热统期末考重点和da an(手打,如有遗漏请相互告知)

热力学，统计物理期末考第一章：热力学第零定律P18 热力学第一定律P27 卡诺循环:P30 热力学第二定律：P32 不可逆过程：P41 [例]P43 [例一]P45 [例三]P49 1.14第二章：P55 [例一]P61 [例一]P73 习题2.2P73 习题2.3P73习题2.4第三章：P76 热动平衡的判据P82 单元系的复相平衡条件P84 单元复相系的平衡性质第四章：P129 热力学第三定律：P133习题4.3第六章：P178 等概率原理：P187 三种分布关系：P188习题6.2P188习题6.3第七章：P200 能量均分原理：P222 习题7.9P222 习题7.16热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，那么他们也必定处于热平衡P18 热力学第一定律：能量守恒定律，或者说第一类永动机不可能实现。

P27 卡诺循环:卡诺循环包含四个过程,一、等温膨胀过程，二、绝热膨胀过程，三、等温压缩过程，四、绝热压缩过程。

其中,W= R(T 1-T 2)所以转化率为η=W/Q 1==1-P30 热力学第二定律：克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。

开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其他变化。

P32 不可逆过程：如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不能把它留下的后果完全消除而使一切恢复原状，这过程成为不可逆过程。

P41 [例]一理想气体，经准静态等温过程，体积有V A 变成V B ，求过程前后气体的熵变。

解：气体在初态（T ,VA ）的熵为：S A =C V lnT+nRlnV A +S 0 在终态的熵变为 S B =C V lnT+nRlnV B +S 0过程前后的熵变为S B -S A =如果>1,有S B -S A>0，过程中气体从热源吸热；如果<1,有S B -S A<0，过程中气体放热给热源；P43 [例一]热量Q从高温热源T1，传到低温热源T2，求熵变。

解：总的熵变等于两个热源的熵变之和，设想高温热源T1将热量Q传给另一个温度为T1的热源，在温度相同的物质之间传递热量，过程是可逆的，可得高温热源的熵变为同样的方法，通过设想可得在所设想的可逆过程前后，两个热源的总熵变为Q()P45 [例三]理想气体初态温度为T，体积为VA，经绝热自由膨胀过程体积膨胀为VB，求气体的熵变。

解：气体在初态（T,VA）的熵为：S A=C V lnT+nRlnV A+S0在终态的熵变为S B=C V lnT+nRlnV B+S0过程前后的熵变为S B -S A =由于>1,故S B -S A>0，这说明理想气体的绝热自由膨胀过程是一个不可逆过程。

P49 1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。

解：假设在p-v图中两条绝热线交于C点，如图所示。

设想一等温线与[两条绝热线分别交于A 点和B 点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABC 中，系统在等温过程 AB 中从外界吸取热量Q ，而在循环过程中对外做功 W ，其数值等于三条线所围面积（正值）。

循环过程完成后，系统回到原来的状态。

根据热力学第一定律，有:W=Q 。

这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。

因此两条绝热线不可能相交。

P55 [例一]求证绝热压缩系数k S 与等温压缩系数k T 之比等于定容热容与定压热容之比 解：P61 [例一]以T ，P 为状态参量，求理想气体的焓、熵和吉布斯函数（只求焓）。

解：1mol 理想气体的物态方程为PV m =RT ，由物态方程得，代入式（2.4.10）得理想气体的摩尔熵为：P73 2.2设一物质的物态方程具有以下形式T V f P )(=，试证明其内能与体积无关。

解：由： T V f P )(= ，故(TP∂∂)V=)(V f .根据式（2.2.7）: (VU∂∂)T =T VT P )(∂∂-p所以(VU∂∂)T = P V Tf -)(=0 这就是说，如果物质具有形式为T V f P )(=的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.P73 2.3求证：(a) H P S )(∂∂ <0 (b) U VS)(∂∂ >0证:(a)焓的全微分为：VdP TdS dH +=等H 过程:H H VdP TdS )()(-=⇒（P S ∂∂）H =-TV<0 (V >0; T >0) (b)内能的全微分为：PdV TdS dU -=dV T pdU T dS +=⇒1;⇒（V S ∂∂）U =Tp >0.P73习题2.4已知 T V U )(∂∂ =0 , 求证 T pU )(∂∂=0。

解： 由式(2.2.7)得：T V U )(∂∂=T V T p )(∂∂-p ; 又 T V U )(∂∂=0 ;得 V T pT p )(∂∂= T V U )(∂∂ =),(),(T V T U ∂∂=),(),(T p T U ∂∂),(),(T V T p ∂∂=T pU)(∂∂T V p )(∂∂=0 ∵ TV p )(∂∂≠0 ; ⇒T pU)(∂∂=0。

P76 热动平衡的判据 A. 熵判据：在孤立系统中如果围绕某一状态发生的各种可能的虚变动引起的熵变为，则该状态的熵就具有最大值，是稳定的平衡状态，如果，该状态为中性平衡状态。

因此孤立系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件是：将S 作泰勒展开，准确到二级，有当熵函数的一级微分，且二级微分函数时，熵函数有极大值。

由可得到平衡条件，由可得到平衡的稳定性条件，如果熵函数的极大值不止一个，则其中最大的极大值相应于稳定平衡，其他较小的极大相应于亚稳平衡。

B. 自由能判据和吉布斯函数判据： （1） 等温等容系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为，将F 做泰勒展开，准确到二级，有,由和可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。

（2）等温等压系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为，将G 做泰勒展开，准确到二级，有,由和可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。

C. 热动平衡条件和平衡稳定性条件（唉呀妈呀太长了，自行翻书脑补吧）P82 单元系的复相平衡条件（唉呀妈呀太长了，自行翻书脑补吧）P84 单元复相系的平衡性质（唉呀妈呀太长了，自行翻书脑补吧）P129 热力学第三定律：不可能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。

P133习题4.3二元理想溶液具有下列形式的化学势： 111ln ),(x RT p T g +=μ 222ln ),(x RT p T g +=μ其中g i (T , P )为纯i 组元的化学势，x i 是溶液中i 组元的摩尔分数。

当物质的量分别为n 1、n 2的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时，试证明混合前后 (c)熵变)ln ln (2211x n x n R S +-=∆ 解：（c ）T G S ∂∂-= ；2211ln ln )(x R n x R n TG S --=∂∆∂-=∆∴P178 等概率原理：玻尔兹曼在19世纪70年代提出了著名的等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。

P187 三种分布关系： 玻尔兹曼分布玻色分布费米分布P188习题6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到εεd +的能量范围内，量子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为x dP h Ldn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222+=⋅+==⇒=于是。

()εεεεd mh L d D 2+= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D εεε2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=P188习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到εεd +的能量范围内，量子态数为()επεεmd hL d D 222=证：在P x ,P y 附近dP x dP y 区间内的粒子数ϕPdPd hSdP dP h S dn y x 22== (s －面积)因mP 22=ε只与P 有关（P >0）,故对ϕ积分可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()22hmS D πε=⇒ (s=L 2) P200 能量均分原理：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于Kt 。

P222 7.9气体以恒定的速度沿方向作整体运动。

试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为 e[]2022)(2p p p p mx y x-+=--βα3L dp dp Vdp zy x证： 设能级l ε这样构成：同一l ε中，P z 相同，而P x 与P y 在变化，于是有：)3(0)2(0)1(0-----==∑=-----==∑=-------==∑=∑∑∑l z l z l l l l l l a p a p p a a E a a N δδδδεεδδδδδ(∑==0p a p p l z )参照教材玻耳兹曼分布证明；有 E N βδαδδ--Ωln -z p γ, 其中 ）（22221Z y x l p p p m++=ε 由(1)知: N dp dp dp e hV z y x p z=⎰---γβεα3 将l ε代入 并配方得:z y x p p mdp dp dp e hV z z y x ⎰+-+--)2()(32γβεεβα=N dp dp dp ehV z y x m p mm z y x =⎰+-+---2)(2)()22(3βγβεεββγα其中 mp m p y y xx 2,222==εε对比page238式（7.2.4）得：232232)2()2()2(2mkTh n mkT h V N em ππβγα==-- 整个体积内，分布在z z z y y y x x x dp p p dp p p dp p p +→+→+→,, 内分子数为：z y x z y x z y x m p m dp dp dp p p p f dp dp dp e mkTN z y x ⎰⎰=+-+-),,()21(2)(2)(23βγβεεβπ 由条件（3）知 ⎰=0),,(Np dp dp dp p p p f p z y x z y x z 计算得z m p m z y x dp e m m p dp e dp e m kT z y x 2)(223)()21(βγββεβεβγβγπ+---⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=z m p m y x dp e m dp dp e m kT z y x ⎰⎰+-+--2)(2)(23)()21(βγβεεββγπ=0p Ndp dp fdp m zy x =-⎰βγ0p m -=⇒βγ代入得出分布： []3)(22022"hdp dp Vdp ezy x p p p p mz y x-++--βα其中 βγαα22'm -=,0p m -=βγP222 7.16已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：bx ax p p p mz y x ++++=2222)(21ε其中b a ,是常数，求粒子的平均能量。