九年级上下册数学培优讲义

一元二次方程㈠

★知识点精讲

1.一元二次方程的概念

⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.

⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .

2.一元二次方程的解法

⑴直接开平方法：针对()

()02≥=+an n a m x

⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2≥=+n n m x a

注：

① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式；

②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值.

⑶ 公式法：当0≥∆时（=∆ ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法.

⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =.

注：

⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使

用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法.

⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.

典型例题讲解及思维拓展

●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = .

⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = .

拓展变式练习1

1.关于x 的方程03)3(72=+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________.

2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .

●例2 解下列方程：

⑶0182=+-x x ⑵()()2

221239x x -=-

拓展变式练习2

解下列方程:

⑶8632+-=x x

⑵()()2221239x x -=-

⑶()()1232=--x x

⑶()222596x x x -=+-

⑸04)32(5)23(2=+-+-x x

⑹()()02123122=++-+x x

⑺()2223n n m x m x =+--

⑻a x a ax x -=+-222

●例3 已知0132=-+x x ，求

⎪⎭⎫ ⎝

⎛--+÷--2526332x x x x x 的值.

拓展变式练习3 1.已知0200052=--x x ，求()()2

1122

3-+---x x x 的值.

2.已知0132=+-a a ，求2294a a --.

■ 巩固训练题

一、填空题

1.若方程()()053222=-++--x m x m m 是一元二次方程，

则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同，则a = .

3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是___________.

4.若4

12+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是___________.

5.已知06522=--y xy x ，则y

x 的值是 . 6.已知7532=++x x ，则代数式2932-+x x 的值为________________.

二、解答题

1. 解下列方程：

⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292

=-+x

⑶20x x -

= ⑶ 0813642=+-x x

⑶ 22)52()2(+=-x x （6）()x x 210532-=-

2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售，每天可售出200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件.

（1）你能帮店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？

（2）当售价是多少元时，能使一天的利润最大？最大利润是多少？

■思维与能力提升

1. 设a 、b 为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 、b 的值.

2.设a 、b 、c 为实数，求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值，并求此时c b a ++的值.

3.已知()012009200720082

=-⨯-x x 的较大根为a ，020*******=--x x 的较小根为b ，求()

2003b a +.

4.如图，锐角∆ABC 中，PQRS 是∆ABC 的内接矩形，且S S PQRS ABC n 矩形=∆，其中n 为不小于3的自然数，求证：AB BS

为无理数.

■ 补充讲解

■反思与归纳

DS 金牌数学专题二 一元二次方程㈡

★知识点精讲

1.一元二次方程根的判别式

⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .

⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：

⇔>∆0方程有 的实数根；⇔=∆0方程有 的实数根；

⇔<∆0方程 实数根；⇔≥∆0方程 实数根.

2.根系关系（韦达定理）

⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有

a

b x x -=+21，a

c x x =⋅21 ⑵ 推论：

如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =⋅21. ⑶ 常用变形：

()2122122212x x x x x x -+=+ ()()212

212214x x x x x x -+=- 3.列方程解应用题的一般步骤：

⑴______，⑵______，⑶______⑷______，⑸______，⑹______.

4.常见题型

⑴ 面积问题；

⑵ 平均增长（降低）率问题；

⑶ 销售问题；

⑷ 储蓄问题.

典型例题讲解及思维拓展

●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.