高中数学二次函数知识点总结
二次函数的性质知识点
二次函数的性质知识点二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学和几何学中都有广泛应用。
了解二次函数的性质是理解和掌握这一概念的关键，下面将介绍二次函数的一些基本性质知识点。
1. 二次函数的定义二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
2. 顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点称为顶点。
二次函数的顶点坐标可通过公式x = -b/2a和y = f(-b/2a)求得。
3. 对称轴二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程可通过公式x = -b/2a求得。
4. 开口方向当二次函数的参数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
5. 零点和方程二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。
一元二次方程的解法可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。
6. 判别式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断方程的根的情况：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实根；- 当D < 0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
7. 函数的增减性和极值点二次函数的增减性与a的正负有关。
当a > 0时，函数在对称轴左侧增大，右侧减小；当a < 0时，函数在对称轴左侧减小，右侧增大。
函数的极值点即为顶点。
8. 函数的图像与平移通过调整二次函数的参数，可以实现图像的平移。
参数a决定抛物线的开口方向，参数b决定了对称轴的位置，参数c则决定了抛物线的顶点位置。
9. 辅助线与焦点二次函数的图像与抛物线相关的辅助线包括准线、焦点和准线上的直径。
焦点的横坐标是对称轴上顶点的横坐标的一半，纵坐标可以根据参数a的值求得。
高中数学二次函数知识点总结
高中数学二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，本文将对二次函数的知识点进行总结和概述。
一、基本概念1. 二次函数的标准形式是 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数，$a \neq 0$。
2. 二次函数的图像是抛物线，开口方向由 $a$ 的符号决定。
正值 $a$ 的函数开口向上，负值 $a$ 的函数开口向下。
3. 二次函数的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$。
4. 零点是指函数取值为 $0$ 的横坐标，可以通过求解二次方程$ax^2 +bx + c = 0$ 来确定。
二、性质和特点1. 对称轴是指二次函数图像的对称轴，由顶点确定。
2. 函数的奇偶性由系数 $a$ 的奇偶性确定。
奇函数关于原点对称，偶函数关于 $y$ 轴对称。
3. 二次函数的最值由 $a$ 的符号决定。
对于开口向上的函数，最小值是 $f(-\frac{b}{2a})$；对于开口向下的函数，最大值是 $f(-\frac{b}{2a})$。
三、变形与图像的平移、翻折1. 二次函数的变形包括对 $a$、$b$、$c$ 进行系数的调整。
2. 平移：对函数图像进行上下平移或左右平移。
水平平移$h$ 个单位：$f(x) \to f(x - h)$；垂直平移 $k$ 个单位：$f(x) \to f(x) + k$。
3. 翻折：对函数图像进行关于 $x$ 轴、$y$ 轴或原点的翻折。
四、相关定理和公式1. 零点定理：二次函数有 $0$、$1$ 或 $2$ 个零点，取决于判别式的值。
判别式为 $b^2 - 4ac$。
2. 平方差公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
3. 配方法解二次方程：当判别式大于等于 $0$ 时，可以使用配方法解二次方程。
4. 根与系数的关系式：设 $x_1$ 和 $x_2$ 是二次函数的两个根，则有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 和 $x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将对二次函数的定义、性质、图像及其相关内容进行总结。
一、二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a 表示二次项的系数，b 表示一次项的系数，c 表示常数项。
二次函数的定义域为全体实数集。
二、二次函数的性质1. 凹凸性：二次函数的凹凸性取决于a 的正负性。
当a > 0 时，函数图像开口向上，为凹函数；当 a < 0 时，函数图像开口向下，为凸函数。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是 x = -b / (2a)。
对称轴是图像的中心线，函数图像关于对称轴对称。
3. 零点：二次函数的零点是指函数值等于零的 x 值。
二次函数的零点可以有 0、1 或 2 个。
当判别式 D = b^2 - 4ac > 0 时，有 2个不同的实零点；当 D = 0 时，有一个实零点；当 D < 0 时，没有实零点。
4. 最值：当二次函数的开口向上时，函数的最小值为 f(-b / (2a)) = c - (b^2 - 4ac) / (4a)；当二次函数的开口向下时，函数的最大值为 f(-b / (2a)) = c + (b^2 - 4ac) / (4a)。
三、二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其开口方向、顶点、对称轴和零点等特征在前面已经介绍过。
关于图像的绘制，可以根据以下步骤进行：1. 确定顶点：顶点的横坐标为 -b / (2a)，纵坐标为 f(-b / (2a))。
2. 确定对称轴：对称轴的方程为 x = -b / (2a)。
3. 确定开口方向：根据 a 的正负性可以确定开口方向。
4. 确定零点：根据判别式 D 的值可以确定零点的情况。
除了以上内容，二次函数还与一些相关概念有密切联系：1. 判别式：二次函数的判别式 D = b^2 - 4ac 可以用来判断二次函数的零点情况。
二次函数知识点高三
二次函数知识点高三一、概念和基本形式二次函数是指具有形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为常数，且a不等于0。
其中，x为自变量，y为因变量。
二次函数的图像为抛物线。
二、顶点坐标和轴对称性质1. 顶点坐标：二次函数的图像在平面直角坐标系中的顶点坐标为（h，k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为抛物线的最低点（或最高点）的纵坐标。
2. 轴对称性质：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
三、开口方向和开口大小1. 开口方向：由二次函数的系数a的取值决定。
- 当a > 0时，抛物线开口向上；- 当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 开口大小：由二次函数的系数a的绝对值决定。
- 当|a| > 1时，抛物线开口较为狭窄；- 当0 < |a| < 1时，抛物线开口较为宽阔；- 当|a| = 1时，抛物线为特殊情况，开口方向上等于1。
四、零点（根）和交点1. 零点（根）：二次函数零点指的是使得函数值为0的自变量值，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
- 若方程有两个不同实数解，则二次函数与x轴有两个不同交点；- 若方程有两个相等实数解，则二次函数与x轴有一个重复交点；- 若方程无实数解，则二次函数与x轴没有交点。
2. 交点：二次函数与y轴的交点为(0，c)。
五、对称轴和焦点1. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线，对称轴方程为x = h。
2. 焦点：二次函数的焦点是抛物线的最低点（或最高点），焦点坐标为（h，k + 1/4a）。
六、求解二次函数图像与其他函数的交点1. 与直线的交点：将二次函数与直线的方程相等，解方程即可求得交点的横坐标，进而带入二次函数中得到纵坐标。
2. 与其他二次函数的交点：将两个二次函数的方程相等，解方程即可求得交点的横坐标，进而带入任意一个二次函数中得到纵坐标。
七、二次函数的应用1. 建模问题：二次函数可以用于对现实生活中的一些问题进行建模，如抛射问题、物体运动轨迹的描述等。
二次函数复习知识点总结
二次函数复习知识点总结二次函数是高中数学中常见且重要的一个内容。
它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在二次函数中，x的次数最高为2，因此该函数的图像是一个抛物线。
以下是二次函数的复习知识点总结。
一、基本概念：1. 定义：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.首项系数：a是二次函数中x^2的系数，决定了抛物线的开口方向。
-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
3.y-截距：c是二次函数的常数项，表示抛物线与y轴的交点的纵坐标。
4. 零点：二次函数的零点是使得函数值为0的x值。
可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来找到零点。
二、性质和图像的特征：1.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的对称轴，可以通过求解x=-b/2a来找到对称轴的方程。
2.最值：当抛物线开口向上时，抛物线的最小值为对称轴的纵坐标；当抛物线开口向下时，抛物线的最大值为对称轴的纵坐标。
3. 判别式：判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况。
-当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；-当Δ=0时，方程有两个相等实数根；-当Δ<0时，方程没有实数根。
4.开口方向：抛物线开口的方向由首项系数a决定。
5.图像：二次函数的图像是一个抛物线，可以通过首项系数a的正负和抛物线的其他特征来确定图像的形状、方向和位置。
三、函数的变换：对于二次函数y=ax^2+bx+c，可以进行水平平移、垂直平移、水平缩放等操作来得到其他的二次函数。
1. 水平平移：将函数y=ax^2+bx+c的图像沿x轴平移h个单位得到函数y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
平移后的抛物线的顶点坐标为(h, k)，其中k是原抛物线的纵坐标。
2. 垂直平移：将函数y=ax^2+bx+c的图像沿y轴平移k个单位得到函数y=a(x^2+bx+c)+k。
高中数学二次函数知识点
高中数学二次函数知识点一、基本概念二次函数是指关于自变量的二次多项式函数，通常表达为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是定值且a≠0。
二、图像及特征二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的平滑曲线，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
当a>0时，曲线在对称轴上方存在最小值；当a<0时，曲线在对称轴下方存在最大值。
三、函数变形及性质1. 平移：将二次函数y=ax²+bx+c沿x 轴平移h个单位，得到y=a(x-h)²+b(x-h)+c2. 垂直伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿y轴纵向伸缩k倍，得到y=kax²+kbx+c3. 水平伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿x轴横向伸缩k倍，得到y=a(x/k)²+b(x/k)+c4. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a5. 零点：二次函数的零点为y=0的解，即ax²+bx+c=0的解，其判别式为△=b²-4ac。
当△>0时，有两个不同的实数零点；当△=0时，有一个实数零点；当△<0时，无实数零点。
6. 解析式：y=ax²+bx+c的解析式为y=a(x+h)²+k四、常见类型1. 线性函数：当a=0、b≠0时，二次函数化为y=bx+c，其图像为一直线。
2. 完全平方型：当△=0时，二次函数化为y=a(x+h)²+k，其图像为一个顶点在对称轴处的抛物线。
3. 拉伸型：当a>0、|a|<1时，二次函数的图像沿y轴纵向收缩；当a>1时，二次函数的图像沿y轴纵向伸展。
4. 正比例型：当a>0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于原点的抛物线。
5. 负比例型：当a<0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于y轴的抛物线。
高中二次函数知识点总结
高中二次函数知识点总结高中二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，它具有许多重要的性质和特点，并且在实际问题中具有广泛的应用。
下面对高中二次函数的知识点进行总结，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
一、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负值决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的对称轴：二次函数的图像的对称轴是通过顶点垂直于x轴的直线。
对称轴方程为x = -b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是指使函数取值为0的x的取值。
零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
6. 二次函数的判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点个数和图像与x轴的交点情况。
当Δ>0时，函数有两个不同的实根；当Δ=0时，函数有两个相同的实根；当Δ<0时，函数没有实根。
二、二次函数的基本变形1. 平移：二次函数可以进行平移变换，记作f(x) = ax² + bx + c + h，其中h为平移的横向距离，可正可负。
2. 伸缩：二次函数可以进行纵向伸缩变换，记作f(x) = a(d²x)+ b(d²x) + c，其中d为纵向的伸缩比例，可正可负。
3. 翻转：二次函数可以进行翻转变换，记作f(x) = -ax² - bx - c，其中函数的性质和图像与原函数相反。
三、二次函数的性质和特点1. 极值：二次函数的最值由开口方向决定。
当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
高中二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数,叫，，是常数,0做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a≠,而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h=-的性质：（左加右减）()=-+y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左加右减,上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，（若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时,y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时,y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ,b ,c 为常数,0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ,h ,k 为常数,0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母的x二次函数；下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如： 如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式。
高中数学中的二次函数知识点总结
高中数学中的二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要且常见的内容之一。
它的形式可以用一般式和顶点式表示，具有许多特性和性质。
下面将对二次函数的基本定义、图像特征、方程解法以及应用等知识点进行总结。
一、基本定义二次函数的一般式表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而a不等于0。
我们称y = ax^2 + bx + c为二次函数的标准形式。
在这个形式中，二次项系数a决定了函数的凹凸性质，常数项c则是函数图像与y轴的纵截距。
二、图像特征1. 抛物线的开口方向：- 当a > 0时，抛物线开口向上，形状类似于一个U型；- 当a < 0时，抛物线开口向下，形状类似于一个倒置的U型。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过顶点公式(-b/2a, f(-b/2a))求得，其中f(x)表示二次函数的值。
3. 对称轴：对称轴是垂直于x轴的一条直线，它通过二次函数的顶点。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点或根。
求二次函数的零点可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来实现。
使用配方法、求根公式或图像法等方法，可以得到二次函数的零点。
三、方程解法解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 通常有以下三种方法：1. 配方法：当二次方程的系数较为复杂时，可以使用配方法将其化简为完全平方的形式，进而求解方程。
2. 求根公式：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。
3. 利用图像法：通过绘制二次函数的图像，可以大致估算出它的零点的位置。
四、应用二次函数在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 物体运动的模拟：二次函数可以模拟抛物线形状的物体运动，如抛体运动的轨迹、炮弹的飞行轨迹等。
2. 经济学和金融学中的应用：二次函数可以描述成本、利润、市场需求等经济学和金融学中的概念。
二次函数的所有知识点
二次函数的所有知识点二次函数是高中数学中重要的内容之一，它涉及到许多重要的知识点。
下面我将分享一些关于二次函数的重要知识点。
1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值会使函数开口向上，负值会使函数开口向下；b决定了二次函数的位置，正值会使函数向左移动，负值会使函数向右移动；c是二次函数的常数项，它决定了二次函数与y轴的交点。
2. 顶点和对称轴：二次函数的顶点是函数图像的最高点（如果开口向上）或最低点（如果开口向下），顶点的坐标可以通过公式x = -b/(2a)和y = f(-b/(2a))计算得到。
对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，它可以通过公式x = -b/(2a)获得。
3. 零点和因式分解：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是方程f(x) = 0的解。
我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)来求解二次函数的零点。
另外，二次函数也可以通过因式分解的方式求解零点，即将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式。
4. 判别式与函数图像的性质：在求解二次函数的零点时，判别式D = b^2 - 4ac起到了重要的作用。
当判别式为正时，二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当判别式为零时，二次函数有一个实根，图像与x轴有一个交点；当判别式为负时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。
通过判别式可以判断二次函数的零点个数和函数图像的性质。
5. 最值与增减性：二次函数的最值可以通过顶点坐标得到，如果二次函数开口向上，则最小值为顶点的纵坐标；如果开口向下，则最大值为顶点的纵坐标。
关于函数的增减性，二次函数的增减性取决于a的正负性，当a > 0时，二次函数是上升的，当a < 0时，二次函数是下降的。
6. 对称性与轴对称图形：二次函数具有轴对称性，即关于对称轴对称。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。
一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。
2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。
- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。
二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。
- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。
3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。
- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。
2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。
- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。
四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。
2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。
3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。
4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
二次函数知识点总结大全
二次函数知识点总结大全二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握了二次函数的相关知识，能够解决很多与实际问题相关的数学计算。
下面是二次函数的知识点总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：一个二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a表示二次项的系数。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
3.二次函数的顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点，记为(Vx,Vy)。
4.二次函数的轴对称性：二次函数的图像关于顶点所在的直线对称。
5.二次函数的零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点。
6.二次函数的平移：二次函数的图像在平面上的平移。
二、二次函数的图像1.抛物线开口的方向：当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 求顶点：对于形如y=ax²+bx+c的二次函数，顶点坐标为(Vx, Vy)，其中Vx=-b/2a，Vy=f(Vx)。
3.确定抛物线的图像：已知顶点和另一点，可以确定一个抛物线的图像。
4.求零点：二次函数的零点可以通过解一元二次方程求得。
三、二次函数的性质1. 平移性质：对于二次函数y=ax²+bx+c，平移后的函数是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为平移后的抛物线的顶点。
2.对称性质：二次函数的图像关于顶点对称。
3.零点性质：一个二次函数最多有两个零点，可以通过求解一元二次方程求得。
4.范围性质：对于抛物线开口朝上的二次函数，其值域为[y,+∞)；对于抛物线开口朝下的二次函数，其值域为(-∞,y]。
四、二次函数的解析式1. 标准型：形如y=ax²+bx+c的二次函数。
2.顶点式：形如y=a(x-h)²+k的二次函数。
3.概率型：形如y=a(x-p)(x-q)的二次函数。
五、二次函数的应用1.最值问题：二次函数的最值可以通过求顶点得到。
二次函数重要知识点归纳
二次函数重要知识点归纳二次函数是高中数学中的重要内容，下面是关于二次函数的重要知识点的归纳。
1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
2.二次函数的图象特点：二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由二次函数的系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或最高点（当a<0时）。
顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
4.二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图象与x轴的交点。
可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得二次函数的零点。
6. 二次函数的判别式：对于二次函数ax² + bx + c，判别式的值为D = b² - 4ac。
判别式的值可以用来判断二次函数的零点情况。
当D > 0时，二次函数有两个不相等的实数根；当D = 0时，二次函数有两个相等的实数根；当D < 0时，二次函数没有实数根。
7.二次函数的最值：当a>0时，二次函数的最小值为函数的顶点值；当a<0时，二次函数的最大值为函数的顶点值。
可以通过求解二次方程f'(x)=0来找到最值点。
8. 二次函数的平移：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，横向平移h个单位和纵向平移k个单位后的函数为f(x-h) + k。
9. 二次函数的因式分解：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，若可以因式分解成f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)的形式，则x₁和x₂为f(x)的零点。
10. 二次函数的导数：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。
二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。
2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。
三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。
2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。
四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。
2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。
3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数的极值即为顶点值。
4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。
5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。
2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。
六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。
2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。
二次函数的知识点归纳
二次函数的知识点归纳二次函数是高中数学中的一个重要的内容，大致包括以下几个方面的知识点：一、二次函数的定义及性质：1.二次函数的定义：二次函数是指一个自变量的平方是唯一的函数表达式。
2. 二次函数的普通形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
3.二次函数的图象特点：二次函数的图象为开口向上或向下的抛物线，其顶点是最低点或最高点，对称轴为x=-b/2a。
4.二次函数的对称性：二次函数关于对称轴对称。
5.二次函数的奇偶性：若a=0，则二次函数为一次函数，是奇函数；若a≠0，则二次函数既有奇偶函数性质，对于a>0是偶函数，对于a<0是奇函数。
二、二次函数的图象及相关概念：1.抛物线的几何性质：对称性、顶点、准线、焦点等。
2.顶点坐标的求法：通过对称轴的坐标可以求得顶点的坐标。
3.准线与焦点：对于横轴为x轴的抛物线，准线为y=c-b^2/(4a)，焦点为(a,c-1/(4a))；对于纵轴为y轴的抛物线，准线为x=c-b^2/(4a)，焦点为(c-1/(4a),a)。
4. 与坐标轴的交点：抛物线与$x=0$相交的点为$a$；与$y=0$相交的点为$x_1、x_2$，可以通过求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a求得。
三、二次函数的性质与求值：1.单调性：对于抛物线开口向上，那么在对称轴左侧，函数递减；在对称轴右侧，函数递增。
2.极值与最值：对于抛物线开口向上，函数的最小值为顶点的纵坐标；对于抛物线开口向下，函数的最大值为顶点的纵坐标。
3.零点：二次函数与$x$轴的交点为零点或根，可以通过求根公式得到。
4.方程的解：二次函数与$y$轴的交点称为方程的解，可以通过将函数的等于0进行求解得到。
四、二次函数的拟合与应用：1.拟合抛物线：根据已知的点坐标，可以通过构造方程组来确定二次函数，从而拟合出抛物线。
2.抛物线在生活中的应用：抛物线的形状在现实生活中有很多应用，如建筑设计中的拱门、喷泉的喷水形状等。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结二次函数是高中数学中重要的一部分，它在数学和实际问题中都起到了重要作用。
本文将对二次函数的基本定义、性质、图像、应用等方面进行总结和探讨。
一、基本定义和性质二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的定义域为全体实数集R。
1. 零点和根：二次函数f(x)的零点为方程f(x) = 0的解，也称为根。
根的个数与二次函数与x轴的交点数有关，最多有两个根。
2. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是x = -b/2a，对称轴上的点称为顶点，坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 函数增减性：当a>0时，二次函数开口向上，函数值随x增大而增大；当a<0时，二次函数开口向下，函数值随x增大而减小。
二、图像与性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状和位置与a、b和c的值有关。
1. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2. 平移与伸缩：对于一般形式的二次函数y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
当h>0时，图像向左平移；当h<0时，图像向右平移。
当a>1时，图像纵向收缩；当0<a<1时，图像纵向拉伸。
3. 最值：当a>0时，函数的最小值为k；当a<0时，函数的最大值为k。
三、应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1. 自由落体运动：假设一个物体自由下落，不考虑空气阻力的影响。
物体从起始位置开始下落，其高度随时间变化可以用二次函数进行建模。
通过分析二次函数的图像，可以求得物体的最大高度、落地时间等信息。
2. 抛物线的跳远问题：假设一个运动员以一定的速度和角度抛出物体，求物体的飞行轨迹和落地点。
通过建立二次函数模型，可以分析出物体的最远距离和落地点的位置。
3. 生活中的经济问题：二次函数也可以用来分析一些与经济有关的问题，例如成本与产量之间的关系、利润最大化问题等。
高中数学二次函数知识点总结
高中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a打算函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以打算开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的相互转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的.图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a打算抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同打算对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c打算抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其知识点涉及函数的定义、性质、图象、解析式、应用等。
下面是对二次函数知识点的总结。
一、函数的定义和基本性质：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c 为实数，a称为二次函数的系数。
①定义域：二次函数的定义域是任意实数集R。
②值域：对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，函数的值域是[0,+∞)，当a<0时，函数的值域是(-∞，0]，当a=0时，函数的值域是{c}。
③对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线x=-b/2a。
④顶点：二次函数的顶点是对称轴上的点(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
⑤开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二、图象和性质：①图象特点：二次函数在平面直角坐标系内的图象是一个抛物线。
②定点：二次函数开口向上时，顶点是最小点；二次函数开口向下时，顶点是最大点。
③与坐标轴的交点：二次函数与x轴的交点叫做零点，是方程ax^2+bx+c=0的解；与y轴的交点是函数的常数项c。
④单调性：二次函数的单调性受其系数a的符号影响。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
⑤零点与解析式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到，其中的判别式Δ=b^2-4ac可以判断二次方程的解的情况。
三、解析式和变形：①标准形式：二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c。
②顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
③因式分解式：当二次函数可因式分解时，可以表示成y=a(x-p)(x-q)的形式。
四、一些常见问题和解法：①如何确定二次函数的开口方向和顶点：若a>0，则开口向上，顶点为抛物线的最小值；若a<0，则开口向下，顶点为抛物线的最大值。
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二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx axx f （1）当0>a时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f ab 或或，],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f ab 或或类型3：αα>⇔∈>min)()(x f I x x f 恒成立对一切；αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(maxmin I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？变式1.若不等式02)1()1(2>+-+-x m xm 的解集是R，求m 的范围。
变式2：已知函数f (x )=lg (a x2+2x +1)．(I)若函数f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(II)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．变式3：已知函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．变式4：若f (x )=x 2+bx +c ，不论α、β为何实数，恒有f (sin α)≥0，f (2+cos β)≤0．(I)求证：b +c =－1；(II)求证：c ≥3；(III)若函数f (sin α)的最大值为8，求b 、c 的值．八．根与系数关系一元二次方程02=++c bx ax ，用配方法将其变形为：22244)2(aacb a b x -=+；ac b 42-= 来判断二次方程有几个解；abx x -=+21，acx x =21.；（韦达定理）。