中考复习专用 三角形与特殊三角形

7．(导学号
30042040)如图，B，C，D 在同一条直线上，△ABC，△ADE
是等边三角形，若 CE＝15 cm，CD＝6 cm，求 BC 的长度及∠ECD 的度数．
解：∵△ABC，△ADE 是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE ＝∠B＝∠ACB＝60°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在 AB＝AC △BAD 和△CAE 中， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝CE＝15 cm， AD＝AE ∠ACE＝∠B＝60°，∴∠ECD＝180°－∠ACB－∠ACE＝60°，BC＝BD－CD＝15
平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( D )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．(2016·陕西)如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝2，点 P 是 这个菱形内部或边上的一点，若以点 P，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形， 则 P，D(P，D 两点不重合)两点间的最短距离为 2 3－2 ．
[对应训练] 4．(2016·安顺)已知实数 x，y 满足|x－4|＋ y－8＝0，则以 x，y 的 值为两边长的等腰三角形的周长是( B )
A．20 或 16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
5．(2016·邵阳)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD， 则下列结论正确的是( A ) A．AC＞BC B．AC＝BC C．∠A＞∠ABC
2 2
2
2
[对应训练] 8.如图，直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，且 AB ＝5，AC＝4，BC＝3，则 CD＝( A ) 12 5 9 4 5 2 7 3
A.
B.
C.
D.
9.(2015·东营)如图，有两棵树，一棵高 12 米，另一棵高 6 米， 两 树相距 8 米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，
2．(2011· 陕西)解分式方程： 4x 3 －1＝ . x－2 2－x
5 解：x＝－3
x－2 3 3．(2015· 陕西)解分式方程： － ＝1. x＋3 x－3
3 解：x＝4
【例 1】 (2016· 黔南州)解方程：
陕西专用
第13讲 三角形与特殊三角形
三角形边角关系
边的关系：两边之和① 大于 第三边，两边之差② 小于 第三边 内角和等于③ 180° 角的关系任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角
[对应训练] 1.(2016·长沙)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( A ) A．6 B．3 C．2 D．11
【例2】
如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，
∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°，又 ∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°，∵AE，BF是
D．∠A＝∠ABC
【例 4】 3 A. 2
(2016·内江)已知等边三角形的边长为 3，点 P 为等边三角
形内任意一点，则点 P 到三边的距离之和为( B )
B.
3 3 2
3 C. 2
D．不能确定
[对应训练]
6．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E
，使CE＝CD，则BE＝( C ) A．7 B．8 C．9 D．10
等腰三角形的 性质与判定
概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如图1 1.两底角相等 性质2.两腰相等 3.它是轴对称图形，有一条对称轴 4.顶角的④ 平分线 ，底边上的高和底边的中线互相重合 1.有两边相等的三角形是等腰三角形 判定 2.有两角相等的三角形是等腰三角形 1 面积计算公式：S＝ ah，其中a是底边长，h是底边上的高 2
2．(2016· 上海)解方程：
解：去分母，得 x＋2－4＝x2－4，移项、合并同类项，得 x2－x－2＝0， 解得 x1＝2，x2＝－1，经检验 x＝2 是增根，舍去；x＝－1 是原方程的根， 所以原方程的根是 x＝－1
3．(导学号 30042011)(2016· 乐山)解方程： x－1 1 －3＝ . x－2 2－x
1．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是 △ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长 为( B ) A．7 B．8 C．9 D．10
2．(2015·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角
解：设 A 型机器每小时加工零件 x 个，则 B 型机器每小时加工零件(x－20) 400 300 个． 根据题意列方程得 x ＝ ， 解得 x＝80.经检验 x＝80 是原方程的解． 答： x－20 A 型机器每小时加工零件 80 个
[对应训练] 4．(2016· 大连)A，B 两地相距 200 千米，甲车从 A 地出发匀速开往 B 地， 乙车同时从 B 地出发匀速开往 A 地， 两车相遇时距 A 地 80 千米． 已知乙车每小 时比甲车多行驶 30 千米，求甲、乙两车的速度．
是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点， 2． 则 MN 长的最大值是3 ____
【例 1】 (2016·盐城)若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足|a－4| ＋ b－2＝0，则 c 的值可以为( A )
A ．5
B．6
C．7
D．8
【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短” ．根据 三角形的三边关系，已知三角形的两边 a，b，可确定三角形第三边长 c 的 取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
解：方程两边乘(x－2)(x＋2)，得 x(x＋2)－8＝x－2，x2＋x－6＝0，(x ＋3)(x－2)＝0，解得 x1＝－3，x2＝2.经检验 x1＝－3 是原方程的根，x2＝2 是增根．∴原方程的根是 x＝－3
[对应训练] 1.(2016· 河北)若关于 x 的方程 A ．0 B．1 1－x m ＝ 有增根，则 m 的值为( C ) x－2 x－2 C．－1 1 4 － 2 ＝1. x－2 x －4 D．2
4．(2013·陕西)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 BD 平分 AC.若 BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°， 则四边形 ABCD 的面积为 12 3 ．(结果保留根号)
5．(导学号
30042039)(2015·陕西)如图，AB 是⊙O 的弦，AB＝6，点 C
角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF
＝5°，∠AFB＝∠C＋∠CBF＝60°＋35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF＋∠AFB＝ 25°＋95°＝120°，故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°
【点评】①给出三角形中线即给出中线分的两条线段相等，隐含条件是中线将三角 形分成的两部分面积相等；②当题目条件中给出角平分线时，主要从角平分线的定 义和性质两方面进行考虑，根据定义可知两角相等，根据性质可知角平分线上的点 到角两边的距离相等；③根据三角形面积公式，知道高求三角形面积，知道面积求 另一条边上的高度或通过面积相等证明线段相等；④当题目条件中给出三角形的中 位线时，主要从中位线的定义与性质考虑，根据中位线定理进行相关的论证和计算
80 解： 设甲车的速度是 x 千米/时， 乙车的速度为(x＋30)千米/时， 依题意得 x ＝ 200－80 ，解得 x＝60，经检验 x＝60 是分式方程的根，则 x＋30＝90，即甲车的 x＋30 速度是 60 千米/时，乙车的速度是 90 千米/时
5．(导学号 30042012)(2016· 宜宾)2016 年“母亲节”前夕，宜宾某花店用 4000 元购进若干束花，很快售完，接着又用 4500 元购进第二批花，已知第二 批所购花的束数是第一批所购花束数的 1.5 倍， 且每束花的进价比第一批的进 价少 5 元，求第一批花每束的进价是多少？
cm－6 cm＝9 cm
【例 5】 (2016·贵阳模拟)一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底 端离墙 7 米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了 4 米到 A′， 那么梯子的底端在水平方向滑动了 几米？
解：(1)由题意得：AC＝25 米，BC＝7 米，AB＝ 25 －7 ＝24(米)， 答：这个梯子的顶端距地面有 24 米 (2)由题意得：BA′＝20 米，BC′＝ 25 －20 ＝15(米)， 则：CC′＝15－7＝8(米)， 答：梯子的底端在水平方向滑动了 8 米
等边三角形的 性质与判定
概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形，如图2 1.三边相等 性质2.三角相等，且每一个角都等于⑤ 60° 3.是轴对称图形，有三条对称轴 1.三边都相等的三角形是等边三角形 判定2.三角都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是60°的等腰三角形 面积计算公式：S＝1ah，a是三角形任意一边的长，h是任意边上的高 2
10 米． 小鸟至少需要飞行____
10．(导学号
30042041)(2015·庆阳)在底面直径为 2 cm，高为 3 cm
的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从 A 至 C 按如图所示的圈数缠绕， 2 则丝带的最短长度为 3 π ＋1 cm.(结果保留π )
第5讲 分式方程
1．(2013· 陕西)解分式方程：
【例 3】 (2016·雅安)如图所示，底边 BC 为 2 3，顶角 A 为 120°的等 腰△ABC 中，DE 垂直平分 AB 于 D，则△ACE 的周长为( A )
A．2＋2 3 B．2＋ 3 C．4 D．3 3
【点评】在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也 可以是腰，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论．
2 x ＋ ＝1. x2－4 x－2
解：x＝－3
2．(2011· 陕西)解分式方程： 4x 3 －1＝ . x－2 2－x
5 解：x＝－3
x－2 3 来自百度文库．(2015· 陕西)解分式方程： － ＝1. x＋3 x－3
3 解：x＝4
【例 1】 (2016· 黔南州)解方程：
x 8 1 － 2 ＝ . x－2 x －4 x＋2
4000 4500 解：设第一批花每束的进价是 x 元/束，依题意得 x × 1.5＝ ，解得 x＝ x－5 20.经检验 x＝20 是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是 20 元 /束
第5讲 分式方程
1．(2013· 陕西)解分式方程：
2 x ＋ ＝1. x2－4 x－2
解：x＝－3
解：方程两边同乘 x－2，得 1－3(x－2)＝－(x－1)，即 1－3x＋6＝－x＋1，整 理得－2x＝－6，解得 x＝3，检验，当 x＝3 时，x－2≠0，则原方程的解为 x＝3
【例 2】 (2016· 长春)A，B 两种型号的机器加工同一种零件，已知 A 型机 器比 B 型机器每小时多加工 20 个零件， A 型机器加工 400 个零件所用时间与 B 型机器加工 300 个零件所用时间相同，求 A 型机器每小时加工零件的个数．
，有时需要灵活构造含中位线的三角形．
[对应训练] 2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点 ．则DE的长是( B ) A．6 B．5 C．4 D．3
3．如图，BO，CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A＝100°，则∠BOC
的度数为( D ) A．80° B．90° C．120° D．140°