空间变异函数的数学模型及参数反演
变异函数及结构分折
型也称块金效应型。这种类型说明变异函数 (h) 连续性差。当 h 增大时， (h) 又可逐渐变 得比较连续。
3 变异函数的功能
（2） 变异函数在原点处的性状反映变量的空间连续性
（d） 随机型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h 增大时， | h | 时， (h) 仍是在 C0 附 近摆动，无论 h 多么小，区域化变量 Z ( x) 与 Z ( x h) 总是不相关。这种类型称随机型，也 称纯块金效应型。 它反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况、 或者说反映了变量是普 通的随机变量。这时 C0 等于先验方差， Var[Z ( x)] C0 。 （e） 过渡型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h=a（a 为变程） ，
h 0 h 0
1. 变异函数图结构分析
块金方差：主要来源于远小于抽样间距的空间尺度上
存在的差异。块金方差的大小直接限制了空间内插的精
度，如果实际的样本方差图主要表现为块金效应，即随 的增加变异函数的变化近似于一水平线，说明了在最小 抽样间距以上的空间尺度上不存在自相关性，这种结果 也意味着可能存在一个比抽样间距更加小的空间自相关
3 变异函数的功能
（4） 块金常数 的大小可反映区域化变量的随机性大小
C (0) 0 ，即先验方差不小于零。 C (h) C (h) ，即 C (h) 是对 h=0 的直线对称。
| C (h) | C (0) ，协方差函数绝对值小于等于先验方差。
| h | 时， C (h) 0 ，或写作 C () 0 。 C (h) 必须是一个非负定函数 （即由 C ( xi x j ) 构成的协方差函数矩阵必须是一个非
负定矩阵） 。
2 变异函数的性质
地球物理反演
三维反 演成像
地下储 层剩余 油分布m
地球物理正反演研究对象 1、模型m：物性参数和几何参数 2、异常数据d：一系列有限的有误差的离散的 观测值 3、 m和d数学物理关系：非线性问题d=f(m)， 线性问题d=Gm（课程 重点） 数据是模型的函数（泛函）， 它是连接模型和数据的“纽带”
地球物理正反演研究对象
地球物理反演——模型构制
非线性反演
d=f(m)
（1）梯度法：传统的最速下降法 （2）尝试法：从初始模型 出发，通过 mo 正演做反演，可以人机交互联作 （3）人工神经网络（ANN）法 （4）蒙特卡洛法 （5）模拟退火法 （6）遗传算法 （7）多尺度反演法
地球物理反演——多解性问题
多解性问题：地球物理勘探反演解释中共 同存在的问题 原因至少有二， 1 、观测的异常数据通常是有限的和离散的； 2 、地球物理问题本身固有的。 以磁异常的反演为例，决定磁异常特征的 两个主要因素是场源的几何因子（形态、位置） 和物性因子（磁化强度的大小、方向）。当这 些因素不同的组合时可以获得相同的磁异常分 布特征。以下为三个反演多解性的典型例子。
线性反演
d M GM N mN
（1）M=N=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
2.1 线性反演问题的最小方差解
数据拟合
T
最小方差解
1 T
最小范数解
模型最短
m (G G) G d
N阶
m GT (GGT )1 d
M阶
生命科学中的反演问题
生命科学中的反演问题反演问题在生命科学研究中具有重要的地位。
反演问题是指根据已知的观测数据推断未知的模型参数。
在生命科学中，反演问题包含了众多应用，如药物发现、基因表达、蛋白质结构等。
通过反演问题，我们可以从实验数据中挖掘出隐藏在其背后的生物学规律，有助于生命科学的研究进程。
一、反演问题的数学模型反演问题需要数学方法进行建模，我们以蛋白质结构预测为例。
蛋白质结构的预测就是从蛋白质的氨基酸序列中预测其空间结构。
这是一个典型的反演问题。
由于蛋白质结构过于复杂，我们不能通过实验手段直接测定其具体结构。
因此，需要通过一定方法预测出蛋白质的结构。
我们可以将蛋白质的结构表示为参数向量，将氨基酸序列表示为观测数据。
然后我们利用数学模型，通过观测数据推断出参数向量，即蛋白质的结构。
这个数学模型就是把蛋白质结构和氨基酸序列之间的关系表示出来，这里，强调一下：这个模型并不是精确的，精确模型是不可能的，我们需要一个描述蛋白质和氨基酸之间关系的近似模型。
在这个数学模型中，我们需要找到一种表示蛋白质和氨基酸之间关系的函数，又称之为能量函数，记作E(x,θ)。
其中x为蛋白质结构的参数向量，θ为能量函数的参数向量。
我们的目标就是通过观测数据推断出θ的值，然后用θ来计算蛋白质结构的函数x。
这个问题就被转化为一个优化问题，即最小化观测数据和模型计算得到的蛋白质结构之间的距离，通过最小距离获得θ的值。
二、反演问题的一些难点反演问题在生命科学研究中存在很多难点。
一是数据不确定性。
生命科学研究中的实验数据很多都具有高度噪声，这使得观测数据的可信度比较低，这就需要在模型中考虑如何捕捉数据的不确定性。
二是模型选择问题。
反演问题的结果往往取决于所使用的数学模型以及所选择的先验假设，模型不对、先验不合理会影响结果的可靠性。
三是计算复杂度高。
由于反演问题的复杂性，计算时间是一个非常大的问题。
在处理大规模生物数据时，解决反演问题的速度通常是非常慢的。
空间变异函数的数学模型及参数反演
∑ Ａ （ √ ＋ ＝ｙｈ ） ｉ ｈ） ｙ （ｉ ， ０
ｉ ：１
∑Ａ ：１
（） １
∑Ａ （ ，） 。 Ｙ ｚ ｉｉ
ｉ 】 ＝
式 （ ） ： 为 ｚ ｘ ，ｉ 克 里 格 权 重 ， ｉ 点 １中 Ａ （ Ｙ）的 ｈＪ为
２１ ００年 ４月 １日收 到 河 北省 ２０ ０ ９年 水 利 科研 与 推 广 计 划项 目
滦 河流域降水量空间插值实例表 明， 交叉检验均方差降幅分别为 ｌ ．％和 ２ ．％ 。 １７ ９８ 关键词 空间变异 函数 数学模型 参数反演 克里格方程组 交叉检验 方差 降水量空间插值
中图法分类号
Ｐ３ ． ； ３ ２４
文献标志码
Ａ
克 里格 （ ｒ ｉｇ 方法 最早 是 由南 非 采 矿 工程 Ｋｉｎ ） ｇ
（ ≤ ≤ １ ０ ）。则椭 圆上 ０ 向上 的点 Ｐ 到椭 ０ ８。 方 圆圆心 的距 离 Ｐ ０ ， ）可 以作 为 该 方 向上各 向异 （， ｂ
１ 空间变异函数的数学模型
１ １ 普通克 里格方 程组 ．
设 随机 变 量 Ｚ（ Ｙ ， ）有 个观 测值 ｚ ｘ ，。 ， （ Ｙ） ｉ＝ １２ ， ，… ， ， ｎ 则随机 变量 ｚ Ｙ （ ）在 Ｘ ， Ｙ平 面 上任 意
一
点 （ Ｙ ，）处 的估 值 ２ （ Ｙ ，）可 以普通 克 里 格 方
考虑 变 程 各 项异 性 的模 型 ， 之 为 Ａ 称 Ｅ模 型 ； 一类 是 只 考虑 拱 高各 项 异 性 的模 型 ， 之 为 Ｃ 称 Ｅ模 型 。传 统 的方 法 需 要先 进 行 空
间变异函数的拟合 ， 然后进行克里格估计。交叉检验方差是评价估计精度 的一项 重要指标 。根 据克里格 方程组的重要性质 ， 克里格估值仅 与标准变异函数有关， 对标准变异函数进行线性变换得到新的变异 函数不会 改变克 里格估值和交叉检验方差。
反演理论-3
1833 (u ) u 2 du 0 1 909 .5 (u )u 4 du 0
2
1
Yangtze University
• 反演理论
二 参数化模型反演
两个数据的地球密度问题
15
参数化模型线性反演理论—例解
假定地球密度为 3个常数，分界面在u1
199 196 和u2 。 200 200
Yangtze University
• 反演理论
二 参数化模型反演
7
参数化模型线性反演理论—纯欠定问题的最小模型解
观测数据的个数( M )小于模型参数的个数( N ) 并且G的秩r (G ) M N M个方程互不相关，也不矛盾。 对欠定问题有无穷个解。 观测数据量不够，不足以确定模型。 只能挑选一个特解。 假定地球模型服从“最简单”结构原则，采用 模型能量最小作为找特解的准则是合适的。
G T G 2 I也是N N的方阵， r (G T G 2 I ) N , 逆矩阵存在，非奇异； G T G 2 I的条件数为 C2 G G I
T 2
1
max 2 G G I 2 2 min 2
T 2
通过调节 2 的大小可使C2的条件数降低，使求解变成良态。
根据地球总质量和转动惯量确定1、 2和 3 为欠定问题 : 1833 a111 a12 2 a13 3 909 .5 a211 a22 2 a23 3 有无穷多个解。 只能求某个特解。 例如：模型能量最小解m G GG
T
1833 1 (u ) u 2 du 0 1 909 .5 (u )u 4 du 0
m (G T G 2 I ) 1 GT d 混定 N 1 N M M N ( N N ) N M M 1
时空CoKriging的变异函数建模
时空CoKriging的变异函数建模胡丹桂;舒红;胡泓达【摘要】在对地观测中,所研究的地学变量不仅具有时间、空间特征,还受其他变量的影响,采用多元时空相关数据,可以提高时空估值的精度.时空CoKriging是多元时空插值中一种常用的方法,建立时空变异函数和协变异函数是时空CoKriging插值的关键一步.以东北三省为试验区,利用该地区气象站观测数据的月平均空气相对湿度为主变量,引入同时间同位置的月平均空气温度作为协变量,对空气相对湿度和空气温度进行时空变异函数和时空协变异函数建模.实验结果表明,采用和度量时空模型的时空变异函数的随机性空间结构建模的实际拟合效果较好.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(049)004【总页数】8页(P596-602,622)【关键词】多元时空变量;和度量模型;变异函数;空气相对湿度【作者】胡丹桂;舒红;胡泓达【作者单位】武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,武汉430079;武汉职业技术学院计算机学院,武汉430074;武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,武汉430079;武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,武汉430079【正文语种】中文【中图分类】P208地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为工具，研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性的自然现象的科学.在自然科学及社会科学领域，有些变量不仅具有空间特征，而且具有时间特征，这时要把所研究的变量看成是时空随机函数.时空插值方法已成为解决时空离散点到连续体上的一种必不可少的映射方法，时空克里金是时空插值法中常用的一种方法[1].Marc G.Genton[2]，Matthew W. Mitchell [3]等对可分离时空协方差函数进行了理论研究和测试，对其优缺点进行了深入的探讨；Cressie and Huang[4]，Chunsheng Ma [5]，E. Porcu [6]，Gneiting[7]等提出了不可分离的，平稳的协方差函数，允许时空交互；徐爱萍[8]，L.De Cesare[9]，D.E.Myers [10]，S. De Iaco [11]等将积和模型应用于时空变异函数模型的建立中.他们虽然考虑到了时间空间特征，但仅局限于单变量.相对照，传统的多元统计分析方法虽然考虑了多变量，却很少考虑到多元信息的空间特征.但是，在诸如水文、石油、土壤、农林、大气和环保等科学研究中，所研究的变量不仅具有时间、空间特征，而且还在时间空间域中受其他相关变量的影响.将克里金法应用于时空多元变量的插值研究中，一方面需要将克里金法进行时空扩展，另一方面将单变量插值的克里金扩展到多变量协同克里金.建立有效的多元时空协方差变异函数模型是研究时空协同克里金插值的关键一步.因此，本文将传统地统计学扩展到多元时空地统计学，构建多元时空变异函数及协变异函数.以东北三省72个气象站点1996年～2005年的月均空气相对湿度数据为例，以同时间同位置的月均空气温度为协变量，为时空协同克里金插值建立时空变异函数和时空协变异函数.采用了和度量变异函数模型来拟合变量的时空变异结构，将气象要素模拟从空间维扩展至时空维.同时，考虑了气温数据对相对湿度的影响，在拟合相对湿度变异函数的过程中，加入了气温作为协变量，将时空克里金插值扩展到了时空协同克里金插值.1.1 区域和数据介绍实验研究的是我国东北三省(黑龙江、吉林、辽宁)，站点地处38.90°～52.97°N，119.70°～132.97°E之间.地面观测台站所观测的资料来自1996年1月～2005年12月东北三省月空气相对湿度.本实验数据通过中国气象科学数据共享服务网获取，共有观测站点87个，由于部分站点数据严重缺失，实验只采用72个观测站数据，站点分布如图1.实验数据为1996年1月～2005年12月的月平均相对湿度和月平均气温值.由于空气相对湿度与空气温度相关性较好，我国东北地区，冬季干燥、夏季湿润，空气温度对空气湿度有着一定程度的相关影响，故选取空气温度为协变量.在实验中，对空气湿度和空气温度分别进行时空变异函数及两者的协变异函数拟合.1.2 数据预处理时空变异函数构造的重要前提是假设时空变量满足二阶平稳.时空空气相对湿度、空气温度数据可以看作为空间站点上的时间序列，时间序列一般包括：周期项、趋势项、随机项.因此空气相对湿度变量的时间序列分解为：式中为周期项为趋势项为随机项为时间序列.随机项 R(t)满足二阶平稳，以塔河站观测时间序列分解为例.图 2是将观测空气湿度时间序列分解为趋势项、周期项和随机项；图 3是将观测空气温度时间序列分解为趋势项、周期项和随机项.可以看出从1996年 1 月到 2005 年 12 月10年的月平均空气湿度及月平均空气温度均存在明显的周期性，不利于时空变异函数建模.但是时间序列没有存在明显的趋势，因此，只对数据进行去周期项处理.为保持数据连续性和整体趋势变化，时间序列分解后的趋势项和随机项保留，因为趋势项不明显，对数据平稳性影响不大.采用时序分解中的加法模型，将变量的周期项提取出来，余下的部分用于时空插值实验.用自相关图检法[12]判断去周期数据的平稳性，如图 4图 5所示，空气相对湿度和空气温度他们的时间序列的自相关系数(ACF)均随延迟时期数很快衰减到±0.1以内，图示表明去周期项后数据近似平稳.空气湿度和温度变量在空间上也要满足二阶平稳，将每一测站上的时间序列经过去周期项后计算移动平均值，根据移动平均值探索空间空气湿度和温度的变化趋势.用空间散点图展示空间分布趋势，图 6是对湿度空间站点数据趋势面的拟合.通过实验对比，发现不管是湿度还是温度均采用3次多项式(2)进行拟合，具有较好的拟合效果.式中，value为月均空气湿度，x，y为空间坐标信息，a，b，c，d，e，f，g为3次多项式通过拟合得到的系数.去除趋势后空间数据分布呈现平稳性，图 7是月平均空气湿度站点数据去空间趋势后拟合面.分别对空气湿度和空气温度各站的时间序列进行平稳性处理再对整个空间数据进行平稳处理，最终满足构造时空变异函数的前提条件，即随机变量近似时空上的二阶平稳.时空多元信息统计学是以协同区域化变量理论为基础，以互变异函数为基本工具，研究那些定义于同一时空域中，既有统计相关又有空间位置相关及时间序列相关的多元时空结构自然现象的科学.所谓协同区域化是指那些在统计意义上及时间序列和空间位置上均具有某种程度的相关性并且定义于同一时间序列及空间域的区域化变量.是一个多元的时空随机场[13]，且式中一般d≤3)表示空间坐标，而t∈T为时间坐标.多元时空随机场的一种简单情况是二元时空随机场.时空协同克里金最普遍的情况是增加一个相关的协变量，来提高对主变量的插值精度，例如，空气相对湿度和空气温度.时空协同克里金(CoKriging)法的插值公式：式中为(s，t)0处空气湿度估算值；Z1(s，t)1i为各点空气湿度；λ1i为赋予各个站点空气湿度的一组权重系数；Z2(s，t)2j为各点空气温度；λ2j为赋予各个站点温度的一组权重系数；N1、N2分别为空气湿度和空气温度用于湿度插值站点数，其中N1≤N2.2.1 时空直接变异函数建模假设Z={Z(s，t)，s、t∈Rd+1}(d+1表示欧式空间维加时间维)表示为时空随机场，设定时空随机场中两位置的时空距离h=(hs，ht)， hs为矢量，代表样本空间距离同时也包含方向信息，ht为样本时间距离.当Z(s，t)满足二阶平稳时可定义其协方差函数为[9]：显然，协方差函数只与距离有关，与空间和时间位置无关.在地统计学中，随机变量Z(s，t)的期望不变(时空二阶平稳性)，协方差矩阵具有对称正定性.理论上，满足下列要求的连续函数可以定义为有效变异函数[9]：1)可分离时空协方差模型地统计学中协方差函数模型(如球状模型、指数模型和高斯模型等)不能直接用于时空随机变量的统计分析，必需进行时空扩展.如果一个随机场Z的时空协方差函数可完全表示成纯空间和纯时间协方差函数相乘，则该时空协方差函数被认为是可分离的 [14].Mitchell Genton， Gumpertz(2005) [3]，MontserratFuentes(2004)[15]等文献中提出了可分离型模型.这类模型相对容易构建，且计算机实现插值效率较高，但往往要求一些比较理想的假设 [16-17]，损失了精细的时空结构信息或丢失了时空交互信息.可分离型时空协方差函数可表示为：式中,C(hs，ht)是变量的时空协方差函数， Cs(hs)、Ct(ht)分别是纯空间协方差和纯时间协方差函数.Cs(hs)、Ct(ht)的具体形式有多种选择，或者同为一种模型，比如高斯模型，或者为不同模型，比如Cs(hs)为球形模型，Ct(ht)为指数模型，或是其他满足正定条件的函数.2)时空积和模型另一类称为不可分离型时空协方差函数，它是将已知的纯空间协方差与纯时间协方差函数通过加乘、混合、积分等变换得到.积和式变异函数来拟合时空地理数据的时空变异结构，协方差函数和变异函数如下[9]：式中， C(hs，ht)为时空协方差，Cs(hs)为空间协方差， Ct(ht)为时间协方差，γ(hs，ht)、γs(hs)、γt(ht)分别是对应的时空、空间、时间变异函数，而C(0，0)、Cs(0)、Ct(0)分别是对应的基台值.这里，假定γ(0，0)=γs(0)=γt(0)=0，满足k1>0、k2≥0、k3≥0，并通过正定条件由下式决定，推导过程见文献[18]：3)时空和度量模型时空和度量模型也是不可分离时空变异函数模型.采用和度量模型变异函数来拟合时空地理数据的时空变异结构，协方差函数可以表示为[19]：式中，C(hs，ht)是空间间隔距离为hs，时间间隔距离为ht的协方差函数；Cs(hs)+Ct(ht)考虑了带状异向性(在不同方向上有不同变异函数基台值)；而考虑了几何异向性，它其实是度量模型[20]，度量模型是通过一个各向异性比率α，把时间距离单位转换成空间距离单位，因为空间距离和时间距离的量纲不同.比如，α为20 km/d，表示时间距离上的1 d相当于空间距离上的20 km.把这3个协方差函数参数化为普通结构后，如指数模型、球状模型、高斯模型等.完整的和度量协方差函数模型一共包含10个不同参数：纯时间协方差函数的块金、基台值和变程，纯空间协方差函数的块金、基台值和变程，时空协方差函数的块金、基台值和变程以及一个各向异性比率α.时空和度量变异函数为[19]：2.2 时空协变异函数建模在使用时空CoKriging来研究变量的时空变异性时，关键的一步就是决定变量之间的时空协变异函数.它用来描述两变量之间交叉的时空连续性.协变异函数定义为：式中为同一位置上的两个不同变量为月均空气湿度为月均空气温度.在实际计算中，不需要直接利用以上定义来计算协变异函数，可用以下比较简单的方法来间接求得[21].先定义一个新的变量：即在同一个位置上，将两个变量的样本数值相加，所得之和即是新变量在该点的样本值，然后计算新变量的变异函数：而这一新变量的变异函数与原变量的变异函数和协变异函数有如下关系：因此可得：式(18)表明，要求出γ12(hs，ht)，先分别拟合得到分别采用时空可分离模型、时空积和模型、时空和度量模型3种不同的时空结合方法，对两个时空变量空气湿度和空气温度，采用时间去周期空间去趋势后的残差，来拟合时空变异函数.如图 8是空气相对湿度的残差的时空经验变异函数和理论变异函数.图 9是空气温度的残差的时空经验变异函数和理论变异函数.并采用均方根差RMSD(root-mean-squared-difference)指标来判断一个经验变异函数拟合的好坏.表1分别是3种不同方法得到的模型的RMSD值，从表 1可以看出，针对这两个时空变量，和度量时空模型的拟合效果最好.本实验中，采用和度量时空模型来建立空气湿度的残差和空气温度的残差的时空变异函数.图10是将空气湿度的残差和温度的残差之和作为一个新变量，这个新变量的经验变异函数和经和度量时空模型拟合的理论变异函数.使用和度量模型中的时空变异函数模型拟合数据，其中球状模型被选为空间和时间变异函数，等式右边第3项度量时空变异模型为指数模型[19].这3个组件都具有块金(C0)，偏基(C1)和变程(r)的参数，度量时空变异模型还有各向异性比这个参数，一共10个参数.表 2是空气相对湿度的残差，使用和度量模型拟合时空变异函数的10个不同参数的值.表 3是空气温度的残差，使用和度量模型拟合时空变异函数的10个不同参数的值.表 4是空气湿度残差与温度残差之和，使用和度量模型拟合时空变异函数的10个不同参数的值.经过和度量时空模型拟合后，空气湿度残差的理论变异函数γ11为：γ11(hs，ht)=1.01+7.41×经过和度量时空模型拟合后，空气温度残差的理论变异函数γ22为：经过和度量时空模型拟合后，空气湿度残差和空气温度残差之和的理论变异函数为：所以，根据式(18)，空气湿度的残差和空气温度的残差时空协变异函数γ12为：等式(22)右边的已由式(19)、(20)、(21)求出.式(19)γ11、式(20)γ22分别是空气湿度和空气温度的直接变异函数，式(22)γ12是空气湿度和空气温度的协变异函数.求出了γ11、γ22、γ12，就可以得到时空协同克里金插值公式(4)中的λ值，从而可以完成时空协同克里金插值.有效的变异函数模型是克里金插值的基础，本文的重点对时空协同克里金的变异函数进行建模分析.在拟合变异函数之前，首先对变量进行时间上去周期，空间上去趋势处理，以保证时空变量的平稳性.得到插值结果后，必须先将其加上之前去除的周期项和趋势项，才是最终估计结果.结果表明，空气相对湿度和空气温度在纯空间和纯时间上均符合球状模型，并且分别用3种不同的方法对这两个变量进行时空变异函数建模，发现在可分离模型、积和模型、和度量模型这3种模型中，和度量模型的拟合效果最好.完成时空直接变异函数拟合后，最后根据D.E.Myers[21]提出的方法，进行时空协变异函数建模.本文研究了多元时空数据进行时空直接变异函数和时空协变异函数的建模，不仅考虑了时间空间信息，而且还考虑了其他协变量.时空变异函数是时空克里金插值模型的权重参数构建的基础，对后续的时空协同克里金插值精度影响非常大.后续研究中，将研究大样本下的时空协同克里金插值结果(估计量)的统计性质(无偏、最优、相合性、线性插值结果的渐近正态性)，发展适应性多元时空统计模型应用于多个地学领域时空数据分析并评价插值精度.【相关文献】[1] 李莎，舒红，徐正全. 利用时空Kriging进行气温插值研究[J].武汉大学学报:信息科学版，2012， 37(2)：237-241.[2] Genton M G. 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离散对称性-空间反演
20
当然, 对于势垒很高的情形, 振荡频率 将很小， 因而振荡周期 T = 2 非常大.
譬如, 对于心脏的例子, 初始时刻位于身体的左边, 由于势垒很高, EA ES 很小, 故从左往右的隧穿所 需时间巨大(可比拟于宇宙年龄), 因此, 所观察到的 宇称非对称性在这里可解释为初始状态的不对称, 而无须借助于宇称不守恒.
(T -1r) T -1r
r ΠT T -1r
3
任意 r ΠT T -1r
Π T r Π 1T r T -1r (a)
又 ΠT ΠT -1 ΠTT -1 ΠI I
Π-1T Π T -1
(27)
33
就定义式而言
TQT 1 Q TPT 1 P TLT 1 L
在{|x}表象中
Q x P i L x i
K
x
xK
-1
x
x
K
x
PK
-1
x
P
K
x
LK
-1
x
L
34
动量表象
T ? K( p)
35
(t) d p p p (t) d p ( p,t) x T (t) d p ( p,t)T p
下面我们先对这第二种解释通过一个简单的例 子来作一说明：
18
双势阱的例子 在双势阱V(x)中运动的粒子
有一对称基态S , 能量为ES . 第一激发态为反对 称态A, 相应的能量为EA, EA 稍高于ES . 若势垒无穷高, 则 EA - ES 0, 相应的S 和 A
岩土参数空间变异性分析原理与最优估计模型_张征
第18卷第4期岩土工程学报Vo l.18N o.4 1996年7月Chinese Jour nal of Geotechnical Eng ineering July,1996岩土参数空间变异性分析原理与最优估计模型张征(中国矿业大学北京研究生部岩土工程研究所,100083)刘淑春(河北煤炭建筑工程学院水文地质与工程地质系,邯郸,056038)鞠硕华(哈尔滨建筑大学建筑设计研究院,150006)文摘岩土参数的不确定性和离散性是岩土工程的特点之一。
本文分析了岩土参数不确定性产生的主要原因,探讨了岩土参数空间变异性分析的原理、方法和步骤,并针对岩土参数的离散性,研究了它的空间最优估计问题。
关键词岩土参数,不确定性,离散性,结构分析,空间最优估计。
1问题的提出岩土参数的不确定性和离散性,是工程地质勘察、岩土工程勘察与设计中普遍存在的客观实际问题。
一般来讲,岩土参数可以通过原位测试、室内试验或原型监测获得,但自然界中的岩土材料多具有复杂的非均质各向异性的特点,这就给岩土参数的准确选择与空间估计带来了困难。
将岩土参数视为纯随机变量的经典概率统计已无法满足目前对岩土参数空间变异性作出客观分析与评价的需要。
正确认识产生岩土参数不确定性的原因以及对岩土参数空间变异性的客观分析,是选择符合实际的岩土参数空间估计模型的基础。
2岩土参数的不确定性及其表征变量211岩土参数不确定性产生的原因岩土参数的不确定性根据其产生原因可以划分为两类,一类是由岩土性质的空间变异性所引起的不确定性;另一类则是由取样、测试中的失真与量测误差所引起的。
(1)岩土性质的空间变异性非均质各向异性是自然界中大多数岩土体所具有的共同特征,因而决定了岩土体的各种性质具有明显的空间变异性。
但这种变异性本身并不是纯随机的,而是具有确定性与随机性的双重性质。
它一方面受到岩土体组成、结构和构造以及赋存环境中各种局部的、不规则和不确定性的复杂因素的影响,表现出随机变异的特点;另一方面又受到岩土体形成和后期改造过程中多种宏观规律的控制,表现出确定性变异的特点,从而使得岩土参数在空间不同位置的取到稿日期:1994-11-20.值既有随机性,亦有空间分布上的统计平均规律性,即结构性。
空间变异函数的数学模型及参数反演
空间变异函数的数学模型及参数反演４３７４科学技术与工程１０卷４结论（１）根据克里格方程组的重要性质，可以将优选参数由５维降至３维。
以克里格交叉检验精度为目标函数的变异函数参数反演方法是可行的，使用反演参数可以有效减小克里格交叉检验方差。
由于评价面非常复杂，因此，常常需要在精度与计算复杂度之间进行权衡。
实例证明ＧＡ算法非常有效。
（２）以椭圆分布函数为基础，分别导出了变程异性和拱高各向异性的两类标准变异函数的数学模型，ＡＥ模型和ＣＥ模型。
表１、表２的实例计算结果表明：本文导出的ＣＥ模型在表中所列情况下均优于目前广泛使用的ＡＥ模型。
（３）由于降水量的空问分布存在明显趋势性，直接进行分析时幂函数模型表现最好（表１），其中ＣＥ—Ｐ模型交叉检验均方差比ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型降低了２．９８６５ｍｍ，降幅为１１．７％。
将数据进行趋势面分离后，残差变量的空间分布呈现出明显的区域化特征，此时球状函数模型表现最好（表２），其中ｃＥ—ｓ模型交叉检验均方差比ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型降低了７．４３５４ｍｍ，降幅为２９．８％，将残差与趋势面叠加可得到相应的降水量等值线图（图２）。
显然，当变量的空间分布存在明显区域化特征时参数反演效果更为显著。
因此，对原始数据进行某种可逆变换，尽量消除趋势性因素，对提高精度是有帮助的。
参数反演的效果是显著的，也足以说明在克里格插值中变异函数分析的重要性。
（４）由于根据实际资料计算出的半方差云图点群较散乱，用曲线拟合方法得到的参数，与克里格交叉检验结果是不一致的，有时差距较大。
采用未经认真分析的模型及参数常常会得到比直接使用ＡＥ—Ｐ（０，ｌ，１）模型更差的结果。
著名软件Ｓｕｒｓｆｅｒ将ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型设为默认模型是有道理的，因为在多数情况下它会得到一个相对较好的结果。
而ＡＥ—Ｐ（０，ｌ，１）恰与ＣＥ—Ｐ（０，ｌ，１）完全相同，这也可能是ＣＥ模型优于ＡＥ模型的一个佐证。
图２降水量等值线图（５）对于一个较大的分析范围而言，变异函数在空间上的分布是不同的，因此我们常常得到和使用的变异函数是在分析范围内一个均化的模型，这也使变异函数的空间分布分析变得更加困难。
土壤属性空间预测中变异函数套合模型的表达与参数估计
0
引
言
1
变异函数的理论模型
地统计学及其各种 Kriging 方法作为目前进行空间变 量插值或随机模拟的主要手段， 已广泛应用于地质、 矿山、 土壤、生态等涉及自然资源分布的研究领域。变异函数作 为反映区域变量空间结构特征的工具，在地统计学中占有 非常重要的地位。而理论变异函数模型是否能够精确地反 映由采样点提供的区域变量的空间特征，是提高空间评估 精度和可靠性的关键。关于理论变异函数的参数拟合，国 内外学者就拟合方法、精度和稳健性做了多方面的研究， 目前主要的方法有最小二乘法、加权回归多项式、线性规 划法、目标规划法等[1-6]。2006 年杨勇等将遗传算法用于 变异函数参数估计中[7]，中国也有学者做了类似研究[8-10]， 但上述参数拟合方法大多着眼于单个的球状模型，欠缺对 其他模型及多尺度套合模型的考虑。而在实际研究中，有 时从采样点所得的变异函数值分布特征只用一种模型难 以表达，特别是在大区域（样点密）、多尺度研究中。本 文阐述了理论变异函数套合结构模型在计算机中的规范 表达形式，用遗传算法对模型中需要确定的参数进行估 计，最终得到规范统一（即与理论模型类型无关）的变异 函数理论模型表达及参数估计流程。
第6期
杨 勇等：土壤属性空间预测中变异函数套合模型的表达与参数估计 表1
87
为了提高计算效率和估值准确性，尽量缩小待估参 数的取值范围是关键，提供了可视化的经验半方差散点 图，对比图中各段点位的分布趋势与单一模型的标准形 状可判断模型类型，而且从图中也可容易地获取各模型 基台值和变程的取值范围。综上所述，基于遗传算法的 套合模型参数估计计算步骤如图 1 所示。
第 27 卷 2011 年
第6期 6月
农 业 工 程 学 报 Transactions of the CSAE
反演奇异模型的参数估计的通用公式
反演奇异模型的参数估计的通用公式
陶本藻;张朝玉
【期刊名称】《大地测量与地球动力学》
【年(卷),期】2004(24)3
【摘要】将大地测量反演问题中的线性模型，综合为一般模型，称为反演奇异模型。
运用最小二乘统一理论给出了反演奇异模型的参数和单位权方差通用估计公式，给出了这种模型的验前验后方差一致性检验方法。
讨论了反演参数估计的有关问题。
【总页数】4页(P7-10)
【作者】陶本藻;张朝玉
【作者单位】武汉大学测绘学院地球空间环境与大地测量教育部重点实验室，武汉430079
【正文语种】中文
【中图分类】P207
【相关文献】
1.基于奇异值分解的Box-Jenkins模型参数估计算法 [J], 郭建军;张端金;张中华
2.基于奇异值分解的灰色模型参数估计 [J], 毛树华
3.带随机约束的奇异线性模型的加权混合两参数估计 [J], 左卫兵;罗雅松;;
4.奇异线性模型参数估计的相对效率 [J], 刘谢进
5.带随机约束的奇异线性模型的加权混合两参数估计 [J], 左卫兵;罗雅松
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空间反演变换及性质
空间反演变换及性质
张水胜;李祥林;刘彩平
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2000(020)001
【摘要】给出了空间反演变换的概念，以及空间反演变换的一些基本性质。
【总页数】2页(P7-8)
【作者】张水胜;李祥林;刘彩平
【作者单位】齐齐哈尔大学;齐齐哈尔大学
【正文语种】中文
【中图分类】O185.1
【相关文献】
1.傅里叶变换证明拉普拉斯变换的性质 [J], 吴彦强;
2.空间反演变换的解析分析 [J], 刘彩平
3.线性变换与其伴随变换的性质讨论 [J], 王秀芳
4.配极变换诱导的直射变换的若干性质 [J], 朱伟义
5.相干光通过空间反演对称介质作用后的压缩性质 [J], 李洪才;陈翔
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
具奇异或退化性质的二阶抛物型方程的系数反演问题
具奇异或退化性质的二阶抛物型方程的系数反演问题具奇异或退化性质的二阶抛物型方程的系数反演问题引言：二阶抛物型方程是数学中一个重要的方程类型，在各个领域都有广泛的应用。
而具有奇异性或退化性质的二阶抛物型方程则是这一方程类型中的特殊情况，其解析解往往不容易找到，而系数反演问题则是其中一项重要的研究内容。
本文将重点探讨具有奇异或退化性质的二阶抛物型方程的系数反演问题，并通过实例来阐述该问题的研究意义和方法。
一、二阶抛物型方程的基本形式二阶抛物型方程一般的基本形式为：$$Lu = -\nabla \cdot (a\nabla u) + b \cdot \nabla u + c u + f$$其中，$L$为二阶偏微分算子，$a$为系数矩阵，$b$和$c$为向量，$f$为源项。
方程中各项的具体形式和性质决定了方程的类型和特点。
二、奇异或退化性质的二阶抛物型方程奇异或退化性质的二阶抛物型方程是指方程中的系数矩阵$a$或向量$b$在某些条件下会出现奇异或退化的情况。
在这种情况下，方程的解析解通常不存在或很难找到，需要通过数值方法来求解。
奇异或退化性质的方程具有独特的性质和特点，其研究对于理解复杂问题和解决实际应用具有重要意义。
三、具有奇异性质的二阶抛物型方程的系数反演问题在实际问题中，往往只能通过观测到的数据来反推方程中的未知参数，这就是系数反演问题。
对于具有奇异性质的二阶抛物型方程，系数反演问题更加复杂。
在这种情况下，由于方程解的特殊性质，很难直接应用传统的反演方法来解决。
针对具有奇异性质的二阶抛物型方程的系数反演问题，研究者们提出了许多有效的方法和算法。
其中最常用的方法是正则化方法，通过对方程进行适当的正则化处理，使其变为非奇异性方程，进而进行反演计算。
另外一种常用方法是基于采样理论的反演方法，通过选取合适的观测数据，并应用采样理论中的方法，估计未知参数的值。
这些方法在具有奇异性质的二阶抛物型方程的系数反演问题中取得了一定的研究成果。
七年级下册变异模型知识点
七年级下册变异模型知识点随着数学学习的深入，变异模型作为数学的一个重要知识点开始逐渐引起大家的重视。
在各类考试和应用中，变异模型都有重要的作用。
本文将为大家梳理七年级下册的变异模型相关知识点，帮助大家更好地掌握数学知识。
一、变异模型的定义变异模型是指通过一系列变化来推导出一般规律的数学问题。
它通常会使用代码、表格、图表等形式来展示数据的规律性，并通过观察这些数据的变化来寻找规律。
二、变异模型的常见类型1. 增量型变异模型增量型变异模型是指随着时间、人数、次数等因素的变化，数据也会相应变化。
它通常会使用曲线图、折线图等形式来展示数据的变化规律，通过观察数据点之间的连线来找到规律。
例如，在小明上学的路程中，他每分钟行走的距离会不断变大，表现出增量性。
通过观察小明每分钟行走的距离与时间的对应关系，我们可以得到速度的变化规律。
2. 比例型变异模型比例型变异模型是指当某一变量发生变化时，其他变量的变化也跟着发生相应的变化。
它通常会使用表格、图表等形式来展示变量之间的关系，并依此推导出一般规律。
例如，在一个等比数列中，每一项与其前一项的比值都相等。
通过观察这个比值，并根据等比数列的定义，我们可以推导出等比数列的一般项公式。
3. 多元型变异模型多元型变异模型是指存在多个变量之间相互影响的情况。
它通常会使用方程组、矩阵等形式来表达多个变量之间的关系，通过求解方程组或矩阵，得到变量之间的对应关系。
例如，在解决工程问题时，需要考虑到各种因素的影响，如材料、设计、施工等。
通过建立相应的方程组或矩阵，并求解得到未知量的值，可以解决这些问题。
三、如何掌握变异模型1. 多练习变异模型需要通过大量的练习来掌握，练习中还需要注意实际问题的分析，尤其是对于多元型变异模型的问题，需要善于转化为方程组或矩阵的形式，再通过求解得出答案。
2. 熟悉数学符号和概念在应用变异模型的过程中，需要熟悉各种符号和概念的含义，如等比数列、比例系数、方程组、矩阵等。
反演原理及公式介绍
第一章反演理论第一节基本概念一．反演和正演1．反演反演是一个很广的概念，根据地震波场、地球自由振荡、交变电磁场、重力场以及热学等地球物理观测数据去推测地球内部的结构形态及物质成分，来定量计算各种有关的物理参数，这些都可以归结为反演问题。
在地震勘探中，反演的一个重要应用就是由地震记录得到波阻抗。
有反演，还有正演。
要正确理解反演问题，还要知道正演的概念。
2．正演正演和反演相反，它是对一个假设的地质模型，给定某些参数（如速度、层数、厚度）用理论关系式（数学模型）推导出某种可测量的量（如地震波）。
在地震勘探中，正演的一个重要应用就是制作合成地震记录。
3．例子考虑地球内部的温度分布，假定地球内部的温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz正演：给定a和b，求不同深度z的对应温度T(z)反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b。
二．反演问题描述和公式表达的几个重要问题1．应用哪种参数化方式——离散的还是连续的？2．地球物理数据的性质是什么？观测中的误差是什么？3．问题能不能作为数学问题提出，如果能够，它是不是适定的？4．对问题有无物理约束？5．能获得什么类型的解，达到什么精度？要求得到近似解、解的范围、还是精确解？6．问题是线性的还是非线性的？7．问题是欠定的、超定的、还是适定的？8．什么是问题的最好解法？9．解的置信界限是什么？能否用其它方法来评价？第二节反演的数学基础一．解超定线性反问题1．简单线性回归可利用最小平方法确定参数a 、b 使误差的平方和最小。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑-∑∑∑-∑=-=∑∑-=22)()(x x n y x xy n b x b y n x b y a （1-2-1） 拟合公式为：bx a y+=ˆ （1-2-2） 该方法的公式原来只适用于解超定问题，但同样适用于欠定问题，当我们有多个参数时，称为多元回归，在地球物理领域广泛采用这种方法。
此过程用矩阵形式表示，则称为广义最小平方法矩阵方演。
空间变异函数的数学模型及参数反演_张旭臣
各向同性 , 故 c0 (θi, j)=c0 , 则有 :
γ(hi, j)=c0 +cθi, j fa(hθi,i,jj)
(4)
为进一 步 简化 , 假设 c(θi, j)呈 各 向 同 性 , 即
c(θi, j) = cm, a(θ)服 从 椭 圆分 布 , 且 a(θi, j) =
amρ(θi, j, α, b), 则有 :
可以采用多元最优化算法 , 来达到参数反演的目的 。
下面分常用的四种 函数类型分别 列出其标准
化变异函数的 AE模型和 CE模型的具体型式 :
3.1.1 幂函数 (Power)
AE-P模型 :
γ0 (hi, j)=ρτ(θi, j1, α, b)
hi, j
τ
,
aL
0
<τ<2
(15)
CE-P模型 :
γ0 (hi, j)=
18期
张旭臣 , 等 :空间变异函数的数学模型及参数反演
4 37 1
1.2 空间变异函数的数学模型
1.2.1 椭圆分布函数
变量的各向异性通常用如图 1的一个椭圆来描
述 。 椭圆的长半轴长度为 1, 椭圆的短半轴长度为 b
(b≤1), 并称 b为 各向异性比率 。 α为椭圆的长轴
与 x坐 标 轴 (+方 向 )的 夹角 , 称 为长 轴 方 位 角 (0° ≤ α≤ 180°)。 则椭圆上 θ方向上的点 P到椭
方程组的一个重要性质 。
3 空间变异函数参数反演与应用
3.1 变异函数的参数反演方法 通常我们 根据样本的半方 差图通过曲线 拟合
的方式来确定变异函数的类型与参数 , 并应用于克 里格 (Kriging)插值 。 但由于变 异函数点群比 较散
随机反演基本原理和流程
提纲
一、概述 二、随机模拟、随机反演的基本原理 三、随机反演基本流程
概述
基于实现方式
基于反褶积的反演方法：包括基于地层反褶积的道积分、递 归、广义线性等反演方法；基于最大似然反褶积的稀疏脉冲 反演方法;基于最大后验概率准则算法反褶积的模拟退火等。 基于波动方程的反演：Born反散射。 基于随机过程的反演：随机反演、随机模拟等。 基于特征分析的反演：特征反演、神经网络反演等。 其它：混沌反演等
利用拉格朗日乘数法
n
i 1
(xi
xj
)i
n
(x0
xj
),
j
1,...n
i 1
i 1
γ为变差函数，通过求解上述方程，得到λ的解，计 算出差值。 同时可以计算出方差值：
n
2 k
i (xi x0 ) (xi x0 )
i 1
克里金估计方法
随机模拟技术建立在克立金插值方法的基础之上的，不同的随机模拟技术往往 采用了不同的克立金技术。需要了解各种克立金技术的特点（Jason）。
三、随机反演基本流程
随机模拟、随机反演的基本原理:
以地质框架模型、测井和地震资料为基础，以层为单位，利用储层/油气藏 参数的空间分布规律和空间相关性进行随机模拟/随机反演，获得一组等概率 的储层/油气藏参数模型。
目的：
·生成既满足测井资料和地质统计特性，又满足地震资料的储层/油气藏参 数模型。
• 更准确地估算各种参数的不确定性，提供参数模拟的可靠性评价。
• Statmod-Analysis 利用已知资料分析确定储层/油气藏参数的空间分布规律（直方图）和
空间相关性(变异函数)。
• Statmod-Modelling 用不同的地质统计模拟技术实现储层/油气藏参数的随机模拟或随机反演。
地球物理学中的反演问题
地球物理学中的反演问题1、介绍物理科学的一个重要的方面是根据数据对物理参数做出推断。
通常，物理定律提供了计算给定模型的数据值的方法，这就被称为“正演问题”，见图-1。
在反演问题中，我们的目标是根据一组测量值重建物理模型。
在理想情况下，存在一个确定的理论规定了这些数据应该怎样转换从而重现该模型。
从选择的一些例子来看，这样一个存在的理论假定了（我们）所需要的无限的、无噪声的数据是可以获得的。
在一个空间维度中，当所有能量的反射系数已知时，量子力学势能可以被重建[Marchenko,1955; Brurridge,1980]。
这种手法可以推广到三维空间[Newton,1989]，但是在那样的情形下要求有多余数据组，其中的原因并不是很理解。
在一条一维的线上的质量密度可以通过对它的所有本征频率的测量来构建[Borg,1946]，但是因为这个问题的对称性，因而只有偶数部分的质量密度可以被确定。
如果（地下的）地震波速只和深度有关，那么根据地震波的距离，运用阿贝尔变换，这个速度可以通过测定震波的抵达时间来精确构建[Herglotz,1907;Wiechert,1907]。
从数学上看，这个问题和构建三维空间中的球对称量子力学势是相同的[Keller et al.,1956]。
然而，当波速随着深度单调增加时，Herglotz-Wiechert的构建法只能给出唯一解[Gerver and Markushevitch,1966]。
这种情况和量子力学是相似的，在量子力学中，当电势没有局部最小值时，径向对称势只能被唯一建立[Sabatier,1973]。
（量子力学相关概念不熟悉，翻译起来有点坑~~）图-1尽管精确非线性反演法在数学表达上是美妙的，但它们的适用性是有限的。
原因有很多。
第一，精确的反演法通常只在理想状态下适用，这在实际中可能无法保持。
比如，Herglotz-Wiechert反演假定了地下的波速只依赖于深度并且随着深度单调增加。
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４３７４科学技术与工程１０卷４结论
（１）根据克里格方程组的重要性质，可以将优
选参数由５维降至３维。
以克里格交叉检验精度为
目标函数的变异函数参数反演方法是可行的，使用
反演参数可以有效减小克里格交叉检验方差。
由
于评价面非常复杂，因此，常常需要在精度与计算
复杂度之间进行权衡。
实例证明ＧＡ算法非常
有效。
（２）以椭圆分布函数为基础，分别导出了变程
异性和拱高各向异性的两类标准变异函数的数学
模型，ＡＥ模型和ＣＥ模型。
表１、表２的实例计算结果表明：本文导出的ＣＥ模型在表中所列情况下均优于目前广泛使用的ＡＥ模型。
（３）由于降水量的空问分布存在明显趋势性，直接进行分析时幂函数模型表现最好（表１），其中ＣＥ—Ｐ模型交叉检验均方差比ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型降低了２．９８６５ｍｍ，降幅为１１．７％。
将数据进行趋势面分离后，残差变量的空间分布呈现出明显的区域化特征，此时球状函数模型表现最好（表２），其中ｃＥ—ｓ模型交叉检验均方差比ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型降低了７．４３５４ｍｍ，降幅为２９．８％，将残差与趋势面叠加可得到相应的降水量等值线图（图２）。
显然，当变量的空间分布存在明显区域化特征时参数反演效果更为显著。
因此，对原始数据进行某种可逆变换，尽量消除趋势性因素，对提高精度是有帮助的。
参数反演的效果是显著的，也足以说明在克里格插值中变异函数分析的重要性。
（４）由于根据实际资料计算出的半方差云图点群较散乱，用曲线拟合方法得到的参数，与克里格交叉检验结果是不一致的，有时差距较大。
采用未经认真分析的模型及参数常常会得到比直接使用ＡＥ—Ｐ（０，ｌ，１）模型更差的结果。
著名软件Ｓｕｒｓｆｅｒ将ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型设为默认模型是有道理的，因为在多数情况下它会得到一个相对较好的结果。
而ＡＥ—Ｐ（０，ｌ，１）恰与ＣＥ—Ｐ（０，ｌ，１）完全相同，这也可能是ＣＥ模型优于ＡＥ模型的一个佐证。
图２降水量等值线图
（５）对于一个较大的分析范围而言，变异函数在空间上的分布是不同的，因此我们常常得到和使用的变异函数是在分析范围内一个均化的模型，这也使变异函数的空间分布分析变得更加困难。
当然，如果有足够的观测点我们也可以优选出分析范围内任意局部区域的变异函数，但是如何运用是需要进一步研究的问题。
参考文献
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６Ｇｏｌｄｅｎｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｉｎｃ．ＳｕｒｆｅｒＤｅｍｏＶｅ璐ｉｏｎ９．２００９
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８张征，解明曙王毅力，等．环境模拟与评价中多变量空间结构模型及应用．北京林业大学学报。
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９王家华，高海余．利用循环交叉验证法确定变异函数．西安石油．学院学报，１９９２；７（４）：３一
１０张晖，吴斌．余张国．引入模拟退火机制的新型遗传算法．
电子科技大学学报，２００３；３２（１）：３９—４３。