高等代数北大版习题参考答案

第六章 线性空间

1.设,N M ⊂证明：,M

N M M

N N ==。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N

M ∈。又因

,M N M ⊂ 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论

哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ⊂所以M

N N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若

)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此

.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N

L ∈，得

),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂

于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N

L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M

L ∈且，x M

N ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N M

N ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以

（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）

即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量

乘法；

3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：

k a a =；

8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：

a b ab ⊕=，k k a a =；

解 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n n

x x ++--=（）（）。

2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为

f （x ）+

g （x ）=

h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以

f （A ）+

g （A ）=

h （A ），kf （A ）=d （A ）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有

'''（A+B ）

=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。 KA KA K A KA ''==-=-（）（）（）

，所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2

a -

b ）。对于数乘：

即),(),(),()(b a l b a k b a l k ⊕=+。

＝)])(2

)

1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-+

+++， ＝)2)1(,()2)1(,(2

2222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+

＝)2

)1(2)1(,(2122

2221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++

＝)2)1(2)1()(),((212122

221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++

＝))(2

)1()(),((2

2221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，

即=⊕),(),(2211b a b a k ),()(221,1b a k b a k ⊕，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为.01αα≠= 。

7）否，因为)()()(,2,)(αααααααααα l k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足 所以，所给集合+

R 构成线性空间。

4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。

证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。

2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。

5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。

证 因为1cos 22cos 2

-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2

式线性相关的。

6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互

素，那么他们线性无关。

证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，

不妨设,01≠k 则)()()(31

3212

1x f k k x f k k x f --

=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以

)(),(),(321x f x f x f 线性无关。

7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。设

1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；

2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。

解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1

121

d c b a d c b a d c b a d c b a ，

可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为4

1

,41,41,45-=-===

d c b a 。