( D )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0 [解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.5．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定 [解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b . 6．若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC 是( C )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形[解析] ∵sin Aa ＝cos Bb ＝cos Cc ，由正弦定理得， sin Aa ＝sin Bb ＝sin C c ，∴sin Bb ＝cos Bb ＝cos Cc ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．7.观察式子：，…，则可归纳出式子为（ C ）A 、 B 、C 、 D 、474131211,3531211,23211222222<+++<++<+121131211222-<+++n nΛ121131211222+<+++n n Λnn n 12131211222-<+++Λ122131211222+<+++n nn Λ解析：用n=2代入选项判断。

8.设，，n∈N，则解：，由归纳推理可知其周期是49.函数由下表定义：若，，，则 4 ．10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为___7__．11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）12. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。

答案：证明：要证，即需证。

即证。

又需证，需证∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。

∴B=60°。

由余弦定理，有，即。

∴成立，命题得证。

13.用分析法证明：若a>0，则。

答案：证明：要证，)()(,cos)('1xfxfxxf=='21()(),,f x f x=L'1()()n nf x f x+==)(2008xfxcos()f x5a=1()n na f a+=0,1,2,n=L2007a=48n+cbacbba++=+++311cbacbba++=+++3113=+++++++cbcbabacba1=+++cbabac))(()()(cbbabaacbc++=+++222bacac+=+ο60cos2222caacb-+=acacb-+=222222bacac+=+212122-+≥-+aaaa212122-+≥-+aaaax25314()f x12345只需证。

∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。

∴原不等式成立。

14.中，已知，且，求证：为等边三角形。

解: 分析：由由所以为等边三角形15．已知：a 、b 、c ∈R，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.212122++≥++aa aa 2222)21()21(++≥++aa a a )1(222211441222222a a aa aa aa +++++≥++++)1(22122a a a a +≥+)21(2112222++≥+aa a a 2122≥+a a ABC ∆B ab sin 323=C A cos cos =ABC ∆32,323sin sin sin 32sin 3sin 323ππ=⇒=⇒=⇒=A A B A B B a b C A C A =⇒=cos cos B C A ===∴3πABC ∆。