人教版初中数学第十五章分式知识点
八年级带十五章分式知识点
八年级带十五章分式知识点在八年级数学课程中，分式是一个重要的知识点。
分式在数学中被广泛应用，例如在代数学、几何学和物理学中。
在本文中，我们将探讨八年级数学课程中的十五个分式知识点。
1. 基本概念分式是由分子和分母组成的表达式。
在分式中，分子表示被除数，分母表示除数。
分子和分母都可以是整数、小数或代数式。
例如：$\frac{1}{2}$、$\frac{x+1}{x-1}$。
2. 分式的化简化简分式是将分式的分子和分母约分至最简形式。
化简分式的方法包括约分和提取公因式等。
例如：$\frac{6}{12}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式的乘法分式的乘法需要将两个分式的分子和分母分别相乘，然后将结果约分至最简形式。
例如：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}=\frac{2 \times 3}{3 \times 4}=\frac{1}{2}$。
4. 分式的除法分式的除法需要将两个分式的分子和分母分别上下翻转，然后将结果约分至最简形式。
例如：$\frac{2}{3} \div\frac{3}{4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}=\frac{8}{9}$。
5. 分式的加法分式的加法需要将两个分式的分母通分，然后将分子相加，最后将结果约分至最简形式。
例如：$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。
6. 分式的减法分式的减法需要将两个分式的分母通分，然后将分子相减，最后将结果约分至最简形式。
例如：$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$。
7. 类比方法简化分式如果两个分式的分子和分母成比例，且比例系数相等，那么这两个分式可以类比简化。
例如：$\frac{3a}{4b}=\frac{9a}{12b}$。
人教版初中数学八上第十五章 分 式 第十五章章末复习 (2)
（4）若方程的解为负数，求m的取值范围．
3．全面深入实施乡村振兴战略，需要加快形成有效运行机制、强化特色优势产 业、改善生产生活环境、提升自我发展能力． （1）某农户先后两次购买同种葡萄树苗，第一次用去12 000元，第二次用去10 000元，第一次购买葡萄树苗的单价是第二次葡萄树苗单价的1．5倍，第二次购 买葡萄树苗的数量比第一次多100棵．求第二次购买葡萄树苗的单价；
答：原来每天修路160 m．
（4）某村租用9辆A型和B型两种货车将葡萄一次性运往外地销售，每辆车满 载．已知A型货车的总费用为5 000元，B型货车的总费用为4 800元，每辆B型货 车的运费是每辆A型货车的运费的1．2倍． ①求每辆A型货车和B型货车的运费；
答：每辆A型货车的运费为1 000元，每辆B型货车的运费为1 200元．
第十五章 分 式
第十五章末复习
1．计算：
1
（2）若m＝6，则方程的解为 x＝3 ；
x≠－3
（3）若方程无解，求m的值； 解：去分母，得2x＝mx－2（x＋3）， 整理，得（4－m）x＝－6． 分两种情况讨论： ①当4－m＝0时，原分式方程无解，则m＝4； ②当x＋3＝0，即x＝－3时，原分式方程无解． 把x＝－3代入（4－m）x＝－6，得（4－m）×（－3）＝－6，解得m＝2． 综上所述，m的值为4或2．
D C
0．2
9 4或8
10．计算：
11．解下列方程：
解：方程两边乘x（x－1）， 得3x－（x＋2）＝0，解得x＝1． 检验：当x＝1时，x（x－1）＝0， ∴x＝1不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解．
解：方程两边乘x－2， 得1－3（x－2）＝1－x，解得x＝3． 检验：当x＝3时，x－2≠0， ∴原分式方程的解为x＝3．
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第15章分式15.1.1 从分数到分式教学课件
v
s
柱形容器中，水面高度为____.
S
V
探究新知
3. 一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时，它沿江以最
大船速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行
60千米所用的时间相等.江水的流速是多少?
如果设江水的流速为v千米/时.
最大船速顺流航行
100千米所用时间
=
以最大航速逆流航行
60千米所用的时间
x
a b
x 1
x 1
,
(
a
b
),
解：整式有 2 2
分式有
2 x 1 x 2 a 2 2ab b 2
, ,
3x
x
a b
方法总结：判断一个
式子是分式的关键：
分母中含有字母.
巩固练习
1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4 ，
7
x
，
9 y
20
m 4
8y 3
， 5 ， y2 ，
类比分数、分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数
如: 3 ÷ 5 =
3
5
整数 整数
分数
类比
被除式÷除式=商式
v–v0
=
t
如: (v–v0) ÷
t
整式(A)
整式(B) 分式( A
B)
注意：由于
字母可以表
示不同的数，
所以分式比
分数更具有
一般性.
探究新知
你能说一说分数与分式的相同点、不同点吗？
分子
相
同
3
3
4
π
课堂检测
人教版八年级上册数学 第十五章 分式方程 知识点及考点
第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：1、解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠． （三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+． 故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。
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第十五章 分式15.1 分式15.1.1 从分式到分式1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
2、与分式有关的条件（1）分式有意义：分母不为0（0B ≠）（2）分式无意义：分母为0（0B =）（3）分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）（4）分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）（6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ）（7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例1．若24x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C ．x≥4 D ．x ＜4【答案】B ．【解析】试题解析：由题意得，x-4≠0，解得，x≠4，故选B ．考点：分式有意义的条件．考点：分式的基本性质．例2．要使分式1(1)(2)x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2【答案】D ．【解析】试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ．考点：分式有意义的条件．例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C ．【解析】试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义．例4．当x= 时，分式0． 【答案】1【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1．考点：分式的值为零的条件．15.1.2 分式的基本性质1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
新人教版初中八年级数学上册《分式方程》教学课件
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．将分式2+x x y中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．缩小到原来的13C ．保持不变D ．无法确定2．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253xx x-是最简分式 C ．直角三角形的两个锐角互余 D ．不是对顶角的两个角不相等3．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x -= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x-=+ 5．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d ab d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b ca c d ab d+++++的值为（ ）A ．1B ．12C ．0D ．46．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m =7．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若x 2y 5=，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．759．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －110．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（ ） A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x-=- C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 11．下列式子的变形正确的是（ ）A ．22b b a a=B ．22+++a b a b a b=C ．2422x y x yx x --=D ．22m nn m-=- 12．3333x a a y x y y x+--+++等于（ ） A ．33x y x y-+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22xy +13．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<14．计算a ba b a÷⨯的结果是（） A ．a B ．2aC ．2b aD ．21a 15．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．已知5,3a b ab -==，则b aa b+的值是__________． 17．席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为_________．18．已知13x x-=，则21x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．19．若关于x 的方程1322m x x x-+=--的解是正数，则m =____________． 20．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______． 21．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________．22．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a a-=；⑤()()321m m mm a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）23．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．24．计算：11|1|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 25．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．26．某工人现在平均每天比原计划多做20个零件，现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同，问现在平均每天做______个零件．三、解答题27．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？28．某快餐店欲购进A ，B 两种型号的餐盘，每个A 种型号的餐盘比每个B 种型号的餐盘费用多5元，且用120元购进的A 种型号的餐盘与用90元购进的B 种型号的餐盘的数量相同．（1）问A ，B 两种型号的餐盘单价为多少元？（2）若该快餐店决定在成本不超过1900元的前提下购进A ，B 两种型号的餐盘100个，则最多购进A 种型号餐盘多少个？29．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队单独施工a 天，再由甲、乙两工程队合作______天（用含有a 的代数式表示）可完成此项工程．（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？ 30．计算 （1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭．。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第15章分式15.2.3 整数指数幂教学课件
a a
1
2
9,
a 2 a 2 2 9,
a 2 a 2 7.
课堂小结
零指数幂：当a≠0时，a0=1
整
数
指
数
幂
负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=
整数
指数
幂的
性质
(a≠0)
(1)am·an=am+n(m，n为整数，a≠0)
3.某种大肠杆菌的半径是3.5×10-6 m，一只苍蝇携带这
种细菌1.4×103个.如果把这种细菌近似地看成球状，那
么这只苍蝇所携带的所有大肠杆菌的总体积是多少立方
4 3
米？(结果精确到0.001，球的体积公式V= πR )
2.了解负整数指数幂在科学记数法中的
运用.
1.熟练应用整数指数幂的意义及性质进行综
合计算.
探究新知
知识点 1
用科学记数法表示绝对值小于1的小数
对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第
一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，
10的指数是多少？如果有m个0呢？
探究新知
填空：
归纳：
1
1
1
=102；
1
(2)(-5)2 008÷(-5)2 010 (5)2 0082 010 (5)2 (15)2 25
1 1 1 100 10
(3)100×10-1÷10-2 110
102 10
(4)x-2·x-3÷x2 =
1 1 1
1
1
x 2 x 3 x 2 x 2 3 2 x 7
0
9
八年级上册第十五章-分式知识梳理
八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。
分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母。
2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义。
3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即： 其中A,B,C 是整式。
4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。
经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。
最新人教版初中数学八年级上册《15.1.2 分式的基本性质》精品教学课件
通分：
2c 3ac
(1) 与 2
bd 4b
8bc
4b 2 d
2 xy
x
(2)
与 2
2
( x y)
x y2
2 x 2 y 2 xy 2
( x y)2( x y)
3acd
2
4b d
x 2 xy
( x y)2( x y)
巩固练习
(3)
x 1
4
，
3x
2 x 2
，
x 1
4 x3
解：(3)最简公分母是 12x 3 .
x 1 （x 1） 6 x
6 x（x 1）
,
2
2
3
2 x
2 x 6 x
12 x
4
4 （ 4 x 2） 16 x 2
,
2
3
3x
3 x （ 4 x ） 12 x
x 1 （x 1）（ 3） （
3 x 1）
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整
式，分式的值不变．
探究新知
追问1 如何用式子表示分式的基本性质？
A
A C A
A C
,
（C 0）
.
B
B C B
B C
其中A，B，C 是整式.
探究新知
追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
；(3)
； (4)
．
2
y
2b
3n
5y
a
4m
x
（
1
初中数学人教八年级上册第十五章分式第二节命题及其关系充分条件与必要条件PPT
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵x>1，∴x3>1，又 x3－1>0，即(x－1)(x2＋x＋ 1)>0，解得 x>1，∴“x>1”是“x3>1”的充要条件．
答案：C
2．“在△ABC 中，若∠C＝90°，则∠A，∠B 都是锐角” 的否命题为：________________.
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(二)” (单击进入电子文档)
1．若 p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则 p 是 q 的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：设 p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A， q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0 或 x≤－1}＝B， ∵A B， ∴p 是 q 的充分不必要条件. 答案：A
解析
1．(2015·北京高考)设 a，b 是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”
的
()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析
2．(2015·天津高考)设 x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”
的
()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90°， 结论：∠A，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A，∠B 不都是锐角
1．命题“若 a2>b2，则 a>b”的否命题是
人教版初中数学第十五章知识点总结
第十五章分式15.1分式15.1.1从分数到分式1.分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.分式AB中，A叫做分子，B叫做分母.分母中含有字母的式子叫做分式.2.分式有意义的条件：分式的分母不为0.即当B≠0时，分式AB才有意义.3.分式无意义的条件：分式的分母等于0,即当B=0时,分式AB无意义.4.分式的值为0的条件：分式的分子为0，且分母不为0.即当A=0,且B≠0时,分式AB的值为0.15.1.2分式的基本性质1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A B =ACBC,AB=A÷CB÷C(C≠0)2．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式4．分式的符号的变换规律分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中2个，分式的值不变5.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分6．最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫做这几个分式的最简公分母。
7．最简公分母的确定方法：（1）系数取各分母的最小公倍数；（2）因式取各分母所有的因式；（3）相同因式取次数最高的。
15.2分式的运算15.2.1分式的乘除1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
db c a d c b a ⋅⋅=⋅2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。
cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷3.分式乘方：分式乘方要把分子，分母分别乘方。
n nn ba b a =)(（n 为正整数）15.2.2分式的加减法1.分式加减法法则：（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；c a ±c b =cb a ±（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
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第十五章 分式15.1 分式15.1.1 从分式到分式1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
2、与分式有关的条件（1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =）（3）分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ）（7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例1．若24x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C．x≥4 D ．x ＜4【答案】B ．【解析】试题解析：由题意得，x-4≠0，解得，x≠4，故选B ．考点：分式有意义的条件．考点：分式的基本性质．例2．要使分式1(1)(2)x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C．x≠±1 D．x≠-1且x≠2【答案】D ．【解析】试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ．考点：分式有意义的条件．例3．下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C ．【解析】 试题分析：x x 3+，b a b a -+，)(1y x m-中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义．例4．当x= 时，分式211x x -+的值为0． 【答案】1【解析】试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1．考点：分式的值为零的条件．15.1.2 分式的基本性质1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：A A B C B C ⋅=⋅，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
例1．如果把分式yx x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的101 【答案】C ．【解析】 试题分析：把分式y x x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，可得y x x 10101010+⨯=yx x +10，故选C．考点：分式的基本性质．例2．把分式2ab a b+中的a 、b 都扩大6倍，则分式的值（ ） A.扩大12倍 B.不变 C.扩大6倍 D.缩小6倍【答案】C ．【解析】试题分析：分别用6a 和6b 去代换原分式中的a 和b ，原式=26612266a b ab ab a b a b a b⨯⨯==+++， 可见新分式的值是原分式的6倍．故选C ．考点：分式的基本性质．例3．写出等式中括号内未知的式子：717)(2+=+c c c ，括号内应填 ． 【答案】c【解析】 先把cc 7)(2+的分母提取公因式c ，得到71)7()(+=+c c c ，然后根据约分的定义求出括号内应填的数为c ． 解：71)7()(7)(2+=+=+c c c c c ， ∴71)7()(+=+c c c ， ∴括号内应填c ，故答案为c ．2、分式的约分（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
约分时。
分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式例1．下列各式计算正确的是( ) A.222a ab b a b b a -+=--; B.2232()x xy y x y x y ++=++ C.23546x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭; D.11x y x y -=-+- 【答案】D【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质对各选项分析即可。
A 、b a b a b a b a a b b ab a +-=--=---=-+-)()()(2222，故本选项错误； B 、yx y x y x y x y xy x +=++=+++1)()()(232322，故本选项错误； C 、86243)(yx y x =，故本选项错误； D 、11x y x y-=-+-，正确， 故选D 。
例2．把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分;在分式222x y xy xy+中，分子与分母的公因式是 .【答案】公因式；xy【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的约分的定义即可得到结果。
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；在分式222x y xy xy+中，分子与分母的公因式是.xy 例3．将下列分式约分：(1)258x x = ; (2)22357mn n m -= ;(3)22)()(a b b a --= . 【答案】(1)83x (2)－nm 5 (3)1 【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质即可得到结果。
（1）258x x =83x ；（2）22357mn n m -=n m 5-；（3）22)()(a b b a --=.1 例4．约分：3263n m mn -= ． 【答案】221mn - 【解析】首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可．解：原式=2233mnmn mn ⋅-=221mn -． 故答案是：221mn -． 例5．约分：22112mm m -+-． 【答案】解：原式=)1)(1()1(2m m m +--=)1)(1()1(2m m m +--=mm +-11． 【解析】首先把分子分母分解因式，再约去公因式即可．3、分式的通分（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.例1．下列各式计算正确的是( ) A.ba b a +=+111 B.ab m b m a m 2=+ C.a a b a b 11=+- D.011=-+-a b b a 【答案】D【解析】本题考查的是分式的通分根据分式的性质对各学项分析即可。
ab b a b a +=+11，故本选项错误；ab am bm b m a m +=+故本选项错误； a a b b a b a b 111-=--=+-，故本选项错误； 01111=--=-+-b a a b b a ，正确，故选D 。
例2．分式23a ，a 65，28ba 的最简公分母是（ ） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 2【答案】D【解析】求最简公分母就是求所有分式分母的最小公因数．解：三个分式分母的系数项的公因数为a 2b 2，常数项的最小公因数为24，所以三分式的最小公分母是24a 2b 2． 故选D例3．分式x y 2，23yx ，xy 41的最简公分母是（ ） A ．6xy 2 B ．24xy 2 C ．12xy 2 D ．12xy【答案】C【解析】先求出2，3，4的最小公倍数为12，按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，于是得到分式x y 2，23y x ，xy41的最简公分母为12xy 2． 解：2，3，4的最小公倍数为12， ∴分式x y 2，23yx ，xy 41的最简公分母为12xy 2． 故选C ．15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：a c a c b d b d ⋅⋅=⋅ 2、分式的乘除法法则：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：a c a d a d b d b b c c⋅÷=⋅=⋅ 3、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子表示为：n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 例1．111a b c d b c d÷⨯÷⨯÷⨯等于（ ） A.a B.222a b c dC ．a dD ．222ab c d 【答案】B.【解析】试题分析：原式=222111111a a b b c c d d b c d ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 故选B.考点：分式的乘除法．例2．化简211m m m m--÷的结果是（ ） A ．m B ．1m C ．m －1 D ．11m - 【答案】A ．【解析】试题分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．试题解析：原式=211m m m m m -⨯=- 故选A ．考点：分式的乘除法．例3．化简的结果为 ．【答案】2x【解析】试题分析：首先将分式的各分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简． 原式=2(1)(1)11x x x x x x =x （x －1）+x=2x ．考点：分式的化简15.2.2 分式的加减1、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。
式子表示为：c b a c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
式子表示为：bd bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。